高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)-200708(解析版)
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc.若不等式∣∣∣2k kx +3−1x 2∣∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A. {0}∪[24,+∞)B. [0,24]C. (0,24]D. (−∞,0]∪[24,+∞)2. 已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，设M =1a +1c ，N =2b ，则( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N3. 已知函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x 的解集是( )A. [−3,+∞)B. [1,+∞)C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)4. 若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则a 的取值范围( )A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. [12,+∞)D. (−∞,12]5. 若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数，则k 的取值范围是( )A. [0,3)B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞) 6. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =ln(ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b7. 已知p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点，q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A. (−∞,−2)∪[3，+∞) B. (−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞) C. (1,2]∪[3,+∞) D. (−∞,−2)∪(1,2] 8. 若a <0，则关于x 的不等式x 2−4ax −5a 2>0的解是( )A. x >5a 或x <−aB. x >−a 或x <5aC. 5a <x <−aD. −a <x <5a 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 9. 不等式−x 2−x +6≥0的解集为______． 10. 函数y =−x 2的单调递增区间为______．11. 若函数f(x)={1x ,x >03x ,x ≤0，则不等式f(x)≥13的解集为______．12. 若函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上的最大值为1，最小值为m ，且函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，则a =______．13. 若不等式ax 2+2ax −1<0解集为R ，则a 的范围是______．14. 对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，则x 的取值范围是______． 15. 不等式3x 2−7x ≤10的解集为______． 16. 函数y =√6−x −x 2的定义域是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.解关于x的不等式：x2+2x−3−x2+x+6<0．18.已知f(x)=x2+6x+9x+1(x>−1)．(1)解不等式f(x)≥9；(2)求f(x)的最小值．19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈[1,3)时，有f(x)≤18(x+2)2成立．(1)证明：f(2)=2；(2)若f(−2)=0，求f(x)的表达式；(3)在题(2)的条件下设g(x)=f(x)−mx2，x∈[0,+∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y=14的上方，求实数m的取值范围．20.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式(x−m)(ax−b)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；②k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，解得0<k ≤24， ∴综上得，实数k 的取值范围是[0,24]． 故选：B ．根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，从而可得出k 的取值范围．本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：A解析：解：由三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ， 且M =1a +1c =c+a ac=2bac =2ac b，N =2b ， 所以ac b −b =ac−b 2b=ac−(a+c 2)2b=−(a−c)24b<0，即ac b <b <0， 所以2ac b>2b ，即M >N ． 故选：A ． 化简M =2ac b，利用作差法比较acb <b ，从而得出M 与N 的大小．本题考查了不等式大小比较问题，也考查了转化思想，是基础题． 3.答案：A解析：解：∵函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则对于不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x ，当x −1<0即x <1时，f(x −1)=x −1+1=x ，则(x +1)⋅x ≤3−x ，解得−3≤x ≤1，∴−3≤x <1．当x −1≥0时，即x ≥1，f(x −1)=1−x −1=−x ，则(x +1)(−x)≤3−x ，即x 2≥−3，∴x ≥1． ∴原不等式的解集为{x|−3≤x <1，或x ≥1}={x|x ≥−3}， 故选：A ．分别考虑x −1<0即x <1时；x −1≥0时，即x ≥1时，原不等式的解集，最后求并集． 本题考查分段函数的应用，考查分段函数值应考虑自变量对应的情况，属于中档题． 4.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)=x 2+x +ax ，其导数f′(x)=2x +1−a x 2=2x 3+x 2−ax 2，若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则f′(x)=2x3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，设g(x)=2x 3+x 2−a ，则有g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，而g′(x)=6x 2+2x ，在(12,+∞)上，有g′(x)>0恒成立，即函数g(x)在(12,+∞)上为增函数， 若g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，必有g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，则a ≤12，即a 的取值范围为(−∞,12]； 故选：D ．根据题意，求出函数f(x)的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得：若函数f(x)在(12,+∞)上是增函数，必有f′(x)=2x 3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，进而设g(x)=2x 3+x 2−a ，求出g(x)的导数，分析可得g(x)在(12,+∞)上为增函数，据此可得g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 5.答案：B解析：解：若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数， ①当k =3时，f(x)=6x +1，显然f(x)在(−∞,0]上为增函数，②当k ≠3时，由f(x)在(−∞,0]上为增函数，有{k −3<0−2k 2(k−3)≥0，∴{k <30≤k <3，∴0≤k <3，∴k 的取值范围为[0,3]． 故选：B ．利用函数图象与单调性的关系，结合二次函数的图象分析开口方向即可． 本题考查函数的图象与性质的应用，一元二次函数单调性问题一定要结合图象，考虑图象开口方向，体现数形结合和分类讨论的思想． 6.答案：D解析：解：∵0=log 51<log 52<log 55=1，log 0.50.2>log 0.50.5=1，0<ln2<1，ln(ln2)<0， ∴c <a <b ． 故选：D ．可以得出0<log 52<1，log 0.50.2>1，ln(ln2)<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题，由p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点， 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2． 由q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0 得△=16(m −2)2−16<0， 解得1<m <3， 当p 真q 假时，有{m >2或m <−2m ≥3或m ≤1即m ≥3或m <−2 当p 假q 真，有{−2≤m ≤21<m <3即1<m ≤2∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞)． 故选：B ．由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2.由q ，得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，分两种情况求出实数m 的取值范围． 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用． 8.答案：B解析：解：∵x 2−4ax −5a 2>0 ∴(x +a)(x −5a)>0，等价于{x +a >0x −5a >0或{x +a <0x −5a <0又∵a <0∴x <5a 或x >−a 故选：B ．写出等价不等式组，根据a <0，解不等式组即可本题考查一元二次不等式的解法，注意等价关系．属简单题 9.答案：[−3,2]解析：解：不等式−x 2−x +6≥0可化为x 2+x −6≤0， 即(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2， 所以不等式的解集为[−3,2]． 故答案为：[−3,2]．把不等式化为一般形式，再求解即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 10.答案：(−∞,0]解析：解：画出函数函数y =−x 2的草图；如图所示； 易知，函数y =−x 2的单调递增区间为(−∞,0]， 故答案为(−∞,0]画出函数y =−x 2的图象，由图象容易得到解答． 本题考查了一元二次函数的图象和性质． 11.答案：{x|−1≤x ≤3}解析：解：函数f(x)={1x,x >03x,x ≤0，则不等式f(x)≥13，即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，解①求得0<x ≤3；解②求得−1≤x ≤0，故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤3}， 故答案为：{x|−1≤x ≤3}．由题意原不等式即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、分式不等式的应用，属于基础题．12.答案：14解析：解：∵函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，∴m +1>0，解得m >−1．①当a >1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递增，由已知可得{log a 2=1log a 14=m，解得{a =2m =−2，与m >−1矛盾，故应舍去；②当0<a <1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递减，由已知可得{log a 14=1log a 2=m，解得{a =14m =−12，满足m >−1，故a =14．故答案为14．利用二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论即可得出．熟练掌握二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论的方法是解题的关键． 13.答案：−1<a ≤0解析：解：a =0时，不等式ax 2+2ax −1<0化为−1<0，解集为R ； a ≠0时，不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时， 应满足{a <0△=4a 2−4a ×(−1)<0，解得−1<a <0；所以实数a 的取值范围是−1<a ≤0． 故答案为：−1<a ≤0．讨论a =0和a ≠0时，求出不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时a 的取值范围． 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 14.答案：x >3或x <−1解析：解：若不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立 则m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．令f(m)=m(x −1)+x 2−4x +3．则{f(0)>0f(4)>0⇒{x 2−4x +3>0x 2−1>0⇒{x <1或x >3x <−1或x >1.∴x <−1或x >3．故答案为：x >3或x <−1由对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，可变形为m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．由于该函数为关于m 的一次函数估可转化为{f(0)>0f(4)>0,即{x 2−4x +3>0x 2−1>0，解不等式组，即可得到结论．解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．15.答案：[−1,103]解析：解：不等式3x 2−7x ≤10可化为3x 2−7x −10≤0， 即(x +1)(3x −10)≤0，解得−1≤x ≤103；所以不等式的解集为[−1,103]. 故答案为：[−1,103].不等式化为3x 2−7x −10≤0，求出不等式的解集即可． 本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 16.答案：(−3,2)解析：解：∵函数y =√6−x −x 2， ∴6−x −x 2≥0， 即x 2+x −6≤0； ∴(x +3)(x −2)≤0， 解得−3≤x ≤2，∴函数y 的定义域是(−3,2)． 故答案为：(−3,2)．根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，解题时应化为求一元二次不等式的解集的问题，是基础题．17.答案：解；不等式x 2+2x−3−x 2+x+6<0可化为x 2+2x−3x 2−x−6>0，即(x+3)(x−1)(x+2)(x−3)>0，各因式对应的一次方程的实数根为−3，−2，1和3，如图，由图可知，该不等式的解集为(−∞,−3)∪(−2,1)∪(3,+∞)．解析：把不等式化为几个一次因式的积(或商)的形式，求出各因式对应方程的实数根，然后利用数轴标根法求出不等式的解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．18.答案：解：(1)由x>−1可得x+1>0，故x2+6x+9x+1≥9可得，x2+6x+9≥9x+9，解可得，−1<x≤0或x≥3，故原不等式的解集(−1,0]∪[3,+∞)，(2)由x>−1可得x+1>0，由基本不等式可得，f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4，≥2√(x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x+1=4x+1集集x=1时取等号，因此函数f(x)取得最小值8．解析：(1)由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；(2)由f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题．19.答案：解：(1)证明：由题意可得f(2)≥2，且f(2)≤18(2+2)2=2，即有f(2)=2；(2)由f(−2)=0，可得4a−2b+c=0，f(2)=2，即为4a+2b+c=2，两式相减可得，b=12，4a+c=1即c=1−4a，f(x)=ax2+12x+1−4a，对任意实数x，都有f(x)≥x，即为ax2−12x+1−4a≥0恒成立，即有a>0，△=14−4a(1−4a)≤0，即有(8a−1)2≤0，即有a=18，c=12，则f(x)=18x2+12x+12；(3)g(x)=f(x)−mx2=18(x+2)2−mx2，当x=0时，g(0)=12>14成立；当x>0时，18(x+2)2−mx2>14，即有4m<x2+4x+2x =x+2x+4，由x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2，当且仅当x =√2时，取得最小值．即有4m <2√2+4， 解得m <1+√22．综上可得，m 的范围是(−∞,1+√22).解析：(1)令x =2，求得f(2)≥2，且f(2)≤2，即可得证；(2)由f(−2)=0，f(2)=2，求得b =12，4a +c =1即c =1−4a ，再由二次不等式恒成立的条件为a >0，判别式非正，即可得到a ，c ，进而得到解析式； (3)g(x)=f(x)−mx 2=18(x +2)2−mx 2，讨论x =0，x >0，不等式恒成立，注意运用参数分离和基本不等式求得最小值，即可得到m 的范围．本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用二次不等式恒成立的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．20.答案：解：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}知， 1和b 是方程ax 2−3x +6=4的两个实数根，且a >0，b >1， 又方程可化为ax 2−3x +2=0，所以由根与系的关系得{1+b =3a1×b =2a ，解得a =1，b =2；(2)由(1)，知a =1且b =2，则不等式(x −m)(ax −b)<0可化为(x −m)(x −2)<0； ①当m >2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|2<x <m}； ②当m <2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|m <x <2}； ③当m =2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为⌀．解析：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值； (2)将a =1且b =2代入不等式(x −m)(ax −b)<0中，可得(x −m)(x −2)<0，然后讨论m 的取值，求出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了运算与转化能力，是基础题．。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（ ）A．ab≤12B．ab≥12C．a2+b2≥2D．a2+b2≤32．已知正数x，y满足x+1y=1，则1x+4y的最小值为（ ）A．9B．10C．6D．83．在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（0，2）C．(―12，32)D．(―32，12)4．已知1≤a+b≤5，―1≤a―b≤3，则3a―2b的取值范围是（ ）A．[―6，14]B．[―2，14]C．[―2，10]D．[―6，10] 5．若关于x的不等式x2―4x―2―a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）A．a<―2B．a>―2C．a>―6D．a<―6 6．若x=5―2，y=2―3，则x，y满足（ ）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y7．正数a,b满足9a +1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立，则实数x的取值范围是（ ）A．[―4,2]B．[―2,4]C．(―∞,―4]∪[2,+∞)D．(―∞,―2]∪[4,+∞)8．设正数a，b满足b―a<2，若关于x的不等式(a2―4)x2+4bx―b2<0的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是（ ）A．(2，3)B．(3，4)C．(2，4)D．(4，5)二、多选题9．下列函数最小值为2的是（ ）A．y=x2+1x2B．y=x2+3+1x2+3C．y=2x+12x D．y=x2+1x，x>010．已知a>0，b>0.若4a+b=1，则（ ）A．14a +1b的最小值为9B．1a+1b的最小值为9C．(4a+1)(b+1)的最大值为94D．(a+1)(b+1)的最大值为9411．已知a>0，b>0，则下列式子一定成立的有（ ）A．2aba+b ≤ab B．a2+b22≤a+b2C．1a +1b≤4a+bD．a2+b22≤a2+b2a+b12．已知正数a，b满足a(a+b)=1，下列结论中正确的是（ ）A．a2+b2的最小值为22―2B．2a+b的最小值为2C．1a +1b的最小值为332D．a―b的最大值为1三、填空题13．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|―1<x<13}，则ab的值是 ．14．已知x,y为正实数，且x+4y=1x+1y=m，则m的最小值为 .15．已知实数a,b满足ab>0，则aa+b―aa+2b的最大值为 16．已知实数x，y，z满足：{x+y+z=3x2+y2+z2=36，则|x|+|y|+|z|的最大值为 .四、解答题17．已知集合A={x|―2<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m―1}．（1）当m=3时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18．求证下列问题：（1）已知a，b，c均为正数，求证：bca +acb+abc≥a+b+c.（2）已知xy>0，求证：1x>1y的充要条件是x<y.19．已知不等式组{―x<2，x2+7x―8<0的解集为A，集合B={x|a―5<x<3a―5}．（1）求A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．20．已知函数g(x)=k2x+k，ℎ(x)=x2―2(k2―k+1)x+4．（1）当k=1时，求函数y=ℎ(x)g(x)，x∈(―∞,―1)的最大值；（2）令f(x)={g(x),x>0ℎ(x),x<0，求证：对任意给定的非零实数x1，存在惟一的实数x2(x1≠x2)使得f(x1)=f(x2)成立的充要条件是k=4．21．若函数f(x)=a x2―(2a+1)x+2.（1）讨论f(x)>0的解集；（2）若a=1时，总∃x∈[13，1]，对∀m∈[1，4]，使得f(1x)+3―2mx≤b2―2b―2恒成立，求实数b的取值范围.22．已知函数f(x)=2|x+1|―|x―a|(a∈R)．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)⩾x+2的解集；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)+3|x―a|，当a=1时，函数g(x)的最小值为t，且2m +12n=t(m>0,n>0)，求m+n的最小值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】A,C 10．【答案】B,C 11．【答案】A,D 13．【答案】614．【答案】315．【答案】3―2216．【答案】1+22217．【答案】（1）解：∵集合A ={x|―2<x <5}，B ={x|m +1≤x ≤2m ―1}．∴∁R A ={x|x ≤―2或x ≥5}，m =3时，B ={x|4≤x ≤5}，∴（∁R A ）∩B ={5}（2）解：若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m ―1，解得m <2，成立；当B ≠∅时，{m +1≤2m ―1m +1>―22m ―1<5，解得2≤m <3，综上实数m 的取值范围为（―∞，3）18．【答案】（1）证明：bc a +ac b +ab c =2bc a +2ac b +2ab c 2=bc a +ac b +bc a +ab c +ac b +ab c 2≥2bc a ⋅ac b+2bc a ⋅ab c+2ac b ⋅ab c=a +b +c ，当且仅当bc a =ac b ，bc a=ab c ，acb =abc ，即a =b =c 时等号成立.（2）证明：依题意xy >0，则{x >0y >0或{x <0y <0，所以：1x >1y ⇔1x ―1y =y ―x xy >0⇔y ―x >0⇔x <y ，所以：1x>1y 的充要条件是x <y .19．【答案】（1）解：由{―x <2x 2+7x ―8<0，得{x >―2―8<x <1，得―2<x <1，所以A ={x |―2<x <1}．（2）解：由A ∪B =B ，得A ⊆B ，所以{a ―5≤―23a ―5≥1，得2≤a ≤3，故a 的取值范围为[2，3]．20．【答案】（1）解：当 k =1 时，函数 y =x 2―2x +4x +1， x ∈(―∞,―1) ，令 t =x +1<0 ，则 y =t +7t―4 ，此时 ―t >0 ，由 (―t )+(―7t )≥2(―t )×7―t =27 ，即 t +7t≤―27 ，当且仅当 t =―7 ，即 x =―7―1 时取等号，综上，当 x =―7―1 时， y 最大值是 ―27―4 ．（2）解：充分性：当 k =4 时， f (x )={16x +4,x >0x 2―26x +4,x <0 ， 当 x >0 时， y =16x +4 在 (0,+∞) 单调递增，且 y >4 ，当 x <0 时， y =x 2―26x +4 在 (―∞,0) 单调递减，且 y >4 ，若 x 1>0 ，则存在惟一的 x 2<0 ，使得 f (x 1)=f (x 2) ，同理 x 1<0 时也成立，必要性：当 x >0 时， y =k 2x +k ，当 k =0 时， f (x ) 在 (0,+∞) 上的值域为 {0} ，显然不符合题意，因此 k ≠0 ，当 x >0 时， f (x ) 在 f (x ) 的取值集合 A =(k ,+∞) ，x <0 ， f (x )=x 2―2(k 2―k +1)x +4 的对称轴 x =k 2―k +1>0 ， f (x ) 在 (―∞,0) 上递减， f (x )>f (0)=4 ，所以 f (x ) 的取值集合 B =(4,+∞) ，①若 x 1>0 ， f (x ) 且在 (0,+∞) 上单调递增，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2<0 ，且 A ⊆B ，有 k ≥4 ．②若 x 1<0 ， f (x ) 且在 (―∞,0) 上单调递减，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2>0 ，且 B ⊆A ，有 k ≤4 ．综上： k =4 ．21．【答案】（1）已知f (x )=a x 2―(2a +1)x +2，①当a =0时，f (x )=―x +2>0时，即x <2；②当a ≠0时，f (x )=a (x ―1a )(x ―2)，若a <0，f (x )>0，解得 1a <x <2，若0<a <12，f (x )>0，解得x <2或x >1a ，若a =12，f (x )>0，解得x ≠2，若a >12时，f (x )>0，解得x <1a 或x >2，综上所述：当a <0时，f (x )>0的解集为(1a ，2)；当a =0时，f (x )>0的解集为(―∞，2)；当0<a <12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(1a ，+∞)；当a =12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(2，+∞)；当a >12时，f (x )>0的解集为(―∞，1a )∪(2，+∞).（2）若a =1，则f (x )=x 2―3x +2，∴f (1x )+3―2m x =1x 2―2m x +2，令t =1x ，原题等价于∃t ∈[1，3]，对∀m ∈[1，4]使得t 2―2mt +2≤b 2―2b ―2恒成立，令g (m )=―2tm +t 2+2，∴g (m )是关于m 的减函数，∴对∀m ∈[1，4]，g (m )≤b 2―2b ―2恒成立，即b 2―2b ―2≥g (m )max =g (1)=t 2―2t +2，又∃t ∈[1，3]，b 2―2b ―2≥t 2―2t +2，即b 2―2b ―2≥(t 2―2t +2)min =12―2×1+2=1，故b 2―2b ―3=(b ―3)(b +1)≥0，解得b ≤―1或b ≥3.22．【答案】解：（Ⅰ）当 a =2 时， f (x )⩾x +2 化为 2|x +1|―|x ―2|≥x +2 ，当 x⩽―1 时，不等式化为 ―x ―4⩾x +2 ，解得 x⩽―3 ；当 ―1<x <2 时，不等式化为 3x⩾x +2 ，解得 1⩽x <2 ；当 x⩾2 时，不等式化为 x +4⩾x +2 ，解得 x⩾2 ，综上不等式 f (x )⩾x +2 的解集是 {x |x⩽―3或x⩾1}（Ⅱ）当 a =1 时， g (x )=2|x +1|+2|x ―1|⩾2|x +1+1―x |=4 ，当且仅当 (x +1)(x ―1)⩽0 ，即 ―1⩽x⩽1 时，等号成立．所以，函数 g (x ) 的最小值 t =4 ，所以 2m +12n =4 ， 12m +18n=1 ．m +n =(m +n )(12m +18n )=n 2m +m 8n +58⩾2n 2m ⋅m 8n +58=98 ，当且仅当 {12m +18n =1，n 2m =m 8n 即 {m =34，n =38时等号成立，所以 m +n 的最小值为 98．。
人教A版(2019)高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题(含答案)
人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
人教版高中数学第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》训练题 (13)(含解析)
三、填空题
18．如图所示，某学校要在长为 米，宽为 米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则 的取值范围为________.
19．关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为______________.
20．不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为________
21．函数 的定义域是 ，则 的取值范围是_________．
22．不等式 的解集是______．
23．若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是___________.
24．不等式 的解是________
25．“ ”是“ ”的________条件．
第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》训练题 (13)
一、单选题
1．对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式 的解集不可能是（ ）
A． B．RC． D．
2．若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
（3）求不等式 的解集.
【答案与解析】
1．B
【解析】
根据题中不等式，讨论 ， ， ， ， ，分别求解不等式，即可求出结果.
四、解答题
3
（1）若不等式的解集为 ，求不等式 的解集；
（2）当 时，求不等式 的解集；
（3）当 时，求不等式 的解集.
32．若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使 成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由；
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（ ）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（ ）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（ ）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（ ）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（ ）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x<b c10．已知a>0，b>0，且a+b=ab，则（ ）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（ ）A．6B．315C．132D．5212． 现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（ ）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为 ．14． 已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是 .15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 .16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）一、单选题 1．已知1x >,则91x x +-的最小值为( ) A ．4B ．6C ．7D ．102．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89πB ．169πC ．321)πD ．321)π3．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ． 43B ．9C ．32D ．不存在4．对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦任意()0,y ∈+∞，不等式292cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(],3-∞B ．22,3⎡⎤-⎣⎦C ．22,22-⎡⎣D ．[]3,3-5．下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A ．1y xx=+B ．2y =C ．x x y e e -=+D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1527．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的最小值为 A ．5 B ．4C ．92D ．38．不等式102xx -≥+的解集为（ ）. A ．[]2,1- B ．(]2,1-C ．[)2,1-D ．(][),21,-∞-+∞9．如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ） A ．a<0，且b 2-4ac>0 B ．a<0且b 2-4ac≤0 C ．a>0且b 2-4ac≤0 D ．a>0且b 2-4ac>010．若直线1(00)x ya b a b+=>>，过点()1,2，则2a b +的最小值为（ ）A ．6B ．4+C ．8D ．911．已知0a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．2a ab <C ．22a b <D ．11a b a<- 12．若0x >，则1x x -+的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2第II 卷（非选择题）二、填空题13．若13a b -<+<，24a b <-<，则b 的取值范围___________.14．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是______．15．设0,0a b >>.若2是2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ． 16．已知p ：2230x x --<，若1a x a -<-<是p 的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题17．解不等式2024x x <--<18．不等式2260(0)kx x k k -+->≠(1)若不等式的解集为{|3x x <-或}2x >-,求k 的值 (2)若不等式的解集为R ,求k 的取值范围19．已知对于正数a 、b ，存在一些特殊的形式，如：22a b a b ++、222a b +、2a b +等. （1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距22221||2a b a b a b ++∆=-+，间距222||22a b a b++∆=-，判断两者的大小关系，并证明.20．已知a,b,c 为互不相等的非负数,求证：a 2+b 2+c 2＞(++).21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.22．如图所示，设矩形()ABCD AB BC >的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折AB '后交DC 于点P ，设AB x =．（1）用x 表示DP ，并求出x 的取值范围； （2）求ADP △面积的最大值及此时x 的值．23．证明下列不等式：（167225； （2）如果0a >，0b >，则lg lg lg 22a b a b++≥24．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x （0x >）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围25．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?参考答案1．C2．A3．C4．A5．C6．A7．C8．B9．C10．C11．D12．D 13．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭14．5 15．4 16．2a >17．{x|21x -<<-或23}x <<18．（1）25k =-；（2）,⎛-∞ ⎝⎭19．（1）222a b a ba b++≥≥+；证明见解析；（2）12∆≥∆，证明见解析. 20．见解析21．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞--22．（1）()7212612DP x x=-<<；（2）当x =108-． 23．（1）见解析；（2）见解析 24．（1）1(50)?(10)(010)25y a x x x =+-<<；（2）{|02}.x x <≤. 25．乙应负主要责任.。
一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式（单元检测卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B2.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )A.－4B.－2C.2D.43.下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是( )A.{x|x＜－1}B.{x|－1＜x＜0}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x＞1}4.设m>1，P＝m＋4m－1，Q＝5，则P，Q的大小关系为( )A.P<QB.P＝QC.P≥QD.P≤Q5.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )A.Error!B.Error!Error! D.Error!6.若0≤x≤6，则x(8－x)的最大值为( )A.163B.4C.433D.57.若不等式x2＋ax＋b＜0(a，b∈R)的解集为{x|2＜x＜5}，则a，b的值为( )A.a＝－7，b＝10B.a＝7，b＝－10C.a＝－7，b＝－10D.a＝7，b＝108.已知不等式ax2－2ax－2＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )A.{a|－1≤a≤0}B.{a|－2＜a＜0}C.{a|－2＜a≤0}D.{a|a＜－2或a≥0}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知2<x<3，2<y<3，则( )A.6<2x＋y<9B.2<2x－y<3C.－1<x－y<1D.4<xy<910.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )A.x2＞y2B.－x＞－yC.1x＜1yD.xy＜x＋1y＋111.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A.ab有最大值14B.a ＋b 有最小值1C.1a＋1b有最小值4 D.a2＋b2有最小值22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.已知关于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，则a＋b＝________13.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________14.已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为________；4a＋2＋12b的最小值为________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分）已知a∈R且a≠1，试比较11－a与1＋a的大小．16.(16分）解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0，0≤a≤1．17.(16分）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．18.(16分）已知y＝x＋2x2＋x＋1(x＞－2)．(1)求1y的取值范围；(2)当x为何值时，y取得最大值？19.(16分）某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝＋34b 2≥0，所以A≥B ．2.B 解析：集合A ＝{x|x 2－4≤0}＝{x|－2≤x ≤2}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}＝，由A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，可得－a2＝1，则a ＝－2．故选B ．3.A 解析：取x ＝－2，知符合x ＜1x ＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D ．4.C 解析：∵m>1，∴P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立．∴P ≥Q ，故选C ．5.D 解析：由题中x 不低于95，即x ≥95；y 高于380，即y ＞380；z 超过45，即z ＞45．6.B 解析：因为0≤x ≤6，所以8－x ＞0，所以x(8－x)≤x ＋(8－x)2＝4，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，等号成立．故所求最大值为4．7.A 解析：不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|2＜x ＜5}，则对应方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根为2和5，即Error! 解得a ＝－7，b ＝10．故选A ．8.C 解析：对任意实数x ，不等式ax 2－2ax －2＜0恒成立，①当a ＝0时，－2＜0恒成立，符合题意，②当a ≠0时，则Error!解得－2＜a ＜0．综上所述，实数a 的取值范围为{a|－2＜a ≤0}．故选C ．二、选择题9.ACD 解析：∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x ＋y<9，∴－3<－y<－2，－1<x －y<1，1<2x －y<4．故选ACD ．10.AC 解析：对于A ，当x ＞y ＞0时，x 2＞y 2，A 成立；对于B ，当x ＞y ＞0时，－x ＜－y ，B2b(a )2-{a x |x 2⎫≤-⎬⎭不成立；对于C，当x＞y＞0时，xxy＞yxy，即1x＜1y，C成立；对于D，xy－x＋1y＋1＝x(y＋1)－y(x＋1)y(y＋1)＝x－yy(y＋1)，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴xy－x＋1y＋1＞0，即xy＞x＋1y＋1，D不成立．故选AC．11.AC 解析：1＝a＋b≥2ab，所以ab≤14，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，所以ab有最大值14，所以A正确； a ＋b≥2ab，2ab≤2，所以 a ＋b的最小值不是1，所以B错误；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，所以1a＋1b有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤12，所以a2＋b2的最小值不是22，所以D错误．故选AC．三、填空题12.答案：5 解析：根据不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的两个根是1和4，则5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4，所以a＋b＝5．13.答案：3≤z≤8 解析：∵z＝－12(x＋y)＋52(x－y)，－2≤－12(x＋y)≤12，5≤52(x－y)≤152，∴3≤－12(x＋y)＋52(x－y)≤8，∴3≤z≤8．14.答案：4，3 2 解析：∵a＞0，b＞0，16＝2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2，∴a＋2b≤4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴a＋2b的最大值为4．∵(a＋2＋2b)·＝8ba＋2＋a＋22b＋5≥24＋5＝9，∴4a＋2＋12b≥9a＋2b＋2≥94＋2＝32，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立，∴4a＋2＋12b的最小值为3 2．41(a22b++四、解答题15.解：因为11－a －(1＋a)＝a 21－a，可得①当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；②当a ＞1时，a 21－a＜0，所以11－a＜1＋a ；③当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，所以11－a＞1＋a ．综上可知，当a ＝0时，11－a＝1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a＞1＋a ．16.解：由x 2－x －a 2＋a<0得，(x －a)[x －(1－a)]<0，0≤a ≤1①当1－a>a ，即0≤a<12时，a<x<1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，<0，不等式无解；③当1－a<a ，即12<a ≤1时，1－a<x<a ．综上所述，当0≤a<12时，解集为{x|a ＜x ＜1－a}；当a ＝12时，解集为∅；当12<a ≤1时，解集为{x|1－a ＜x ＜a}．17.解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x>0，y>0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，∵x ＞0，y ＞021(x 2则x ＋y ＝·(x ＋y)＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18．18.解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t ＞0(x ＞－2)．故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝(t －2)2＋(t －2)＋1t＝t 2－3t ＋3t＝t ＋3t－3≥23－3，∴1y≥23－3．(2)由题意知y ＞0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝123－3＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33．19.解：(1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而仓库面积即顶部面积，故S ＝xy ．依题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0．因为S ＋16＞0，所以S －10≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100．(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．82(x y。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。
部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题
(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B2、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）.故选：C.3、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.解：∵|5x −x 2|<6，∴−6<5x −x 2<6∴{x 2−5x −6<0x 2−5x +6>0⇒{−1<x <6x <2或x >3 ⇒−1<x <2或3<x <6 则不等式的解集为：{x|−1<x <2或3<x <6}故选：B.4、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 } C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 }答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }． 法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．5、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．6、已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1)，则(a−1)2+(b−1)2的最小值为( )A．2B．1C．4D．5答案：A分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=ab(a>1,b>1)构造出(a−1)(b−1)=1，根据(a−1)2+ (b−1)2≥2(a−1)(b−1)即可求解．由a+b=ab(a>1,b>1)得a+b−ab−1=−1，因式分解得(a−1)(b−1)=1，则(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．故选：A．7、下列不等式中成立的是（）A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2D．若a<b<0，则1a <1b答案：B分析：A，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.A. 若a>b>0，则ac2>bc2错误，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；B. 若a>b>0，则a2−b2=(a+b)(a−b)>0,∴a2>b2，所以该选项正确；C. 若a<b<0，则a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab，所以该选项错误；D. 若a<b<0，则1a −1b=b−aab>0,∴1a>1b，所以该选项错误.故选：B8、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.多选题9、已知函数y=ax2+bx-3，则下列结论正确的是（）A．关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{x|x>3}B．关于x的不等式ax2+bx-3>0的解集可以是∅C．函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有两个交点D．“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a、b，再解不等式ax2+bx-3<0可判断A；取a=-1，b=0，解不等式-x2-3>0可判断B；取a=-1，b=4可判断C；根据根的分布、充要条件的定义可判断D．若不等式ax2+bx-3<0的解集是{x|x>3}，则a=0且3b-3=0，得b=1，而当a=0，b=1时，不等式ax2+bx-3<0，即x-3<0，得x<3，与x>3矛盾，故A错误；取a=-1，b=0，此时不等式-x2-3>0的解集为∅，故B正确；函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有两个交点,即ax2+bx-3=0可以有2个正根，取a=-1，b=4，则由y=-x2+4x-3=0，得x=1或3，故C正确；若关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根，则{a≠0,−3a<0,得a>0，若a>0，则Δ=b2+12a>0，故关于x的方程ax2+bx-3=0有两个不等的实根x1,x2，且x1x2=-3a<0，即关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”，故D正确．故选：BCD．10、已知a>b⩾2，则（）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2， A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．11、（多选）下列说法正确的有（ ）A ．y =x+1x 的最小值为2B ．已知x ＞1，则y =2x +4x−1−1的最小值为4√2+1C ．若正数x 、y 满足x +2y ＝3xy ，则2x +y 的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若9x 2+y 2+xy ＝1，则3x +y 的最大值为2√217 答案：BCD分析：根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.解：对于A 选项，当x=-1时，y =x+1x =0，故A 选项错误，对于B 选项，当x ＞1时，x ﹣1＞0，则y =2x +4x−1−1=2(x −1)+4x−1+1≥2√2(x −1)⋅4x−1+1=4√2+1，当且仅当x =√2+1时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足x +2y ＝3xy ，则3=x+2y xy=2x +1y ， 2x +y =13(2x +y)(2x +1y )=13(5+2x y +2y x )≥13(5+2√2x y ⋅2y x )=3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故C 选项正确，对于D 选项，1=9x 2+y 2+xy =(9x 2+6xy +y 2)−5xy =(3x +y)2−53⋅3x ⋅y ≥(3x +y)2−53·(3x+y )24 ，所以(3x +y)2≤127，可得−2√217≤3x +y ≤2√217， 当且仅当y ＝3x 时，等号成立，故3x +y 的最大值为2√217，D 选项正确.故选：BCD.填空题 12、已知不等式x 2+ax +b ≥0的解集为{x |x ≤2或x ≥3}，则a +b ＝_____．答案：1分析：根据不等式的解集可得方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x 2+ax +b ≥0解集为{x |x ≤2或x ≥3}， 故方程x 2+ax +b ＝0的两根为x ＝2或x ＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1． 所以答案是：1．。