人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)教学提纲
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m aa m+<+（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④bab a 11,0<<<则若；⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小4.若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .（二）解不等式题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
7. 解不等式25123xx x -<---8.不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
（三）基本不等式2a bab +≤题型五：求最值14. （直接用）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x15. （配凑项与系数）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
16. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
17. （用耐克函数单调性）求函数2y =的值域。
18. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++22220. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc21. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划题型八：目标函数求最值23. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值24.已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是25. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是26.已知变量230,330.10x yx y x yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y=+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第41讲不等关系与不等式的性质含答案
1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 5．合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用． (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用它们进行一些简单的推理． (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 6．直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． (2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况2018第14题线性规划，求最大值直接考查不等式的试题，主要是线性规划，2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ考查线性规划的试题每年1道，占5分．主要考查线性目标函数的最值或范围，且线性目标函数一般是具体系数的函数，只有2014年全国卷Ⅰ目标函数中含有一个参数，由最值确定其参数值．难度一般是中等难度，2016年全国卷Ⅰ考查了线性规划的实际应用问题．直接考查推理与证明的试题只有2014年全国卷Ⅰ的第14题和2016年全国卷Ⅱ的第16题及2017年全国卷Ⅱ的第9题，都是考查演绎推理，难度中等．1．不等式与高中数学其他内容联系密切，在数学各分支中都有很广泛的应用．从近几年全国全国卷高考试题来看，纯粹考查不等式这一章的试题每年的分值占全卷的比例并不高，但从整套试卷来看，却处处分布着不等式的知识、方法和技巧．因此，在不等式的复习过程中，要重视不等式的“工具”作用，提高应用意识，会用不等式的知识和方法解决有关问题．在不等式这一部分的复习过程中，要注意以下问题：(1)复习不等式的性质时，注意培养严格的逻辑思维，分清一类性质是条件与结论的等价关系，另一类性质仅是由条件推导出结论．(2)对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查，注意解题过程中对代数式进行适当的变形及化简，以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相等”．(3)不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点，要求掌握含参数一元二次不等式或可化为含参数的二次不等式的求解问题，同时注意三个二次间的联系．(4)线性规划是高考的热点内容，在高考中频繁出现，对线性规划的考查仍以线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，适当注意利用代数式的几何意义(距离、斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用．(5)应用问题与不等式结合考查，需要根据题意建立不等式，设法求解或利用均值不等式或函数的单调性求最值．(6)重视不等式的应用，注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用，如求函数定义域、值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题．2．在高考中，直接考查推理与证明的试题不多，但推理与证明贯穿于高中数学各章节，因此，本部分内容在高考中单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法和思路考查有关内容．在备考时要注意：(1)高考对推理的考查以考查演绎推理为主，主要是在其他章节中结合具体的知识进行考查，如在立体几何中结合位置关系的证明，在导数中结合单调性的证明等进行考查．归纳、类比不仅是新课标创新要求的体现，同时也是复习的有效方法，如等差数列与等比数列之间的类比，圆锥曲线之间的类比等．(2)在直接证明和间接证明中，其主要有综合法、分析法、反证法等．在应用这些证明方法时，要注意过程的严谨、格式的规范．综合法是高考中考查最多的一种证明方法，它是从已知条件推导出结论，一般按照演绎推理进行，分析法是由结论追溯到条件的证明方法．反证法是从结论的反面成立出发，推出矛盾的一种间接证明方法，单独要求用反证法证明或举反例的题目不会很多，但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见到．第41讲不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质．2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . (2)作商法．设a >0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <b .3．不等式的基本性质①对称性：a >b ⇔b <a ；②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >d ac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒ na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b ； (2)a <0<b1a <1b. 2．分数性质若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)；(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B) A ．W >300 B ．W ≥300 C ．W <300 D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A)A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c由c <d <0，cd1d <1c<0， 所以1－d >1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c的值依次为 －1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等． ②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x ＝3y ＝5z ，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题：①若a >b ，则a 2>b 2； ②若a >b >0，c >d >0，则a d>b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，则a ＋m b ＋m >ab；④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题． 对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c ，又a >b >0，所以a d >bc >0，所以a d>bc.故②为真命题． 对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )(b ＋m )b >0.所以a ＋m b ＋m >a b，即③为真命题．对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明． (2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a ，又c <0，所以c a >cb ，故①正确．(方法二：利用作差比较法)因为c a －c b ＝c (b －a )ab >0，所以c a >c b .故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c<1，所以a c <b c .所以②正确．(方法二：利用函数的性质)由幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当a >b >1时，a c <b c ，故②正确．③因为a >b >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9， 则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x －y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ， 而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6， 所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号， 所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0， 所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎨⎧ a <x <b c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b －d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．。
人教版高中数学必修二讲义专题03 不等关系与不等式(解析版)
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考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式 考点1:不等关系与不等式知识点一 基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案 作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二 重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解 由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )． 当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析 对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化 正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析 由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析 这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析 令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.( 填“>”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 1<b 2, ∴b 1－b 2<0,a 1－a 2<0, 即( b 1－b 2)( a 1－a 2)>0, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a <b ,则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．正确答案 ①③详细解析 对于①,若ab >0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a <b ,则am <bm , 所以am ＋ab <bm ＋ab , 所以0<a ( b ＋m )<b ( a ＋m ), 又1b (b ＋m )>0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明 因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a <b ,③a ＋b <ab ,④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析 由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析 对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围． 解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式 已知0<a ＋b <2,－1<b －a <1,则2a －b 的取值范围是____________．正确答案 －32<2a －b <52详细解析 因为0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,且2a －b ＝12( a ＋b )－32( －a ＋b ), 结合不等式的性质可得,－32<2a －b <52.考点2:练习题1．如果a <0,b >0,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析 利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 正确答案 a >0>b详细解析 若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a <b ,c <0,则c a <c b; ( 2)a c 3<b c 3,则a >b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a <b ,不一定有ab >0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a <b ,∴是假命题．( 3)假命题．当a ＝1,b ＝－2,k ＝2时,显然命题不成立,∴是假命题．( 4)假命题．当a ＝2,b ＝0,c ＝－3时,满足a >b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a <b D ．若a <b ,则a <b正确答案 D详细解析 对于A,若c <0,其不成立;对于B,若a ,b 均小于0或a <0,其不成立;对于C,若a >0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析 因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析 对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对于C,∵c 2＋1≥1,且a >b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)等式性质与不等式性质(解析版)
第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点1不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点2等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点3不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点4比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a bm ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b+==+，则（）A ．x y>B ．x y=C ．x y < D ．x 与y 的大小与m 的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b+---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3.（23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b>D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a b c c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1=-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b<C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B 错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc>D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A,0a b >>，0c <，由不等式性质易知a c b c +>+，故A 正确；对B,0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C,0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D,若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab ,故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4.（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（）A ．03a b<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a b a b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()420021001600001360012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ＃，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()a a m a b m b a m bb m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a m b b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a+++++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（）A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()222132********M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a cbc +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B 错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D 错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8ab=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．ac bc-<-C ．b c ba c a+>+D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b aa b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c c a b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b>>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x +2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x y y+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a cbc a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c >>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）【答案】（1）(),0,0a a mb a m b b m+<>>>+；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式(),0,0a a m b a m b b m+<>>>+设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由上述不等式可得：,,c c c a a a b b ba b a b c b c a b c a c a b c+++<<<+++++++++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以：2c a b a b b c c a++<+++.（2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为122p p +（元/千克），对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为c 元，则他买到的糖的总质量为12c c p p +千克，故小华买到的糖的平均价格为12121222p p cc cp p p p =++（元/千克），()()212121212122022p p p p p p p p p p -+-=>++，即小东买到的糖的平均价格较高.。
高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答(K12教育文档)
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不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表:0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
人教高中数学必修一B版《不等式》等式与不等式说课复习(不等式及其性质)
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已知－1<x<4，2<y<3.
(1)求 x－y 的取值范围；
(2)求 3x＋2y 的取值范围．
【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以
－4<x－y<2.
(2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x＋2y<18.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
■名师点拨
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(1)推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相
反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
(2)推论 2 表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不
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________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M >N.
人教出版高级中学不等式复习资料讲义(含规范标准答案,超经典编辑)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
第2节 基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第七章 第三节 基本不等式 Word版含答案
第三节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b 解析：选B 因为0＜a ＜b ，所以a －ab ＝a (a －b )＜0，故a ＜ab ；b －a ＋b 2＝b －a2＞0，故b ＞a ＋b 2；由基本不等式知a ＋b 2＞ab ，综上所述，a ＜ab ＜a ＋b2＜b ，故选B. 3．函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R 解析：选C 当x ＞0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2.当x ＜0时，－x ＞0. －x ＋1－x ≥2(－x )·1(－x )＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案：2 2 5．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关](一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值为________．[解析] (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．故所求x 的值为23.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，取等号． [答案] (1)23 (2)1 (3)23＋2[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________． [解析] 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．[答案] 4 [变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋2 a 3b ·2b 3a＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时，取等号．答案：1＋2232．(变设问)保持本例条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． (三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． [解析] 法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. [答案] 6 [解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(四) 利用两次基本不等式求最值 [例4] 已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．[解析] 由a ＞b ＞0，得a －b ＞0， ∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a24. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4.[答案] 4 [解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[过关训练]1．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 故函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2. 答案：22．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是________． 解析：因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x 26x＞0解得0＜x ＜1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.答案：223考点二 利用基本不等式解决实际问题[师生共研过关][典例精析]某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[过关训练]1．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：252．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y 有最小值，为175×675＝9，当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h 时，每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x ，当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16.当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数，故当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．考点三 基本不等式的综合应用[师生共研过关][典例精析](1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．[解析] (1)把圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b ＞0，c ＞0， 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5≥2 4c b ·b c ＋5＝9.当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， 所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2 n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.[答案] (1)A (2)92[解题技法]利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[过关训练]1．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选C 由题意可得a ＞0， ①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2， 当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4－n,2)，m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋8n 的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴4－n －2m ＝0，即2m ＋n ＝4.∵m ＞0，n ＞0，∴1m ＋8n ＝14(n ＋2m )⎝⎛⎭⎫1m ＋8n ＝14×⎝⎛⎭⎫10＋n m ＋16m n ≥14×⎝⎛⎭⎫10＋2 n m ·16m n ＝92，当且仅当4m ＝n ＝83时取等号．∴1m ＋8n 的最小值是92.答案：92。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。