高考数学讲义不等式.知识框架

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高考数学复习专题基本不等式 (文精讲)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

高考数学知识点：不等式

高考数学知识点：不等式1500字高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。

不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。

下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。

一、一元一次不等式一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。

要求解这类不等式，需要注意以下几点：1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。

2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。

3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。

二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。

要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。

2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。

3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。

4. 根据a的正负性确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b<c（或|ax+b|≤c）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0且c>0。

要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。

2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。

求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。

高考数学不等式知识点解析

高考数学不等式知识点解析不等式在高考数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决各种数学问题和实际应用问题的有力工具。

掌握不等式的相关知识，对于提高数学解题能力和思维水平具有重要意义。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 a＜b，则 b＞a。

比如，5＞3，那么 3＜5。

这一性质非常直观，也很好理解。

2、传递性：若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c。

例如，7＞5，5＞3，所以 7＞3。

传递性在比较多个数的大小时经常用到。

3、加法性质：若 a＞b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。

比如，因为 8＞5，那么 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2，也就是 10 ＞ 7。

4、乘法性质：若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc。

若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc。

例如，4＞2，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3，即 12 ＞ 6；当 c ＝－2 时，4×（－2) ＜ 2×（－2)，即－8 ＜－4。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，必须牢记并能熟练运用。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，注意当乘以一个负数时，不等号方向要改变。

2、去括号：根据乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并。

5、系数化为 1：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数是负数，不等号方向要改变。

例如，解不等式 3x 5 ＞ 2x ＋ 1。

首先，移项得到 3x 2x ＞ 1 ＋ 5，即 x ＞ 6。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。

高考数学讲义：等式性质与不等式性质(解析版)

第13讲：等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【基础知识】知识点一：等式的基本性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a .2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc .5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二：不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正【考点剖析】考点一：不等式性质判断真假例1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题正确的是（）A．若a b ，则22ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a bD．若0a b ，c d ，则ac bd【答案】C 【详解】A：若0c =，则220ac bc ，故A 错误；B：若1,1a b ，则,1111a b，则11a b ，故B 错误；C：因为22ac bc ，则20c ，两边同除以2c ，得a b ，故C 正确；D：若2,1,1,2a b c d ，则2,2ac bd ，故D 错误.故选：C.变式训练1：若0,10a b ，则下列不等关系一定正确的是（）A．a b B．2a b C．a bD．0a b 【答案】B 【详解】0a ，20b ，所以2a b 故选：B变式训练2：已知0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A．a b B．2b abC．11a bD．22a b 【答案】D 【详解】00b a b a b a b a∵故A 错误;2()b ab b b a ∵00b a b a ∵20b ab 2b ab 故B 错误;11b a a b ab∵00,0b a b a ab ∵110a b 11a b 故C 错误; 22a b a b a b ∵00,0b a a b a b ∵22220a b a b 故D 正确.故选:D变式训练3：下列结论正确的是（）A．若a b ，则ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a b D．若a b ，则22a b 【答案】C 【详解】对于A：当a b 时，若取0c ，则有ac bc .故A 不正确；对于B：当a b 时，取1,1a b 时，有11a b.故B 不正确；对于C：当22ac bc ，两边同乘以21c ，则a b .故C 正确；对于D：当a b ，取1,1a b 时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.考点二：利用不等式性质证明例2．已知0a b ，0c d ，b c ，求证：（1）0b c ；（2）b aa cb d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）∵b c 且0b ，0c ，∴b c 即0b c ；（2）∵0c d ，∴0c d ，又0a b ，∴0a c b d ，∴110b d a c ，∴b b aa cb d b d.变式训练1：若0,0ab m .求证bb ma a m.【答案】证明见解析.【详解】由0,0ab m ，得0am bm ，故得am ab bm ab ，即 am b b m a ，又因为0,0ab m ，在不等式两边同时乘以1a a m 得：b b ma a m，不等式得证.变式训练2：已知,0a b c a b c ，求证：c c a c b c【答案】见解析【详解】因为a b c ，故0,0a b b c ，要证c ca cb c，即证 c b c c a c ，即证cb ca ，即证： 0c b a ，因为,0a b c a b c ，故03c c c c ，故0c ，因为b a ，故0b a ，故 0c b a ，故原不等式成立.变式训练3：已知0a b ，0c d .证明：（1）ac bd ；（2）a aa cb c.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】解：证明：（1）∵0a b ，0c ，∴0ac bc ，又0c d Q ，0b ，∴0bc bd ，故ac bd ；（2）由0c ，得0c ，又0a b ∵，∴0a c b c ，即110a c b c，又0a ∵，∴a aa cb c.考点三：不等式求解范围（一）例3．已知23a ，21b ，求2a b 的范围.【答案】225a b 【详解】解：23a ∵，426a ，又21b ∵，225a b .变式训练1：已知13a ，26b ，则23a b 的取值范围是________【答案】 16,12 【分析】由条件可得226a ，1836b ，然后可得答案.【详解】因为13a ，26b ，所以226a ，1836b 所以16<2312a b 故答案为：16,12 变式训练2：若23a b ，则b a 的取值范围是_________.【答案】(0,5)【详解】因为23a b ，故>0b a ，且32a ，所以55b a ，故05b a .故答案为：(0,5).变式训练3：若角, 满足2，则的取值范围是_________，的取值范围是__________．【答案】 ,2 ；,02【详解】由2，则2 ，2，2且0 ，所以2 ，02，所以的取值范围是 ,2 ，的取值范围是,02.故答案为： ,2 ；,02考点四：不等式求解范围（二）例4．已知23a ，21b ,则2a b 的范围___________2a b 的范围___________.【答案】(2,5)；4,7【详解】由23a ，可得426a ，又由21b ，所以4(2)26(1)a b ，即225a b ，所以2a b 的范围(2,5)；由21b ，可得12b ，所以224b ，又由23a ，所以22234a b ，即427a b ，所以2a b 的范围 4,7.变式训练1：已知实数x ，y 满足023x y ，21x y ，则45x y 的最大值是________.【答案】13【详解】解：令 452x y m x y n x y ，解得：3m ，2n ，又023x y ∵，21x y ，24513x y ，即45x y 的最大值是13.故答案为：13.变式训练2：已知13a b ，则a b 的取值范围是_________，ab的取值范围是________．【答案】 2,6；1,13【详解】13a b ∵，即1a b ，3a b ，13a a b b ，又12a ，36b ，26a b ；又1113b a ，13a a b ，又133a ，113a b.综上所述：a b 的取值范围为 2,6；a b 的取值范围为1,13.故答案为： 2,6；1,13.变式训练3：已知14x y ，23x y ，则x 的范围是_________，32x y 的范围是________．【答案】17,22 ；323,22【详解】14x y ∵，23x y ，两个不等式相加可得127x ，解得1722x ，设 32 x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n ，解得52m ，12n ，因为 551022x y， 13122x y ，由不等式的基本性质可得3233222x y .故答案为：17,22；323,22.【过关检测】1、若0a b ，则下列不等式中，不能成立的是（）A．11a bB．11a b aC．a bD．22a b 【答案】B 【详解】若0a b ，则110b aa b ab ，即11a b，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ，即11a b a，B 不成立；a b ，C 成立；22a b ，D 成立；故选：B2、如果,a b 那么下列说法正确的是（）A．ac bc B．22ac bc C．ac bcD．0b a 【答案】D 【详解】因为a b ，不等式两边同时减去a 得0b a ，D 正确，若0c =，则AB 错误，若0c ，C 错误．故选：D．3、已知,,a b c R ，且a b ，那么下列各式中正确的是（）A．1abB．11a bC．22ac bc D．33a b 【答案】D 【详解】对于A 选项：举反例1,1a b ，则11ab，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ，则,1111a b，所以11a b ，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ，所以22a c b c ，则C 不成立；对于D 选项： 2332221324a b a b a ab b a b a b b∵a b ，∴0a b 又∵2213024a b b∴330a b ，即33a b .则D 成立故选：D.4、已知,a b R ，满足0ab ，0a b ，a b ，则（）A．11a bB．0b a a bC．22a b D．a b【答案】C 【详解】因0ab ，a b ，则a>0，b<0，110,0a b，A 不正确；0,0b a a b ，则0b aa b ，B 不正确；又0a b ，即0a b ，则22()a b ，22a b ，C 正确；由0a b 得||a b ，D 不正确.故选：C5、下列命题中，正确的是（）A．若a b ，则11a bB．若ac bc ，则a b C．若22a bc c ，则a b D．若a b ，cd ，则ac bd【答案】C 【详解】对于A，当1a ，1b 时，满足a b ，但不满足11a b，故A 不正确；对于B，当0c 时，由ac bc 可得a b ，故B 不正确；对于C，若22a b c c ，则2222a b c c c c，即a b ，故C 正确；对于D，当4,1a b ，1,2c d 时，满足,a b c d ，但是42ac bd ，故D 不正确.故选：C6、若,,a b c 为实数，且0a b ，则下列命题正确的是（）A．22ac bc B．11a bC．b a a bD．22a ab b【答案】D 【详解】对于A，当0c =时，220ac bc ，A 错误；对于B，当2a ，1b 时，112a ，11b ，此时11a b，B 错误；对于C，220b a b a a b ab∵，b a a b ，C 错误；对于D，0a b Q ，0a b ， 20 a ab a a b ， 20ab b b a b ，22a ab b ，D 正确.故选：D.7、下列说法不正确的是（）A．若..a b m 都是正数，则a m ab m b B．若0c a b ，则a bc a c bC．若...a b c d 都是正数，且bc ad 则a a c cb b d dD．若0.0a b c d ，则a b c d【答案】A 【详解】A 中，由a mb b m a b a m a m a b m b b m b b m b ，当b a 时，a m ab m b，故A 错；B 中，由 0a c b b c a ac ab bc ab a b c 所以 a c b b c a 则a bc a c b，故B 正确；C 中，由 0a b d b a c ab ad ab bc ad bc ，则 0a b d b a c 所以 a b d b a c 得a c ab b d ；由 0acd b d c ad cd bc dc ad bc 所以a c db dc 即a c c b dd ，所以a a c cb b d d，C 正确；D 中，由0.0a b c d 所以ad bc ，则a bc d，D 正确故选：A8、对于任意实数,,,a b c d ，有下列结论：①若a b ，0c ，则ac bc ；②若a b ，则22ac bc ；③若22ac bc ，则a b ；④若a b ，则11a b其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C 【详解】对于①：若a b ，0c ，则ac bc ；故①错误；对于②：若a b ，=0c 则22=ac bc ；故②错误；对于③：若22ac bc ，则0c ，所以210c ，把22ac bc 乘以21c ，得：a b .故③正确；对于④：若a b ，取a=1，b=-1，此时11a b；故④错误.故选：C9、若1,2 a b ，则a b 的取值范围是（）A． 3 ，B． ,3 C． 3 ，D．3 ，【答案】C 【详解】因为1,2 a b ，所以3a b ，即a b 的取值范围是 3 ，．故选：C．10、角,x y 满足22x y，则x y 的取值范围是（）A． ,0 B． , C．(,0)2D．(,)22【答案】A 【详解】因为22x y，则22y ，所以2222x y，即x y ，又0x y ，所以0x y .故选：A.11、设，满足180180 ，则的取值范围是（）A．3600 B．180180 C．1800 D．360360【答案】A 【详解】∵ ，满足180180 ，∴180180 ，180180 ，∴180180 ，∴180180180180 ，∴360360 ，∵ ，∴0 ，∴3600 ，故选：A12、已知13,24a b ，则2a b 的取值范围是（）A．624a b B．0210a b C．422a b D．521a b 【答案】A因为13,24a b ，可得226,42a b ，所以24262a b ，即624a b ；故选：A.13、已知实数,x y 满足322,124,x y x y 则（）A．x 的取值范围为(1,2) B．y 的取值范围为(2,1) C．x y 的取值范围为()3,3 D．x y 的取值范围为(1,3)【答案】ABD 【详解】因为124x y ，所以2428x y .因为322x y ，所以5510x ，则12x ，故A 正确；因为322x y ，所以6244x y .因为124x y ，所以421x y ，所以1055y ，所以21y ，故B 正确；因为322124x y x y ，，所以9361142,2555555x y x y（）（），则22x y ，故C 错误；因为322124x y x y ，，所以213331222555555x y x y（），（），则13x y ，故D 正确.故选：ABD.14、已知660a ，1518b ，则下列正确的是（）A．1,43a bB． 21,78a b C．9,42a b D．739,59a b b【答案】AB因为660a ，1518b ，所以1111815b ，1815b ，则6601815a b ，6156018a b ，6186015a b ，即143a b ，2178a b ，1245a b ，则41,53a b a b b；故AB 正确，CD 错.故选：AB.15、已知实数,x y 满足13,429x y x y ，则（）A．14x B．21y C．2415x y D．163x y 【答案】AC 【详解】因为13,429,3312x y x y x ，所以14x ，A 正确；因为6222429x y x y，所以2311y ，解得11233y ，B 错误；因为 422x y x y x y ， 226,429x y x y ，所以2415x y ，C 正确；12233x y x y x y， 11821,263333x y x y ，所以51933x y ，D 错误.故选：AC.16、已知14,263x y x y ，则34z x y 的取值范围是________________.【答案】[0,11]；【详解】解： 3426z x y x y x y ，因为14,263x y x y ，所以 228x y ，所以 02611x y x y ，故答案为:[0,11]17、已知122,34a b a b ，则4a b 的取值范围是____________.【答案】(5,10)【详解】解：令4(2)()(2)()a b m a b n a b m n a m n b ，则241m n m n ，解得12m n，所以4(2)2()a b a b a b ，因为34a b ，所以62()8a b ，因为122a b ，所以1622()28a b a b ，所以5410a b ，所以4a b 的取值范围为(5,10)，故答案为：(5,10)18、已知14,24x y x y ，则32x y 的取值范围是_____．【答案】3(,12)2【详解】设,x y m x y n ，因此得：,22m n m nx y，14,24m n ，532322222m n m n m nx y，因为14,24m n ，所以5510,12222m n，因此3512222m n ，所以332122x y.故答案为：3(,12)219、若810x ，24y ，则2x y 的范围是___________，xy的范围是___________．【答案】 12,18； 2,5【详解】因为810x ，所以16220x ，由24y 可得42y ，所以12218x y ，由24y 可得11142y ，因为810x ，所以25xy，所以2x y 的范围是 12,18，xy的范围是 2,5，故答案为： 12,18； 2,5.20、设46,12a b ，则aa b的取值范围是________（取值范围写成区间形式）【答案】(0,3)【详解】解：由12b ，得1112b，所以1112b，所以1111112b ，即11012b ，因为46a ，所以1140(162a b ，即03aa b，所以aa b的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)21、已知,,a b c R ，满足a b c .（1）求证：1110a b b c c a；（2）现推广：把1c a 的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a对任意a b c 恒成立，试写出一个p ，并证明之.【答案】（1）证明见解析；（2）2p ，证明见解析.【详解】（1）由于a b c ，所以0a b ，0b c ，0a c ，要证1110a b b c c a，只需证明111()()0a c a b b c c a.左边111[()()](a b b c a b b c c a130b c a b a b b c（2）要使110p a b b c c a，只需11()()0pa c ab bc c a ，左边11[()()]()24p b c a ba b b c p p a b b c c a a b b c，所以只需40p 即可，即4p ，所以可以取2p ，3代入上面过程即可.22、（1）已知,a b c d ，求证：a c b d ；（2）已知,0a b ab ，求证：11a b；（3）已知0,0a b c d ，求证：a bc d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】证明：（1）因为,a b c d ，所以,a b c d .则a c b d .（2）因为0ab ，所以10ab.又因为a b ，所以1a b ab ab，即11b a ，因此11a b .（3）因为0c d ，根据（2）的结论，得110c d.又因为0a b ，则11a b c d，即a b c d.23、若0a b ，0c d ,||||b c （1）求证：0b c ；（2）求证：22()()b c a da cb d ；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c 所求式2()a db d ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d .【详解】（1）因为||||b c ，且0,0b c ，所以b c ，所以0b c .（2）因为0c d ，所以0c d ．又因为0a b ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ．所以22()()0a c b d ．所以22110()()a c b d，因为,a b d c ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c ．所以0a d b c ，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d .（3）因为0b c ，22110()()a c b d，所以22()()b c b ca cb d ，因为0b c a d ，210()b d ，所以22()()b c a db d b d ，所以222()()()b c b c a da cb d b d .所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d 满足题意.24、设27a ，12b ，求 a b ， a b ，ab的范围．【答案】19a b ，46a b ，27ab．【详解】∵27a ，12b ，∴19a b ，21b ，1112b，∴46a b ；当20a 时，02a ，则02a b ，所以20ab；当0a 时，0ab；当07a 时，07a b，综上，27a b ，故19a b ，46a b ，27a b．25、实数,a b 满足32a b ，14a b ．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b 的取值范围．【答案】（1）23a ，7322b；（2）43211a b ．【分析】（1）直接利用不等式的性质即可求得a ，b 的取值范围；（2）设32()()a b m a b n a b ，求解m ，n 的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得32a b 的取值范围．【详解】（1）由32a b ，14a b ，两式相加得，426a ，则23a ，由14a b ，得41a b ，又32a b ，两式相加得，723b ，即7322b ；（2）设 32a b m a b n a b m n a m n b ，则32m n m n ，解得1252m n，∴ 153222a b a b a b ，∵32,14a b a b ，∴ 31551,102222a b a b ，则43211a b ．。

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块02-不等式的性质及基本不等式

模块二：不等式的性质及基本不等式1、不等关系与不等式
3）常见的文字语言转化为符号语言的对应关系：
2、实数大小比较的依据
3、等式的性质
4、不等式的性质
2、基本不等式
（1）重要不等式：()222,R a b ab a b +≥∈
对任意实数a ，b ，都有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：
（2）基本不等式
如果0a >，0b >
2
a b
+≤
，当且仅当a b =是，等号成立．其中
2
a b
+叫做正数a ，b
叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）基本不等式与重要不等式的区别与联系
（4）基本不等式变形
（5）最值定理
（6）基本不等式拓展
1）三元基本不等式
2）n元基本不等式
【课本优质习题汇总】新人教A版必修一P43
新人教A版必修一P58
新人教B版必修一P60
新人教B版必修一P80
新人教B版必修一P81
新人教B版必修一P84
新人教B版必修一P85
新人教B版必修一P86。

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不等式
要求层次
重难点
基本不等式：
2
a b
ab +≥（,0a b ≥）
C
用基本不等式解决简单的最大（小）值
问题
不等式
要求层次重难点
一元二次不等式
C
解一元二次不等式
版块一．不等式的性质
1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．
2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立．
知识内容
高考要求
模块框架
不等式
3．两个实数的大小比较：
对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．
作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．
其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．
4．不等式的性质：性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >．性质3：如果a b >，则a c b c +>+．推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等
式的一边移到另一边．
推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．
我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向．推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．
实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1a
b
>，且0b <，
则a b <．
推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ．
推论3：如果0a b >>,1)n n +>∈>N
<教师备案>1．对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；
0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反
映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．
在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．
2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断
它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．
3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．
版块二．均值不等式
1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数）
，那么
2
a b
+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
2．对于任意两个实数,a b ，2
a b
+叫做,a b
,a b 的几何平均值．
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可
以先进行
转化，再运用均值不等式；
⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否
则不能由
均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．
⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ，且交半圆于点C ；
⑶连结,,AC BC OC ，则2
a b
OC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥
∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，
有2
a b
OC CD +=>
当且仅当a b =时，,O D
两点重合，有2
a b
OC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），
2
2112a b a b +⎝⎭+
≥
2
a b +称为算术平均数，
2
11a b
+称为调和平均数．
证明：()2
22
1024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥ C
O D
B
A
∴2
2
2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、
，∴
2
a b
+，当且仅当“a b =”时等号成立．
2
2
1024a b +-=⎝⎭
Q ≥
∴2
2a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．
∵2
2104-=⎝⎭
≥
∴2⎝⎭
，当且仅当“a b =”时等号成立．
∴2211ab a b a b
==
+
+=
0=
∴2
11a b
+，当且仅当“a b =”时等号成立．
了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．
板块三．解不等式
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：
注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过
根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．
2．解不等式
⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为2
0ax bx c ++>或2
0 (0)ax bx c a ++<>的形
式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；
⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．。