随机延迟微分方程SST方法的稳定性_唐占涛_苏欢_丁效华
中立型随机延迟微分方程θ-方法的均方稳定性
中立型随机延迟微分方程θ-方法的均方稳定性王文强【摘要】讨论θ-方法用于求解非线性中立型随机延迟微分方程初值问题时数值解的稳定性,给出了θ-方法均方稳定的一个充分条件.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)002【总页数】5页(P10-14)【关键词】中立型随机延迟微分方程;θ-方法;均方稳定【作者】王文强【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】O175.13随机延迟微分方程数值方法的稳定性研究是一件很有意义的工作,近年来已经开始受到越来越多的学者关注,相关的研究成果逐渐多起来.文献[1]提出了随机延迟微分方程Milstein方法.文献[2]建立了数值方法的均方稳定性(MS-稳定性)概念，证明了当线性标量系统的真解是均方稳定时，Euler-Maruyama方法的数值解是MS-稳定的.文献[3]研究了带有延迟项的随机微分方程半隐式Milstein数值方法的稳定性,通过对数值方法应用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了半隐式Milstein方法MS-稳定与GMS-稳定的条件.文献[4]运用Halanay-type理论，对常系数线性随机延迟微分方程给出了Euler-Maruyama方法均方稳定的判别准则.文献[5]研究了一类带有延迟项的线性随机延迟微分方程Milstein数值方法的稳定性,通过对数值方法应用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了Milstein方法MS-稳定的条件.文献[6]研究了改进的Milstein方法在有限区间上对随机延迟微分方程的分片近似的相关结论.文献[7-12]研究了随机延迟微分方程不同数值方法的均方稳定性与收敛性.文献[13]研究了中立型非线性随机延迟微分方程单步方法的均方收敛性.文献[14]进一步研究了中立型非线性随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方稳定性.笔者主要讨论非线性中立型随机延迟微分方程初值问题，给出了θ-方法均方稳定的一个充分条件.设(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是完备的概率空间，滤子{Ft}t≥0满足通常条件,即它们是右连续的且每一个Ft都包含所有的零概率集.考虑下列中立型随机延迟微分方程初值问题：其中：实常数τ>0；W(t)是一维标准Wiener过程；初始函数φ是Hölder连续的，即存在常数γ>0,L>0,使当t,s∈[-τ,0]时，有E(|φ(t)-φ(s)|p)≤L|t-s|pγ,p=1,2；映射f:[0,+∞)×R×R→R和g:[0,+∞)×R×R→R充分光滑且满足∀和其中L,K1,K2均为常数，x∨y=max(x,y),且存在常数λ∈(0,1),对任意x,y1,y2∈R,有|N(y1)-N(y2)|≤λ|y1-y2|,此时方程(1)存在唯一强解X(t).将θ-方法用于数值求解初值问题(1)，得到这里：θ是数值方法相应的参数且0≤θ≤1；正整数m≥1,步长h=；tk=kh；Wiener增量ΔWk=W(tk+1)-W(tk)是一列服从N(0,h)正态分布且相互独立的随机变量；Xk是真解的值X(tk)的逼近，且当l≤0时有Xl=φ(lh).定义1[15] 如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当‖φ‖<δ时，对于任意t≥0有E(|X(t)|p)<ε，并且存在δ0>0,使得对于一切满足‖φ‖<δ0的初始函数φ，有成立，这里p∈Z+,那么称方程(1a)的零解X(t)是p阶矩渐近稳定的.特别地，如果p=2，那么称方程(1a)的零解X(t)是均方渐近稳定的.定义2[1] 一个数值方法用于求解问题(1)时所获数值解序列记为{Xk}.如果存在常数h0>0，使得当积分步长h<h0且h=时(m为正整数),恒有那么称该数值方法是均方稳定(MS-稳定)的.为了方便讨论，下文中引入记号).引理1 用θ-方法求解初值问题(1)所得的数值解{Xk}满足下列不等式：证明由Yk=Xk-N(Xk-m)和(3)式,可得同理可得将(6)式代入(5)式，有(7)式两边平方，利用Cauchy不等式得(8)式两边取数学期望，并注意到当l≤0时，有Xl=φ(lh)，则引理1的结论得证.作为一种特殊情形，根据文献[15]中推论6.8容易得到下面的结论：定理1 如果方程(1a)满足下列条件：(ⅰ) 存在2个正数λ1,λ2，使得对任意的x,y∈R,有(ⅱ) 0<λ<,λ1>.那么方程(1)的零解是均方渐近稳定的.将定理1稍加修改，可以得到下面的结论：引理2 如果方程(1a)满足下列条件：(ⅰ) 存在2个常数μ1>0,μ2≥0，使得对任意的x,y∈R,有(ⅱ)那么方程(1)的零解是均方渐近稳定的.证明根据三角不等式知|x|2=|x-N(y)+N(y)|2≤(|x-N(y)|+|N(y)|)2≤(|x-N(y)|+λ|y|)2.根据Cauchy不等式知因此联立(2),(9)，(11)式可得根据定理1联立(10)和(12)式即知结论成立.引理3 如果0<x<,那么下列不等式成立:证明将不等式(13)恒等变形得>,或(1-2x)2(1+x)(1+x2)-(1-x)<0,即5x4+x2+x-2<0.令f(x)=5x4+x2+x-2,则且<0,因此函数f(x)在区间[0,]单调递减且<0,从而不等式(13)成立.将不等式(14)恒等变形得>,或(1-2x)2(1+x)(1+2x-x2)-(1-x)<0,即当0<x<时,(15)式显然成立.因此不等式(14)成立.下面给出关于数值方法稳定性分析的结论.首先记定理2 当步长h<h0时，如果方程(1)满足条件(9)和(10),那么有证明由格式(4)得(16)式两边同时平方,移项整理得因此注意到E(ΔWk)=0,E[(ΔWk)2]=h,而且Xk,Xk-m都是Ftk可测的，因此容易得到又根据已知条件(9)得根据数学期望的性质和(2)式知将(18),(19)和(20)式代入(15)式取数学期望得或根据引理1的结论整理(21)式可得其中ρ1(h;θ,λ,μ1,μ2,K1,K2)=(2(1-θ)2K1h+μ2+2K2)+1-(1-θ)μ1h.注意常数λ∈(0,1/2)，联立(22)式易知其中σ1(h;θ,λ,μ2,K1,K2,S)=(1+λ2)S(2(1-θ)2K1h+μ2+2K2).根据引理3和(10)式可得μ1>,则当h<h0时，有0<<1.记ρ=,σ=,则由(23)式递推可得记M=max(ρ,λ)<1,则由(24)式进一步可得定理3 当步长h<h0时，如果方程(1)满足条件(9)和(10),那么θ-方法(4)是MS-稳定的.证明由Xk=Yk+N(Xk-m)和Cauchy不等式,可得(25)式两边取数学期望有又根据定理2的结论，对(26)式两边同时取极限得而根据条件(10)知2λ2<,因此结论得证.【相关文献】[1] HU Yaozhong,SALAH-ELDIN A MOHAMMED,YAN Feng.Discrete-Time Approximations of Stochastic Delay Equations:The Milstein Scheme[J].The Annals ofProbability,2004,32(1A):265-314.[2] CAO Wanrong,LIU Mingzhu,FAN Zhencheng.MS-Stability of the Euler-Maruyama Method for Stochastic Differential Delay Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2004,159:127-135.[3] CAO Wanrong.The Convergence and Stability of Some Numerical Methods for Stochastic Differential Delay Equation[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2004. [4] CHRISTOPHER T H BAKER,EVELYN BUCKWAR.Exponential Stability in p-th Mean of Solutions,and of Convergent Euler-Type Solutions,of Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2005,184:404-427. [5] WANG Zhiyong,ZHANG Chengjian.An Analysis of Stability of Milstein Method for Stochastic Differential Equations with Delay[J].Computers and Mathematics with Applications,2006,51:1 445-1 452.[6] NORBERT HOFMANN,THOMAS MÜLLER-GRONBACH.A Modified Milstein Scheme for Approximation of Stochastic Delay Differential Equations with Constant TimeLag[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,197:89-121.[7] WANG Wenqiang,HUANG Shan,LI Shoufu.Mean-Square Stability of Euler-Maruyama Methods for Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[J].Mathematica Numerica SINICA,2007,29(2):217-224.[8] WANG Wenqiang,LI Shoufu,HUANG Shan.Convergence of Semi-Implicit Euler Methodsfor Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Yunnan University:Natural Sciences Edition,2008,30(1):11-15.[9] WANG Wenqiang.Convergence and Stability of Several Numerical Methods for Nonlinear Stochastic Delay Differential Equations[D].Xiangtan:Xiangtan University,2007.[10] LUO Jiaowan.A Note on Exponential Stability in p-th Mean of Solutions of Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and AppliedMathematics,2007,198(1):143-148.[11] RATHINASAMY A,BALACHANDRAN K.Mean-Square Stability of Milstein Method for Linear Hybrid Stochastic Delay Integro-Differential Equations[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2008，2(4)：1 256-1 263.[12] ZHANG Haomin,GAN Siqing.Mean Square Convergence of One-Step Methods for Neutral Stochastic Differential Delay Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2008,204(2):884-890.[13] ZHANG Haomin,GAN Siqing,HU Lin.The Split-Step Backward Euler Method for Linear Stochastic Delay Differential Equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,225(2):558-568.[14] WANG Wenqiang,CHEN Yanping.Mean-Square Stability of Semi-Implicit Euler Method for Nonlinear Neutral Stochastic Delay Differential Equations[J].Applied Numerical Mathematics,2011(61):696-701.[15] MAO Xuerong.Stochastic Differential Equations and theirApplications[M].Horwood:Chichester,1997.。
随机延迟微分方程随机θ方法的几乎处处指数稳定
Ｘｔ ＝誊＋Ａ — Ｕ ＋Ｍｔ ｔ ｔ
如果 ｌ Ａ ｉ ～ ＜ｏ ， 么对 于几乎 所有 （ ∈Ｑ，ｉ Ｘ ＜∞ ｌ ｉ ｍ ｏ ａ 那 Ｅ ， ｌ ａ ｒ 和 ｉ＿ ｍ ＿ ＜∞， ￣Ｕ 也就是 ， 和 都 置
收敛到 有 限的随机 变量 。 我 们考虑 ｎ维 的随机延 迟微分 方程 ｆｘ ｔ ＝ ｄ （） （） （ 一下 ） ｆ （ ｔ ， ｔ ） ｄ ｔ ， ≥ ０ ｔ ， ｔ ） ｄ ＋ｇ （ ） （ —下 ） ｗ（） ｔ ，、 ，
４ ２
（） ２
下 面是本 篇文 章 的主要结 果 ， 先 给 出解析 解 的稳 定 性 结果 ， 后 给 出方 程 （ ） 随机 ０方 法 ， 且 应 用 首 之 １的 并
半鞅 收敛 定理 来证 明这个 方法得 到 的数值解 是几 乎处 处指 数稳定 的 。
２ 解析解和数值解的稳定性
解 研 究。
基金项 目： 黑龙江省教 育厅青年 骨干项 目（ １５ ０ １ 。 １５ Ｇ ０ ）
中图分类号 ：Ｎ １． 文献标 识码 ： 文章编号 ：０５ ０ ６ （０ ２ ０ — ０ ２ ０ 收稿 日期 ： １一 １ ０ Ｔ ９ １８ Ａ ２ ９ — ０ ３ ２ １ ）３ ０ ４ — ５ ２ ２Ｏ—１ ０
１ 引言与预备
在这篇文章不做特别的说明， 我们令 Ｉ Ｉ 是欧几里得范数 ， （ Ｆ， ） 令 Ｑ， Ｐ 是完备 的概率空间， 并具有
满足通常条件的代数流 ｛ ｝ 。 引理 １ ］对于 ｔ ０ 令 Ａ ｔ， （） ： Ｅ ２ ， （） Ｕ ｔ 是两个 可测的增过程 ， 并且 Ａ ０ ＝ （ ） ．．令 Ｍ（） （ ） ｖ ｏ ＝０ ｓ ， ａ ｔ 是 实值的局部鞅 ， 并且 Ｍ（ ） ０ ．． 令 是非负 可测的随机变量。假设 Ｘ ｔ 是非负并且对于 ｔ ０ ０ ＝ ａＳ ， （） 有 Ｘ（） ＋Ａ ｔ ｔ＝ （）一Ｕ（）＋Ｍ（） 如果 ｌ ｔ ＜ｏａ ， 么对 于几乎所 有 的 ∞ ∈ ｎ， ｔ ｔ。 ｉ ．Ａ（） ｍ＋ ｏ 那 有
延迟微分方程θ—方法的稳定性
延迟微分方程θ—方法的稳定性
刘明珠;储钟武;李晓波;刘开昌
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】1993(5)2
【摘要】本文给出了延迟微分方程数值解的稳定性分析。
重点解决了单腿θ—方法和线性θ—方法用于求解线性检验方程U(t)=λ(t)U(t)+μ(t)U(t-τ),其中τ>0,λ、μ是从实数域到复数域上的函数,证明了当0<θ<1时两种方法都是不稳定的;而当θ=1时是稳定的。
【总页数】7页(P57-63)
【关键词】稳定性;θ-方法;微分方程;初值问题
【作者】刘明珠;储钟武;李晓波;刘开昌
【作者单位】哈尔滨工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.非线性随机延迟微分方程θ-Heun方法的稳定性 [J], 蒋茜;张引娣;王彩霞
2.随机变延迟微分方程平衡方法的收敛性和稳定性 [J], 包学忠;胡琳;郭慧清
3.随机延迟微分方程θ-Heun方法的T-稳定性 [J], 蒋茜;张引娣;王彩霞
4.延迟微分方程扩展梯形方法的延迟依赖稳定性 [J], 陈婕;吴世枫
5.带Neumann边界条件的延迟泛函偏微分方程线性θ-方法的稳定性 [J], 陈永堂;王琦
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随机延迟微分方程SST方法的稳定性_唐占涛_苏欢_丁效华
2 〈x1 － x2 ， f（ x1 ， y， t） － f（ x2 ， y， t） 〉 ≤λ | x1 － x2 |
（ 3）
（ 4）
其中 λ ＞ 0 为常数。 本文将通过 SST 方法对方程（ 1 ） 进行离散， 并证明 SST 数值解的相应稳定性定理。
1
预备知识
本节给出本文所用的符号记法。如未加特别声明， 本文均采用以下符号形式。 T |A| = 令 | · | 表示 Ｒ 中的欧几里得范数。 若 A 为向量或者矩阵， 其转置表示为 A 。 当 A 为 矩 阵，
唐占涛， 苏 欢， 丁效华
（ 哈尔滨工业大学 （ 威海） 理学院，威海 264209 ）
摘 要： 在延迟随机微分方程领域， 随机分步 theta（ SST） 数值方法的应用成果较少。 研究随机 分步 theta（ SST） 方法应用于随机延迟微分方程 （ SDDEs ） 时的稳定性性质， 给出在线性增长条件及 SST 数值解能保持原方程真实解几乎必然指数稳定的一个充分条件。 数值 单边 Lipschitz 条件下， 模拟验证了所得结果的正确性及有效性 。 关键词： 几乎必然指数稳定性； 随机分步 theta（ SST） 方法； 随机延迟微分方程（ SDDEs） 中图分类号： O241． 8 文献标志码： A 文章编号： 1001 － 7011 （ 2014 ） 01 － 0013 － 08
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.
变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性
第50卷第6期2023年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)Vol.50,No.62023引用格式:刘琪,兰光强.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性[J].北京化工大学学报(自然科学版),2023,50(6):105-111.LIU Qi,LAN GuangQiang.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃depend⁃ent delay feedback control[J].Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science),2023,50(6):105-111.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性刘 琪 兰光强*(北京化工大学数理学院,北京 100029)摘 要:研究了变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)的指数稳定性㊂采用函数方法设置合适的变时滞反馈控制函数,得到了该系统的指数稳定性㊂对比已有的研究成果,本文的主要贡献是在变时滞反馈控制下对HNSDDEs 的指数稳定性作了进一步研究㊂最后,给出一个例子证明了结论的有效性㊂关键词:变时滞;混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs);反馈控制;指数稳定性中图分类号:O211.6 DOI :10.13543/j.bhxbzr.2023.06.013收稿日期:2022-09-05基金项目:北京市自然科学基金(1192013)第一作者:女,1998年生,硕士生*通信联系人E⁃mail:langq@引 言带有变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程(HNSDDEs)常被用于系统未来的建模,目前已经被广泛应用于种群生态㊁神经网络以及激光器动力学等领域㊂对于随机系统突然性的结构变化,常采用连续时间马氏链来描述,带有马氏链的随机延迟微分方程即为混合随机延迟微分方程㊂文献[1]具体研究了混合随机延迟微分方程,文献[2-4]则进一步考虑了其稳定性及有界性,文献[5-7]又扩展到了带中立项的混合随机延迟微分方程的稳定性研究㊂然而并非所有系统都是稳定的,因此设计一个合适的反馈控制使不稳定的系统变得稳定很有意义㊂相应地,文献[8-11]研究了系统稳定化问题㊂其中文献[8]研究了常时滞反馈控制的高阶非线性混合随机时滞微分方程的指数稳定性,文献[9]是在文献[10]的基础上进一步研究了变时滞反馈控制的HNSDDEs 的L p 渐进稳定性和H ∞稳定性㊂本文采用Lyapunov 函数方法,进一步研究了变时滞反馈控制下的HNSDDEs 的指数稳定性㊂文献[8]研究了常时滞反馈控制下的混合随机微分延迟方程的指数稳定性,其所涉及的时滞均为常量,本文进一步将常时滞推广到了函数时滞,并且将受控方程推广到了带有中立项的混合随机延迟微分方程,其难点在于找到时滞δ(t )的上界和利用引理2处理中立项㊂文献[9]研究了变时滞反馈控制的具有时变延迟的高度非线性HNSDDEs 的L p 渐近稳定性和H ∞稳定性,但缺少指数稳定性,本文则是通过进一步找到更合适的反馈函数确定了方程的收敛速度,即指数稳定性㊂1 基本假设与模型描述设(Ω,F ,{F t }t ≥0,P )是一个带有σ流(满足通常条件)的完备概率空间,{B (t )}t ≥0是定义在其上的m 维布朗运动,{r (t )}t ≥0是右连马氏链且独立于{B (t )}t ≥0,S ={1,2, ,N }是其状态空间,Γ=(γij )N ×N 是其生成算子㊂考虑变时滞反馈控制HNSDDEd ^x(t )=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(1)其中^x(t )=x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t )),且初值满足{x(θ):-τ≤θ≤0}=φ∈C([-τ,0];n)r(0)=r0∈S(2)其中f,g,N均为Borel可测函数,并且满足f:n×n×+×S→ng:n×n×+×S→n×mN:n×+×S→n加上反馈控制函数u之后系统变为d^x(t)=[f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+u(x(t-δ(t)),t,r(t))]d t+g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))㊃d B(t),t≥0(3)其中0≤δ(t)≤δ≤τ,0≤τ(t)≤τ㊂假设f(0,0,t,i)=N(0,t,i)≡0,g(0,0,t,i)≡0V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)为方便起见,简记^x=x-N(y,t,i)㊂对V(x,t,i)∈C2,1(n×+×S;+)定义如下算子LL V(x,y,t,i)=V t(^x,t,i)+V T x(^x,t,i)f(x,y,t, i)+12trace[g T(x,y,t,i)V xx(^x,t,i)g(x,y,t,i)]+∑j∈sγij V(^x,t,j)(4)为得到本文主要结论,提出以下假设㊂假设1 对任意l>0,存在K l>0,使得对任意i∈S,t∈+,且|x|∨|x|∨|y|∨|y|≤l,满足|f(x,y,t,i)-f(x,y,t,i)|∨|g(x,y,t,i)-g(x,y,t,i)|≤Kl(|x-x|+|y-y|)(5)假设2 存在K>0,m1>1,m2≥1,使得对∀x, y∈n,i∈S,t∈+,有|f(x,y,t,i)|≤K(|x|m1+|y|m1+1)|g(x,y,t,i)|≤K(|x|m2+|y|m2+1)(6)假设3 系统(3)中的时滞函数τ:+→[0,τ]满足τ′(t)=dτ(t)d t≤τ<1,t≥0(7)系统(3)反馈控制函数中的δ:+→[0,δ]满足δ′(t)=dδ(t)d t≤δ<1,t≥0(8)假设4 存在κ∈(0,1)使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有|N(x,t,i)-N(y,t,i)|≤κ(1-τ)|x-y|(9)并且N(0,t,i)≡0㊂假设5 存在常数c1,c2,c3,c4>0,c2>c3+c4和函数V∈C2,1(n×+×S;+),U1,U2∈C(×[-τ,+∞];+),使得对∀x,y∈n,i∈S,t∈+,有U1(x,t)≤V(x,t,i)≤U2(x,t)L V(x,y,t,i)+V x(x-N(y),t,i)u(z,t,i)≤c1-c2U2(x,t)+c3(1-τ)U2(y,t-τ(t))+c4(1-δ)U2(z,t-δ(t))(10)由文献[7]可得如下引理㊂引理1 设假设1~4成立,且假设5对于U1(x,t)=|x|w成立,那么系统(3)有唯一的全局解,并且满足sup-τ≤t<∞E|x(t)|w<∞,w≥2(m1∨m2)由文献[5]中引理2.2以及式(9)可得引理2 若p≥1,则[1-κ(1-τ)]p-1[|x|p-κ(1-τ)|y|p]≤|x-N(y,t,i)|p≤[1+κ(1-τ)]p-1[|x|p+κ(1-τ)|y|p](11) 2 主要结论与证明定义片段过程x(t)={x(t+s):-2τ≤s≤0,0≤t≤2τ}同理定义r(t),且令r(s)=r(0),s∈[-2τ,0)x(s)=φ(-τ),s∈[-2τ,-τ{)令U∈C2,1(n×+×S;+)且满足lim|x|→∞inf(t,i)∈+×SU(x,t,i[])=∞对于t∈+,定义V(x(t),t,r(t))=U(^x(t),t,r(t))+ρ∫0-δ∫t t+s J(v)㊃d v d s(12)其中ρ>0,且J(t):=δ|u(x(t-δ(t)),t,r(t))+f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2+|g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))|2对于x,y∈n,i∈S,s∈[-2τ,0),设f(x,y,s,i)≡f(x,y,0,i)g(x,y,s,i)≡g(x,y,0,i)u(z,s,i)≡u(z,0,i)由伊藤公式可得d U(^x(t),t,r(t))=[U t(^x(t),t,r(t))+ U T x(^x(t),t,r(t))(f(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))+ u(x(t-δ(t)),t,r(t)))+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t,㊃601㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]d t+d B(t)(13)其中,B(t)是局部鞅,并且B(0)=0㊂整理式(13)得d U(^x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))d t+U T x(^x(t),t,r(t))[u(x(t-δ(t)),t, r(t))-u(x(t),t,r(t))]d t+d B(t)其中,l U(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))=Ut(^x(t),t, r(t))+U T x(^x(t),t,r(t))[f(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+u(x(t),t,r(t))]+∑j∈Sγj,r(t)U(^x(t),t,j)+ 12trace[g T(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))U xx(^x(t),t, r(t))g(x(t),x(t-τ(t)),t,r(t))]进而易得以下结论㊂引理3 V(x(t),t,r(t)),t≥0是伊藤过程,且有d V(x(t),t,r(t))=d B(t)+L V(x(t),t,r(t))㊃d t其中,L V(x(t),t,r(t))=l U(x(t),x(t-τ(t)),t, r(t))+ρδJ(t)-ρ∫t t-δJ(v)d v+U T x(^x(t),t,r(t))㊃[u(x(t-δ(t)),t,r(t))-u(x(t),t,r(t))](14)假设6 对于函数u:n×S×+→n,存在实数a i,a i,正数d i,d i和非负数b i,b i,e i,e i(i∈S),对于任意q1>1,p>2有x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|px T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q12|g(x,y,t,i)|2≤a i|x|2+b i|y|2-d i|x|p+e i|y|p且A1:=-2diag(a1,a2, ,a N)-ΓA2:=-(q1+1)diag(a1,a2, ,a N)-Γ是非奇异M矩阵(具体定义可参考文献[1]中的2.6部分),并有1>γ1,γ2>γ3,1>γ4,γ5>γ6(θ1,θ2, ,θN)T=A-11(1, ,1)T(θ1,θ2, ,θN)T=A-12(1, ,1)Tγ1=max i∈S2θi b i,γ2=min i∈S2θi d iγ3=max i∈S2θi e i,γ4=max i∈S(q1+1)θi b iγ5=min i∈S(q1+1)θi d i,γ6=max i∈S(q1+1)θi e i其中θi和θi是正数㊂需要注意的是,关于控制函数u的选取,考虑如下特殊情况x T f(x,y,t,i)+q-12|g(x,y,t,i)|2≤a(|x|2+ |y|2)-b|x|p+c|y|p其中a>0,b>c>0㊂由于|x|2,|y|2的系数均为正数,因此只能得到原方程的矩有界性,而得不到稳定性㊂此时可选取u(x,t,i)=Ax,其中矩阵A为实对称正定矩阵,且满足λmax(A)<-2a,从而x T[f(x,y,t,i)+u(x,t,i)]+q-12㊃|g(x,y,t,i)|2≤(λmax(A)+a)|x|2+a|y|2-b|x|p+c|y|p故加上控制项之后的系统指数稳定㊂假设7 存在U∈C2,1(n×+×S;+),H∈C(n;+),及常数0<α<1,0<β<λ,0<λ1,λ2,λ3,ρ1,ρ2,使得对任意的x,y∈n,i∈S,t∈+有l U(x,y,t,i)+λ1|U x(^x,t,i)|2+λ2㊃|f(x,y,t,i)|2+λ3|g(x,y,t,i)|2≤-λ|x|2+(1-τ)β|y|2-H(x)+(1-τ)αH(y)(15)其中,ρ1|x|p+q1-1≤H(x)≤ρ2(1+|x|p+q1-1)㊂假设8 存在λ4>0满足|u(x,t,i)-u(y,t,i)|≤λ4|x-y|(16)并且有u(0,t,i)=0㊂故有∀x∈n,u(x,t,i)≤λ4㊃|x|㊂定理1 令q∈[2,w),w≥2(m1∨m2)㊂若假设1~8成立,且常数满足κ(1-τ)<12δ≤λ1λ2(1-κ)(1-κ(1-τ))λ4∧2λ1λ3(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24∧(λ-β)(1-δ)λ1(1-κ)(1-κ(1-τ))λ24则对任意初值,存在ε>0使得系统(3)的解满足lim t→∞sup1t ln(E|x(t)|q)≤-εw-q w-2(17)其中ε=ε1∧ε2∧ε3∧ε4,ε1,ε2,ε3,ε4分别是以下4个方程的根㊃701㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性εδ+2(1-κ)(1-κ(1-τ))=1[εh 3ρ-11(1+κ(1-τ))p +q 1-2](κe ετ+1)+e ετα=1ε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ2e ετκ2(1-τ)2=1特别地,当q =2时有lim t →∞sup 1tln (E |x (t )|2)≤-ε(18)即满足均方指数稳定㊂证明:证明分为两步㊂1)第一步取k 0>0足够大使得‖φ‖:=sup -τ≤s ≤0φ(s )<k 0㊂定义σk =inf {t ≥0:|x (t )≥k |}(k ≥k 0),且inf ϕ=∞㊂由引理1和文献[7],当k →∞,则σk →∞,a.s.根据假设6再定义U (^x,i )=θi |^x |2+θi |^x |q 1+1(19)由伊藤公式有e εtEV (x (t ),t ,r (t ))=V (x (0),0,r (0))+∫te εs (εV (x (s ),s ,r (s ))+L V (x (s ),s ,r (s )))d s取h 1=min i ∈Sθi ,h 2=max i ∈S θi ,h 3=max i ∈Sθi ,结合式(12)可得h 1eε(t ∧σk )E |^x(t ∧σk )|2≤V (x (0),0,r (0))+∫t ∧σk0e εs E (L V (x (s ),s ,r (s )))d s +ερJ 1(t ∧σk )+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|q 1+1)d s (20)其中,J 1(t ∧σk )=E ∫t ∧σke ε(s∫0-δ∫ss +uJ (v )d v d )u ㊃d s ㊂对于式(20)中的E |^x(t ∧σk )|2结合基本不等式可得到E |x (t ∧σk )|2≤2E |^x(t ∧σk )|2+2κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2(21)对于式(20)中的L V (x (t ),t ,r (t ))结合式(14)和假设7有L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λ|x (t )|2+(1-τ)β㊃|x (t -τ(t ))|2-H (x (t ))+(1-τ)αH (x (t -τ(t )))-λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2-λ2|f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2-λ3|g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))|2+ρδJ (t )-ρ∫tt-δJ (v )d v +U T x (^x (t ),t ,r (t ))㊃[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]由假设8运用均值不等式可以得到U T x (^x (t ),t ,r (t ))[u (x (t -δ(t )),t ,r (t ))-u (x (t ),t ,r (t ))]≤λ1|U x (^x(t ),t ,r (t ))|2+λ244λ1㊃|x (t -δ(t ))-x (t )|2定义ρ=λ242λ1(1-κ)(1-κ(1-τ)),由定理1中δ满足的不等式知2ρδ2≤λ2,ρδ≤λ3㊂再由Hölder 不等式有E |x (t -δ(t ))-x (t )|2≤2E |^x(t )-^x (t -δ(t ))|2+2E |N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))-N (x (t -τ(t )-δ(t ),t ,r (t ))|2≤4E∫tt-δ[δ|u (x (v -δ(v )),v ,r (v ))+f (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2+|g (x (v ),x (v -τ(v )),v ,r (v ))|2]d v +2κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2所以有E L V (x (t ),t ,r (t ))≤-λE |x (t )|2+(1-τ)㊃βE |x (t -τ(t ))|2-EH (x (t ))+(1-τ)αEH (x (t -τ(t )))+2ρδ2λ24E |x (t -δ(t ))|2(+λ24λ1-)ρ㊃E∫t t -δJ (v )d v +λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (t -τ(t ))-x (t -τ(t )-δ(t ))|2(22)对于式(20)中的E |^x(t )|q 1+1有以下关系式E |^x(t )|q 1+1≤E |^x (t )|2+E |^x (t )|p +q 1-1(23)又由假设7有|x (t )|p +q 1-1≤ρ-11H (x (t ))(24)所以结合式(20)~(23)有12h 1e ε(t ∧σk )E |x (t ∧σk )|2≤Π1+Π2+Π3+∫t ∧σke εs (εh 2E |^x(s )|2+εh 3E |^x (s )|2+εh 3㊃E |^x(s )|p +q 1-1)d s +∫t ∧σke εs E [-λ|x (s )|2+(1-τ)㊃β|x (s -τ(s ))|2-H (x (s ))+(1-τ)αH (x (s -τ(s )))+2ρδ2λ24|x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1㊃|x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|2]d s(25)其中,Π1=h 1e ε(t ∧σk )κ2(1-τ)2E |x (t ∧σk -τ(t ∧σk ))|2Π2=V (x (0),0,r (0))㊃801㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年Π3=ερJ 1(t ∧σk )(+λ24λ1-)ρJ 2(t ∧σk )J 2(t ∧σk )=E∫t ∧σke ε[s∫ss -δJ (v )d ]v d s易得J 1(t ∧σk )≤δJ 2(t ∧σk )㊂取ε1为ε1ρδ+λ24λ1-ρ=0的唯一解,则由ρ的定义知,对任意0<ε≤ε1,有Π3≤0㊂结合式(11),令k →∞,结合式(24),式(25)化为12h 1e εt E |x (t )|2≤Π1+Π2+Π4+Π5(26)其中,Π1=h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2Π4=∫teεs{εh 3ρ-11[1+κ(1-τ)]p +q 1-2㊃[EH (x (s ))+κ(1-τ)EH (x (s -τ(s )))]-EH (x (s ))+(1-τ)αEH (x (s -τ(s )))}d sΠ5=∫te εs {ε(h 2+h 3)[1+κ(1-τ)]㊃[E |x (s )|2+κ(1-τ)E |x (s -τ(s ))|2]}d s +∫teε[s-λE |x (s )|2+(1-τ)βE |x (s -τ(s ))|2+2ρδ2λ24E |x (s -δ(s ))|2+λ4κ2(1-τ)22λ1E |x (s -τ(s ))-x (s -τ(s )-δ(s ))|]2d s对于Π2,由初值条件㊁假设2㊁假设8㊁引理2和式(12)得V (x (0),0,r (0))<∞,并且记为C 0,C 0为常数㊂对于Π4,根据假设3化简有Π4≤{[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ετ+1)+e ετα-1}∫te εs E [H (x (s ))]d s +e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]∫-τe εs E [H (x (s ))]d s取ε2为[ε2h 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11](κe ε2τ+1)+e ε2τα-1=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε2以及0<α<1即可满足Π4≤e ετ[εh 3(1+κ(1-τ))p +q 1-2ρ-11κ+α]㊃∫0-τe εs E [H (x (s ))]d s <∞(27)对于Π5,令ε3为ε3(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))(1+e ε3τκ)+βe ε3τ+2ρδ2λ24eε3 δ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ε3τ(1-τ-δ+e ε3δ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)=λ的唯一解,对任意0<ε≤ε3,有Π5≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24eεδ1-δ∫0-δe εs㊃E |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s [+ε(h 2+h 3)(1+κ-κτ)(1+e ετκ)+βe ετ+2ρδ2λ24eεδ1-δ+λ4κ2(1-τ)e ετ(1-τ-δ+e εδ(1-τ ))λ1(1-δ-τ)-]λ∫te εs E |x (s )|2d s ≤e [ετε(h 2+h 3)(1+κ(1-τ))κ+β+λ4κ2(1-τ)λ]1∫0-τe εs E |x (s )|2d s +2ρδ2λ24e εδ1-δ∫-δe εsE |x (s )|2d s +λ4κ2(1-τ)2e ε(τ+δ)λ1(1-δ-τ)㊃∫-δ-τe εs E |x (s )|2d s <∞(28)综上对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3,可得12h 1e εt E |x (t )|2≤h 1e εt κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+C 1(29)其中C 1是一个常数㊂2)第二步式(29)经过整理可以得到e εt E |x (t )|2≤2e ετe ε(t -τ(t ))κ2(1-τ)2E |x (t -τ(t ))|2+2C 1h 1,故有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2e ετκ2(1-τ)2sup 0≤s ≤t e εs ㊃E |x (s )|2+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖ϕ‖2由κ(1-τ)<12,令ε4为1-2e ε4τκ2(1-τ)2=0的唯一解,则对任意0<ε≤ε1∧ε2∧ε3∧ε4,有sup 0≤s ≤t e εs E |x (s )|2≤2C 1h 1+2κ2(1-τ)2e ετsup -τ≤s ≤0‖φ‖21-2κ2(1-τ)2e ετ:=C 2即当t ∈[0,∞)时,e εt E |x (t )|2≤C 2,即E |x (t )|2≤C 2e -εt ㊂对于任意的q ∈[2,w ),由Hölder 不等式得到㊃901㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性E |x (t )|q≤(E |x (t )|2)w - qw -2(E |x (t )|w)q -2w -2㊂由引理1知C 3:=E |x (t )|w <∞,故E |x (t )|q ≤C q -2w -23(C 2e -εt )w - qw -2≤C 4e -εt w - qw -2所以式(17)成立㊂特别地,当q =2时,有式(18)成立㊂3 例子考虑一维HNSDDEd[x (t )-N (x (t -τ(t )),t ,r (t ))]=f (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d t +g (x (t ),x (t -τ(t )),t ,r (t ))d B (t ),t ≥0(30)其中f (x ,y ,t ,1)=0.5x +y 3-6x 3f (x ,y ,t ,2)=x +y 3-4x3g (x ,y ,t ,1)=g (x ,y ,t ,2)=0.5y 2τ(t )=0.1(1-cos t ),N (y )=0.1y显然f ,g 不满足线性增长条件㊂令r (t )为一个连续的马氏链,状态空间S ={1,2},算子Γ=-22æèçöø÷1-1,B (t )为标准布朗运动且独立于r (t )㊂定义初值x (u )=0.2+cos u ,u ∈[-0.2,0],r (0)=2㊂由文献[10]可知系统(30)不稳定,以下将通过引入一个反馈控制函数使系统稳定㊂增加控制函数u (x ,t ,1)=-x ,u (x ,t ,2)=-2x ,增加控制函数后系统(3)的具体形式为 d[x (t )-0.1x (t -τ(t ))](=12x (t )+(x (t -τ(t )))3-6x (t )3-x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i (=1x (t )+(x (t -τ(t )))3-4x (t )3-2x (t - δ(t )))d t +12(x (t -τ(t )))2d B (t ),i ìîíïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïï=2其中δ(t )=τ(t )㊂以下验证假设1~8㊂假设1显然成立㊂令m 1=3,m 2=2,可知假设2成立㊂令λ4=2,可知假设8成立㊂假设3对如下常数成立:δ=τ=0.2,δ=τ=0.1,且假设4对κ=19成立㊂取U 1(x ,t )=V (x ,i ,t )=|x |6,U 2(x ,t )=2.2x 6+x 8,由Young 不等式可得L V (x ,y ,t ,i )+V x (x -N (y ),t ,i )u (z ,t ,i )≤sup x ∈(43x 6-0.229x 8)-8×U 2(x ,t )+589×(1-τ)×U 2(y ,t -τ(t ))+109×(1-δ)×U 2(z ,t -δ(t ))故假设5对c 1=sup x ∈(43x 6-0.229x 8)<∞,c 2=8,c 3=589,c 4=109成立㊂取p =4,q 1=3,可知假设6成立㊂取U (x ,t ,i )=2x 2+x 4,i =1x 2+x 4,i ={2,再由Young 不等式,令λ1=0.05,λ2=0.1,λ3=4可得l U (x ,y ,t ,i )+λ1|U x (^x(t ),t ,i )|2+λ2㊃|f (x ,y ,t ,i )|2+λ3|g (x ,y ,t ,i )|2≤-1.845|x |2+0.369(1-τ)|y |2-6(x 4+x 6)+0.955×(1-τ)×6(y 4+y 6)若令H (x )=6(x 4+x 6),λ=1.845,β=0.369,α=0.955,则假设7成立㊂根据定理1条件发现κ,τ取值合理,进而可以得到δ≤0.0576时,定理1所有条件成立,故对∀w ≥6,∀q ∈[2,w ),存在ε>0使得lim t →∞sup1t ln (E |x (t )|q )≤-εw -qw -2特别地,q =2时有lim t →∞sup1tln (E |x (t )|2)≤-ε㊂4 结论本文采用函数方法,受文献[5]的启发在多项式增长的条件下讨论了变时滞反馈控制下的HNS⁃DDEs 的指数稳定性㊂最后,用一个例子证明了结论的有效性㊂参考文献:[1] MAO X R,YUAN C G.Stochastic differential equations with Markovian switching[M].London:Imperial CollegePress,2006.[2] FEI W Y,HU L J,MAO X R,et al.Delay dependentstability of highly nonlinear hybrid stochastic systems[J].Automatica,2017,82:165-170.[3] FEI C,SHEN M X,FEI W Y,et al.Stability of highlynonlinear hybrid stochastic integro⁃differential delay equa⁃tions[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2019,31:180-199.㊃011㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年[4] HU L J,MAO X R,SHEN Y.Stability and boundednessof nonlinear hybrid stochastic differential delay equations [J].Systems &Control Letters,2013,62:178-187.[5] WU A Q,YOU S R,MAO W,et al.On exponential sta⁃bility of hybrid neutral stochastic differential delay equa⁃tions with different structures [J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2021,39:100971.[6] SHEN M X,FEI W Y,MAO X R,et al.Stability ofhighly nonlinear neutral stochastic differential delay equa⁃tions[J].Systems &Control Letters,2018,115:1-8.[7] SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Boundedness andstability of highly nonlinear hybrid neutral stochastic sys⁃tems with multiple delays[J].Science China Information Sciences,2019,62:202205.[8] LI X Y,MAO X R.Stabilisation of highly nonlinear hy⁃brid stochastic differential delay equations by delay feed⁃back control[J].Automatica,2020,112:108657.[9] 周之薇,宋瑞丽.变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的稳定性[J].井冈山大学学报(自然科学版),2022,43(3):6-14.ZHOU Z W,SONG R L.Stabilization of the hybrid neu⁃tral stochastic differential equations controlled by thetime⁃varying delay feedback [J].Journal of Jinggangshan University (Natural Science),2022,43(3):6-14.(in Chinese)[10]SHEN M X,FEI C,FEI W Y,et al.Stabilisation by de⁃lay feedback control for highly nonlinear neutral stochasticdifferential equations [J ].Systems &Control Letters,2020,137:104645.[11]CHEN W M,XU S Y,ZOU Y.Stabilization of hybridneutral stochastic differential delay equations by delayfeedback control[J].Systems &Control Letters,2016,88:1-13.Exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations with time⁃dependent delay feedback controlLIU Qi LAN GuangQiang *(College of Mathematics and Physics,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)Abstract :The exponential stability of hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs)with time⁃dependent delay feedback control has been ing the Lyapunov function method,the exponential sta⁃bility of the system can be obtained by setting an appropriate feedback control function with a variable ⁃pared with the existing research results,the results of this work increase our understanding of the exponential stabil⁃ity of HNSDDEs under the influence of variable delay feedback.Finally,an example is given to prove the validity of the conclusions.Key words :time⁃dependent delay;hybrid neutral stochastic differential delay equations (HNSDDEs);feedbackcontrol;exponential stability(责任编辑:吴万玲)㊃111㊃第6期 刘 琪等:变时滞反馈控制的混合中立型随机延迟微分方程的指数稳定性。
一类中立随机延迟微分方程解的指数稳定性
一类中立随机延迟微分方程解的指数稳定性
严良清;马丽
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(031)004
【摘要】文章研究了一类带Levy跳且带Markov状态转换的中立随机延迟微分方程数值解的指数稳定性,在局部Lipschitz、线性增长、压缩映射条件下,利用split-stepθ方法证明了带Levy跳和Markov状态转换的中立延迟微分方程解几乎处处指数稳定,从而推广了带Possion跳不带Markov状态转换的结果.
【总页数】8页(P397-404)
【作者】严良清;马丽
【作者单位】海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158;海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158
【正文语种】中文
【中图分类】O211.62
【相关文献】
1.带泊松跳的中立型随机时滞微分方程解的指数稳定性 [J], 卢俊香;王珊珊;付蓉
2.一类多时滞中立型随机微分方程的指数稳定性 [J], 张彩琴;刘桂荣
3.中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 王秋实; 兰光强
4.非线性中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 宋美玲; 胡良剑
5.中立型随机比例微分方程的数值解的指数稳定性（英文） [J], 程生敏;石班班
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t→∞
lim
1 log | x（ t， x（ 0 ） ） | ＜ 0 a． s．，x（ 0 ） ∈Ｒ n t
第1 期
唐占涛等： 随机延迟微分方程 SST 方法的稳定性
· 15 ·
成立， 则称方程（ 1 ） 的解是几乎必然指数稳定性的。 ［22 ］ 珔＞ 0 ， 定义 2 （ 数值解的几乎必然指数稳定性 ） 对方程 （ 1 ） 的数值解 x k 来说， 若存在常数 η 使得对任 n = － m， － m + 1， …， 0 意有界初始随机变量 ξ（ nΔ） ，
k→∞
lim
1 珔a． s． log | x k | ≤ － η kΔ
（ 6）
成立， 则称其为是几乎必然指数稳定的 。 ［18 ］ U（ t） 为两个 F t 相容的递增过程， 引理 1 （ 连续半鞅收敛定理） 令 A（ t） ， 其中 t ≥0 ， 且 A（ 0 ） = U（ 0 ） = 0 a． s．， 令 M（ t） 为实局部鞅且 M（ 0 ） = 0 a． s．， 令 ξ 为一非负 F0 可测随机变量。设 X （ t） 非负， 以及 X （ t） = ζ + A（ t） － U（ t） + M（ t） ，t≥0 若 lim A（ t） ＜ ∞ a． s．， 则对几乎所有 ω∈Ω，
F， P ） 为全概率空间， 同时令（ Ω， 其滤子为｛ F t ｝ t≥0 ， 满足通常条件： 滤子是右连续， 单增的且 F0 包含所有 null 集。B （ t） 为这一概率空间上的一维布朗运动 。 的 P定义 1 （ 几乎必然指数稳定性）
［22 ］
x（ 0 ） ） 如果对方程（ 1 ） 的平凡解 x（ t， （ 5）
b F0
f（ 0 ， 0， t） = g（ 0 ， 0， t） = 0 。同时作为一个全局假设， 给出如下的局部 Lipschtiz 条件。 g 满足如下局部 Lipschitz 条件， 令 f， 即对每个整数 j≥0 ， 均存在一个正常数 c j ， 使得下式成立 珋 珋 珋 珋 珋 珋 | f（ x， y， t） － f（ x ， y ， t） | ∨ | g（ x， y， t） － g（ x ， y ， t ） | ≤c j （ | x － x | + |y －y | ） ，t≥0 （ 2） n 珋 珋 珋 珋 y， x ， y |∨|y|∨|y | ≤j。 其中 x， ∈Ｒ ， 且|x|∨|x 假设 1 假设 2 令 f 满足线性增长条件： | f（ x， y， t ） | 2 ≤K （ | x | 2 + | y | 2 ） 其中 K ＞ 0 为常数。 假设 3 令 f 满足单边 Lipschitz 条件：
Stability of SST method for stochastic delay differential equations
TANG Zhantao， SU Huan， DING Xiaohua
（ School of Science，Harbin Institute of Technology （ Weihai） ，Weihai 264209 ，China）
Abstract： Given little literature on stochastic splitstep theta （ SST） method in stochastic delay differential equations （ SDDEs） ，this study will focus on the numerical stability of SST method for SDDEs． Sufficient condition under which SST method can reproduce the almost sure exponential stability of the exact solutions to stochastic delay differential equations are investigated with given linear growth condition and oneside Lipschitz condition． The numerical experiment confirms the correctness of the obtained theorem． Key words： almost sure exponential stability； stochastic splitstep theta （ SST ） method； stochastic delay differential equations （ SDDEs）
0
引
言
随机微分方程（ SDEs） 及随机延迟微分方程 （ SDDEs ） 的重要性广为人知。 但是由于绝大多数微分方程 ［1 ］ 难以显示求解 ， 故相应的关于 SDEs 及 SDDEs 的数值理论得到大量研究。 考虑到稳定性理论在数值分析 关于这两类方程数值稳定性理论的研究更是广受关注。 现已有大量关于 SDEs 数值解的 理论中的重要性， ［2 － 4 ］ 。对于 SDEs， 2］ Borel如 SDEs 的矩稳定性 文献［ 指出， 在一定条件下， 通过切比雪夫不等式、 研究成果， Cantelli 引理、 矩指数稳定性， 可以推出几乎必然指数稳定性。 具体到 SDDEs 数值理论的研究， 尽管发展迅速， 应用范围不断扩大， 但是由于起步较晚， 相应的理论研 在于解决基本数值方法的收敛性 究结果远没有 SDEs 数值理论的成果丰富。 SDDEs 数值理论研究的初衷，
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黑
龙
江
大
学
自
然
科
学
学
报
第 31 卷
5 － 6］ 7］ 问题。在此方面， 文献［ 研究了单步法的收敛性； 文献［ 研究了 SDDEs 的泰勒展开方法， 并用此方法 建立了多种数值格式， 包括显式欧拉法、 半隐式欧拉法以及 Milstein 方法， 同时研究了相应方法的收敛性与 8］ 9］ 相容性； 文献［ 则对 Milstein 方法进行了更为系统的研究； 文献［ 通过 Halanay 类型不等式研究了 SDDEs 10］ 数值方法的收敛性。对于 SDDEs 数值解的稳定性研究方面， 文献［ 研究了非线性中立型随机微分方程半 11］ 12 － 13］ 隐式 EULEＲ 方法的均方渐近稳定性； 文献［ 研究了 SDDEs 的矩稳定性； 文献［ 针对 SDDEs 构造 了分步向后欧拉法及改进的分步向后欧拉法 ， 并研究了方法的收敛性及均方稳定性 。 14 － 16］ 文献［ 则讨论在非全局 Lipschitz 条件下 SDDEs 数值解法的收敛性问题。 在 20 世纪 90 年代， Mao 发表了将确定性 LaSalle 定理推广到随机情况的一系列优秀论文［17 － 19］， 其以连续情形的半鞅收敛定理 将 LaSalle 定理进行了推广， 而对 SDEs 和 SDDEs 来说， 几乎必然渐近稳定性也可随之得到。 相应 为基础， ［20 ］ 21］ Wu，Mao 及 Szpruch 在文献 的， 通过离散半鞅收敛定理 ， 文献［ 研究了随机差分方程的稳定性。 最近， ［ 22］ Maruyama （ EM ） 方法在线性增长条件下 中通过离散半鞅收敛定理， 对随机延迟微分方程， 证明了 EulerEuler（ BE ） 方法在单边 Lipschitz 条件下的几乎必然指数稳定性。 至 的几乎必然指数稳定性， 以及 Backward此， 对于几乎必然指数稳定性的证明 ， 人们寻找到了一种新的更直接的证明途径 。 但是， 很多问题只靠 EM 法或者 BE 法不能解决， 因此， 发展更一般的能保持 SDDEs 真实解的几乎必然 Ding， Ma 以及 Zhang 在文献［ 23］ 指数稳定性的数值方法是必要的。2010 年， 中引入 SST 方法， 并研究了该 方法应用于 SDEs 时的收敛性问题。此后， 关于 SST 方法的文献结果一直不够丰富， 因此， 本文将 SST 方法 应用于 SDDEs， 研究该方法的稳定性， 在于扩大该方法的应用范围， 并获得 SST 方法保持 SDDEs 真实解几乎 必然指数稳定性的条件。 本文主要针对如下 SDDEs 进行分析： dx（ t） = f（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dt + g（ x（ t） ， x（ t － τ） ， t） dB （ t） ，t≥0 （ 1） n n n n 0］ ；Ｒ ）， g∈C（ Ｒ × Ｒ × Ｒ + ； Ｒ ） ， B （ t ） 为一维布朗运动。 方便起见， 其初始值为 x0 = ξ∈C （ ［－ τ， 且 f， 令
2 〈x1 － x2 ， f（ x1 ， y， t） － f（ x2 ， y， t） 〉 ≤λ | x1 － x2 |
（ 3）
（ 4）
其中 λ ＞ 0 为常数。 本文将通过 SST 方法对方程（ 1 ） 进行离散， 并证明 SST 数值解的相应稳定性定理。
1
预备知识
本节给出本文所用的符号记法。如未加特别声明， 本文均采用以下符号形式。 T |A| = 令 | · | 表示 Ｒ 中的欧几里得范数。 若 A 为向量或者矩阵， 其转置表示为 A 。 当 A 为 矩 阵，
trace（ A T A） 表示其迹范数。 当 A 为对称阵， 0， 则其最大特征值由 λ max （ A ） 表示。 令 Ｒ + = ［ τ ＞ 0， ∞） ， 槡
n C（ ［－ τ， 0］ ， Ｒ n ） 表示所有从［－ τ， 0］ 到 Ｒ 的连续函数所组成的类， 其范数定义为 ‖ ‖ = sup － τ≤θ≤0 | （ θ） | 。 b 0］ ， Ｒ n ） 表示所有 F0 可测有界的， 0］ ， Ｒ n ） 中取值的所有随机变量 ξ = ｛ ξ （ θ ） ： 令 C F0（ ［－ τ， 且在 C（ ［ － τ， T － τ≤θ≤0 ｝ 构成的类。而 X ， Y∈Ｒ n 二者的内积可以表示成 〈X ， Y〉 或 X Y 两种形式。