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2019-2020学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若0a b <<，则下列不等式中成立的是( ) A ．||a b >-B ．1ab< CD ．11a b< 2．（5分）一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出一部分学员参加44⨯方队进行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是( ) A ．9人，7人B ．15人，1人C ．8人，8人D ．12人，4人3．（5分）用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n +++⋯+<-…”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +4．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件43001x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，目标函数2z x y =+，则( )A ．z 的最小值为3，z 无最大值B ．z 的最小值为1，最大值为3C ．z 的最小值为3，z 无最小值D ．z 的最小值为1，z 无最大值5．（5分）如果不等式210mx mx m +++>对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是()A ．0m …B ．403m -<„C ．43m <-D ．43m <-或0m …6．（5分）若二项式22()n x x-展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为() A ．1-B ．1C ．27D ．27-7．（5分）某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是( )A ．6i >B ．7i >C ．6i …D ．5i …8．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( ) A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个9．（5分）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有( )种 A ．48B ．72C ．78D ．8410．（5分）如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B 表示“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则(|)P B A 等于( )A ．18B ．14C ．12 D ．3811．（5分）已知实数x ，y 满足22(2)(5)4x y -+-=，则222(1)xy xx y -+-的最大值为( )A 2B ．617C ．1225D ．251212．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i =，2，⋯，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上. 13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+= 14．（5分）不等式3115x x--…的解集是 ． 15．（5分）将正整数对作如下分组，第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}⋯则第30组第16个数对为 ．16．（5分）下列关于概率和统计的几种说法：①10名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小为c a b >>；②样本4，2，1，0，2-的标准差是2；③在面积为S 的ABC ∆内任选一点P ，则随机事件“PBC ∆的面积小于3S”的概率为13；④从写有0，1，2，⋯，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率为910．其中正确说法的序号有 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（请写出式子在写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？18．某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A 、B 两个题目，该学生答对A 、B 两题的概率分别为12、13，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为12，至少答对一个问题即可被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理（假设每个环节的每个题目或问题回答正确与否是相互独立的）．（1）求该学生被公司聘用的概率；（2）设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人． （Ⅰ）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X ，若每次抽检的结果都相互独立，求X 的分布列和数学期望()E X ．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -X =++++，其中n a b c d =+++．20．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1:为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010t x =-，5z y =-得到下表2:（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ==-=-∑∑g ，ˆˆ)ay bx =- 21．上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布(120N ，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，⋯，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求2X …的概率．附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(,)a b ，(,)c d 作如下定义：a cb d>，那么称点(,)a b 是点(,)c d 的“上位点”，同时点(,)c d 是点(,)a b 的“下位点”． （1）试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设a 、b 、c 、d 均为正数，且点(,)a b 是点(,)c d 的上位点，请判断点(,)P a c b d ++是否既是点(,)a b 的“下位点”又是点(,)c d 的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意实数{|02019m t t ∈<<，}t Z ∈，总存在*k N ∈，使得点(,)n k 既是点(2019,)m 的“下位点”，又是点(2020,1)m +的“上位点”，求正整数n 的最小值．2019-2020学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若0a b <<，则下列不等式中成立的是( )A ．||a b >-B ．1ab< C D ．11a b< 【解答】解：0a <Q ，||a a ∴=-，0a b <<Q ，0a b ∴->->，||a b ∴>-，故结论A 成立； 取2a =-，1b =-，则 Q21ab=>，B ∴不正确；1=，∴>C ∴不正确；112a =-，11b =-，∴11a b >，D ∴不正确．故选：A ．2．（5分）一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出一部分学员参加44⨯方队进行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是( ) A ．9人，7人B ．15人，1人C ．8人，8人D ．12人，4人【解答】解：利用分层抽样的方法得， ∴一班应抽出5416996⨯=人 二班应抽出1697-=人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7 故选：A ．3．（5分）用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n +++⋯+<-…”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +【解答】解：n k =时，左边11112321k=+++⋯+-， 当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-． ∴左边增加的项数为1121(21)222k k k k k ++---=-=．4．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件43001x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，目标函数2z x y =+，则( )A ．z 的最小值为3，z 无最大值B ．z 的最小值为1，最大值为3C ．z 的最小值为3，z 无最小值D ．z 的最小值为1，z 无最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数2z x y =+为2y x z =-+， 由图可知，当直线2y x z =-+过(1,1)A -时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，为2111⨯-=， 无最大值． 故选：D ．5．（5分）如果不等式210mx mx m +++>对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是()A ．0m …B ．403m -<„C ．43m <-D ．43m <-或0m …【解答】解：当0m =时，10>恒成立，符合题意； 当0m ≠时，可得，24(1)0m m m m >⎧⎨=-+<⎩V ， 解可得，0m >， 综上可得，0m …．6．（5分）若二项式22()n x x-展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为() A ．1-B ．1C ．27D ．27-【解答】解：二项式22()n x x -展开式的二项式系数之和为8，所以28n =，解得3n =；所以232()x x -展开式的系数之和为：3(12)1-=-．故选：A ．7．（5分）某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是( )A ．6i >B ．7i >C ．6i …D ．5i …【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下： 第1次：1022s =+=，112i =+= 第2次：2226s =+=，3i = 第3次：36214s =+=，4i = 第4次：414230s =+=，5i = 第5次：530262s =+=，6i = 第6次：6622126s =+=，7i =因为输出结果是126，结束循环，判断框应该是6i >． 故选：A ．8．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( ) A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有32472⨯=个， ②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有22448⨯=个， 共有7248120+=个． 故选：B ．9．（5分）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有( )种 A ．48B ．72C ．78D ．84【解答】解：将五个球排成一行共有55A 种不同的排法，当两个红色球相邻共有4242A A g 种不同的排法，当两个黄色球相邻共有4242A A g 种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有322322A A A g g 种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有542423225424232212048482448A A A A A A A A --+=--+=g g g g （种)，故选：A ．10．（5分）如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B 表示“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则(|)P B A 等于( )A ．18B ．14C ．12 D ．38【解答】解：根据题意，圆O 的半径为1，则圆O 的面积1S π=，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，则正方形EFGH 22r =其面积22S =， 故P （A ）212S S π==， 而OEH ∆的面积为正方形EFGH 的14，则其面积321142S S ==， 则311()2S P AB S π==， 31()1(|)()4S P AB P B A P A S ===； 故选：B ．11．（5分）已知实数x ，y 满足22(2)(5)4x y -+-=，则222(1)xy xx y -+-的最大值为( )A 2B ．617C ．1225D ．2512【解答】解：x ，y 满足22(2)(5)4x y -+-=， 所以，04x 剟，37y 剟， 当0x =时，则2202(1)xy xx y -=+-，当0x≠时，2212 212(1)2122211xy xx yx y x yy x y x-===-+--+--g…．当且仅当211x yy x-=-时取等号，此时取得最大值2．故选：A．12．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i=，2，⋯，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有133C=种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有336A=种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法352627⨯+⨯=种，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N，则(23)Dξ+=8【解答】解：Q随机变量ξ服从正态分布(1,2)N，()2Dξ∴=，则2(23)2()8D Dξξ+=⨯=．故答案为：8．14．（5分）不等式3115x x --…的解集是 3{|5}2x x <„． ． 【解答】解：由3115x x --…可得31461055x x x x---=--…， 即2305x x --„， 解可得，352x <„，故不等式的解集为3{|5}2x x <„．故答案为：3{|5}2x x <„．15．（5分）将正整数对作如下分组，第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}⋯则第30组第16个数对为 (17,15) ．【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4， 第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，⋯，第n 组各个数和为2n +，且各个数对无重复数字，可得第30组各个数和为32， 则第30组第16个数对为(17,15)． 故答案为：(17,15)．16．（5分）下列关于概率和统计的几种说法：①10名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小为c a b >>；②样本4，2，1，0，2-的标准差是2；③在面积为S 的ABC ∆内任选一点P ，则随机事件“PBC ∆的面积小于3S”的概率为13；④从写有0，1，2，⋯，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率为910．其中正确说法的序号有 ④ ． 【解答】解：：①10名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，安装大小排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则其平均数为115(53111222)150.314.710a =+----++++=-=， 中位数为15b =，众数为17c =，则a ，b ，c 的大小为c b a >>；故①错误， ②样本4，2，1，0，2-的平均数为1，标准差22221125(41)(21)(01)(21)2055-+-+-+--==g ，故②错误； ③解：作出ABC ∆的高AO ，当“PBC ∆的面积等于3S ”时，此时13OP AO =，要使“PBC ∆的面积小于3S”，则P 位于阴影部分， 则AEF ∆的面积2124()39S S S ==，则阴影部分的面积为4599S S S -=，则根据几何概型的概率公式可得“PBC ∆的面积小于3S ”的概率为5599SS =，故③错误， ④由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生所包含的事件数是1010100⨯=，满足条件的事件数，第一次有10种结果，第二次有9种结果，共有10990⨯=种结果， ∴两张卡片数字各不相同的概率是90910010P ==．故④正确， 故答案为：④三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（请写出式子在写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【解答】解：（1）每个球都有4种方法，故有4444256⨯⨯⨯=种，（2）每个盒子不空，共有4424A =不同的方法， （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法．18．某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A 、B 两个题目，该学生答对A 、B 两题的概率分别为12、13，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为12，至少答对一个问题即可被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理（假设每个环节的每个题目或问题回答正确与否是相互独立的）．（1）求该学生被公司聘用的概率；（2）设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）设答对A ，B ，甲、乙各题分别为事件A ，B ，C ，D ， 则P （A ）12=，P （B ）13=，P （C ）P =（D ）12=， ∴该学生被公司聘用的概率为：11111()[1()](1)23228P P AB P CD =-=⨯⨯-⨯=．（2）ξ的取值为0，1，2，3，4，121(0)()233P P AB ξ===⨯=，11121(1)()23232P P AB AB ξ==+=⨯+⨯=，11111(2)()()232224P P AB P CD ξ===⨯⨯⨯=， 1221111(3)()()()23212P P AB P CD CD C ξ==+=⨯⨯=，21111(4)()()()23224P P AB P CD ξ===⨯⨯=， ξ∴的分布列为：1111101234132241224E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19．司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人． （Ⅰ）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X ，若每次抽检的结果都相互独立，求X 的分布列和数学期望()E X ．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -X =++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）填写22⨯列联表，如下；根据数表，计算28.257.879()()()()55456040a b c d a c b d X ==≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（Ⅱ）由题意，任意抽取1辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率是4021005=， 则X 的可能取值为：0，1，2，3，且2~(3,)5X B ，可得3322()(1)()55k k k P X k C -==-g g ，所以03033227(0)()()55125P X C ===g g ，1233254(1)()55125P X C ===g g ， 2233236(2)()55125P X C ===g g ， 3033328(3)()()55125P X C ===g g ； 所以X 的分布列为：数学期望为26355EX =⨯=． 20．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1:为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010t x =-，5z y =-得到下表2: （Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ==-=-∑∑g ，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（Ⅰ）513, 2.245i i i t z t z ====∑，52155ii t==∑，4553 2.2ˆ 1.25559b-⨯⨯==-⨯，ˆ 2.23 1.2 1.4az bt =-=-⨯=-， 1.2 1.4z t ∴=-；（2）2010t x =-，5z y =-，代入 1.2 1.4z t =-得到：5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即1.22408.4y x =-，1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． 21．上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布(120N ，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，⋯，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求2X …的概率．附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）由题意可知，1(0.030.0240.0160.010.008)100.01210a -++++⨯==，该校数学成绩的平均分数为0.1900.241000.31100.161200.121300.08140112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）根据正态分布：(1203512035)0.9974P X -⨯<<+⨯=， 所以10.9974(135)0.00132P X -==…，即0.00131000013⨯=， 所以前13名的成绩全部在135分以上．从频率分布直方图中，可知，50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学数量为(0.0120.008)105010+⨯⨯=人，成绩在135分（含135分）以上的同学数量为0.00810504⨯⨯=人，成绩在[125，135)的同学数量为1046-=人，而随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，311(2)10303P X =+=…， 故2X …的概率为13．22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(,)a b ，(,)c d 作如下定义：a cb d>，那么称点(,)a b 是点(,)c d 的“上位点”，同时点(,)c d 是点(,)a b 的“下位点”． （1）试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设a 、b 、c 、d 均为正数，且点(,)a b 是点(,)c d 的上位点，请判断点(,)P a c b d ++是否既是点(,)a b 的“下位点”又是点(,)c d 的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意实数{|02019m t t ∈<<，}t Z ∈，总存在*k N ∈，使得点(,)n k 既是点(2019,)m 的“下位点”，又是点(2020,1)m +的“上位点”，求正整数n 的最小值．【解答】解：（1）根据题设定义，(3,5)的一个“上位点”的坐标为(3,4)，一个“下位点”的坐标为(3,7)；（2）Q 点(,)a b 是点(,)c d 的上位点，∴a cb d>，即ad bc >， Q 0()a c a bc ad b d b b b d +--=<++， ∴点(,)P a c b d ++是点(,)a b 的“下位点”，Q0()a c c ad bcb d d d b d +--=>++， ∴点(,)P ac bd ++是点(,)c d 的“上位点”；（3）若正整数n 满足条件：201920201n m k m <<+在{|02019m t t ∈<<，}t Z ∈时恒成立， 由（2）中的结论可知，21k m =+，201920204039n =+=时满足条件， 若4038n „，由于2019403820192019021(21)(21)n mn m m m m m m m ---=-<+++„， 则20192020211n m m m <<++不成立， 故n 的最小值是4039．。

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2019-2020学年江西省上饶中学高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版

2019-2020学年江西省上饶中学高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版

绝密★启用前上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（文科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{}2,0,1M =-，{}0,1,3N =，则MN =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,1,3-C ．{}2,0,1-D ．{}2,0,1,3- 2．设,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc > B ．a c b c +>+ C ．11a b< D ．22a b > 3．已知x ∈R ，则“2x >”是“||2x >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4．设0.23ln 0.2,3,0.2a b c === ，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ． c b a <<5．函数()3||2ex x f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知,,a b c ∈R ，若2()f x ax bx c =++，满足()(4)(0)2f f f =<-，则（ ）A ．0,0a a b <+=B ．0,0a a b >+=C ．0,20a a b <+=D ．0,20a a b >+=7．若1sin cos 2αα-=，则1tan tan αα+=（ ） A ．34 B ．43 C ．38 D ．838．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()21f x f x >-的解集为（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,+∞9．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a <-B ．22a >C ．022a <<D ．()(),2222,a ∈-∞-+∞10．函数()()sin f x A x =+ωϕ其中0,2A πϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象如下图所示，为了得到()f x 图象，则只需将()sin 2g x x =的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向右平移12π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 11．若,a b R ∈，满足0ab >且223a b +=，则33a b b a+的最小值为（ ）ABC ．3 D．12．已知函数()21, 1ln , 1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ． 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13．命题:(0,)p x ∃∈+∞，使得sin 0x >的否定为________________．14．函数()223()lg f x x x --=的定义域为__________________．15．已知4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则sin α的值为____________. 16．已知函数()31=4f x x 图像上有动点()11,A x y ，函数()2g x x =-图像上有动点()22,B x y .若A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B 、两点的纵坐标值再次相等，且始终满足212x x -=，则在此运动过程中A B 、两点的距离AB 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末(理科)数学试卷及答案解析【完整版】

2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末(理科)数学试卷及答案解析【完整版】

2019-2020学年江西省上饶市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．已知命题＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＞0B．∀x∈R，e x≥0C．∃x∈R，e x＞0D．∃x∈R，e x≥0 3．已知向量，，．若，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣34．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．16．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（）A．B．C．D．7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（）A．B．C．D．8．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．610．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（）A．4B．3C．2D．111．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．或D．12．函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝14．﹣cos xdx＝．15．命题p：∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为．16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．（1）求p，m的值；（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED ∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．21．设椭圆，右顶点是，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1解：∵＝，∴复数的虚部为1．故选：C．2．已知命题＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＞0B．∀x∈R，e x≥0C．∃x∈R，e x＞0D．∃x∈R，e x≥0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，e x≥0故选：B．3．已知向量，，．若，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3解：因为向量，，，所以﹣＝（﹣2，3，1）；又，所以•（﹣）＝0，即﹣2×（﹣2）+3x+2×1＝0，解得x＝﹣2．故选：A．4．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：由题意S＝＝，故选：A．5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．1解：双曲线﹣y2＝1的a＝2，b＝1，可得右顶点为（2，0），一条渐近线方程为y＝x，即为x﹣2y＝0，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d＝＝．故选：A．6．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（）A．B．C．D．解：极坐标系中，点根据转换为直角坐标为（﹣1，）．圆ρ＝2cosθ转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x，整理成标准式为（x﹣1）2+y2＝1所以圆心坐标为（1，0），所以根据两点间的距离公式d＝．故选：A．7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（）A．B．C．D．解：曲线（θ为参数），根据y2＝cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ，整理得y2＝x+1．当x＝时，解得y＝，其余的坐标都不满足该曲线方程，故选：D．8．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，知：“l∥β”⇒“α与β相交或平行”，“α∥β”⇒“l∥β”．∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选：B．9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．6解：设与直线2x﹣y+6＝0平行，且与函数y＝2lnx+2相切的直线为l：2x﹣y+m＝0，由于函数y＝2lnx+2的导数为y′＝，令＝2，求得x＝1，故切点为（1，2），代入切线l的方程得2﹣2+m＝0，故m＝0，故切线l的方程为2x﹣y＝0．直线l与直线2x﹣y+6＝0之间的距离为＝，故线段|PQ|的最小值为，故选：C．10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（）A．4B．3C．2D．1解：设x＝，则，解得x＝1或﹣2（舍负）．故选：D．11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．或D．解：设AA1＝t，以B为原点，以垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），E（，，t），B（0，0，0），F（，，t），＝（﹣，，t），＝（，，t），∵AE和BF所成角的余弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得t＝1或t＝．∴＝（﹣，，1），或＝（﹣，，），平面BCC1B1的法向量＝（1，0，0），∴AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值为：sinα＝＝或sinα＝＝．故选：C．12．函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sin，g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2只有唯一一个交点，∵φ（2）＝0，g（2）＝0，函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2唯一交点为（2，0），又因为g′（x）＝﹣e2﹣x﹣e x﹣2＜0，可得函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2的大致图象如图：要使函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2有唯一交点，则φ′（2）⩾g′（2），∵，所以，解得，又因为a＞0，所以实数a的取值范围为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝71解：已知＝2，＝3，＝4，…，归纳得，所以＝8，故，所以a＝8，b＝63．故a+b＝71．故答案为：7114．﹣cos xdx＝．解：由于y＝，根据单位圆的几何意义，该定积分表示的是：所以：．cos xdx＝，所以．故答案为：．15．命题p：∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）．解：根据题意，对于命题p，若x∈[﹣1，1]，则≤2x≤2，若∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a 成立，则a＞；对于q，x∈（0，+∞），ax＜x2+1即a＜＝x+，又由x+≥2，当且仅当x＝1时等号成立，若：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立，必有a＜2；若命题p∧q为假，p∨q为真，分2种情况讨论：若p真q假，即，此时a的取值范围为[2，+∞），若p假q真，即，此时a的取值范围为（﹣∞，]，综合可得：a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）；故答案为：（﹣∞，]∪[2，+∞）16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为64π．解：∵＝μ（），∴PN是∠MPF2的角平分线，又，∴延长F2N交PM于K，则PN是△PF2K的角平分线，又是高线，∴|PK|＝||＝4⇒PF1＝12，F1K＝16．ON是△F1F2K的中位线，∴ON＝．∴则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为πR2＝64π．故答案为：64π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．解：（1）曲线C1的普通方程为，转换为C1的参数方程为（β为参数）．l直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为x﹣y＝0．（2）曲线C2参数方程为为参数），由θ＝π可知P（﹣3，﹣1））由（1）可设，于是．M到直线l距离，当时，d取最大值．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．（1）求p，m的值；（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．解：（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：p＝2，∴C：y2＝4x，∴m2＝2×4＝8，解得：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴．∵P（1，1）为AB的中点，∴y1+y2＝2，∴k l＝2，∴直线l的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．解：（1）由题可知，f（x）＝ax2+blnx，f（x）的定义域为（0，+∞），∴，……………………（1分）由于f（x）在x＝1处有极值1，则，即，……………………解得：a＝1，b＝﹣2．……………………（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣2lnx，其定义域是（0，+∞），，……………………令f'（x）＝0，而x＞0，解得x＝1，……………………由f'（x）＜0，得0＜x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1，……………………则在区间上，x，f'（x），f（x）的变化情况表如下：x1（1，2）2 f'（x）﹣0+f（x）单调递减1单调递增4﹣2ln2可得f（x）min＝f（1）＝1，……………………∵，f（2）＝4﹣2ln2，由于，则，所以f（x）max＝f（2）＝4﹣2ln2，……………………∴函数f（x）在区间上的最大值为4﹣2ln2，最小值为1．……………………20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED ∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥PA，且，∵DE∥PA，且，∴OF∥DE，且OF＝DE．∴四边形OFED为平行四边形，得OD∥EF，即BD∥EF．∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC．∵FE⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．（2）解：∵∠ABC＝60°．∴AC＝AB，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，2），，E（0，2，1），D（0，2，0），，，设平面PCE的法向量为，则，即，令y1＝1，得．平面PDE的一个法向量为，设二面角C﹣PE﹣D的大小为θ，由于θ为锐角，∴cosθ＝|cos＜＞|＝＝．故二面角C﹣PE﹣D的余弦值为．21．设椭圆，右顶点是，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．【解答】（1）解：右顶点是，离心率为，所以，∴c＝1，则b＝1，∴椭圆的标准方程为．（2）证明：由已知得D（0，1），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，当△＞0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，，，由MD⊥ND得＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，即，所以3m2﹣2m﹣1＝0，解得m＝1或，①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．②当时，显然有△＞0，直线l经过定点．22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当m＝﹣3时，f（x）＝﹣6lnx+x2﹣4x，定义域为（0，+∞），，令f'（x）＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，3）上单调递减；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上单调递增．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2），x＞0，∵函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴方程x2﹣2x+m＝0有两个不等正根，∴，∴m＝x1（2﹣x1），0＜x1＜1，1＜x2＜2，此时不等式f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，等价于对x1∈（0，1）恒成立，可化为恒成立，令，∴则，∵x∈（0，1），∴lnx＜0，x（x﹣4）＜0，∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即g（x）在（0，1）上单调递减，∴，∴a≤﹣1．故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合UA B ⋂=（）（ ） A. {}3 B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2. 复数31iz i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 1- B. 4C. 2D. 2i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z ，再求得复数z 的虚部即可.【详解】解：因为()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以复数z 的虚部为2. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及求复数的虚部，属于基础题. 3. 抛物线24y x =的准线方程是 A. 1x =- B. 1x =C. 2x =-D. 2x =【答案】A 【解析】【详解】试题分析：抛物线24y x =的准线方程是12px =-=-. 故选：A考点：抛物线的基本性质4. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A. 若0x y ==，则220x y +=B. 若220x y +≠，则x ，y 不都为0C. 若x ，y 都不为0，则220x y +≠D. 若x ，y 不都为0，则220x y +≠【答案】D 【解析】 【分析】把原命题的结论和条件进行否定后，作为逆否命题的条件和结论即可得到结果.【详解】解：因为原命题为“若220x y +=，则0x y ==”，所以逆否命题为：若x ，y 不都为0，则220x y +≠，故选：D【点睛】此题考查了原命题和逆否命题的之间关系，属于基础题.5. 椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得21a =，21b m=，求出a ，b 的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m 值. 【详解】∵椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，∴21a =，21b m =，则1a =，b =又长轴长是短轴长的两倍，∴2=4m =， 故选：D .【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题. 6. 若直线l 的参数方程为2334x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ）A. 45-B.35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】先将直线l 的参数方程化为一般方程，可得出斜率4tan 3k α==-，则直线l 的倾斜角的余弦值可求.【详解】解：设直线l 的倾斜角为α，由题意23431034x tx y y t=-+⎧⇒+-=⎨=-⎩， ∴4tan 3k α==-，(,)2πθπ∈，∴3cos 5α=-．故选：B ．【点睛】考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角α.题目较为简单. 7. 若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ） A. []5,3-- B. []3,5-C. []5,3-D. []3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求得|1|||x x m -++的最小值为|1|m +，根据题意可得|1|4m +≤即可.【详解】解：不等式14x x m -++≤的解集非空， 因为|1||||1|x x m m -+++|1|4414m m ∴+∴-+，53m -故选：C【点睛】考查不等式能成立求参数的范围，基础题.8. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.9. 在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ）A. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将圆C 的方程展开整理，化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标，再化为极坐标即可.【详解】2cos 4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，2cos sin ρθθ=，化为直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心坐标为22(,)22，极坐标为(1,)4π. 故选:D.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题.10. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为( )A. 123B. 363C. 273?D. 6【答案】B 【解析】试题分析：由三视图，可知：该三棱柱的底面为高为的正三角形，边长为，底面面积为三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为．考点：1．三视图；2．几何体的体积．11. 已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）3223 D.23【答案】B 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12222x x ，联立直线方程和抛物线方程，消去y 利用韦达定理可求k 的值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，而()2,0F ， 因直线l 过()2,0-且其斜率大于零，故,A B 在x 轴上方.因为2AF BF =，故12222x x .由()228y k x y x⎧=+⎨=⎩可得()22228440k x kx k--+=,故12212844x x k x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，结合12222x x 可得12143x x k ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或12143x x k ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍）. 故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，此类问题一般需要联立直线方程和抛物线的方程，消元后借助韦达定理构建未知变量的方程，注意所消变量的合理选择.12. 已知12F F ，是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若12FT TP=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接2,OT PF ，利用直线和圆相切可求12cos b PF F c∠=，再利用余弦定理可得23b a =，从而可求离心率.【详解】如图，连接2,OT PF ，由1F P 与圆222x y a +=相切于点T 可得12FTP π∠=.因为1,FO c OT a ==，故1FT b =，所以12cos bPF F c∠=. 又122PT FT b ==，故13F P b =，所以232PF b a =-. 在12PF F △中，由余弦定理得()2223249223bb ac b c b c-=+-⨯⨯⨯， 整理得到23b a =，所以()22249c a a-=即13c a =13e =. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，此类问题一般需要根据已知条件构建关于,,a b c 的一个等量关系式，而关系式的构建可依据焦点三角形的性质来进行.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.()1213xx dx --=⎰__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据微积分基本定理求出原函数，然后计算出积分值． 【详解】()11232111113(1)(1)2222x x dx x x --⎛⎫-=-=----= ⎪⎝⎭⎰．故答案为：2．【点睛】本题考查微积分基本定理，求出积分函数的原函数可得积分值．14. 已知 F 为抛物线2:8C x y =的焦点，P 为C 上一点，(4,3)M -，则当PMF △周长最小时点P 的坐标______________. 【答案】()4,2-【解析】 【分析】过P 作准线的垂线，垂足为S ，连接MS ，过M 作准线的垂线，垂足为T .利用抛物线的几何性质可得MP PF MP PS +=+，从而可得MP PF +的最小值为3且可得取最小值时P 的坐标.【详解】抛物线的准线为2y =-，过P 作准线的垂线，垂足为S ，连接MS ， 过M 作准线的垂线，垂足为T . 由抛物线的定义可知PF PS =，又3MP PF MP PS MS MT +=+≥≥=，此时,,M P T 三点共线即()4,2P -. 故PMF △周长最小时点P 的坐标为()4,2-. 故答案为：()4,2-.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，与焦点有关的最值问题可以转化为到准线的距离的最值问题.15. 在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==23CD =锥A BCD -的外接球的表面积为__________. 【答案】20π 【解析】 【分析】作出B 在面ACD 上射影M ，M 是ACD △的外心，由正弦定理计算出MA ，则可得BM ，外接球球心O 在直线BM 上，计算出BM 长，知O 在BM 延长线上，利用勾股定理求得外接球半径R ，可得表面积．【详解】如图，BM ⊥平面ACD ，垂足为M ，因为BA BC BD ==，所以M 是ACD △外心，延长AM 交CD 于N ，因为AC AD =，则N 是CD 中点且AN CD ⊥， 由已知225AN AC CN =-=，510sin 422AN ACN AC ∠===， 由正弦定理222sin 10AD AM ACN ==∠，解得45AM =， 由BM ⊥平面ACD ，得BM AM ⊥，所以222245252()55BM AB AM =-=-=，因为BA BC BD ==，所以三棱锥A BCD-的外接球球心O 在BM 上，且在BM 延长线上，如图，设外接球半径为R ，OA OB R ==，由222OA OM AM =+得2222545R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5R =， 所以外接球表面积为2244(5)20S R πππ==⨯=． 故答案为：20π.【点睛】本题考查求棱锥外接球表面积，解题关键是找出外接球球心，求出外接球半径，解题时利用性质“三棱锥外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上”易找到球心位置．16. 已知椭圆 22116x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.【答案】221416x y +=【解析】 【分析】先利用椭圆的几何性质得到Q 的轨迹方程为：2216x y +=，再根据M 的坐标与Q 的坐标关系可得M 的轨迹方程.【详解】如图，延长2F Q 交1F P 的延长线于S ，连接OQ . 因为PQ 为2SPF ∠的平分线且2F S PQ ⊥，故2PSF △为等腰三角形且2PS PF =，2SQ QF =， 所以121248PF PF PS PF +=+=⨯=.在12F SF △中，因为122,FO F O SQ QF ==，所以()1111422OQ F S F P PS ==+=， 故Q 的轨迹方程为：2216x y +=.令(),M x y ，则()2,Q x y ，所以22416x y +=即221416x y +=，故答案为：221416x y +=【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆；（1）若p 且q 为真命题，则p 是q 的什么条件？ （2）若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）必要而不充分条件；（2）1m 或4m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据p 为真命题，q 为真命题可得两者对应的集合之间的包含关系，从而可得它们之间的条件关系.（2）根据p 为假命题，q 为假命题可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为p 且q 为真命题，故p 为真命题，q 为真命题.所以22:114x y p m m +=--表示双曲线是真命题，所以()()140m m --<．解得14m <<．又命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴的椭圆是真命题，所以204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得34m <<．因为{}34mm <<│ {}14m m <<∣，所以p 是q 的必要而不充分条件． （2）∵p 或q 假命题，∴p 假且q 假． 当p 假时，由（1）可知，有1m 或4m ≥①， 当q 为假，有 3m ≤或4m ≥②， 由①②解得1m 或4m ≥.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断以及已知复合命题的真假求参数的范围，前者应利用对应集合的包含关系来判断，后者应根据复合命题的真假得到简单命题的真假，从而求出参数的取值范围.18. （1）解不等式:1225x x -+-≤； （2）若21a b +=，求证：2215a b +≥.【答案】（1）100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义分类讨论去绝对值符号后求解；（2）由已知得12a b =-代入22a b +变为b 的二次函数，由配方法可证结论； 【详解】（1）原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩，或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩，或3552x x -≤⎧⎨>⎩解得：01x ≤<或12x ≤≤或1023x <≤, 即1003x ≤≤所以原不等式的解集为100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由题意得12a b =-222222211(12)5415()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥ ，当且仅当12,55a b ==时等号成立.所以2215a b +≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查条件不等式的证明．解绝对值不等式一般用分类讨论的思想方法求解，而证明条件不等式可把条件代入要证明的式子，化二元为一元，然后利用二次函数的性质得出结论．19. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21?x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值.【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得圆C 的极坐标方程；（2）把直线参数方程标准形式21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入圆的直角坐标方程，由12MA MB t t +=+可得答案．【详解】解：（1）由4sin ρθ=得24sin ρρθ=，∴224x y y +=，∴圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=.（2）直线l参数方程可化2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆方程得：210t -+=设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则120t t +=>，121t t =0>，∴12,t t 均为正，于是1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题关键，考查直线参数方程的应用，利用直线标准参数方程中参数具有的几何意义求解．20. 已知抛物线()220y px p =>的焦点F 与双曲线2213y x -=的一个顶点重合，过点()4,0M 作倾斜角为45︒的直线l 与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线方程； （2）求AOB 的面积.【答案】（1）24y x =；（2）. 【解析】（1）由已知得双曲线的右顶点为()1,0，即可得到抛物线()220y px p =>的焦点F ()1,0，由此能求出抛物线的方程.（2）由题意利用点斜式求出直线l 的方程：40x y --=，将直线与抛物线联立，再利用弦长公式求出AB ，利用点到直线的距离公式求出原点到直线l 的距离，进而可求出AOB 的面积.【详解】（1）由双曲线2213y x -=的右顶点为()1,0，即可得抛物线()220y px p =>的焦点F ()1,0，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由题意可得直线l 的方程：40x y --=，将直线与抛物线联立2404x y y x--=⎧⎨=⎩，整理可得212160-+=x x ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1212x x +=，1216x x =，AB ∴==原点到直线l 的距离d ==，所以12AOBS=⨯=【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线中的面积问题、弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题.21. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC .（2）若60BAD ∠=︒，且平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为77，求PCA ∠的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）30 【解析】 【分析】（1）ABCD 为菱形证BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD 证PA BD ⊥可得；（2）以菱形的中心建立空间直角坐标系，设2,(0)AB PA t t ==>使用空间向量求二27的方程求出PA t =的值即可. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA BD ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC .（2）解：设AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2,(0)AB PA t t ==>，则(3,0,),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),3,0,0)P t A B D C --， 则(0,0,),(3,1,0),(3,1,)PA t AB DC PD t =-===--. 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，则0,30,m PA tz m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，得(1,3,0)m =-.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z '''=，则.30,30,n PD x y tz n DC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=''''+=⎩'⎪ 令x t '=，得(,3,3)n t t =-.设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则2||27cos 7||||2412m n m n t θ⋅===⨯+，解得2t =，则3tan 323PCA ∠==，故30∠=︒PCA . 【点睛】本题考查面面垂直判定及利用二面角大小.求线面角 面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理()a a ，在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小22. 已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，双曲线C 过点． （1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．【答案】（1）抛物线E 的标准方程为24y x =，双曲线C 的标准方程为22221x y -=（2）23π【解析】 【分析】（1）由双曲线C 过点，．可得221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：a ，b ，c 即可得出双曲线C 的标准方程．可得2pc =，解得p ．可得抛物线的标准方程．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M 的方程为：22(1)4x y -+=．可得PMQ ∠．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．利用根与系数的关系可得12||2AB x x =++．设M 的半径为r ，||2AB r =．过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，||cos ||Mx MN PMN MP r∠==，可得PMN ∠范围，及其PMQ ∠范围，即可得出结论．【详解】（1）由双曲线C 过点．∴221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：2212a b ==，1c =． ∴双曲线C 的标准方程为：22221x y -=．由1c =，可得12p=，解得2p =． ∴抛物线的标准方程为：24y x =．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M 的方程为：22(1)4x y -+=．可得P ，(0,Q ．23PMQ π∠=． ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-， 由题意可得：0k ≠．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2222(24)0k x k x k -++=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则212224k x x k ++=，121=x x ．212222M x x k x k++==， 212244||2k AB x x k +∴=++=．设M 的半径为r ，则22||222AB k r k +==． 过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．Rt PMN ∆中，222||2111cos (,1)||2222(1)2M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++． (0,)3PMN π∴∠∈，则2(0,)3PMQ π∠∈．综上可得：PMQ ∠的最大值为23π．【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019-2020学年 江西省上饶中学 高二上学期月考数学试题(解析版)

2019-2020学年 江西省上饶中学 高二上学期月考数学试题(解析版)

2019-2020学年江西省上饶中学高二上学期月考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，满足2(1)(1)z i i -=+,则复数z 所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】22(1)2(1)(1)111i iz i i z i i i+-=+∴===-+--复数z 所在的象限为第二象限. 故选B 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型. 2．设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <.据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.和n S =（ ） A ．2n B ．12n -C ．21n -D ．121n --【答案】C【解析】根据等比数列的下标公式，得到14238a a a a ==，结合23=6a a +，解得2a 和3a 的值，然后得到公比q 和首项1a ，从而得到其前n 项和n S .【详解】等比数列{}n a 中，有14238a a a a ==， 而23=6a a +，可得232,4a a ==或者234,2a a == 根据公比1q >可知｛n a ｝是递增数列， 所以232,4a a ==， 可得422a q a ==，211aa q==， 所以{}n a 的前n 项和()()1111221112n n n n a q qS -⨯-===---，故选：C. 【点睛】本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.4．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.5．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[25--5]B ．[25-5]C ．[5-25]+D ．[4-，25] 【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y =+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值． 【详解】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于115=，解得z 的最大值为：25，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 2=z所以[25,25]z ∈-+．故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．6．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．3 C ．13D ．23【答案】C【解析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力xa =( )AB．2C．2D．【答案】B【解析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解.【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设24DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A．413B．513C．926D．326【答案】A【解析】在ABD∆中，由余弦定理求出AB，从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率.【详解】在ABD∆中，6AD=，2BD=，120ADB∠=o，由余弦定理，得222cos120213AB AD BD AD BD=+-⋅=o，所以21313DFAB==，所以所求概率为241313DEFABCSS∆∆==⎪⎝⎭.所以本题答案为A.【点睛】本题考查几何概型和余弦定理的应用，本题关键在于利用余弦定理求出AB，属中档题. 9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．8 B．18 C．26 D．80【解析】试题分析：由程序框图可知，当1,0n S ==时，第一次循环100332S =+-=，2n =，第二次循环22338,3,S n =+-==第三次循环3283326,4s n =+-==，循环结束，故输出的结果为26，故选C. 【考点】程序框图的循环结构流程图.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.10．在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是（） A ．10 B ．0C ．10D ．20【答案】B【解析】由二项的展开式的通项为515(1)k k k kk T C x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)k k k kk T C x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为：332255101(0)(1)01C C =-++--=,故选B. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．设正实数x ，y 满足23x >,2y >，不等式229232x y m y x +--…恒成立，则m 的最大值为( ) A ．B ．C ．8D ．16【答案】D【解析】令2y a -=，32x b -=，则2y a =+，23b x +=，将原式转化为关于a ，b 的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．解： 23x >Q ,2y >， 故设2y a -=，32x b -=，(0,0)a b >>，22229(2)(2)8()16232x y b a b ay x a b a b +++=+=+--， 当且仅当2a b ==，即43x =，4y =时取等号 故选：D ． 【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 12．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，(1)2f =，且1()()13f x f x +'<，则不等式33()e 1x f x -->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(1,2) D ．(2,)+∞【答案】A【解析】根据题设条件构造函数()()()31xg x ef x =-，根据已知不等式分析()g x 的单调性，再根据特殊值判断x 需满足的不等式，即可求出解集. 【详解】 由()()113f x f x '+<可得()()()310f x f x -+<'， 设()()()31xg x ef x =-，则()()()()331xg x ef x f x ⎡⎤=-'+⎣'⎦， ()0g x ∴'<，()g x ∴在()0,+∞上为减函数，又由()331x f x e -->，可得()()()()()3331111x e f x e e f g ->=-=，01x ∴<<.故选：A. 【点睛】常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：（1）若已知()()()00f x f x '+><，可构造函数：()()xg x e f x =分析问题；（2）若已知()()()00f x f x '-><，可构造函数：()()x f x g x e=分析问题； （3）若已知()()()00f x xf x '+><，可构造函数：()()g x xf x =分析问题；二、填空题13．总体由编号为01,02,,19,20L 的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．【答案】01【解析】试题分析：应抽取的数字依次为：0802141901、、、、，故正确答案为01． 【考点】简单随机抽样.14．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________. 【答案】12π【解析】先由扇形的圆心角为65π、面积为15π，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】解：由扇形的面积公式212S R θ=有：2161525R ππ=⨯⨯，解得5R = ， 由弧长公式有l R θ=，即6565l ππ=⨯=，即该圆锥的母线长为5，底面圆周长为 6π， 即底面圆半径为322534-=， 由圆锥的体积公式可得2134123V ππ=⨯⨯⨯=， 故答案为12π. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式，重点考查了运算能力，属基础题.15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）.【答案】10.【解析】试题分析：如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1，2，3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走），4，5，故不同取法的种数是55323210A A A =，故填：10.【考点】计数原理.16．平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，AD CD =，120ADC =∠︒，则BCD ∆面积的最大值为__________. 23【解析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定BCD ∆面积的最大值. 【详解】设ABC α∠=，BCA β∠=，依题意得30ACD ∠=︒，3AC CD =则12BCD S CB CD ∆=⋅⋅sin 6πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭323ACABC ∆中由余弦定理得：241221cos 54cos AC αα=+-⨯⨯⨯=-ABC ∆中正弦定理得：sin sin AC ABαβ=，即sin sin AC βα⋅= 则222cos AC AC β=-22sin 54cos AC βα=-22sin (2cos )αα-=-， 即cos 2cos AC βα⋅=-，所以BCD S ∆==2sin 2πα⎛⎫-+ ⎪=≤，当且仅当23απ=取等号. 综上可得：BCD ∆. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知命题0:[0,2]p x ∃∈，2log (2)2x m +<；命题:q 关于x 的方程22320x x m -+=有两个相异实数根.（1）若()p q ⌝∧为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1()2；（2）1(])2⋃+∞.【解析】试题分析：首先结合对数函数二次函数性质求解命题p,q 为真命题时的m 的取值范围，（1）中由()p q ⌝∧为真命题可知p 假q 真，由此解不等式可求得实数m 的取值范围；（2）中p q ∨为真命题，p q ∧为假命题可知两命题一真一假，分两种情况可分别求得m 的取值范围试题解析：令()()2log 2f x x =+，则()f x 在[0,2]上是增函数， 故当[]0,2x ∈时，()f x 最小值为()01f =，故若p 为真，则121,2m m >>. ……2分24120m ∆=->即213m <时，方程22320x x m -+=有两相异实数根，∴m <<； ……4分（1）若()p q ⌝∧为真，则实数m满足12{m m ≤<<故12m <≤， 即实数m的取值范围为12⎛⎤⎥ ⎝⎦……8分（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，若p 真q 假，则实数m满足12{m m m >≤≥3m ≥； 若p 假q 真，则实数m满足12{m m ≤<<即132m -<≤. 综上所述，实数m的取值范围为12⎛⎤⎫⋃+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎣⎭. ……12[学【考点】复合命题真假的判定及函数性质18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且()2*2n n n S a a n N =+∈.（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）11a =，22a =（2）n a n =（3）()()3234212n n n +-++ 【解析】（1）把1n =，2n =分别代入递推关系()2*2n n n S a a n N =+∈，求得1a ，2a的值；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得到n a 的递推关系11n n a a -=+，进而求得{}n a 的通项公式；（3）求出通项公式()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求得n T .【详解】（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =，当2n =时，2222222220S a a a a =+⇒--=，解得：22a =或21a =-（舍去），所以11a =，22a =.（2）当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a aa S S ---++=-=-，即()()11110n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-（舍去）或11n n a a -=+， ∴n a n =.（3）∵n a n =，∴()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111123242n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111323122124212n n n n n +⎡⎤=+--=-⎢⎥++++⎣⎦. 【点睛】本题考查利用数列递推关系求12,a a 、数列通项公式、数列前n 项和等知识，考查从特殊到一般的思想和基本量法的应用，注意在利用递推关系时，2n ≥这一限制条件. 19．已知函数23π()3sin(2018π)sin()cos 12f x x x x =-+-+ （1）求函数()f x 的对称中心； （2）若对于任意的ππ[,]122x ∈-都有|()|1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) k ππ1(,)()222k Z +∈;(2) 133[,]2-. 【解析】试题分析：（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将函数化为，由令可得函数的对称中心；（2），恒成立等价于恒成立，结合的利用正弦函数的图象与性质求出的最小值与的最大值，从而可得结果.试题解析：（1）令得对称中心为 （2）因为，所以恒成立恒成立，恒成立，综上.20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，PDC 120︒∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得tan 23θ=||||AF FB 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）12AF FB=【解析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（Ⅱ）先证明DA ，DC ，DG 两两垂直，再以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设()1,,0F m ，用m 表示出平面DEF 的法向量，进而表示出cos θ，由tan23θ=，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）Q 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥.∵平面PCD ⊥平面,ABCD 平面PCD ⋂平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PC CB C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC .又∵DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.因为1AD PD ==，120PCD ∠=o Q ，∴3PC =.∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C ，130,2P ⎛- ⎝⎭ 又E 为PC 的中点，130,4E ⎛ ⎝⎭，假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan 23θ=设()1,,0(0)F m m >，130,4DE ⎛= ⎝⎭u u u v ，()1,,0DF m =u u u v，设平面DEF 的法向量为()1,,n x y z v=， 则110,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu u u v v∴0 130 4x myy z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3y=，则1,3z x m=-∴=-，则()13,3,1n mv=--Q AD⊥平面PCD，∴平面PCD的一个法向量()21,0,0n=v,tan23θ=,则13cosθ=∴122313cos cos,13331mn nmθ-===++u v u u v.m>Q，解得13m=，∴12AFFB=【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型. 21．2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量Y，试求随机变量Y的分布列及方差.【答案】(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，求对应条形的面积，可得生猪重量达不到270斤概率；（2）利用组中值乘以频率再作和，求得生猪重量的平均数，再用重量乘以单价乘以头数得到销售收入；（3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=，利用二项分布的特征求得其分布列，利用公式求得其方差. 【详解】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=.（2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元）. （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差313()2448D Y =⨯⨯=． 【点睛】该题主要考查了概率与统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图求平均数，二项分布的分布列以及其方差，从频率分布直方图中获取信息是解题的关键，属于简单题目. 22．已知函数21()2lnf x x ax x=--，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()212f x f x -的最大值． 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）14ln 22+. 【解析】（1）求出导函数，根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将()()212f x f x -转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即()()212f x f x -的最大值. 【详解】（1）21221()22x ax f x x a x x'-+=-+=，0x >，2221y x ax =-+，当2480a ∆=-≤，即a ≤≤时，0y ≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当a <22210x ax -+=有两个负根，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当a >22210x ax -+=有两个正根，分别为12a x -=22a x +=， 此时()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减． 综上可得:a ≤()f x 在(0,)+∞上单调递增，a >()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减．（2）由（1）可得12121,2x x a x x +=⋅=，a >211221ax x =+，222221ax x =+，∵a >22a >，∴12x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，22x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+2221212ln 2ln 1x x x x =-++-+22222222222211132ln 2ln 1ln 12ln 22222x x x x x x x ⎛⎫=-++-+=-++++ ⎪⎝⎭令22t x =，则12t >13()ln 12ln 222g t t t t =-++++222213231(21)(1)()12222t t t t g t t t t t'-+----=--+== 当112t <<时，()0g t '>；当1t >时，()0g t '< ∴()g t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在(1,)+∞单调递减∴max 14ln 2()(1)2g t g +==∴()()212f x f x -的最大值为14ln 22+． 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，难度较难.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.。

【期末专练】江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

【期末专练】江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5} 2．复数31i z i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1-B ．4C ．2D ．2i 3．抛物线y 2=−4x 的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A ．若0x y ==，则220x y +=B ．若220x y +≠，则x ，y 不都为0C ．若x ，y 都不为0，则220x y +≠D ．若x ，y 不都为0，则220x y +≠5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．46．若直线l 的参数方程为2334x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．45- B ．35 C ．−35 D ．457．若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]5,3--B ．[]5,3-C ．[]3,5-D ．[]3,5考试时间：2020年7月2-3日座位号8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥9．在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则这个棱柱的体积为 ( )A ．3B ．6C ．27√3D ．311．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）A 3B ．223C 3D ．2312．已知12F F ，是双曲线()222210x y C a b a b-=：＞0,＞的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．√13 C.√132 D ．√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．∫(3x 2−x )dx =1−1 。

江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

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上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（文科）时间：120分钟 分值：150分一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}2,0,1M =-，{}0,1,3N =，则M N ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}2,1,3-C.2,0,1D.{}2,0,1,3-【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到本题答案.【详解】因为{}2,0,1M =-，{}0,1,3N =，由集合的并集运算，得M N ⋃={}2,0,1,3-. 故选：D【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属基础题.2.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a c b c +>+ B. ac bc >C.11a b< D. 22a b >【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特值法可得答案．【详解】对于A ，∵a b >，∴a c b c +>+，正确； 对于B ，当0c ≤时，显然不成立，错误； 对于C ，当0b 0a ＞，＜时，显然不成立，错误； 对于D ，当1,2a b ==-时，显然不成立，错误． 故选A【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知x ∈R ，则“2x >”是“||2x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合“2x >”与“||2x >”的关系，即可得出结论. 【详解】当2x >时，则||2x >成立， 而当||2x >时，如3x =-，则2x >不成立， 所以“2x >”是“||2x >”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于容易题. 4.设0.23ln 0.2,3,0.2 ===a b c ，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得0a <，再由指数函数的单调性可得1,01b a ><<，即可得出结论. 【详解】0.2030ln0.2ln10,331,00.20.21a b c =<==>=<=<= ， 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题考查对数、指数幂的大小关系，利用函数的单调性是解题的关键，注意与特殊数的对比，属于容易题.5.函数()3||2e=x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及一些特殊值结合排除法进行判断即可.【详解】解：由33||||2()2()()e ex x x x f x f x ---==-=-，可知()f x 为奇函数， 所以图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，排除C . 故选：D ．【点睛】本题考查根据解析式选择图象，其关键是根据函数的性质以及特殊值选择，通常用排除法，属于基础题.6.已知,,a b c ∈R ，若2()f x ax bx c =++，满足()(4)2(0)=<-f f f ，则（ ）A. 0,0<+=a a bB. 0,0>+=a a bC. 0,20a a b <+=D. 0,20a a b >+=【答案】C 【解析】 【分析】由()(4)2(0)=<-f f f ，得到函数2()f x ax bx c =++图象开口向下，且以1x =为对称轴，即可求解.【详解】由()(4)2(0)=<-f f f ，根据二次函数的性质， 可得函数2()f x ax bx c =++图象开口向下，且以1x =为对称轴， 即0,12ba a<-=，解得0,20a a b <+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 7.若1sin cos 2αα-=，则1tan tan αα+=（ ） A.34 B.43C. 38D. 83【答案】D 【解析】 【分析】 由1sin cos 2αα-=，求得3sin cos 8αα=，又由11tan tan sin cos αααα+=，代入即可求解.【详解】因为1sin cos 2αα-=，所以21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=， 解得3sin cos 8αα=， 又由221sin cos sin cos 18tan tan cos sin sin cos sin cos 3αααααααααααα++=+===.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()21f x f x >-的解集为（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据()y f x =是偶函数及在[)0,+∞的单调性，根据()()21f x f x >-，可转化为21x x <-，化简整理，即可得结果.【详解】因为()()21f x f x >-，所以()()21fx f x =-，所以21x x <-，即22(21)x x <-，解得1x >或13x <， 故选：B.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，不等式的解法，难点在于根据偶函数的性质()()f x f x =，将函数值的大小关系，转化为自变量的大小关系，考查分析计算的能力，属中档题.9.若函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. a <-B. a >C. 0a <<D. ((),22,∈-∞-+∞a【答案】B 【解析】 【分析】求得导数()221,0x ax f x x x-+'=>，设()221,0g x x ax x =-+>，结合函数极值点的概念，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()2ln f x x ax x =-+，则()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>，设()221,0g x x ax x =-+>，要使得函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的极值点，则满足2()40a ∆=-->，且对称轴04a>，解得22a >. 故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点及其应用，其中解答中熟记导数与函数的极值点的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.函数()()sin f x A x =+ωϕ其中0,2πϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭A 的图象如下图所示，为了得到()f x 图象，则只需将()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位 C. 向右平移12π个长度单位D. 向左平移12π个长度单位【答案】B 【解析】 【分析】根据图像分别求出,A ω，再根据图像过点(,0)3π，结合ϕ的范围，求出ϕ的值，即可得()f x 的解析式，根据平移变换的规则即可得答案. 【详解】根据图像可得A =1，74()123T πππ=⨯-=，所以22T πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+， 又图像过点(,0)3π，所以2sin()03πϕ+=，解得()221,3k k Z πϕπ=+-∈因为2πϕ<，所以3πϕ=所以()sin(2)sin[2()]36f x x x ππ=+=+， 所以只需将()sin 2g x x =的图像向左平移6π个长度单位即可得到()f x 的图像. 故选：B.【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平移变换，关键点在于根据特殊点及范围，求出ϕ的值，考查分析化简的能力，属基础题.11.若,a b ∈R ，满足0ab >且223a b +=，则33a b b a+的最小值为（ ）C. 3D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到339=2a b ab b a ab+-，利用基本不等式，求得302ab <≤，设()92f x x x =-，利用单调性求得函数的最小值，即可求解.【详解】因为223a b +=，则33442222222()2929=2a b a b a b a b a b ab b a ab ab ab ab++--+===-又由222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，即23ab ≤，所以302ab <≤， 设()932,(0,]2f x x x x =-∈，可得函数()f x 在3(0,]2上单调递减， 所以()3()32f x f ≥=，即当302ab <≤时，923ab ab-≥， 所以33a b b a+的最小值为3.故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记基本不等式，以及合理利用函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭eC. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，得()2f x m =或()1f x =-，将问题等价转化为直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点，数形结合可得出实数m 的取值范围.【详解】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，即()()210f x m f x -⋅+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()2f x m =或()1f x =-，则直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点. 当1x ≥时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，得x e =. 当1x e ≤<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增； 当x e >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 函数()y f x =的极大值为()1f e e =，且当1x >时，()ln 0x f x x=>，如下图所示：由于关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解， 由图象可知，直线1y =-与函数()y f x =的图象只有一个交点， 所以，直线2y m =与函数()y f x =的图象有3个交点，所以102m e <<，解得102m e<<. 因此，实数m 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分 13.命题:(0,)p x ∃∈+∞，使得sin 0x >的否定为______． 【答案】(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤ 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题(0,)x ∃∈+∞，使得sin 0x >的否定为“(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤”.故答案为：(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.14.函数()2()lg 23f x x x =--的定义域为_________． 【答案】()(),13,-∞-+∞【解析】 【分析】根据对数真数大于0，建立x 的不等量关系，求解即可. 【详解】函数()2()lg 23f x x x =--有意义， 需2230x x -->，解得3x >或1x <-，所以函数()2()lg 23f x x x =--的定义域为()(),13,-∞-+∞.故答案为：()(),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题. 15.已知4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则sin α的值为_____.. 【解析】 【分析】根据α的范围及4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可求得cos()3πα+的值，再根据sin sin[()]33ππαα=+-，利用两角差的正弦公式展开即可得结果.【详解】因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<，又4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos()35πα+==-，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=+-=+-+413()525=⨯--=【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，易错点在于根据α的范围，判断cos()3πα+的正负，属基础题.16.已知函数()31=4f x x 图像上有动点()11,A x y ，函数()2g x x =-图像上有动点()22,B x y .若A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B 、两点的纵坐标值再次相等，且始终满足212x x -=，则在此运动过程中A B 、两点的距离AB 的取值范围是______．【答案】2⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据题意求出A B 、从初始位置出发至A B 、两点的纵坐标值再次相等时对应的1x 的取值，进而求得1x 的取值范围，用两点距离公式表示AB ，进而表示成关于1x 的函数，用导数的观点求AB 的取值范围即可.【详解】解：因为动点()11,A x y 在函数()31=4f x x 图像上，动点()22,B x y 在函数函数()2g x x =-图像上，所以311221,24y x y x ==-. 由题知：10x ≥，22x ≥，212x x =+.由当A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B 、两点的纵坐标值再次相等时，得312124x x =-，所以31114x x =，解得10x =或12x =±. 所以，当A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B、两点的纵坐标值再次相等时12x =.102x ∴≤≤，AB ∴==[]10,2x =∈设[]21,0,4x t t =∈，则[]0,4AB t =∈. 设()[]2321111,0,44162g t t t t t t t ⎛⎫=-=-+∈ ⎪⎝⎭，则()23116g t t t ='-+，由0g t 得4t =或43t =. 40,3t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦时，()0g t '>，g t 单调递增；4,43t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g t '<，g t 单调递减； 34t ∴=时，()max 43g t g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时maxAB ====0t =时，()()min 00g t g ==，此时，min 2AB ===.AB ⎡∴∈⎢⎣⎦.故答案为：0,9⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查用导数求最值，考查学生用导数解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知集合2{|log 0}=>A x x ，2{|30}B x x x =-< ，全集U =R ，求： （1）AB ；（2）()U C A B ．【答案】（1）()1,3；（2）(),3-∞. 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，求得集合,A B ，再集合集合的交集、并集和补集的运算，即可求解. 【详解】（1）由集合2{|log 0}{|1}(1,)A x x x x =>=>=+∞，2{|30}{|13}(1,3)B x x x x x =-<=<<=， 根据集合交集的运算，可得()=1,3AB ；（2）由（1）知，集合(1,)A =+∞，(1,3)B =，又由全集U =R ， 所以(]=,1-∞U C A ，所以()()=,3-∞U C A B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及对数函数的性质和一元二次不等式的求解，着重考查运算与求解能力.18.设函数()1+2=+-f x x x .（1）求不等式()5f x >的解集；（2）若x R ∀∈，2(4)+≥-f x t t 恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()(),23,x ∈-∞-+∞；（2）(][),13,∈-∞+∞t . 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数解析式形式，然后分类讨论求解即可；（2）问题转化为：()2min 4f x t t ≥-+，由（1）求出函数()f x 的最小值，最后根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）()2+11312212x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，，，， 当1x <-时，2+15->x ，2x <-，∴2x <-；当12x -≤<时，35>，∴x 无解；当2x ≥时，215x ->，3x >，∴3x >； 综上：()(),23,x ∈-∞-+∞；（2）当1x <-时，()(1)3f x f ≥-=； 当12x -≤<时，()3f x =； 当2x ≥时，()(2)3f x f ≥=，所以()min 3=f x ，若x R ∀∈，()24+≥-f x t t 恒成立，只需()2min 4f x t t ≥-+ 24301t t t ∴-+≥⇒≤或3t ≥，综上：(][),13,∈-∞+∞t .【点睛】本题考查了解绝对值不等式的方法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19.已知函数()()2sin cos =∈f x x x x x R .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()=f x a ，a R ∈在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦只有一个根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）{}1⎡∈⎢⎣⎭a .【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦、降幂公式和辅助角公式将()f x 化简为正弦型函数，利用正弦函数的递增区间整体代换，即可得出结论；（2）根据()f x 的解析式，由x 的范围求出整体角的范围，转化为sin y x =在该范围图象与y a =只有一个交点即可.【详解】（1）()2sin cos f x x x x =1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）()3sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由题意可得设42=,333πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x t 方程()3+=f x a 可以化为：sin =t a ， 即sin y t =，4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与y a =的图像有且只有一个交点， 根据图像得{}33,1⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭a .【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式、正弦函数的图象和性质，整体代换是解题的关键，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为222212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为4cos +2sin ρθθ=，直线与曲线交于、两点.（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线上有定点()2,1A -，求AM AN +的值.【答案】（1）直线：10x y +-=；曲线：()()22215x y -+-=；（2）【解析】 【分析】 （1）将2,122=-=-+x y t 两式相加，消去参数t ，即可得到本题答案；在方程4cos +2sin ρθθ=两边同时乘以ρ，再利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩转化为直角坐标方程即可；（2）把直线的参数方程：2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解，即可得到本题答案.【详解】（1）将2,122=-=-+x y 两式相加， 可得直线的普通方程为：10x y +-=，由题，得24cos +2sin ρρθρθ=，则224+2+=x y x y ， 所以直角坐标方程为：()()22215x y -+-=；（2）把直线的参数方程：21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线方程化简得：210t --= ，设对应的参数分别为1t ，2t ，因为()2,1A -在曲线内，所以12,t t 异号，由韦达定理，得12121t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以12||||||+=-=AM AN t t .【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程t 的几何意义，属于中档题.21.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]0.)1(5,k ∈，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）. （1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）3601807204ky k x x =---+；（2）0.58k ≥. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系； （2）根据（1）的结果，由题意，只需36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立，即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立，根据函数单调性，求出()()72042x x x +++的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x （万元）的专项补贴， 所以，A 公司生产防护服的利润121280(6)20850(6)44y x k x k x x ⎡⎤=+--++-⎢⎥++⎣⎦3601807204kk x x =---+； （2）为使A 公司不产生亏损，只需利润36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立；即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立；因为()()()()()2272047220212748801272202222x x x x x x x x x x x ++++++++===+++++++，令2t x =+，因为[]0,10x ∈，所以[]2,12t ∈，记()12720g t t t=++， 任取12212t t ≤<≤， 则()()()()2112121212121212127207207t t g t g t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212127t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为120t t -<，124144t t <<，所以12121234t t <=，即121270t t ->， 所以()12121270t t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即()()12g t g t <， 所以函数()12720g t t t=++[]2,12t ∈上单调递增；因此()()max 12105g t g ==，即()()72042x x x +++的最大值为105；所以只需180105k ≥，即0.58k ≥.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.22.设函数()()()10xf x e a x a =--≠.（1）当1a =求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若存在,m n R ∈满足m ne e a m n-=-，证明：2ln m n a +<成立. 【答案】（1）当0a <时，()f x 在R 上单调递增没有极值；当0a >时，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，极小值为2ln a a -；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由1a =时，求得导数()1xf x e =-'，结合导数的符号，求得函数()f x 的单调性，进而求解极值；（2）由m ne e a m n-=-，得到()()f m f n =，由于()f x 的极小值点为ln x a =，可设ln m a n >>，设()()(2ln )F x f x f a x =--，根据函数的单调性求出()(2ln )f n f a m >-，即可求解.【详解】（1）由1a =时，函数()1x f x e x =-+，则()1xf x e =-'，令()0f x '<，解得0x <；令()0f x '>，解得0x >；所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减；()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0x =时，函数()f x 有极小值，极小值为()02f =，无极大值. （2）由m ne e a m n-=-，可得m n e am e an -=-，从而得()()f m f n =， 由()(1)x f x e a x =--，则()xf x e a '=-，由（1）知，当0a <时，()0f x '>从而得()f x 在R 上单调递增没有极值，不符合题意； 当0a >时，()0f x '=，可得ln x a =；可得()0f x '>得ln x a >，()0f x '<得ln x a <，所以函数()f x 在()ln ,a +∞上单调增，()f x 在(),ln a -∞上单调减， 可设ln m a n >>设2ln ()()(2ln )(1)(2ln 1)a xxF x f x f a x e a x ea a x -⎡⎤=--=------⎣⎦2ln 22ln a xx e eax a a -=--+222ln xx a e ax a a e=--+2()220xx a F x e a a e '=+-≥=，仅当ln x a =时取得“=” 所以()F x 在()ln ,a +∞为单调递增函数且(ln )0F a =当ln m a >，时有()()(2ln )0F m f m f a m =-->，即()(2ln )f m f a m >- 又由()()f m f n =，所以()(2ln )f n f a m >-又由(1)知()f x 在(),ln a -∞上单调递减，且()2ln ,ln a m a -∈-∞，(),ln n a ∈-∞ 所以2ln n a m <-从而得证2ln m n a +<成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

江西省上饶市2019年高二上学期期末数学试卷(理科)B卷

江西省上饶市2019年高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）命题p：“∃x≥0，e ＜x0+1”，则￢p是（）A . ∀x≥0，ex＜x+1B . ∃x≥0，ex＞x+1C . ∃x≥0，ex≥x+1D . ∀x≥0，ex≥x+12. （2分） (2017高二下·中原期末) 知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C . y=±2xD .3. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·泸州模拟) 设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A . a⊥α，b∥β，α⊥βB . a⊥α，b⊥β，α∥βC . a⊂α，b⊥β，α∥βD . a⊂α，b∥β，α⊥β5. （2分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（）A . 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB . 若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC . 若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βD . 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β6. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 已知O为坐标原点，F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若为的准线上一点，的面积为8，则（）A .B . 2C .D . 48. （2分） (2017高一下·运城期末) 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E 和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，﹣b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）已知椭圆的离心率为，则实数等于（）A . 2B . 2或C . 或6D . 2或812. （2分）一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）A .B .C .D . 3二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）经过点A（1，2）和点B（3，m）的直线的倾斜角为45°，则实数m的值为________．14. （2分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________，四棱锥侧面中最大侧面的面积是________．15. （1分） P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为________16. （1分）(2019·湖州模拟) 已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2020高二下·宜宾月考) 设命题，命题q:关于x的方程有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“ ”为假命题，且“ ”为真命题，求a的取值范围．18. （10分）(2017·四川模拟) 已知：向量 =（，0），O为坐标原点，动点M满足：| +|+| ﹣ |=4．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线l1 ， l2都过点B（0，1），且l1⊥l2 ， l1 ， l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．19. （15分） (2016高一下·武汉期末) 如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2 ，AC=BC，F 是AB上一点，且AF= AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE= ．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．20. （10分）已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求证：OA⊥OB．（2）求|AB|．21. （15分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，底面对角线交于点，，面，是的中点.（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）若，求三棱锥的体积.22. （5分）求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。

江西省上饶市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

上饶市2019—2020年第一学期期末高二数学（文科）试题卷一、选择题1. 已知a>b, c>d ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. a+d>b+c B. ac>bdC.a b c d> D. d-a< c-b【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断即可.【详解】取2,1a b ==-，3,100c d ==-， 则98,2a d b c +=-+=，a d b c +<+，故A 错. 又6,100,ac bd ac bd ==<，故B 错. 取2,100a b ==-，3,1c d ==-，则23a c =，100b ad c=>，故C 错. 当,a b c d >>时，a b -<-，故()()d a c b +-<+-即d a c b -<-，故D 正确， 故选D.【点睛】本题考察不等式的性质，属于基础题.2.某学校的A ，B ，C 三个社团分别有学生20人，30人，10人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取12人参加某项活动，则从A 社团中应抽取的学生人数为（ ） A. 2 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】分层抽样每部分占比一样，通过A ，B ，C 三个社团为231::，易得A 中的人数． 【详解】A ，B ，C 三个社团人数比231::，所以12中A 有212=46⨯人，B 有312=66⨯人，C 有112=26⨯人． 故选B【点睛】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目．3. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A. 11 B. 12C. 13D. 14【答案】B 【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人． ∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人， 接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 考点：系统抽样4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）． A. 假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角至多有两个大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角都大于60度． 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D.【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.5.已知变量x 和y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为.25ˆ0ˆy bx =-，据此可以预测当8x =时，y 的估计值为（ ）A. 6.4B. 6.25C. 6.55D. 6.45【答案】C 【解析】 由题意知34567 2.534 4.565,555x y ++++++++====，得将点(5,4)代入.25ˆ0ˆybx =-，解得ˆ0.85b =， 所以当8x =时，0.8580.2.ˆ5655y=⨯-=，故选C ． 6.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A. 使用了“三段论”,但大前提错误B. 使用了“三段论”,但小前提错误C. 使用了归纳推理D. 使用了类比推理【答案】A 【解析】很明显有理数是整数、有限小数或无限循环小数，据此可得： 该推理使用了“三段论”,但大前提错误. 本题选择A 选项.7.已知点A （－2，0），点M （x ，y ）为平面区域220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ） A. 5 B. 3C.D.5【答案】D 【解析】【详解】试题分析:作出不等式组220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤，表示平面区域，如下图：由图可知：|AM|的最小值是点A （－2，0）到平面区域的边界线220x y +-=的距离， 由点到直线的距离公式，得：min222(2)026521AM⨯-+-==+， 故选D ．考点：线性规划．8.长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼.一次他骑ofo 共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是（ ） A.115B.18C.15D.13【答案】A 【解析】第二位数字可能是0,2,4,6,8 ; 第三位数字可能是3,6,9 ;所以小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是115315=⨯ ,选A. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9.设i 是虚数单位，条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数，条件:1q a =，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠所以由p 能推出q ； 但若1a =,不能推出复数1a bi -+是纯虚数. 所以由q 不能推出p .， 因此p 是q 充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10.执行如图所示的程序框图，如果输出S=132，则判断框中应填（ ）A. i≥10？B. i≥11？C. i≥12？D. i≤11？【答案】B 【解析】程序执行过程中的数据变化如下：121i s ，==，12111211s i ==，，，111113210s i ==，，， 1011，不成立，输出132s =.故选B.点睛：解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.11.以下四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；②“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件； ③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；④对于命题:p x R ∃∈使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥.其中,真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】根据四种命题的定义,我们可以判断A 的真假;根据充分不必要条件的定义,我们可以判断B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断C 的真假;根据特称命题的否定方法,我们可以判断D 的真假,进而得到答案.【详解】命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”,故①正确；不等式2320x x -+≥，解得2x ≥或1x ≤，所以2x >⇒2320x x -+≥，2320x x -+≥⇒/2x >，“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件. ②正确；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个为假，故③错误；命题:p x R ∃∈使得210x x ++<的否定p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥.④正确 故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充分不必要条件,是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.12.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（）A. 16B.14C.13D.512【答案】A【解析】【分析】建立如图所示的直角坐标系,,x y分别表示甲,乙二人到达A站的时刻,则坐标系中每个点(),x y可对应某日甲乙二人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲乙二人到达A站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为5101 20156⨯=⨯.【详解】请在此输入详解！二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13.一组数据从小到大排列，依次为2,3,4,,9,10x，若它们的中位数与平均数相等，则x=______.【答案】8【解析】【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x的方程，解方程得到x的值.【详解】因为数据2,3,4，x ，9,10的中位数与平均数相等，所以423491026x x ++++++=，解得8x =.【点睛】主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________． 【答案】60 【解析】 【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为,1x x +，列出方程，即可求解.【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数， 设第二、三个数为：,1x x +，所以222(1)11x x +=+， 解得60x =，所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61， 故答案为60.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.【答案】9 【解析】 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 16.已知p ：()()310x x +->；q ：222x a a >--，p ⌝是q ⌝ 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】根据¬p 是¬q 的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件，建立不等式关系进行求解即可【详解】已知p ：()()310x x +->，可知p ：x>1或x<-3, ∵p ⌝是q ⌝ 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件， 得222a a --≥1，解得a≤ -1或a≥3， 即a∈][(),13,-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤） 17.若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是{x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0． 【答案】（1）3 （2）3|12x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式解集的边界值为与不等式对应的方程的根，结合根与系数的关系可求得实数a 的值；（2）将实数a 的值代入不等式，求得二次方程的根，结合二次函数图像可得到不等式的解集试题解析：（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a ）x 2－4x ＋6＝0的两根，∴104{21631a a a-<=--=--，解得a ＝3．（2）由（1）得不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0即为2x 2－x －3>0， 解得x<－1或x>32．∴所求不等式的解集为3|12x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或．考点：一元二次不等式解法18.已知:p 二次函数2()2f x x ax =-+在[1,)+∞上是增函数；:q 指数函数()2()6xf x a a =-在定义域内是增函数；命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，求实数a 的取值范围． 【答案】1132a -≤≤ 【解析】 【分析】求出命题p ，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可． 【详解】p ：对称轴122ax a =≤⇔≤ q ：由6a 2﹣a ＞1即21161032a a a a --⇒-＞＜或＞由命题“p ∧q ”为假，且“￢p ”为假⇒p 真q 假即211113232a a a ≤⎧⎪⇒-≤≤⎨-≤≤⎪⎩ 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断p ，q 的真假是解决本题的关键．19.一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题： （Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）710.【解析】 【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=； （II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 ，(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 20.命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =． 【解析】 【分析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<；（2）由题意可知22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞ 【详解】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立， 则()244230a a ∆=-+<，所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-； （2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <， 根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞， 即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3，根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩，所以52a =-，12b =． 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法． 21.（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求128ab +的最小值． （2）已知,a b 是正数，且满足1a b +=，求14a b+的最小值． 【答案】（1）14；（2）9. 【解析】【分析】（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出128ab+的最小值； （2）将代数式+a b 与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求出14a b+的最小值．【详解】（1）360a b -+=，36a b ∴-=-，由基本不等式可得333611222222222284aa b a b a b b ----+=+≥⋅===， 当且仅当336a b a b =-⎧⎨-=-⎩，即当31a b =-⎧⎨=⎩时，等号成立，所以，128a b +的最小值为14；（2）由基本不等式可得()1414445259a b a ba b a b a b b a b a⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭， 当且仅当410,0a bb a a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，即当1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以，14a b +的最小值为9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．22.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）若得分不低于85分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（3）若此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++）【答案】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；（2）没有；（3）3 4【解析】【分析】（1）观察茎叶图即可求解.（2）由茎叶图列出列联表，根据独立性检验的思想对照临界值即可求解. （3）利用条件概率的求法即可求解.【详解】（1）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；（2）()22405101015 2.667 3.84120201525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关； （3）设事件M ：恰有一人认可； 事件N ：来自B 城市的人认可；事件M 包含的基本事件数为5101015200⨯+⨯=， 事件M N ⋂包含的基本事件数为1015150⨯=， 则所求的条件概率()()()1503|2004P N M P N M P M ===.【点睛】本题考查了茎叶图、独立性检验基本思想的应用、条件概率，属于中档题.。

江西省上饶市“山江湖”协作体统招班2019-202第0学年高二(上)联考数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年江西省上饶市“山江湖”协作体统招班高二（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.a>0，b>0，则不等式a>1x>−b的解为()A. −1b <x<0或0<x<1aB. −1a<x<0或0<x<1bC. x<−1b 或x>1aD. −1a<x<1b2.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<−2或x>4}，那么对于函数f(x)=ax2+bx+c有()A. f(5)<f(2)<f(−1)B. f(2)<f(5)<f(−1)C. f(−1)<f(2)<f(5)D. f(2)<f(−1)<f(5)3.已知a=sin153°，b=cos62°，c=log1213，则()A. a>b>cB. c>a>bC. b>c>aD. c>b>a4.已知点A(−3,−1)和B(4,−6)在直线l：3x−2y−a=0的两侧，则a的取值范围是()A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)5.当a<−1时，不等式x−a(x+1)(x−3)≤0的解集是()A. (−∞,−1)∪[a，3]B. (−∞,a)∪[−1，3]C. (−∞,a)∪(−1,3)D. (−∞,a]∪(−1，3)6.方程(x2+y2−4)√x+y+1=0的曲线形状是()A. B.C. D.7.若两个正实数x，y满足2x +1y=1，且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−2)∪[4，+∞)B. (−∞,−4)∪[2，+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)8.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2−63[x]+45<0成立的x的取值范围是()A. [1,15)B. [2,8]C. [2,8)D. [2,15)9.数列{a n}的通项公式为a n=14n2−1，则数列{a n}的前n项和S n=()A. 2n2n+1B. n2n+1C. 2n4n+1D. n4n+110.在△ABC中，b2+c2−a2a2+c2−b2=b2a2，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形11.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为()A. 7√155B. 8√155C. 4√3D. 6√312. 已知函数f(x)={|log 3x|,x >0x 2+4x +1,x ≤0，函数F(x)=f(x)−b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x4x 3−x 1x 32+x 2x 322的取值范围是( )A. [2√2,+∞)B. (3,839]C. [3,+∞)D. [2√2,839]二、填空题（本大题共4小题）13. 已知正数x ，y 满足x +y =1，则4x+2+1y+1的最小值为______ ． 14. 设f(x)=4x 4x +2，则f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017)=______．15. 已知0<a <1，若log a (2x −y +1)>log a (3y −x +2)，且λ<x +y ，则λ的最大值为______ ．16. 在R 上定义运算：x ⊗y =x(1−y)若存在x ∈R 使得(x −a)⊗(x +a)>1成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题）17. (1)关于x 的不等式x 2−ax −a ≤−3的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)已知x <54，求函数y =4x −2+14x−5的最大值．18. 已知二次函数f(x)=x 2+mx −6(m >0)的两个零点为x 1和x 2，且x 2−x 1=5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式f(x)<4−2x ．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅sinB =ab ⋅(2sinA −sinC)． (1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为√3，求实数b 的取值范围．20.已知在等比数列{a n}中，a1=1，a2是a1和a3−1的等差中项，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=2n+1+a n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．21.若变量x，y满足约束条件{x+y−2≥03x−y≤6x−y≥0，求：(1)z=x−2y+3的最大值；(2)z=y+2x+3的取值范围；(3)z=x2+y2−2x−y+1的取值范围．22.已知函数f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R)(1)若不等式f(x)<0的解集是空集，求m的取值范围；(2)当m>−2时，解不等式f(x)≥m；(3)若不等式f(x)≥0的解集为D，若[−1,1]⊆D，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a >0，b >0，当x >0时，由不等式a >1x >−b 可得 0<1x <a ，∴x >1a．当x <0时，由不等式a >1x >−b 可得−b <1x <0， ∴x <−1b ．综上可得，x >1a ，或x <−1b ． 故选：C ．当x >0时，原不等式化为0<1x <a ，x >1a .当x <0时，原不等式化为−b <1x <0，故x <−1b .把这两个x 的范围取并集，即得所求．本题主要考查了分式不等式的求法，不等式的基本性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 2.【答案】D【解析】解：ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(4,+∞)，可知−2，4是ax 2+bx +c =0的两根，由根与系数的关系，所以{−2+4=−ba(−2)×4=c a 且a >0，所以{b =−2a c =−8a ，函数f(x)=ax 2+bx +c =ax 2−2ax −8a =a(x 2−2x −8)，抛物线对称轴为x =1，开口向上， 所以f(2)<f(−1)<f(5) 故选：D ．由已知，可知−2，4是ax 2+bx +c =0的两根，由根与系数的关系，得出，化函数f(x)=ax 2+bx +c =ax 2−2ax −8a =a(x 2−2x −8)，利用二次函数图象与性质求解． 本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键，属基础题． 3.【答案】D【解析】解：a =sin153°=sin27°， b =cos62°=sin28°， c =log 1213>log 1212=1，∴c >b >a ． 故选：D ．由诱导公式及对数函数的单调性能比较三个数的大小．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式及对数函数的单调性的合理运用． 4.【答案】B【解析】解：∵点A(−3,−1)和B(4,−6)在直线l ：3x −2y −a =0的两侧， ∴[(−3)×3−2×(−1)−a][3×4−2×(−6)−a]<0， 化为(a +7)(a −24)<0， 解得−7<a <24． 故选：B ．由点A(−3,−1)和B(4,−6)在直线l ：3x −2y −a =0的两侧，可得[(−3)×3−2×(−1)−a][3×4−2×(−6)−a]<0，解出即可．本题考查了点与直线的位置关系、一元二次不等式的解法，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：当a <−1时，不等式x−a(x+1)(x−3)≤0等价于(x −a)(x +1)(x −3)≤0且x −3≠0，x +1≠0，解得x ≤a 或−1<x <3，故不等式的解集为(−∞,a]∪(−1，3)， 故选：D ．当a <−1时，不等式x−a(x+1)(x−3)≤0等价于(x −a)(x +1)(x −3)≤0且x −3≠0，x +1≠0，解得即可．本题考查了分式不等式的解法，属于基础题． 6.【答案】C【解析】【分析】由已知的方程得到{x 2+y 2−4=0x +y +1≥0，或x +y +1=0，则由线性规划知识可得答案．本题考查了轨迹方程，考查了学生的理解能力，是中档题． 【解答】解：由(x 2+y 2−4)√x +y +1=0，得{x 2+y 2−4=0x +y +1≥0，或x +y +1=0．它表示直线x +y +1=0和圆x 2+y 2=4在直线x +y +1=0右上方的部分． 故选C ． 7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题． 由题意和基本不等式可得x +2y 的最小值，再由恒成立可得m 的不等式，解不等式可得m 的取值范围． 【解答】解：∵正实数x ，y 满足2x +1y =1，∴x +2y =(x +2y)(2x +1y)=4+4y x+x y ≥4+2√4y x ⋅xy =8，当且仅当4y x =xy ，即x =4且y =2时，x +2y 取最小值8， ∵x +2y >m 2+2m 恒成立，∴8>m 2+2m ， 解关于m 的不等式可得−4<m <2， 故选D ． 8.【答案】A【解析】解：解4[x]2−63[x]+45<0得，34<[x]<15； ∵[x]表示不大于x 的最大整数； ∴1≤x <15；∴x 的取值范围是[1,15)． 故选：A ．可解关于[x]的一元二次不等式不等式4[x]2−63[x]+45<0得到34<[x]<15，从而得出1≤x <15，即得出x 的范围．考查一元二次不等式的解法，知道[x]表示不超过x 的最大整数． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的能力，属于基础题．化a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和． 【解答】解：数列{a n }的通项公式为a n =14n 2−1， 即a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则数列{a n }的前n 项和S n =12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1) =12(1−12n+1)=n2n+1． 故选：B ． 10.【答案】D【解析】解：b 2+c 2−a 2a 2+c 2−b2=b 2a 2，∴2bccosA2accosB =b 2a 2，化简可得，cosAcosB =ba =sinBsinA ， ∴sinAcosA =sinBcosB ， 即sin2A =sin2B ，∴2A =2B 或2A +2B =π， ∴A =B 或A +B =12π，则△ABC 是直角三角形或等腰三角形．故选：D ．由已知结合余弦定理，正弦定理分别对已知进行化简后即可判断．本题考查三角形形状的判断，考查正余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：设顶角为θ，由余弦定理可得36=122+122−2×12×12×cosθ，解得cosθ=78，∴sinθ=√158，再由正弦定理可得：6sinθ=2R ，∴2R =√158，∴R =8√155． 故选：B ．设顶角为θ，由余弦定理可得cosθ的值，可得sinθ 的值，再由正弦定理求得它的外接圆半径．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 12.【答案】D【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：由图象知 x 1+x 2=−4，x 3x 4=1，1<b ≤2， 解不等式0<−log 3x ≤1得：13≤x 3<1， ∴x4x 3−x 1x 32+x 2x 322=x4x 3−x 322×(x 1+x 2)=1x 32+2x 32，令t =x 32，则19≤t <1，令g(t)=2t +1t ，则g(t)在[19,√22]上单调递减，[√22,1)上是增函数．g(√22)=2√2，g(19)=839，∴g(√22)≤g(t)≤g(19)，即2√2≤2t +1t ≤839．故选：D ．根据函数图象得出4个零点的关系及范围，利用换元法求出新函数的值域即可． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与应用，属于难题．13.【答案】94【解析】【分析】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．由条件可得(x +2)+(y +1)=4，则4x+2+1y+1=14[(x +2)+(y +1)](4x+2+1y+1)，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件． 【解答】解：正数x ，y 满足x +y =1， 即有(x +2)+(y +1)=4，则4x+2+1y+1=14[(x +2)+(y +1)](4x+2+1y+1)=14[5+x +2y +1+4(y +1)x +2] ≥14[5+2√x+2y+1⋅4(y+1)x+2]=14×(5+4)=94，当且仅当x =2y =23时，取得最小值94． 故答案为94．14.【答案】1008【解析】解：∵f(x)=4x4x +2，∴f(x)+f(1−x)=4x4x +2+41−x41−x +2=4x4x +2+44+2⋅4x =1， ∴f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017)=1008×1=1008．故答案为：1008．推导出f(x)+f(1−x)=1，由此能求出f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017)的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15.【答案】−2【解析】解：根据题意得：{2x −y +1>03y −x +2>02x −y +1<3y −x +2即{2x −y +1>03y −x +2>03x −4y −1<0画出不等式表示的平面区域设目标函数z =x +y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大 作出目标函数对应的直线L ：y =−x 由{2x −y +1=03x −4y −1=0得A(−1,−1) 直线过A(−1,−1)时，直线的纵截距最小，z 最小，最小值为z =−2 则目标函数z =x +y 的取值范围是(−2,+∞)． 又λ<x +y ，则λ的最大值为−2 故答案为：−2．根据题意得出约束条件，再作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，z 最小，从而得出目标函数z =x +y 的取值范围，最后根据λ<x +y ，得出λ的最大值．本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值．16.【答案】(−∞,−12)∪(32,+∞)【解析】解：由题意知，(x −a)⊗(x +a)>1可化为(x −a)[1−(x +a)]>1， 即x 2−x <a 2−a −1；问题化为：存在x ∈R 使得不等式x 2−x <a 2−a −1成立， 设f(x)=x 2−x ，则f(x)≤f(12)=14−12=−14； 等价于为a 2−a −1>−14， 即4a 2−4a −3>0， 解得a <−12或a >32，则实数a 的取值范围是(−∞,−12)∪(32,+∞)． 故答案为：(−∞,−12)∪(32,+∞)．由题意(x −a)⊗(x +a)>1化为(x −a)[1−(x +a)]>1，问题等价于“存在x ∈R 使得不等式x 2−x <a 2−a −1成立”，求出f(x)=x 2−x 的最小值，建立关于a 的不等式，求出解集即可． 本题考查了新定义的关于不等式解法与应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题．17.【答案】解：(1)设f(x)=x 2−ax −a ，则关于x 的不等式x 2−ax −a ≤−3的解集不是空集 ⇔f(x)≤−3在R 上能成立⇔−3≥f(x)min ， 即f(x)的最小值为−4a−a 24，由−4a−a 24≤−3，解得a ≥2或a ≤−6；(2)x <54，即5−4x >0，y =4x −2+14x−5 =−(5−4x +15−4x)+3≤−2√(5−4x)⋅15−4x +3=1，当且仅当5−4x =15−4x ，解得x =1或x =32(舍去)即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，函数y 的最大值为1．【解析】(1)设f(x)=x 2−ax −a.由题意可得−3不小于f(x)的最小值，由二次函数的性质可得最小值，解不等式即可得到所求范围；(2)由题意可得5−4x >0，即有y =−(5−4x +15−4x )+3，运用基本不等式可得函数y 的最大值．本题考查不等式的解法和函数的最值求法，注意运用转化思想，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得：x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，由韦达定理得{x 1+x 2=−mx 1x 2=−6, 故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25，故m 2=1，∵m >0，∴m =1， 故f(x)=x 2+x −6；(2)由f(x)<4−2x 得x 2+x −6<4−2x ，即x2+3x−10<0，即(x+5)(x−2)<0，解得：−5<x<2，故不等式的解集是{x|−5<x<2}．【解析】本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及解不等式问题，是一道常规题．(1)根据二次函数的性质得到关于m的方程，解出即可；(2)问题转化为x2+3x−10<0，解出即可．19.【答案】(本小题满分12分)解：(1)法一：由正弦定理得(a2+b2−c2)⋅b=ab⋅(2a−c)，(1分)∵b≠0，∴a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =12，(4分)又在△ABC中，0<B<π，∴B=π3.(6分)法二：(1)由余弦定理得：2sinBcosC=2sinA−sinC.(1分)又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，∴sinC(2cosB−1)=0．又0<C<π，sinC>0，∴cosB=12，(4分)注意到0<B<π，∴B=π3.(6分)(2)∵S△ABC=12acsinB=√3，∴ac=4，(8分)由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac≥ac=4，(10分)当且仅当a=c=2时，等号成立．(11分)∴b≥2，则实数b的取值范围为[2,+∞).(12分)【解析】(1)法一：由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=ac，利用余弦定理可求cosB=12，结合范围0<B<π，可求B．法二：(1)由余弦定理化简已知得2sinBcosC=2sinA−sinC，进而可求sinC(2cosB−1)=0.由于sinC>0，可得cosB=12，结合0<B<π，可求B的值．(2)利用三角形面积公式可求ac=4，由余弦定理，基本不等式可求得：b2≥ac=4，即可得解b的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3−1的等比中项，∴2a2=a1+(a3−1)=a3，∴q=a3a2=2，∴a n =a 1q n−1=2n−1，(n ∈N ∗)；(2)∵b n =2n −1+a n ，∴S n =(1+1)+(3+2)+(5+22)+⋯+(2n −1+2n−1)=(1+3+5+⋯+2n −1)+(1+2+22+⋯+2n−1)=1+(2n −1)2⋅n +1−2n 1−2=n 2+2n −1．【解析】(1)根据等比数列的性质求出公比q ，从而求出数列的通项公式；(2)根据数列{b n }的通项公式求出数列的前n 项和S n 即可．本题考查了等比数列，考查数列求和问题，是一道中档题．21.【答案】解：作出可行域，如图所示；由 {x +y −2=03x −y =6，解得{x =2y =0，即点A(2,0)； 由 {x +y −2=0x −y =0，解得{x =1y =1，即点B(1,1)； 由 {3x −y =6x −y =0，解得{x =3y =3，即点C(3,3)； (1)如图可知 z =x −2y +3，在点A(2,0)处取得最优解，则z max =2−0+3=5； …(4分)(2)z =y+2x+3，可看作区域内的点P(x,y)与定点M(−3,−2)连线的斜率的范围，在点A(2,0)，C(3,3)处取得最优解，则z min =0+22+3=5，z max =3+23+3=56，所以 z ∈[25,56]；…8分(3)z =x 2+y 2−2x −y +1=(x −1)2+(y −12)2−14=(x −1)2+(y −12)2， 可看作区域内的点P(x,y)与定点N(1,12)的距离的平方，由图形可知 d min =|1+12−2|√2=2√2， 所以z min =d 2 min −14=18−14=−18；在点C(3,3)处取得最大值，即z max =(3−1)2+(3−12)2−14=10；所以 z ∈[−18,10]．…(12分)【解析】(1)作出不等式组表示的可行域，找出目标函数z =x −2y +3的最优解，即可求出最大值z max ；(2)把z =y+2x+3看作区域内的点P(x,y)与定点M(−3,−2)连线的斜率，计算它的取值范围即可；(3)化目标函数，把它看作区域内的点P(x,y)与定点N(1,12)的距离的平方，结合图形求出它的取值范．本题考查了简单的线性规划应用问题，是综合题．22.【答案】解：(1)①当m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，不合题意；②当m +1≠0，即m ≠−1时，{m +1>0△=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≥2√33，∴m 的取值范围是[2√33,+∞)； (2)∵f(x)≥m ，∴(m +1)x 2−mx −1≥0，即[(m +1)x +1](x −1)≥0， ①当m +1=0即m =−1时，不等式的解集为[1,+∞)；②当m +1>0即m >−1时，(x +1m+1)(x −1)≥0，∵−1m+1<0，∴不等式的解集为(−∞,−1m+1]∪[1,+∞)；③当m +1<0即−2<m <−1时，(x +1m+1)(x −1)≤0，∵−2<m <−1，∴−1<m +1<0，∴−1m+1>1，∴不等式的解集为[1,−1m+1]；(3)不等式f(x)≥0的解集为D ，若[−1,1]⊆D ，即对任意的x ∈[−1,1]，不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立，即m(x 2−x +1)≥−x 2+1恒成立，∵x 2−x +1>0恒成立，∴m ≥−x 2+1x 2−x+1=−1+2−xx 2−x+1恒成立，设t =2−x ，则t ∈[1,3]，x =2−t ，∴，2−x x 2−x+1=t (2−t)2−(2−t)+1=t t 2−3t+3=1t+1t −3，∵t +3t ≥2√3，当且仅当t =√3时取等号， ∴2−x x 2−x+1≤2√3−3=2√3+33，当且仅当x =2−√3时取等号，∴当x =2−√3时，−x 2+1x 2−x+1的最大值为−1+2√3+33=2√33， ∴m 的取值范围是[2√33,+∞)．【解析】(1)不等式f(x)<0的解集是空集，分m =−1和m +1≠0两种情况求解；(2)分m =−1，m >−1和−2<m <−1三种情况解不等式；(3)由条件知对任意的x ∈[−1,1]，不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立，即m ≥−x 2+1x 2−x+1恒成立，然后解出y =−x 2+1x 2−x+1的最大值可得m 的范围．本题考查了一元二次不等式的解法，集合与集合间的关系和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量测试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12ii-的虚部为（ ） A ．-1 B ．i -C ．1D ．i【答案】C【解析】由复数的除法运算化复数为(,)a bi a b R +∈形式，然后可得虚部． 【详解】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+--+，虚部为1． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的除法运算，属于基础题． 2．已知命题00:,0x p x R e ∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,0x x R e ∀∈>B ．,0x x R e ∀∈≥C ．,0x x R e ∃∈>D ．,0x x R e ∃∈≥【答案】B【解析】把命题的结论否定，同时存在量词改为全称量词． 【详解】 命题00:,0x p x R e ∃∈<的否定是：,0x x R e ∀∈≥．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的否定，解题时注意命题的否定除否定结论外，还必须把存在量词与全称量词互换．3．已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.若()a b c ⊥-，则x 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】(2,3,1),()4320b c a b c x -=-∴⋅-=++=，解得2x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查了由向量垂直求参数的值，属于基础题.4．函数21y x =-的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A ．120(1)d x x -⎰ B ．220(1)d x x -⎰C ．220|1|d x x -⎰D ．122201(1)d 1d ()x x x x -+-⎰⎰【答案】C【解析】对阴影部分的面积分成两部分，再进行积分运算. 【详解】 所求面积为12222201(1)d (1)d |1|d x x x x x x -+-=-⎰⎰⎰．【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当[0,1]x ∈时，()0f x <，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是[0,1]x ∈对应阴影部分的面积．5．双曲线2214x y -=的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．25B ．55C 23D ．1【答案】A【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为12y x =±， 不妨考查其中的一条渐近线：20x y +=， 其右顶点坐标为：()2,0，由点到直线距离公式可得右顶点到该双曲线的渐近线的距离为：2025514d +==+.本题选择A 选项. 6．在极坐标系中，点2(2,)3π到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A B C D【答案】A【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后得出圆心坐标，由两点间距离可得． 【详解】点2(2,)3π的直角坐标是(-， 由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)，= 故选：A ． 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查两点间的距离．掌握极坐标与直角坐标公式的互化公式是解题关键．7．下列点在曲线2sin cos ,cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的是（ ）A ．1(,2B ．C ．D ．31(,)42-【答案】D【解析】首先将参数方程化为普通方程，将选项代入普通方程检验即可得正确答案. 【详解】()22cos sin 12sin cos 1y x θθθθ=+=+=+，所以普通方程为21=+y x ，且sin 2x θ=，11x ∴-≤≤，经检验，只有31(,)42-满足方程21=+y x ，故选：D 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程互化，判断点在曲线上的方法，关键是消参，属于基础题.8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用定义法直接判断即可. 【详解】若l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，若l α⊂，//αβ，则l 与β无公共点，根据线面平行的定义，知//l β. 所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法.9．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C ．5D ．6【答案】C【解析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==．∴线段||PQ 的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，“…”代表无限次重复，设x =则可利用方程x =x ，类似地可得到正数2211...=++（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】根据题意设2211...x=++，则21x x=+，解得答案. 【详解】设2211...x=++，则21x x=+，解得：1x =或2x =-（舍去）， 故选：D 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力，属于基础题.11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A．2B．4C．4D．2【答案】B【解析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为14，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)3,1,0A，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,2E t ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2F t ⎫⎪⎪⎝⎭， 31,2AE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,2BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为14， 所以222112cos ,411t AE BF AE BF AE BFt t -⋅===++， 解得：1t =所以31,12AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为362sin 421AE n AE nα⋅===⨯故选：B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题. 12．函数22()sin2x x xf x ee a π--+=-+ （x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A．1 0,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B．10,π⎛⎫⎪⎝⎭C．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D．40,π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】函数22()sin2x xxf x e e aπ--+=-+存在唯一的零点，等价于函数()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，画出两个函数的图象，由图知需要满足(2)(2)gϕ''≥，即可得答案.【详解】函数22()sin2x xxf x e e aπ--+=-+存在唯一的零点，等价于函数()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，因为()sin2xx aπϕ=的最小正周期为242Tππ==,最大值为a的函数，所以两个函数图象如下图所示：要使()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，则(2)(2)gϕ''≥，因为()cos22x a xππϕ'=，所以(2)cos2222a aπππϕ'=⨯=-，因为22()x xg x e e-+-'=--，所以(2)2g'=-，所以22aπ-≥-，解得：4aπ≤，又因为0a>，所以a的取值范围为：40,π⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题主要考查了由函数零点的个数求参数范围，转化为两个函数图像交点的个数，数形结合很重要，属于中档题.二、填空题 13．已知222233+=，333388+=，44441515+=，，类比这些等式，88a ab b+=（a，b 均为正整数），则a b +=________. 【答案】71 【解析】2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-，利用归纳推理求解. 【详解】 2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-，……， 288881a b +=- 所以8,63a b == 所以71a b += 故答案为：71 【点睛】本题主要考查归纳推理，属于基础题. 14．201cos x dx xdx π--=⎰⎰___【答案】4π【解析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出答案. 【详解】 定积分021x dx -⎰的几何意义为：圆221x y +=的14个圆的面积， 即22011144x dx ππ-=⨯⨯=⎰，又由0cos sin sin sin 00xdx xπππ==-=⎰，故cos 044xdx πππ-=-=⎰⎰故答案为：4π 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理，属于基础题.15．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假求集合的运算得结论． 【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，∴2a <． 若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假， p 真q 假时，122a a ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，∴2a ≥， p 假q 真时，122a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩，12a ≤，综上，2a ≥或12a ≤． 故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查复合命题的真假，由复合命题的真假求参数取值范围，本题还考查了不等式恒成立与能成立问题．属于中档题．16．已知P是双曲线221168x y-=右支上一点，12,F F分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N满足()21220,,0PFPMF P PM PN PN F NPM PFλλμ⎛⎫⎪=>=+=⎪⎝⎭⋅，若24PF=.则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为________.【答案】64π【解析】延长2F N交PM于点Q，由向量数量积和线性运算可知PN为线段2F Q的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ，利用中位线性质可求得ON，进而得到结果.【详解】延长2F N，交PM于点Q，如下图所示：22PFPMPNPM PFμ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，PN∴为2QPF∠的角平分线，又2PN F N⋅=，2PN NF∴⊥，PN∴为线段2F Q的垂直平分线，24PQ PF∴==. 由双曲线定义知：12248PF PF-=⨯=，18412PF∴=+=，141216FQ∴=+=，,O N分别为122,F F QF中点，1182ON FQ∴==，∴以O为圆心，ON为半径的圆的面积64Sπ=.故答案为：64π.【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈.（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程；（2）已知P 是C 2上参数对应απ=的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；0x y -=；（2.【解析】(1)由C 1的普通方程可得参数方程；由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程； (2) 由题可知(3,1)P --，由（1）可知(cos )Q ββ，求出PQ 中点M 的坐标，利用点线距公式以及三角函数的有界性求出最值． 【详解】（1）1C的参数方程为cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；l 的直角坐标方程为0x y -=.（2）由题设可知(3,1)P --，由（1）可设(cos )Q ββ，于是311cos ,222M ββ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭. M 到直线l距离d ==， 当23πβ=时，d. 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查点线距公式，属于中档题． 18．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()2,M m 到焦点F 的距离为3.（1）求,p m 的值；（2）过点()1,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）2p =；m =±（2）210x y --=.【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得p ，代入点的坐标求出m ；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程相减珀利用中点坐标得直线斜率，从而可得直线方程． 【详解】（1）由抛物线焦半径公式知：232pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，2248m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-， 1212124l y y k x x y y -∴==-+，()1,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()121y x -=-，即210x y --=.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查抛物线中的点差法．圆锥曲线上点差法可以把弦中点坐标与弦所在直线斜率建立关系．19．已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值1.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值（ln 20.6931≈）.【答案】（1）1a =，2b =-；（2）最大值为42ln 2-，最小值为1..【解析】（1）根据极值的定义结合条件可知()()'10,11f f ==，列出方程组，即可解出,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值，比较极值的大小可求出最值. 【详解】（1）由题可知，2()ln f x ax b x =+，()f x 的定义域为()0,∞+，()2(0)bf x ax x x'∴=+>，由于()f x 在1x =处有极值1，则()()111120f a bln f a b ⎧=+==='⎪⎨+⎪⎩，即120a a b =⎧⎨+=⎩，解得：1a =，2b =-.（2）由（1）可知2()2ln f x x x =-，其定义域是(0,)+∞，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=，令()=0f x '，而0x >，解得1x =，由()0f x '<，得01x <<；由()0f x '>，得1x >， 则在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，x ，()f x '，()f x 的变化情况表如下： x121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,22()f x '-()f x12ln 24+ 单调递减1单调递增42ln 2-可得()()min 11f x f ==，112ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()422ln 2f =-， 由于()11242ln 22ln 2024f f ⎛⎫⎛⎫-=--+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1(2)2⎛⎫> ⎪⎝⎭f f ， 所以()()max 242ln 2f x f ==-，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为42ln 2-，最小值为1.【点睛】本题考查已知函数的极值求参，考查利用导数求函数的极值和最值，熟悉极值的定义是解题的关键，属于中档题.20．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==，60ABC ∠=.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ； （2）求二面角C PE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）64. 【解析】（1）首先连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，易证BD ⊥平面PAC ，又因为//BD EF 得到EF ⊥平面PAC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面PAC ⊥平面PCE .（2）以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，再利用向量法求解二面角C PE D --的余弦值即可. 【详解】（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF .因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以//OF PA ，且1=2OF PA ， 因为//DE PA ，且1=2DE PA ，所以//OF DE ，且OF DE =.所以四边形OFED 为平行四边形，所以//OD EF ，即//BD EF .因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA BD⊥.因为ABCD是菱形，所以BD AC⊥.因为PA AC A=，所以BD⊥平面PAC.因为//BD EF，所以EF⊥平面PAC.因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.（2）因为60ABC∠=，底面ABCD是菱形，所以AC AB=，故ABC为等边三角形.设BC的中点为M，连接AM，则AM BC⊥.以A为原点，AM，AD，AP分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系A xyz-，如图所示：则()002P,,，()3,1,0C，()0,2,1E，()0,2,0D，()3,1,2PC=-，()3,1,1CE=-，.设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则·0·0n PCn CE⎧=⎨=⎩，即11111132030x y zx y z+-=++=⎪⎩令11y=，则1132xz⎧=⎪⎨=⎪⎩()3,1,2n=.平面PDE的一个法向量为()1,0,0m=，设二面角C PE D--的大小为θ，由于θ为锐角，所以36,422θ⋅====⋅n mcos cos n mn m.所以二面角C PE D--的余弦值为64【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查向量法求解二面角，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是)A，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线:l y kx m =+与C 交于,M N 两点（l 不经过D 点），且MD ND ⊥，证明：直线l 经过定点，并写出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由离心率与顶点坐标可求得,,a c b 得椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消去y 后得x 的一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由0DM DN ⋅=可得,k m 的关系，代入直线方程可得定点，注意直线的限制条件． 【详解】 （1）右顶点是)A，离心率为2，所以c a a ==， ∴1c =，则1b =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由已知得(0,1)D ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， 当>0∆时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122414km x x k -+=+，21222214m x x k -=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=+，()()2212122212m k y y kx m kx m k-=++=+， 由MD ND ⊥得()()1212110DM DN x x y y ⋅=+--=，即22321012m m k --=+，所以23210m m --=，解得1m =或13m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，不符合题意，舍去.②当13m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线过定点问题，解题方法是设而不求的思想方法，设出直线方程与交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理代入其他条件求解． 22．已知函数()()22ln 4f x m x x x m =+-∈R .（1）当3m =-求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()1230f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,3；()f x 的单调递增区间为()3,+∞.；（2）(],1-∞-.【解析】（1）求出导函数，由()0f x '<得减区间，由()0f x '>得增区间；（2）首先求出导函数()'f x ，由()0f x '=得出12,x x 以及参数m 的关系，()112m x x =-，101x <<，212x <<，不等式()1230f x ax -≥可消去2x ，并由分离参数法化为()2111111111122ln 4212ln 12322x x x x x a x x x x x -+-≤=+----（））3（，问题又转化为求函数12()ln 1,(0,1)22=+--∈-g x x x x x x的最小值即可． 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求导得()2622324x x f x x x x--'=+-=-（）， 令()0f x '=，得2230x x --=，解得，1x =-或3x =． 当()0,3x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,3上单调递减. 当()3,x +∈∞时，()0f x '>，故()f x 在()3,+∞上单调递增.综上，()f x 的单调递减区间为()0,3；()f x 的单调递增区间为()3,+∞.（2）()f x 的定义域为()0,∞+，求导得()222224m x x m f x x x x-+'=+-=（）， ()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<， 此时不等式()1230f x ax -≥恒成立，等价于()()211111122l 432n 0x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立，可化为()2111111111122ln 4212ln 12322x x x x x a x x x x x -+-≤=+----（））3（恒成立， 令12()ln 1,(0,1)22=+--∈-g x x x x x x ，()23a g x ∴≤ 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x '-=+--=+-=+---，()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在()0,1恒成立，()g x ∴在()0,1上单调递减， ()()12310112212>=+-⨯---∴=g x g ，1a ∴≤-. 故实数a 的取值范围是(],1-∞-.【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，考查用导数研究函数的极值点及不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，多元不等式恒成立，消元化化二元不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．本题考查了学生的逻辑推理能力，转化与化归思想，属于难题．。

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