合并同类项
合并同类项课件
通过多次合并同类项，最 终得到一个简化的代数式 ，这有助于解决数学问题 或进行后续计算。
先对较简单的同类项进行 合并，再对较复杂的同类 项进行合并；对于某些特 殊的同类项，可以采用提 取公因子的方法进行简化 ；注意观察代数式中的负 号，合理运用负号进行简 化。
03
CATALOGUE
合并同类项在数学中的应用
06
CATALOGUE
合并同类项练习题及解析
基础练习题
合并同类项法则的应用
涉及简单的同类项合并，包括系数相加及字母部分不变的运算。
判断同类项
让学生熟悉和掌握如何判断两个项是否为同类项。
易错点解析
列出学生在合并同类项过程中容易犯的错误，并进行详细解析，避 免学生重蹈覆辙。
进阶练习题
涉及幂次变换的同类项合并
代数式化简与求值
简化复杂代数式
通过合并同类项，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算和化简。
快速求代数式的值
在求代数式的值时，合并同类项可以减少计算量，提高解题速度。
Байду номын сангаас决数学问题的应用
解决方程问题
在解决一元或多元方程问题时，合并同类项有助于消元或降次，使问题更容易解 决。
解决不等式问题
在解决一元或多元不等式问题时，合并同类项有助于简化不等式，使问题更容易 解决。
系数与常数
在合并同类项时，系数要与字 母的指数一起相乘，而常数则 单独放在一边。
括号与指数
当多项式中含有括号时，需要 先计算括号内的项，再与外面
的项合并。
易错点分析与避免方法
混淆不同类项
容易将不同类项混淆在一起，导致错误。为了避 免这种情况，需要仔细区分每一项并正确分类。
合并同类项ppt课件
2
2
2
2
解： 3xy 5xy 0.5x y 3xy 4.5x y
5 xy 4 x 2 y.
当x=1,y=
3
2
原式= 5 1
时，
3
3 27
4 12 .
2
2
2
在通常情况下，先
化简，再求值比较
简单.
例2：某学校组织七、八年级全体同学参观革命老区西柏坡。
七年级租用45座大巴车x辆，60座大巴车y辆；八年级租
＝9a2＋ab－b2.
已知代数式5a2-5a+4-3a2+6a-5，
1
（1）将a= —
直接代入代数式中求值.
3
1
（2）先合并同类项，再将a= —
代入求值.
3
比较上面的两种解法，哪种方法更简单？
例3
当x=1,y=
的值.
3
2
时,求多项式
3xy 2 5 xy 0.5 x 2 y 3xy 2 4.5x 2 y
B. a=0
C. b=3
D. a=-2
（２）已知单项式2x6y2m+1与-3x3ny5的差仍是 单项
式，则mn的值为
4
2.【2023·廊坊四中月考】式子－3x2y－10x3＋3x3＋6x3y＋
3x2y－6x3y＋7x3－8的值( A )
A．与x，y的值都无关
B．只与x的值有关
C．只与y的值有关
D．与x，y的值都有关
用60座大巴车x辆，30座中巴车y辆（以上三种车型，座
位均不含司机）。当每辆车恰好坐满时：
（1）用含x,y的代数式表示该学校七、八年级共有多少学生？
（2）当x=4,y=7时，该学校七、八年级共有多少学生？
同类项与合并同类项
同类项与合并同类项同类项是指具有相同或相似的变量的项。
在代数中，我们经常需要对同类项进行操作和简化，以便更好地进行计算和求解。
一、同类项的定义和简化同类项是指具有相同字母和指数的项。
例如，2x和3x就是同类项，因为它们都是x的一次幂；而2xy和3x^2则不是同类项，因为它们的指数不同。
同类项的简化是指将具有相同字母和指数的项合并为一个项。
简化同类项可以让我们更加简洁地表示和计算代数表达式。
例如，将3x + 2x化简为5x，即将同类项3x和2x合并为5x。
同样地，将2xy + 3xy化简为5xy。
二、合并同类项的规则合并同类项可以根据以下规则进行操作：1. 合并同类项时，要保持它们的变量和指数相同。
例如，2x + 3x可以合并为5x，因为它们的变量和指数都相同。
2. 合并同类项时，可以根据需要进行加法或减法运算。
例如，2x - 3x可以合并为-x，因为它们的变量和指数都相同。
3. 合并同类项时，可以有多个同类项相加或相减。
例如，2x + 3x - 4x可以合并为x，因为它们的变量和指数都相同。
4. 合并同类项时，如果没有明确指定系数，则假定系数为1。
例如，x + x可以合并为2x，因为它们的变量和指数都相同。
5. 合并同类项时，如果没有同类项，则保持原样。
例如，2x + 3y不能合并，因为它们的变量不同。
三、例题和实例分析1. 合并同类项：5x + 3x - 2x解析：这个题目中有3个同类项：5x、3x和-2x。
根据规则3，可以将它们相加。
合并后得到：6x。
2. 合并同类项：2xy - 3xy + 4xy解析：这个题目中有3个同类项：2xy、-3xy和4xy。
根据规则3，可以将它们相加。
合并后得到：3xy。
3. 合并同类项：4a^2 - 2a^2 - a^2 + 3a^2解析：这个题目中有4个同类项：4a^2、-2a^2、-a^2和3a^2。
根据规则3，可以将它们相加。
合并后得到：4a^2。
四、应用举例1. 化简代数表达式：2x^2 + 3x + 4x^2 - 2x解析：这个代数表达式中包含了多个同类项，我们可以先合并同类项，然后进行化简。
合并同类项ppt课件
(3)和：将同类项分别进行合并.
两同不变， 系数相加.
课堂小结
学完本节内容你的收获是什么？ 1.同类项的判别方法
(1)两同：所含的字母要完全相同；相同字母的指数也相同； (2)两无关：同类项与系数无关；同类项与字母在单项式中的排列顺序无关； (3)几个单独的数也是同类项.
2.合并同类项的具体步骤：
(1)定：确定多项式中的同类项（常数项也是同类项）；
(2)换：利用加法交换律将不同的同类项结合相加；
(2) 3x-4x²+7-3x+2x²+1 =(3x-3x)+(-4x²+2x²)+(7+1) =(3-3)x+(-4+2)x²+8 =-2x²+8. 当x=-3时， 原式=(-2)×(-3)2+8=-18+8=-10.
获取新知
探究点4 合并同类项的实际应用 合并同类项是代数式的基本运算之一，主要用于简化表达式，在解决 实际问题时，一般按照以下步骤解题： 1.根据实际问题中的数量关系列代数式； 2.合并同类项； 3.代入数值计算； 4.得出实际问题答案.
问题2：算式中的两项有什么异同？ 所含字母相同、字母指数也相同，但是系数不同.
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 说明：几个常数项也是同类项.
获取新知
探究点2 合并同类项
问题1：运用运算律计算：①72x2+120X2；②72X(-2)+120X(-2).
解：①72x2+120X2=(72+120)X2=192x2=384.
获取新知
探究点3 整式的化简求值
在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并， 然后再求值，这样做往往可以简化计算.
合并同类项
基础练习：合并同类项
(4) x2-5xy+yx+2x2 =(1+2)x2 +(-5+1)xy =3x2+(-4)xy =3x2-4xy
基础练习：合并同类项
练习：下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。
2x2+3x2=5x4 3x+2y=5xy 7x2-3x2=4 9a2b-9ba2=0
基础练习：合并同类项
⑴ x与y
（×)
⑶ － 3pq与3qp （√）
⑸ 23与32
（√）
⑵ a2b与ab2 （×) ⑷ abc与ac （×） ⑹ a2与a3 （×）
两“同” 两“无关”
知识点一：同类项的概念
相 同 点 归纳总结：
所含字母相同 相同字母的指数也相同
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
注意： 几个常数项也是同类项.
探究活动——怎样合并同类项
练习：如图，大长方形由两个小长方形组成，求这个大长方形的面积。
8
n
Ⅰ
5
第一部分的面积：S1＝8 n
第二部分的面积：S2＝5 n
Ⅱ
大长方形的面积是：
S＝S1＋ S2 ＝8n＋5n
＝(8+5)n=13n
探究活动——怎样合并同类项
练习：下图是某学校的总体规划图（单位：米）, 试计算这个学
把同类项的系数_相__加__ , 所得的结果作为系数， 字母和字母的_指__数__不___变___.
简记为：（一加，两不变） 讨论: 刚才合并同类项的过程,实质上是逆用了哪个运算律？
知识点二：合并同类项
练习：合并同类项
4x2 － 8x ＋ 5－3x2 ＋ 6x －4
合并同类项课件
若多项式2x^3y^2 - xy^3 - 1/3x^3y^2 + 3xy^3 - 5中不含x^3y^2项和xy^3项，求该多 项式的值。
竞赛级别挑战题
答案
首先合并同类项得到(2x^3y^2 - 1/3x^3y^2) + (-xy^3 + 3xy^3) - 5 = 5/3x^3y^2 + 2xy^3 - 5，由于不含x^3y^2项 和xy^3项，所以这两项系数为0，即多项式的值为-5。
复杂代数式中合并技巧展示
例题1
化简代数式 $3a^2b - 2ab^2 + 5a^2b - 4ab^2$
解析
此题需要将代数式中的同类项 $3a^2b$ 和 $5a^2b$，以 及 $-2ab^2$ 和 $-4ab^2$ 分别合并，得到 $8a^2b 6ab^2$
答案
$8a^2b - 6ab^2$
例题2
题目2
化简多项式7a^2bc - 3ab^2c + 5a^2bc - 2ab^2c，并 求a=1，b=2，c=3时的值。
答案
合并同类项得到(7a^2bc + 5a^2bc) + (-3ab^2c 2ab^2c) = 12a^2bc - 5ab^2c，代入a=1，b=2，c=3 得到12*1*2*3 - 5*1*2^2*3 = 72 - 60 = 12。
性质
同类项合并时，系数相加减，字母 和字母的指数不变。
代数式中合并同类项作用
化简代数式
通过合并同类项，可以将复杂的代数 式化简为更简单的形式，便于后续的 计算和处理。
解决实际问题
在解决实际问题时，往往需要将问题转 化为代数式进行计算，而合并同类项是 其中必不可少的一步。
合并同类项专题知识
观察药店药物摆放
假如有一罐硬币(分别为一角、五角、 一元旳)，你会怎样去数呢?
储蓄罐
讲授新课
一 同类项旳辨别 有八只小白兔，每只身上都标有一种单项式，你能 根据这些单项式旳特征将这些小白兔分到不同旳房 间里吗？（不论你用几种房间）
8n
-7a2b
3ab2
2a2b
6xy 5n
-3xy
-ab2
有八只小白兔，每只身上都标有一种单项式，你 能根据这些单项式旳特征将这些小白兔分到不同 旳房间里吗？（不论你用几种房间）
例3 (2)求多项式 3a abc 1 c2 3a 1 c2 旳值，
3
3
其中a=-1/6，b=2，c=-3.
解：3a abc 1 c2 3a 1 c2 =abc
3
3
当a=-1/6，b=2，c=-3时，原式=1.
例4 一天，王村旳小明奶奶提着一篮子土豆去换苹 果，双方约定旳成果是：1公斤土豆换0.5公斤苹果.当 称完带篮子旳土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别 称篮子旳重量了，称苹果时也带篮子称，这么既省事 又互不吃亏.”你以为摊主旳话有道理吗？请你用所 学旳有关数学知识加以鉴定.
（3）-3pq与3qp √ （4） -4x2y与5xx2y2 ×
总结归纳
同类项旳鉴别措施 （1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，
与字母在单项式中旳排列顺序无关； （2）抓住“两个相同”：一是所含旳字母要完全相
同，二是相同字母旳指数要相同，这两个条件缺 一不可.
（3）不要忘记几种单独旳数也是同类项.
系数相加，字母 及其指数不变
例3 (1)求多项式 其中x =1/2;
2x2 5x x旳2 值4x， 3x2 2
分析：在多项式求值时，能够先将多项式
合并同类项50题(有答案)
合并同类项50题(有答案)题目1：合并同类项：3x + 2x - 5x解答：3x + 2x - 5x = (3 + 2 - 5)x = 0x = 0题目2：合并同类项：4y + 7y - 2y解答：4y + 7y - 2y = (4 + 7 - 2)y = 9y题目3：合并同类项：2a^2 + 5a^2 - 3a^2解答：2a^2 + 5a^2 - 3a^2 = (2 + 5 - 3)a^2 = 4a^2题目4：合并同类项：6x^2y - 3x^2y + 2x^2y解答：6x^2y - 3x^2y + 2x^2y = (6 - 3 + 2)x^2y = 5x^2y题目5：合并同类项：8xy^2 - 2xy^2 + 3xy^2解答：8xy^2 - 2xy^2 + 3xy^2 = (8 - 2 + 3)xy^2 = 9xy^2题目6：合并同类项：-5a^3b + 2a^3b - 4a^3b解答：-5a^3b + 2a^3b - 4a^3b = (-5 + 2 - 4)a^3b = -7a^3b 题目7：合并同类项：3x^2 - 2x^2 + 6x^2解答：3x^2 - 2x^2 + 6x^2 = (3 - 2 + 6)x^2 = 7x^2题目8：合并同类项：4xy - 3xy + 5xy解答：4xy - 3xy + 5xy = (4 - 3 + 5)xy = 6xy题目9：合并同类项：7a^2b^2 - 2a^2b^2 + 3a^2b^2解答：7a^2b^2 - 2a^2b^2 + 3a^2b^2 = (7 - 2 + 3)a^2b^2 =8a^2b^2题目10：合并同类项：-6x^3y^2 + 4x^3y^2 - 2x^3y^2解答：-6x^3y^2 + 4x^3y^2 - 2x^3y^2 = (-6 + 4 - 2)x^3y^2 = -4x^3y^2题目11：合并同类项：3a + 2a - 4a + 5a解答：3a + 2a - 4a + 5a = (3 + 2 - 4 + 5)a = 6a题目12：合并同类项：-2b - 3b + 7b - 4b解答：-2b - 3b + 7b - 4b = (-2 - 3 + 7 - 4)b = -2b题目13：合并同类项：5x^2 + 6x^2 - 3x^2 + 2x^2解答：5x^2 + 6x^2 - 3x^2 + 2x^2 = (5 + 6 - 3 + 2)x^2 =10x^2题目14：合并同类项：8xy - 2xy + 3xy - 6xy解答：8xy - 2xy + 3xy - 6xy = (8 - 2 + 3 - 6)xy = 3xy题目15：合并同类项：-3a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 6a^2b解答：-3a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 6a^2b = (-3 + 2 - 4 + 6)a^2b = 1a^2b = ab解答：5x^3 - 3x^3 + 2x^3 - 6x^3 = (5 - 3 + 2 - 6)x^3 = -2x^3题目17：合并同类项：4y^2 - 2y^2 + 7y^2 - 3y^2解答：4y^2 - 2y^2 + 7y^2 - 3y^2 = (4 - 2 + 7 - 3)y^2 = 6y^2题目18：合并同类项：-6a^3 + 2a^3 - 4a^3 + 5a^3解答：-6a^3 + 2a^3 - 4a^3 + 5a^3 = (-6 + 2 - 4 + 5)a^3 = -3a^3题目19：合并同类项：3x^2y - 2x^2y + 5x^2y - 4x^2y解答：3x^2y - 2x^2y + 5x^2y - 4x^2y = (3 - 2 + 5 - 4)x^2y = 2x^2y题目20：合并同类项：7xy^2 - 3xy^2 + 4xy^2 - 2xy^2解答：7xy^2 - 3xy^2 + 4xy^2 - 2xy^2 = (7 - 3 + 4 - 2)xy^2 = 6xy^2题目21：合并同类项：-5a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 3a^2b解答：-5a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 3a^2b = (-5 + 2 - 4 + 3)a^2b = -4a^2b题目22：合并同类项：3x^3 - 2x^3 + 6x^3 - 4x^3解答：3x^3 - 2x^3 + 6x^3 - 4x^3 = (3 - 2 + 6 - 4)x^3 = 3x^3解答：4y^2 - 3y^2 + 7y^2 - 2y^2 = (4 - 3 + 7 - 2)y^2 = 6y^2题目24：合并同类项：-6a^3 + 2a^3 - 4a^3 + 5a^3解答：-6a^3 + 2a^3 - 4a^3 + 5a^3 = (-6 + 2 - 4 + 5)a^3 = -3a^3题目25：合并同类项：3x^2y - 2x^2y + 5x^2y - 4x^2y解答：3x^2y - 2x^2y + 5x^2y - 4x^2y = (3 - 2 + 5 - 4)x^2y = 2x^2y题目26：合并同类项：7xy^2 - 3xy^2 + 4xy^2 - 2xy^2解答：7xy^2 - 3xy^2 + 4xy^2 - 2xy^2 = (7 - 3 + 4 - 2)xy^2 = 6xy^2题目27：合并同类项：-5a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 3a^2b解答：-5a^2b + 2a^2b - 4a^2b + 3a^2b = (-5。
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2.类比探究，学习新知
（1）上述各多项式的项有什么共同特点？ ①每个式子的项含有相同的字母； ②并且相同字母的指数也相同.
（2）上述多项式的运算有什么共同特点? ①根据分配律把多项式各项的系数相加； ②字母和字母指数保持不变.
探究新知：
1、同类项的概念：
像100t与252t，3x2与2x2，3ab2与 4ab2这样，所含字母相同，并且相 同字母的指数也相同的项，叫做同 类项。
(3 3)a abc
c2 3a 1 c2 3
( 1 1)c2
=-x-2
33
当x 1 时，原式 1 2 5
2
2
2
abc
当a 1，b 2，c 3时，
6
原式=(- 1) 2 (3) 1 6
例3.(1)水库中水位第一天连续下降了 a小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了a小时，每 小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
例1：合并下列各式的同类项：
(1)xy2 1 xy2; 5
(2) 3x2y+2x2y+3xy2 2xy2;
(3)4a2 +3b2 +2ab 4a2 4b2.
解： (1)
xy2 1 xy2 5
原式 (1 1)xy2 5
4 xy 5
合并同类项：
知识的升华
定义: 把多项式中的同类项合并成一项。
（1）同类项与系数无关，
注意：
与字母的排列顺序也无关
（2）几个常数项也是同类项。
1、下列各组中的两项是不是同类项？
(1)ab与3ab (2)2a2b与2ab2
(3)3xy与 1 yx 2
(5) 2.1与 3 4
(4)2a与2ab
(6)53 与b3
2、下列各组是同类项的是（ ） A 2x3与3x2 B 12ax与8bx C x4与a4 D 5与-3
例2.(1)求多项式 2x2 5x x2 4x 3x2 2 的值，其中 x 1； 2
(2)求多项式
3a abc 1 c2 3a 1 c23Βιβλιοθήκη 3的值，其中a
1 6
，b
2，c
3.
解:(1)2x2-5x+x2+4x3x2=-2(2+1-3)x2+(-5+4)x-2
(2) 3a abc 1 3
同类项的定义：所含_字__母__相__同___，并且_相__同__字__母__ 的_指__数__也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是 _同__类__项__。
判断同类项：1、字母_相__同__；2、相同字母的指 数也_相__同__。与_系__数___无关，与_字__母__顺__序__无关。
合并同类项的法则：_同__类__项__的__系__数___相加，作为 结果的系数，字母和字母的指数_不__变___。
原式 =(100+252)t
=352t
探究 (1)100t- (100-252)t=-152t 252t= (2)3x2+2x=2 (3+2)x2=5x2
(3)3ab2-4ab2=(3-4)ab2 =-ab2
(1)上述各多项式的项有什么共同点？ (2)上述运算有什么共同特点，你能从 中得出什么规律？
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋， 下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量 量记为正，第一天水位的变化量为 -2a cm ，第二天水位 的变化量为 0.5a cm .
两天水位的总变化量为
-2a+0.5a =(-2+0.5)a=-1.5a(cm)
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm
(2) 把进货的数量记为正，售出的数量记为负，进货后这个 商店共有大米
5x-3x+4=x(5-3+4)x=6x(千克)
作业
• 第69页第一题
法则:（1）系数：系数相加； （2）字母：字母和字母的指数不变。
瞧一瞧：
下列各题计算的结果对不对？如果不对， 指出错在哪里？
(1) 3a 2b 5ab ( 错 )
(2) 5y2 2 y2 3 ( 错 )
(3) 2ab 2ba 0 ( 对 )
(4) 3x2 y 5xy2 2x2 y ( 错 )
3、5x2y 和42ymxn是同类项，则 m=______, n=________
试一试
4x2+2x+7+3x-8x2-2
把多项式中的同类项合并 成一项，叫做合并同类项
探讨:
合并同类项后，所得项的 系数、字母以及字母的指数与 合并前各同类项的系数、字母 及字母的指数有什么联系？
总结
合并同类项后，所得项的系数 是合并前各同类项的系数的和，且 字母连同它的指数不变。
解：这段铁路的全长是:
100t+120×2.1t =100t+252t，
100t+252t能化简吗？
类比探究，学习新知
整式的运算是建立在数的运算基础之上 的，对于有理数的运算是怎样做的呢？整式 的运算与有理数的运算有什么联系？
观察 100×2+252×2
解:原式 =(100+252)×2 =352×2 =704 100t+252t
课件说明
学习目标: (1)理解同类项的概念； (2)掌握合并同类项的方法； (3)通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从
中体会数式通性和类比的数学思想．
学习重点： 同类项的概念及合并同类项的法则.
问题
青藏铁路上，列车在冻土地段的行驶速度是 100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到 120千米/时，在西宁到拉萨路段，列车通过非冻 土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1 倍，如果通过冻土地段需要t小时,则这段铁路的 全长是多少？ （单位：千米）