马尔科夫相关性质、马尔科夫随机场详解分解

马尔科夫与图像处理
马尔科夫


马尔科夫随机过程就是，下一个时间点的状态只与当 前的状态有关系，而与以前的状态没有关系，即未来 的状态决定于现在而不决定于过去。 其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识 丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在”的条件 下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马 尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫 过程




荷花池里有N张荷叶，在时刻Tn时，Xn为时刻Tn青蛙所处的状态。 P(Xn+1=j/Xn=i)=Pi,j , 其中，i,j=1,2,…N. 表示在Tn时刻青蛙在 第i张荷叶上。在下一个时刻Tn+1跳到第j张荷叶上的可能性，又 称为从状态i经一步转移到j的概率，简称为一步转移概率。 将这些 Pi,j依序排列起来，就构成一个矩阵，叫做转移概率矩阵 。 P11 P12 ... P1n P = [ P21 P22 ... P2n ] ... Pn1 Pn2 ... Pnn
马尔科夫过程
设有随机过程 i 0 , i1 , P{ X 就称
n 1
X n,n T ,若 对 于 任 意 正 整 数 n T 和 任 意 的
i0 , ,X in } P { X in 1 | X in }
, in 1 I , 条 件 概 率 满 足 in 1 | X
S(1)=S(0)*P=(0.54, 0.20, 0.26),这个月A,B,C电脑 的市场占有率为54%,20%,26% S(2)=S(1)*p=S(0)*P^2=(0.492, 0.248, 0.26),下个 月A,B,C电脑的市场占有率为49.2%，24.8%，26%

隐马尔科夫过程


与马尔科夫相比，隐马尔科 夫模型则是双重随机过程， 不仅状态转移之间是个随机 事件，状态和输出之间也是 一个随机过例如：我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，（观察状态）天 气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，（隐藏状态）事情集合为{宅着，自 习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B) 和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么我们可以解决： 假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴 天，那么我这一周 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概 率。 假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴 天，那我们这一周最有可能的做事序列。 这些可以通过隐马尔科夫模型得到结果。
= { 1 ,2 ， L } 表 示 状 态 空 间 ， 即 随 机 场 中 的 相 空 间
图像分割问题要求解的是满足最大后验概率准则的对每 个像素的分类标号，我们统一称为标号场，记为X。 X ( x s 1, x s 2 , ..., x s M * N )
0 n n 1 n
X n,n T为 马 尔 科 夫 过 程 ， 该 随 机 过 程 的 统 计 特 性
完全由条件概率所决定

例如：假定天气是马尔科夫的，其意思 就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的 天气存在概率上的关联，而与前天及前 天以前的天气没有关系。其它如传染病 和谣言的传播规律，都是马尔科夫的。
马尔科夫图像模型

MRF 将图像模拟成一个随机变量组成的 网格，其中的每一个变量对明确的对其 自身之外的随机变量组成的邻近基团具 有依赖性。该模型考虑每个像元关于它 的邻近像元的条件分布，有效地描述图 像的局部统计特性。
基本定义
设 S { (i, j ) | 1 i M ,1 j N }表 示 M N 位 置 的 有 限 格 点 集 即随机场中的位置
马尔科夫随机场
马尔科夫随机场包含两层意思 马尔科夫性质 随机场
随机场

当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一 个值之后，其全体就叫做随机场。其中有两个概念： 位置（site），相空间（phase space）。我们可以拿 种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相 空间”好比是要种的各种庄稼。我们可以给不同的地 种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”， 赋予相空间里不同的值。所以，随机场就好比是在哪 块地里种什么庄稼的事情。
马尔科夫随机场
同样拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼 的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与 其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼 的集合，就是一个马尔可夫随机场。
马尔科夫随机场与图像的关系


一维马尔科夫随机过程很好的描述随机过程中 某点的状态只与该点之前的一个点的状态有关 系。 对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看 为一个二维随机场。那么就存在二维马尔科夫 随机场,将时间上的马尔科夫性转换到空间上， 考虑空间的关系,二维MRF的平面网格结构可以 较好的表现图像中像素之间的空间相关性。
马尔科夫预测


例如：A,B,C三个厂生产的电脑上公司在某地区市场上的 占有率分别为0.3， 0.2 ，0.5。根据市场调查得知、顾客 的流动情况如下： A B C A B C 0.4 0.6 0.6 0.3 0.3 0.1 0.3 0.1 0.3


市场的初始状态为S(0)=(0.3,0.2,0.5) 转移概率P为 0.4 0.3 0.3 P = [ 0.6 0.3 0.1 ] 0.6 0.1 0.3

该图上面那行是一个马尔科夫转移 过程，X1， X2,…… XT状态称为隐藏 状态，下面这一行则是输出，即我 们可以观察到的值，称为观察状态 ，观察状态的集合表示为 O={O1,O2,O3,…OM}。
隐马尔科夫也比马尔科夫多了一个 假设，即输出仅与当前状态有关， 可以用如下公式表示： P(O1,O2,…,Ot|S1,S2,…,St)=P(O1|S1 )*P(O2|S2)*...*P(Ot|St) O1,O2,…,Ot为从时刻1到时刻t的观 测状态序列，S1,S2,…,St则为隐藏 状态序列。