利用MATLAB求解微积分的方法
MATLAB教程【5】微积分
Z=trapz(x,y) 计算 对x的梯形积分，其中 、y定义函数关系 计算y 的梯形积分， 定义函数关系y=f(x)。 的梯形积分 其中x、 定义函数关系 。 Z=trapz(x,y,dim) 对dim指定的 的维进行积分。 指定的y的维进行积分 指定的 的维进行积分。
1.4.7 数 值 积 分
一、数值积分的基本原理
b b
I1 = ∫ f ( x)dx, I 2 = ∫ p ( x)dx
a a
f(b)
T=
b−a [ f (a ) + f (b )] 2
梯形公式
f(a)
将积分区间[a,b]划分为 等份，步长 划分为n等份 将积分区间 划分为 等份， h=(b-a)/n,xk=a+bk构造求积公式 构造求积公式
( I n = ( b − a )∑ C k n ) f ( x k ) k =0 n
牛顿 − 柯特斯公式
a
b n = 1即梯形公式， n = 2时为辛普生公式 即梯形公式，
b−a a+b S= [ f (a ) + 4 f ( ) + f ( b )] 6 2
1.4.7 数 值 积 分
二、数值积分的实现 1、梯形积分：对矢量、矩阵和多维列阵进行梯形积分 、梯形积分：对矢量、 Z=trapz(y) 计算 的数值梯形积分，步长默认为 ，若不是 而是 ， 计算y 的数值梯形积分，步长默认为1，若不是1 而是h，
例：用不同的方法求函 数 f ( x )的数值导数并作图 f ( x) = f '( x) = x 3 + 2 x 2 − x + 12 + 6 x + 5 + 5 x + 2 3x2 + 4x − 1 2 x + 2 x − x + 12
第3讲 MATLAB在微积分中的应用
2）求数值解的方法 1. 欧拉方法 若步长h较小，则可用差商近似代替导数，即 y ( x + h) − y ( x ) y '( x) ≈ h 于是便得公式 yi +1 ≈ yi + hf ( xi , yi ) , i = 0,1, L , n − 1. y0 = y ( x0 ) 此法称为欧拉方法。
例7 用MATLAB软件求微分方程 du = 1+ u2 dt 的通解； 例8 用MATLAB软件求微分方程 d 2 y dy 2 + 4 + 29 y = 0 dx dx y(0) = 0, y ' (0) = 15 的特解。
例9 用MATLAB软件求微分方程组 dx dt = 2 x − 3 y + 3z dy = 4 x − 5 y + 3z dt dz dt = 4 x − 4 y + 2 z 的通解.
2. 改进的欧拉方法 对方程y ' = f ( x, y )两边从xi到xi +1积分，再利用梯形公式，得 y ( xi +1 ) − y ( xi ) = ∫
xi +1 xi
f ( x, y ( x )) dx
xi +1 − xi ≈ [ f ( xi , y ( xi )) + f ( xi +1 , y ( xi +1 ))] 2 h 于是有公式： yi +1 ≈ yi + [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )], y0 = y ( x0 ) 2 上式中右边yi +1的值可用欧拉方法计算，即有 yi +1 = yi + hf ( xi , yi ) i = 0,1, L , n − 1. h yi +1 = yi + 2 [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )] 此法称为改进的欧拉方法。
Matlab在微积分中的简单应用
dy xy 2 • 3、 2 dx x y
y(0)=1
小结
• 1 用”diff()” 求数值微分和符号微分.
• 2 用”int()”、”Int()”直接积分 • 3 用“dsolve()”求微分方程的通解、特解
第6讲
Matlab在微积分中的简单应用
实验目的
• 1学会用”diff()” 求数值微分和符
号微分. • 2学会用”int()”、”Int()”直接积 分并写出积分表达式. • 3学会用”dsolve()”求微分方程的 通解、特解。
复习回顾（一）
计算下列函数的导数
ylog ax
1 y x ln a
复习回顾（二）
求下列的不定积分
1 x C 1 x2 dx arctan
1 x 2 1 1 2 1x )C 1 x2 dx 21x2d(1x ) 2ln(
分析：
1 2 1 2 xdx dx d ( 1 x) 2 2
二、熟悉以下Matlab中的求积分命 令
sin xdx （2）
e dx
2x
2 求下列函数的定积分
（1） e dx （2）
2 ( 3 x ) dx 2x1 0 1
复习回顾（三）
dy 3 2x y 的通解 • 求微分方程 dx dy • 解：将所给方程分离变量，得 2 x 3 dx y • 等式两端积分，有 dy 2x3dx
• 2求特解的命令格式 • r=dsolve(‘微分方程’,‘初值条件’，‘自变 量’)
• 3求微分方程组的命令格式
• [y1,y2,…]=dsolve(‘微分方程1’,‘微分方程 2’,…,‘初值条件1’,’初值条件2’ ,…，‘自 变量1’, ‘自变量2’,…)
matlab微积分基本运算
matlab 微积分基本运算§1 解方程和方程组解1. 线性方程组求解对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形：1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。
2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。
3)当n<m 时,此方程为“欠定”方程组。
下面就三种情形的求解分别作一说明：(1) MATLAB 解恰定方程 A* X = B 的方法1)采用求逆运算解方程x=inv(A)*B2)采用左除运算解方程x=A\B例1 “求逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x xx x x x x x x在Matlab 编辑器中建立M 文件fanex1.m ：A=[5 6 0 0 01 5 6 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5];B=[1 0 0 0 1]';R_A=rank(A) %求秩X1=A\B %用"左除"法解恰定方程所得的解X2=inv(A)*B %用"求逆"法解恰定方程所得的解运行后结果如下R_A =5X1 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188X2 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188两种方法所求方程组的解相同。
(2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。
然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。
基本解法有：1)采用求伪逆运算解方程x=pinv(A)*B说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A.2)采用左除运算解方程x=A\B例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+12214212212121x x x x x x命令如下：>> a=[1 2;2 4;2 2];>> b=[1,1,1]';>> xc=a\b %用左除运算解方程运行得结果:xc =0.40000.1000>> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程运行得结果:xd =0.40000.1000>> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b运行得结果:ans =-0.40000.20000.0000可见xc 并不是方程的精确解。
Matlab微积分问题计算机求解实验
>> q2=quad('quad1',0,1)
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
数值积分
3、编写被积函数表达式，函数名为f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）
trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快， 但精度差。
syms x; f=abs(x)/x;%给出待展开的函数 xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]);
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20
[A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
K ex2dx 0
计算积分
21
( x1)2
练习：
e 2 dx,
0 2
e2t 2 x 2 1
dx
cost (2 x 2 3 x 1)2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn): symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
例：计算级数
S 1 及其前100项的部2 分和 n n 1
>> syms n; f=1/n^2;
>> S=symsum(f,n,1,inf)
>> S100=symsum(f,n,1,100)
第三章 matlab求解微积分
第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。
符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。
例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。
7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。
3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。
2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’le ft') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。
>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。
MATLAB第三章
第三章微积分问题的计算机求解一、实验内容：题目1．试求出如下极限。
①limx→∞(3x +9x )1/ x，②lim x→∞[(x+2)x+2(x+3)x+3 ]/(x+5)2x+5【分析】：该题为单变量函数的极限。
极限问题可以用limit()函数直接求出。
要注意该函数的调用格式为:L=limit(fun,x,x0)(求极限)，L=limit(fun,x,x0,’left’或’right’)(求极限)。
还需注意一开始要对函数的字符进行申明。
【解答】：（1）输入如下语句：>> syms x;f=(3^x+9^x)^(1/x);L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =9（2）输入如下语句：>>syms x;f=(x+2)^(x+2)*(x+3)^(x+3)/(x+5)^(2*x+5);>> L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =exp(-5)题目2.试求下面的双重极限。
①lim x→−1y→2 (x2y+xy3)/(x+y) 3，②limx→0 y→0 xy /√(xy+1)−1，③limx→0y→0 [1−cos(x2+y2)]/(x2+y2)e x2+y2。
【分析】：该题为多变量函数的极限问题。
他可以用嵌套使用limit()函数来解决。
在MATLAB上可以用L=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或者L=limit(f,y,y0),x,x0)来解决。
其思想是所有的先关于X求导，再所有的关于y求导。
【解答】：(1)输入如下语句：>> syms x y>> f=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3;>> L=limit(limit(f,x,-1),y,2)语句运行后显示如下：L =-6(2)输入如下语句：>> syms x yf=(x*y)/(sqrt(x*y+1)-1);L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =2(3)输入如下语句：>> syms x yf=(1-cos(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =题目3.求出下面函数的导数。
第七章 MATLAB微积分数值计算
相同维数的向量U，且 1 U1 2 ( V4 4V3 5V2 2V1 ) h 1 U i 2 (Vi 1 2Vi Vi 1 ), (1 i n) h 1 U n 2 (2Vn 5Vn 1 4Vn 2 Vn 3 ) h 默认的步长为1。 U=4*del2(V,h1,h2)，对矩阵V，横向(x方向)以步长h1，纵向(y方
diff调用格式为：
Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量Dy Dy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少一个
Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。注意向量Dy元素个数比Y少n个.例如：
diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)= Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i) ， i=1,2 ……n-2。
计算积分，可以采取逐步缩小步长h的办法。即先任
取步长h进行计算，然后取较小步长 h’ 进行计算，如果两
次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去， 直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的 结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。 利用两种步长计算积分时，通常取h’=h/2 。而每次
x
4
精度为O(∆X4)的高阶中心差分算法
yi yi yi yi 2 8 yi 1 8 yi 1 yi 2 12 x yi 2 16 yi 1 30 yi 16 yi 1 yi 2 12 x
2
yi 3 8 yi 2 13 yi 1 13 yi 1 8 yi 2 yi 3 8 x
7.1 数值微分 7.2 数值积分 7.3 常微分方程的数值解法
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第 3 章 (1)M A T L A B 微积分
极限与级数的符号运算
M A T L A B 的极限与级数运算在符号系统中进行
◆极限运算
● l i m i t (f , x , a ) 求符号函数f 的极限 ● l i m i t (f , x , a , ’r i g h t ’) 求符号函数f 的右极限 ● l i m i t (f , x , a , ’l e f t ’) 求符号函数f 的左极限
说明：上述命令中的a 可以是无穷大 i n f 或 -i n f
☐说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算 举例
◆级数运算
● s y m s u m (a n , n , i , j ) 求符号通项a n 的和
其中，当j 为无穷大i n f 时，即为无穷级数。
举例
◆级数运算
● t a y l o r (f , n , a , x )
求符号函数f 在点a 关于变量x 的n -1阶泰勒多项式 举例
● t a y l o r t o o l 泰勒工具 举例
微积分的符号运算
◆导函数与偏导函数
● d i f f (f , x ) 求符号函数f 对x 的一阶导函数或偏导函数 ● d i f f (f , x , n ) 求符号函数f 对x 的n 阶导函数或偏导函数 ● 注：d i f f 是d i f f e r e n t i a l (微分)的缩写
lim ()
x a
f x +
→lim ()
x a f x -
→lim ()x
a f x →j
n
n i
a =∑
例：计算
⏹ 问:如何求符号函数在给定点的导数值或偏导数值？
求完导函数或偏导函数之后，使用符号替换命令 s u b s 可以求得导函数值或偏导函数值
◆不定积分与定积分
● i n t (f , x )
求符号函数f 关于变量x 的不定积分 ● 注：i n t 是i n t e g r a t i o n (积分)的缩写 ● i n t (f , x , a , b )
求符号函数f 关于变量x 的定积分，a 、b 分别是积分下限和上限，a 、b 可以是函数表达式，也可以是无穷大i n f 或-i n f 举例
● 对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函数中不含待定符号，可以使用v p a 命令给出近似解 例如： s y m s x a =i n t (s i n (s i n (x )), 1, 2) v p a (a )
☐说明： ● 参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数学公式（见教材66-67页） ● 重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学方法转化为累次积分来计算
微积分的数值运算
◆微积分的数值运算特点
采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似计算问题 还可以解决离散数据的相关计算问题
● 实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测量数据(单位: m )，计算各测量点的坡度和横断面的面积。
)ln(2
22
3xy y x y
x +∂∂∂,)1
sin (2+x e x
dx d
◆数值导数
● g r a d i e n t (f , x )
该命令求一元函数 f 的数值导数f ’(x )
其中，x 是自变量的一组取值(离散数据)，f 是因变量的对应取值(离散数据) ，计算结果是各离散数据点的导数值(近似解)。
☐说明：
x 的取值越密集，得到的导数值就越精确。
该命令常用于求解离散型数据的变化率。
● 例：计算前例中的坡度
x =[0,4,10,12,15,22,28,34,40]; f =[0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0]; f x =g r a d i e n t (f ,x )
● 例：求函数y =x 2s i n x 在区间[-3,3]的一阶和二阶数值导数，作出原函数与一、二阶导函数的图形，并观察函数的单调性、凹凸性、极值、拐点与一、二阶导数之间的关系。
x =-3:0.01:3; f =x .^2.*s i n (x );
f x =
g r a d i e n t (f ,x ) f x x =g r a d i e n t (f x ,x ) p l o t (x ,f , x ,f x ,'r --', x ,f x x ,'k --'), g r i d o n
☐ 思考：怎样求函数在指定点的数值导数？
比如：上面函数在x =1.5和x =1.501的数值导数是多少？ f (f i n d (x ==1.5)) 或者 f (x ==1.5) 一般方法：[p ,q ]=m i n (a b s (x -x 0)); f (q )
◆数值偏导数
● [f x , f y ]=g r a d i e n t (f , x , y )
该命令求二元函数f 的数值偏导数f ’x 和f ’y
4 10 12 1
5 22 28 34 40
1
3
6
8
9
5
3
其中，x,y分别是自变量x和y的一组取值(向量表示)；
f是定义在x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)，平面点集区域可以使用
m e s h g r i d命令生成；
f x和f y分别得到每个点处偏x和偏y的偏导数值(矩阵表示)。
☐说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度、旋度等。
●举例
◆数值定积分
●梯形法数值积分：t r a p z(x,y)
其中x表示自变量在积分区间的一组取值，y表示被积函数对应于x的一
组函数值。
●例：计算前面例题中的横断面积
x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40];
y=[0,1,3,6,8,9,5,3,0];
s=t r a p z(x,y)
●例：求积分
解：x=-1:0.1:1;y=e x p(-x.^2);t r a p z(x,y)
●高精度数值积分：q u a d(f,a,b)或q u a d l(f,a,b)
求函数f在区间[a,b]上的定积分，其中：f使用字符串函数表达式或内
联函数，定义函数的乘、除、乘方时要使用点运算。
积分限a、b必
须是常量。
q u a d采用自适应步长S i m p s o n积分法
q u a d l采用高精度L o b a t t o积分法
●例求积分
解：z=q u a d l('e x p(-x.^2)',-1,1)
●注意：t r a p z,q u a d,q u a d l都不能用于求反常积分。
◆数值重积分
●矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：
→二重积分命令d b l q u a d(f,a1,a2,b1,b2)
f 为被积函数, 积分区域为矩形[a 1, a 2; b 1, b 2] →三重积分命令 t r i p l e q u a d (f , a 1, a 2, b 1, b 2 , c 1, c 2)
f 为被积函数, 积分区域为立方体[a 1, a 2; b 1, b 2; c 1, c 2]
说明：①被积函数使用字符串函数表达式或内联函数；②乘、除、乘方要用点运算；③积分限必须是常量；④f 是字符串函数表达式时，积分的顺序按照自变量的字典顺序进行，f 是内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。
● 积分顺序举例
d b l q u a d ('s i n (t ./r .^2)',1,2,6,9)
即 二重积分
f =i n l i n e ('s i n (t ./r .^2)', 't ', 'r ') d b l q u a d (f ,1,2,6,9)
即 二重积分
微积分的数值运算
◆数值重积分
● 例 计算重积分
92261sin t
dt dr r ⎰
⎰9
2
26
1
sin t dr dt r
⎰
⎰。