第2章 逻辑代数和逻辑函数化简
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第02讲 逻辑函数的化简：代数法
用与门、或门和非门进行逻辑综合
行号 0 1 2 3 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f(x,y) 0 1 1 1
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
优化结果
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
公式法化简逻辑函数
f1 x2 x3
逻辑代数的基本规则（续）
反演规则：德·摩根定律的一般形式称为反 演规则
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
0 0
x2
0
x3
0 1 0 1
f0
1 0 1 1
x3
0 1 0 1 0 1 0 1
f 0
1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1
0
1 1 0 0
f 0 x2 x3 x2 x3 x2 x3
x1 x2
0
x3
0 1 0 1
f1
0 0 1 0
1
1 1
1
0 1 1
f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x（ x（ 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ） 1 x2 x3） x1 f 0 x1 f1
（配项法，式1 - 5b）
( 结合律，式1 7b ) ( 吸收率，式1 10b）
公式法化简逻辑函数（续）
逻辑函数化简(代数化简法)
Y=(A+B)(A+C)
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础
数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
= (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
第二章-逻辑函数及其简化
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此 问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表 如 下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或 表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时， 共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值 的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表 示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值 和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)
2 逻辑函数及其化简
=AB A B D A B D
AB A B ( D D )
AB AB
AB A B
A B &
&
AB
&
L
& &
AB
AB A B
（1-38）
利用逻辑代数的基本公式：
例2：
F ABC ABC ABC ABC AB (C C ) ABC AB 提出A A( BC B) A(C B) AC AB
A B( A A) A B
例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
（1-17）
3.混合变量的吸收：
AB AC BC AB AC
1 证明： AB AC BC AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC AB AC
普通代 数不适 用!
（1-15）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD AB D( E F ) AB CD
被吸收
（1-16）
2.反变量的吸收：
A AB A B
证明：A AB A AB AB
2、逻辑函数的化简方法
化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法:
A A 1
AB( C C ) AB
（1-36）
L AB C ABC
吸收法：
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
第二章逻辑代数
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
第2章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表 A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。 0 1 1 变量 0 ABC 0取值为 0 001情况下，各最小项之和为 1 0 0 0 0 1 0 0 【因为其中只有一个最小项为 0 0 0 0 1 1，其余全为 0 0 0。】 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
第2章
2.卡诺图的特点
（1）最小项的相邻性
任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子
都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。 显然，m0与m1具有相邻性，而
m1 (A BC) 与
m 2 (ABC)不相
邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2
相邻。
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
AB1 CDE F AB
运用摩根定律
例2： Y2 A B CD ADB A BCD AD B (A AD) (B BCD) 如果乘积项是另外一个乘 积项的因子，则这另外一 A1 D B1 CD 个乘积项是多余的。 AB
如： Y AB AC ①求出反函数的 最简与或表达式
Y AB AC (A B)( A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函 数的最简或与表达式 最简或与表达式
数字逻辑第2章-逻辑代数
果将表达式中的所有“ · ”换成“＋”， “＋”换成“ · ”，“ 0”换成“ 1”，“ 1” 换成“0”，而变量保持不变，则可得到的 一个新的函数表达式Y‘，Y’称为函Y的对偶 函数。
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
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最小项
标准与 或式
标准与或式就是最小项之和的形式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。 Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
AB
AB
AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
开关A
电源
开关B 或逻辑关系
灯Y
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 逻 辑 符 号
见1为1 全0为0
逻辑函数式
Y A B
A B
≥1
Y
例：根据输入波形画出输出波形 >1 A A & Y1 B B
A B Y1 Y2
左 AB AC ( A A) BC A AB A
AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
(5) AB AB A B AB
A B A B
A B A B
左 AB AB ( A B) ( A B)
逻 辑 A 符 B 号
≥1
Y2
见1为0 全0为1
(3) 与或(非)逻辑 与或非逻辑
Y3 AB CD
与或逻辑
A B C D
& ≥1
Y3
(真值表略)
Y3 AB CD
(4) 异或逻辑
A B
=1
Y4
Y4 A B A B AB
(5) 同或逻辑 (异或非) A B =1
A 0 0 1 1
4. 最小项标准表达式 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。 [例] 写出下列函数的标准与或式：
开关断用0表示, 开关闭合用1表示
灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 见0为0 全1为1
逻辑函数式
Y 0 0 0 1
Y A B AB
逻 辑 符 号
A B
&
Y
2. 或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备 时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。 真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1
第二章 逻辑代数和逻辑函数化简
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换 2.4 逻辑函数的化简方法
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
与逻辑
Y A B AB
Y A B
或逻辑
非逻辑
Y A
0, 1 相反的逻辑状态
数码
2.1.1 基本逻辑运算
2.3.1 逻辑表达式
完备函数的概念
我们已经学习过三种最基本的逻辑运
算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，
可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以
称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式 核心
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
Y1 AB
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y1 1 1 1 0
逻 辑 A 符 B 号
&
Y1
见0为1 全1为0
2. 1. 2 复合逻辑运算 (1)或非逻辑 逻辑函数式
Y2 A B
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y2 1 0 0 0
Y2
见 “1”为“1”，全“0”为 见“0”为“0”，全“1”为 “0” “1”
3. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。 真值表
R 开关A
A
0
Y
1
电源
灯Y
1
0
逻 辑 符 号 A
非逻辑关系
逻辑函数式
1
Y
Y A
2. 1. 2 复合逻辑运算
(1)与非逻辑 逻辑函数式
A A A B AB B B A B AB
即
A B = A⊙B
同理可证
A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式 异或 A B AB AB
同或 A⊙B AB A B
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
A B = A⊙B A⊙B A B
3. 最小项的编号：
把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 001 010 011 100 0 m0 1 m1 2 m2 3 m3 4 m4 101 5 m5 110 111 6 m6 7 m7
AB BC AB BC ( A B) (B C )
A BC A BC A ( B C )
A A 1 AB AB 1
AB C AB C 1
A AB A B
AB ABC ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D
ABC D ABC D
… … ABC D
ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质： ABC 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y1 ( A BC ) ( C D )
已知 Y2 A B C D C 则
Y2 ( A B) C D C
3. 对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对 偶式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0” 例如 Y1 A( B C ) CD
A A B AC 0 B AC
A B B C B A0 C B
2.2.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻 辑函数，则等式仍然成立。
A B A B
A B A B
( A C) B A C B A C B
A B A C
或非-或式 或非-或非式
或与非式 与或非式 或与式
AB AC BC
( A B) ( A C )
A B AC
二.逻辑函数的标准形式
标准与或表达式
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
相等
相等
还原律
AA
五、若干常用公式
(1) AB A B A( B B) A
(2) A AB A(1 B) A
推广
A A(
) A
(3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC
分配律 A BC ( A B) ( A C )
A B B A
A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A( B C ) AB AC
A BC ( A B) ( A C )
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法一：公式法 右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
A
Y
A
Y
国标符号
曾用符号 A
美国符号
A B
A B A B
& Y A B
B
≥1 Y A B A B =1 Y A B A B
Y
A B A B
Y
Y
Y
Y
A B
Y
2.2 逻辑代数的基本定律及规则
2. 2. 1 逻辑代数的基本定律
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 · = 0 0
或： 1 + 1 = 1
非： 0 1
0· =0 1 1· =1 1
1+0=1 0+0=0
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1 与: A · = A 或： A + 0 = A 非： A A 0 A· = 0 0
A+1=1
A A 1
三、与普通代数相似的定理
交换律 结合律 分配律
1. 与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这 个事件才发生,这样的逻辑关系称为与
逻辑。
开关A 开关B
功能表 A 断 断 合 合 B 断 合 断 合 Y 灭 灭 灭 亮
电源 与逻辑关系
灯Y
与逻辑的表示方法： 真值表
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 0 0 1
A 断 断 合 合
功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中) A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C B C A BC A B A C ( A B)( A C ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
标准与 或式
标准与或式就是最小项之和的形式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。 Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
AB
AB
AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
开关A
电源
开关B 或逻辑关系
灯Y
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 逻 辑 符 号
见1为1 全0为0
逻辑函数式
Y A B
A B
≥1
Y
例：根据输入波形画出输出波形 >1 A A & Y1 B B
A B Y1 Y2
左 AB AC ( A A) BC A AB A
AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
(5) AB AB A B AB
A B A B
A B A B
左 AB AB ( A B) ( A B)
逻 辑 A 符 B 号
≥1
Y2
见1为0 全0为1
(3) 与或(非)逻辑 与或非逻辑
Y3 AB CD
与或逻辑
A B C D
& ≥1
Y3
(真值表略)
Y3 AB CD
(4) 异或逻辑
A B
=1
Y4
Y4 A B A B AB
(5) 同或逻辑 (异或非) A B =1
A 0 0 1 1
4. 最小项标准表达式 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。 [例] 写出下列函数的标准与或式：
开关断用0表示, 开关闭合用1表示
灯亮用1表示, 灭用0表示
真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 见0为0 全1为1
逻辑函数式
Y 0 0 0 1
Y A B AB
逻 辑 符 号
A B
&
Y
2. 或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备 时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。 真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1
第二章 逻辑代数和逻辑函数化简
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换 2.4 逻辑函数的化简方法
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算
与逻辑
Y A B AB
Y A B
或逻辑
非逻辑
Y A
0, 1 相反的逻辑状态
数码
2.1.1 基本逻辑运算
2.3.1 逻辑表达式
完备函数的概念
我们已经学习过三种最基本的逻辑运
算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，
可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以
称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式 核心
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
Y1 AB
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y1 1 1 1 0
逻 辑 A 符 B 号
&
Y1
见0为1 全1为0
2. 1. 2 复合逻辑运算 (1)或非逻辑 逻辑函数式
Y2 A B
真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y2 1 0 0 0
Y2
见 “1”为“1”，全“0”为 见“0”为“0”，全“1”为 “0” “1”
3. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。 真值表
R 开关A
A
0
Y
1
电源
灯Y
1
0
逻 辑 符 号 A
非逻辑关系
逻辑函数式
1
Y
Y A
2. 1. 2 复合逻辑运算
(1)与非逻辑 逻辑函数式
A A A B AB B B A B AB
即
A B = A⊙B
同理可证
A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式 异或 A B AB AB
同或 A⊙B AB A B
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
A B = A⊙B A⊙B A B
3. 最小项的编号：
把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 001 010 011 100 0 m0 1 m1 2 m2 3 m3 4 m4 101 5 m5 110 111 6 m6 7 m7
AB BC AB BC ( A B) (B C )
A BC A BC A ( B C )
A A 1 AB AB 1
AB C AB C 1
A AB A B
AB ABC ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D
ABC D ABC D
… … ABC D
ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质： ABC 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y1 ( A BC ) ( C D )
已知 Y2 A B C D C 则
Y2 ( A B) C D C
3. 对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对 偶式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0” 例如 Y1 A( B C ) CD
A A B AC 0 B AC
A B B C B A0 C B
2.2.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则： 等式中某一变量都代之以一个逻 辑函数，则等式仍然成立。
A B A B
A B A B
( A C) B A C B A C B
A B A C
或非-或式 或非-或非式
或与非式 与或非式 或与式
AB AC BC
( A B) ( A C )
A B AC
二.逻辑函数的标准形式
标准与或表达式
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
相等
相等
还原律
AA
五、若干常用公式
(1) AB A B A( B B) A
(2) A AB A(1 B) A
推广
A A(
) A
(3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC
分配律 A BC ( A B) ( A C )
A B B A
A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
A( B C ) AB AC
A BC ( A B) ( A C )
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法一：公式法 右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
A
Y
A
Y
国标符号
曾用符号 A
美国符号
A B
A B A B
& Y A B
B
≥1 Y A B A B =1 Y A B A B
Y
A B A B
Y
Y
Y
Y
A B
Y
2.2 逻辑代数的基本定律及规则
2. 2. 1 逻辑代数的基本定律
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 · = 0 0
或： 1 + 1 = 1
非： 0 1
0· =0 1 1· =1 1
1+0=1 0+0=0
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1 与: A · = A 或： A + 0 = A 非： A A 0 A· = 0 0
A+1=1
A A 1
三、与普通代数相似的定理
交换律 结合律 分配律
1. 与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这 个事件才发生,这样的逻辑关系称为与
逻辑。
开关A 开关B
功能表 A 断 断 合 合 B 断 合 断 合 Y 灭 灭 灭 亮
电源 与逻辑关系
灯Y
与逻辑的表示方法： 真值表
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 0 0 1
A 断 断 合 合
功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮
证明公式 A BC ( A B)( A C ) 方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中) A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C B C A BC A B A C ( A B)( A C ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1