一个自由边界问题稳定解的性质
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ７ Ｎｏ ． ３
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ － ２ １ ６ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ０ ５
一
个 自由边界 问题稳定解的性质
殷 容
２ ２ ６ ０ ０ ７ ） （ 南通 大学 理学院 ， 江苏 南通
关键词 ： 自由边界 问题 ； 反应扩散方程 ； 稳定 解 ； 存在性 ； 唯一性
中图分 类号 ： ０ １ ７ ５ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ２ １ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ２ ７ — ０ ４
Ｔｈｅ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ａ ｆ ｒ ｅ ｅ ｂｏ ｕｎ ｄａ ｒ ｙ ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
ｒ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ－ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ．Ｒｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ— ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｉ ｓ ｉ ｍｐｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｉ ｎ ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ． Ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ Ｌ ｅ ｒ ａ ｙ － Ｓ ｃ ｈ ａ ｕｄ ｅ ｒ ｆ ｉｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ，ｔ ｈ ｅ ａ ｕ ｔ ｈ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ
．
（ （ ｔ ） ， ｔ ） ＝ （ （ ￡ ） ， ｔ ） ， ｔ＞ ０ ，
一
（ （ ｔ ） ， ｔ ） ＝ （ （ ｔ ） ， ｔ ） ， ｔ＞ ０ ，
警＝ ｃ 。 （ （ 、 （ ） ， ￡ ） ） ， ｔ ＞ ０ ， ’
０＜ （ ｔ ）＜１ ， ｔ＞０ ，
ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ．
，
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｆ ｒ ｅ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ； ｒ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ — ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ；
２ ８
一
安徽大学学报 （ 自然科学 版）
第３ ７卷
（ ， ０ ）＝Ｉ ） ｏ （ ） ， ０≤ ｘ≤ ０ ， （ ， ０ ） ＝ ｏ （ ） ， ０≤ ≤１ ，
（ ９ ）
其 中
（ ） ＝ 一２ ｃ 。 ｓ 了 １ ａ ｒ ｃ ｃ 。 ｓ （
（ ０ ） ： ０ Ｅ（ ０， １ ） ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ９ — ０ ５
基金项 目： 国家 自然科 学基 金资助项 目（ １ １ ０ ０ １ １ ６ ５ ） ； 南通市科技计划基金 资助项 目（ Ｓ １ ０ ９ ２ ５ ） 作 者简介 ： 殷 容（ １ ９ ７ ８ 一） ， 女， 江苏南通人 ， 南通 大学讲 师 ， 硕士．
０ ）
厂 ２ （ ） ＝ 一 ２ ｃ 。 ｓ ［ ａ ｒ ｃ ｃ 。 ｓ （ ＝ ＿ 二 ） ］一
，
（ １ １ ）
（ ， ｔ ） ＝ （ ， ｔ ） ， ∈ （ ０ ， （ ｔ ） ） ， （ ， ｔ ） ＝／ ３ （ ， ｔ ） ， Ｅ（ （ ｔ ） ， １ ） ， 且． ｒ ， ｒ 为某 正常数 ， ＝ （ ｔ ）表示 自由边界 ， 且 Ｃ（ ）的表 达 式 ｎ 为
ｕｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎｅ ｓ ｓ
／ ，
ｌ
、
、
２
主要研 究 抛物 型 自由边 界 问题
ｆ＝ 二一 一 一 （ 一 ） ， ｏ＜ ＜ （ ｔ ） ， ￡＞０ ，
＝ 一 一
Ｌ（ ｖ ） ， （ ￡ ）＜ ＜１ ， ｆ＞０，
（ Ｏ， ｔ ）＝０＝ （ １ ， ｔ ） ， ｔ＞０ ，
ＹＩ Ｎ Ｒｏ ｎｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎ ａ ｎ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｎ ａ ｎ ｔ ｏ ｎ ｇ ２ ２ ６ ０ ０ ７ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ａ ｆ ｒ ｅ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ａ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｉ ｒ ｓ ｅ ｓ ｆ ｒ ｏ ｍ ｓ ｏ ｍｅ
摘
要： 主要研究 一个抛 物型 自由边界问题 ， 该 自由边界问题是 由一个一般双稳定 型的反应扩散 方程 所推出 ，
反应 扩散方程在数学和物理学上都有 十分重要的作用 ， 利用一些估计 和 Ｌ ｅ ｒ ａ ｙ — Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 不 动点 定理得 到主要
定理， 即所研究 的抛 物型 自由边界问题的稳定解是存在且唯一 ．
２ ０ １ ３年 ５月
第３ ７卷 第 ３期
安徽大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｍａ ｖ ２ ０１ ３
一类具扩散SEI传染病模型及其自由边界问题
一类具扩散SEI传染病模型及其自由边界问题生物学的进步为数学生态学的发展提供了机遇,如今数学和生态学已不再是完全独立的学科,他们有着紧密的结合,目前这种趋势越来越明显,特别地,传染病动力学已成为目前应用数学研究的热点之一；这主要是因为随着现代科学技术的不断进步,数学对各个科学领域起着日益重要的贡献,尤其是在生态学这一自然科学领域中,值得一提的是生态学中的传染病动力学得到了长足的发展。
基于疾病的发生及其在种群内传播的规律,我们可以用数学的方法构建模型对传染病动力学中提出的众多问题给出合理的解释,反过来,再由传染病的流行规律去检验构建模型的合理性和结论的正确性。
目前传染病动力学引起了人们的广泛关注,不少学者已经做了大量的研究工作,并且构建了不同形式的数学模型,例如：SIR模型、SI模型、SIS模型、SEI 模型还有SEIR模型。
本文主要研究一类具扩散SEI模型的方程组解的定性性质及其自由边界问题,特别地,本文考虑SEI模型中E(潜伏者)和Ⅰ(染病者)均具有传染性。
首先介绍传染病动力学的相关概念,接着是模型的建立,提出一个传染病动力学的偏微分方程组,对有关的数学问题进行较为系统的研究。
本文由六个部分组成。
在引言中具体介绍与本文研究有关的背景、来源、相关工作以及得到的结论。
接着给出SEI的常微分模型,再考虑空间的扩散,引入齐次Neumann边界条件和初始条件,提出SEI的偏微分模型,即一类非线性反应扩散问题。
随后的第一章中,先考虑在固定区域上的SEI模型,我们将首先给出问题解的正性和一致有界性。
第二章给出SEI常微分模型方程组稳态解的渐近性态,结果表明：有效接触率很大或平均潜伏期较长时,染病平衡点是局部渐近稳定的；而当有效接触率很小或平均潜伏期较短时,无病平衡点是全局渐近稳定的。
在上一章的基础上,第三章着重讨论相应的偏微分方程组平衡解的局部稳定性和全局稳定性,我们的结果和常微分方程组所得到的结果是一致的。
定解条件和定解问题
定解条件和定解问题含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程,常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。
方程(组)中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程(组）的阶数。
如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的,否则就称为非线性的。
非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.一、定解条件给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程,即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定的外加(特殊)条件。
对偏微分方程也是如此,换句话说,只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。
描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件(或边值条件),他们统称为定解条件.初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件.边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件,即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题:定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 （ 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>）初始条件是指初始时刻（0t =)弦的位移和速度。
若以()x ϕ,()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：边界条件是指弦在两端点的约束情况,一般有三种类型。
(1)第一类边界条件(狄利克雷(D ｉｒi ｃhl ｅt)边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ,则边界条件为：(0,)(0,)u t g t =或 (,)(,)u l t g l t =当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
一个自由边界上解的存在性问题
第 ５期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＪｓ ｏ ｉｅｓｔ ＮａｕｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ）
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ５ １ ２ ． Ｓ ｐｔ ２ １ ｅ ． ０ １
Ｃ “ 。Ｒ “ （ × Ｅ ， ） ｃ “ 。Ｏ Ｔ ， 得 ｇ （）≥ ０ 且 ｏ Ｔ］ × Ｅ ， ］ 使 ｆ ，
Ｉ ￡ （ Ｉ ≤ ，Ｉ （ ）Ｉ【 『 ｇ ＇ ］ ｕ ｕ 【 一ｚ ｌ （ ＿ ） Ｍ Ａ ≤ ，ｌ ） ７ ｃ Ｒ× ］ ≤ Ｍ 。 １ ， ，
，
丁） ， ．，） 叫（ｆ ）ｇ（） 满 足 下 列 内 （ ） ， ．， ， ￡ ） （＇ ）
ａｒ ～ ａ
一 ｇ （） ｔａ
一 ０
Ｙ＜ ０ Ｙ ∈ Ｒ ， ｔ＞ ０
ａ， — ａ 叫 ～ ｇ （ ） 一 ０ Ｗ ￡ａ 叫
口 √ 丽（， Ｙ一０ ｏ￡ ）
（ ８）
其 中 ｅ， ， Ｍ Ｍ 与 Ｔ 无 关 ． 证 明 先 给 出 一 个 假 设 ： 任 意 Ｔ ＞ ０ 在 ［ ， ］上 作 一 个 紧 凸集 Ｄ ， 对 ， ＯＴ 令 Ｄ 一 ｛ ｏ ，］ ｇ Ｏ ｇ（）Ｅ Ｃ Ｅ ， ； （ ）一 ｏｇ （ ）＝ 厂 ， ０
ｇ （ ）： 一 —＝＝ ￡
，
ａ ，
３： ｏ ，
／ （， ２ ｏ） ｆ
Ｙ ∈ Ｒ Ｙ＜ ０
（ ， ）一 ｇ ０ ） Ｏ ． （ Ｏ （ ， ）一 ＂ （ ） ０ ０ ０
ｇ（ ０） ＝ ０
其丽＇ 』 ｃ ， ￣ｃｚ。一ｃ （ 萋’ 中（ 一 ｗｔ ３ ， ， （ ： ０ 。 （） ｆｄ ｃ 一 ； ． Ｏ－ 叫 － ｚ 。 ｗ Ｄ ｙ
具抑制因子的肿瘤生长模型自由边界问题的分歧分析
具抑制因子的肿瘤生长模型自由边界问题的分歧分析徐剑磊;王泽佳;李景华【摘要】A free boundary problem modeling tumor growth with inhibitors is considered,and the bifurcation phe-nomenon of the problem is mainly analyzed. The aggressiveness is modeled by a positive tumor aggressiveness pa-rameterμ. Firstly,it is proved that this problem has a unique radially symmetric stationary solution with radius r =Rs . On this basis,it is also shown that there exist a positive integer m** ∈R and a sequence ofμm ,such that for eachμm( m > m**),symmet ric-breaking solutions bifurcate from the radially symmetric stationary solutions.%研究具有抑制物因子的肿瘤生长模型的自由边界问题,主要分析该问题的分歧现象.此模型中肿瘤的进攻性由参数μ来描述,首先证明了该问题当半径r=Rs时有唯一径向对称稳态解.在此基础上还证明了存在正整数m**∈R和序列μm,使得?μm(m>m**),均存在由径向对称稳态解分歧出来的非径向对称稳态解.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(040)002【总页数】5页(P204-208)【关键词】自由边界问题;稳态解;分歧【作者】徐剑磊;王泽佳;李景华【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌 330022【正文语种】中文【中图分类】O175.26自20世纪开始，肿瘤生长的数学模型已引起很多人的兴趣，并取得了许多理论性和数值方面有意义的结果[1-5]，其中用偏微分方程描述固体肿瘤生长的模型成为近年来的研究热点之一.事实上，固体肿瘤生长阶段可以视为在微环境中各种因素相互作用的结果，如营养物、抑制剂等.本文研究具有抑制因子的固体肿瘤生长模型，即自由边界问题该问题是描述在抑制物作用下肿瘤生长的稳态模型，其中σ=σ(x)，β=β(x)，p=p(x)分别表示肿瘤内的营养物浓度、抑制物浓度和压强的未知函数，Ω是R3中的未知有界开集，它表示肿瘤所占区域，∂Ω表示区域边界.模型中的参数，τ都是正常数，>0，μ是肿瘤进攻性参数，是当肿瘤细胞死亡率和出生率达到平衡时的临界营养物浓度，分别表示肿瘤外部营养物浓度和抑制物浓度，∂p/∂n表示外法向量导数.对于问题(1)中不含抑制因子的肿瘤模型，即β=0，文献[6-8]分别在2维情形和3维情形下证明了径向对称稳态解的存在唯一性和一系列非径向对称稳态解的存在性.对于β≠0的情形，文献[9-10]分析了径向对称稳态解的存在性和在径向对称扰动下的渐近稳定性，文献[11]研究了在抑制因子直接抑制肿瘤生长，不吸收营养的情形下稳态解的分歧现象.本文证明了存在序列m**和{μm}，使得∀μm(m>m**)，问题(1)的稳态解存在非径向对称的分歧分支.这把文献[11]的结果推广至抑制因子既直接抑制肿瘤生长又吸收营养，即与肿瘤竞争营养源的情形.先回顾变形Bessel函数的一些特征，得到问题(1)的径向对称稳态解.对m>0，ξ>0，令Im(ξ)为变形Bessel函数方程[11-12]，Im(ξ)满足关系；；(iii)∞.考虑问题(1)的径向对称稳态解.令，问题(1)等价于方程组解方程组(2)，利用公式I1/2(ξ)=得，，，由方程组(2)知Rs是的1个解，即.定理1 对任意给定的正常数和式中的(σs(r)，βs(r)，ps(r))是问题(1)的唯一径向对称解.证显然(3)～(5)式中的(σs(r)，βs(r)，ps(r))是问题(1)的1个解，其中，).定义，由(6)式知，问题(1)存在径向对称解当且仅当方程有正解.由文献[9]的定理2.3得，当时，(3)～(5)式中的(σs(r)，βs(r)，ps(r))是问题(1)的径向对称解.接下来考虑问题(1)在具有边界∂Ωε：r=Rs+εS(θ，φ)的区域上的非径向稳态解的存在性.设(σ，β，p)是问题(1)的解，将σ，β，p分别展开为σ=σs+εσ1+O(ε2)，β=βs+εβ1+O(ε2)，p=ps+εp1+O(ε2)，其中σ1，β1，p1是待确定的函数.∀S(θ，φ)，μ，定义函数.易见，(σ，β，p)是问题(1)的1个稳态解当且仅当F(S，μ)=0. 为了证明存在适当的S(θ，φ)，μ，使得F(S，μ)=0，需要计算F的Frechet导数.现在先计算σ1，β1和p1.(i)β1的计算.由边界条件知，β1满足问题取S(θ，φ)=Ym，l(θ，φ)，计算可得).(ii)σ1的计算.σ1满足问题解问题(10)得).(iii)p1的计算.将(9)式代入(7)式得Δp1=-μσ1+μτβ1，0<r<Rs.由文献[13]知，在边界∂BRs有，故.由(11)式和边界条件(12)可得p1(r，θ，φ)=-μσ1(r，θ，φ)+μτβ1(r，θ，φ)/λ2+c0(r/Rs)mYm，l(θ，φ)，其中). 下面证明展开式(7)～(9)是严格的.事实上，∀S∈Ck+α(∑)，k≥3，定义区域Ωε={r<Rs+εS}.(σ，β，p)仅被定义在Ωε区域上，而(σs，βs，ps)被定义在整个R3区域上，(σ1，β1，p1)被定义在BRs区域上.需要用Hanzawa变换将这些函数变换到同一个区域Ωε上，定义微分同胚映射(r，θ，φ)=Hε(r′，θ′，φ′)=(r′+χ(Rs-r′)εS(θ′，φ′)，θ′，φ′)，其中χ∈C∞，.所以Hanzawa变换Hε是区域BRs映射到区域Ωε，然而保持球{r<Rs-3δ0/4}固定.反向的Hanzawa变换是区域Ωε映射到区域BRs.由文献[14]的引理3.2和利用Schauder估计可得，当k=3时，这个结论对所有的k≥2也成立.这也表明了(7)～(9)式的展开是严格的.由F(S，μ)的定义，计算Frechet导数). 计算上述等式右边的2项，).利用Bessel函数的性质有，，Ym，l(θ，φ).因此).方程[∂F(0，μ)/∂S]S(θ，φ)=0可以简写成其中，.记μm=Am/Bm. 接下来证明此μm(m>m**)是问题(1)的分歧参数.先证明1个有用的引理.引理1 若则∃m*∈N，使得当m>m*，μm(>0)关于m单调递增，证由变形Bessel函数的特征可得r/2m+O(1/m2)，令，则当m→∞时，).由(14)式得.又由(15)式和(16)式知引理1得证.下证当m充分大时μm是问题(1)的分歧点.引理2[15](Crandall-Rabinowitz定理) 设X，Y是Bananch空间，F(x，μ)是(0，μ0)的某个邻域到Y的Cp映射，(0，μ0)∈X×R，p≥3. 假设(i)在μ0的一个邻域内，对所有的μ都满足F(0，μ)=0；(ii)Ker[Fx(0，μ0)]是由x0张成的1维空间；(iii)Im[Fx(0，μ0)]=Y1的余维数是1；(iv)[Fμx](0，μ0)x0∉Y1，则(0，μ0)是方程F(x，μ)=0的1个分歧点，具有如下意义：在(0，μ0)的1个小邻域内，F(x，μ)=0解的集合包括2条Cp-2光滑曲线Γ1和Γ2只与点(0，μ0)相交；Γ1是(0，μ)曲线，Γ2表示为Γ2：(x(ε)，μ(ε))，(x(0)，μ(0))=(0，μ0)，x′(0)=x0，其中充分小.定理2 若则存在正整数m**，使得对每个偶数m>m**，(0，μm)是方程F(S，μ)=0的1个分歧点，μm是问题(1)的1个分歧点，解的相应的分支有表达式σε=σs+εσ1Ym，0(θ，φ)+O(ε2)，βε=βs+εβ1Ym，0(θ，φ)+O(ε2)，pε=ps+εp1Ym，0(θ，φ)+O(ε2)及它的自由边界形式r=Rs+εYm，0(θ，φ)+O(ε2).证在引理1中对任意给定的m*，定义m**为m**=inf{m∈N+：μm≥max{μ2，μ3，…，μm*}}.∀m>m**，引进Bananch空间Xm+α={S(θ，φ)∈Cm+α(∑)，S(θ+kπ，φ)=S(θ，φ)，S(θ，φ+k·2π)=S(θ，φ)，k∈Z}，是线性空间张成{Yj，0，j=0，2，4，…}的闭包，其中{Yj，0，j=0，2，4，…}∈Xm+α.由(13)式知F(S，μ)是从Xm+2+α到Xm-1+α的1个映射.令).当偶数m≥m**，Ker[FS(0，μm)]=span{Ym，0}，FS(0，μm)Yk，0=(Ak-μmBk)Yk，0，当k≠m时，Ak-μmBk≠0. 所以Im[FS(0，μ)]+Ker[FS(0，μ)]=Y.注意[FμS(0，μm)]Ym，0=-BmYm，0∉Im[FS(0，μm)].由Crandall-Rabinowitz定理和引理1得，当偶数m≥m**时，μm是问题(1)的1个分歧点.定理3 攻击性参数μm关于抑制物浓度是增函数.证只需要证明函数关于是递减的.结合qm(Rs)的式子得.由文献[13]知.又因为，，所以.从而.定理3得证.3 小结尽管研究的带抑制因子作用的肿瘤模型相当简单，但本文的结果有着深刻的生物意义.肿瘤生长会形成不同的形状，结果表明带抑制因子作用的肿瘤除了会以球状的稳态存在，还会以具有突出物的稳态情形存在.在本文的模型中，这些突出区域由自由边界的r=Rs+εYm，0(θ，φ)+O(ε2)来表示，突出物的数量与m有关.另一方面，肿瘤的进攻性由参数μ来估量，μ越大，肿瘤的进攻性就越大.当μ=μm时，m充分大，肿瘤将形成指状物，具有进攻性.定理3表明对于同样的分支突出物，抑制因子供应的越多将需要更大的肿瘤进攻性参数来形成同样的突出物.也就是说，抑制物将减缓肿瘤进化到进攻性状态的趋势.【相关文献】[1]Araujo R P，McElwain D L S.A 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一维二相自由边界问题
维普资讯
１ ８
～
佛 山科 学技 术 学院学报 （ 自然科 学版 ）
第２ ５卷
（０ 是 一维 二相 自由边 界问题 ， 由于在 自由边界 上 Ｕ 没 有 明确 的 表达式 ， １） 但 ， 因此在 证 明解 的存在性
时不能用 ［ ，］ 的方 法 ， 且它 也不 同于［ ，］ ４５ 中 并 ４ ５ 中的 自由边 界 问题 。
ＶｏＩ ２５ Ｎｏ ． ．１
Ｊｎ ２ ０ ａ ．０ ７
文 章 编 号 ：Ｏ８０ ７ （０ ７ ０—０ ７０ ｌ Ｏ— １ １２ ０ ）１０ １—５
一
维 二 相 自 由边 界 问题
韩 晓茹 汤 平 ，
（＿ 山科 学技 术 学院 信 息 科 学 与 数 学 系， 东 佛 山 ５８ ０ ；． 南 大 学 数 学 与信 息科 学 学院 ・ 南 开封 ４ ５０ ） １佛 广 ２００２河 河 ７ ０ １
Ｂｎ ｈ ｍ 流体 非牛顿 意义下 的流体 ， ｉｇ ａ 当其承受 的压 力小 于极 限时 ， 会变 形 ； 不 当压 力超过 极 限时 ， 就
象粘性 流体一 样变 形 。当文献 Ｅ－ ，ａａｏ得 到了一 般 的三维 Ｂｎ ｈｍ 方程 。在文献 ［ ，］ ＬＦ ｓ ｌ￣ Ｆ ｓｎ ｌ ｉｇ ａ ２ ３ 中， ｕｉ 和Ａ． ａｉａ Ｆ ｒ 把一 般 的模型 进行 了推 广 ， 定 当压力 小 于极 限时 ， ｎ 假 该液 体也 会变 形 ， 特别 是在 ［］ 建 立 ２ 中， 了非线 性虎克 弱性模 型 ， 证 明了解 的存 在性 ， Ｅ］ 并 在 ３ 中建立 了麦克 斯维粘 一 弹性模型 本文 研究 Ｅ］ ３中
其 中， ｏ． ， ｏ． 是 已知 函数 ， ＞０ ， ， 常数 。 样 ， 于 Ｕ 的方程 均 为抛物方程 ， Ｖ（）Ｕ（ ） ｙ ｙ ，＝１ … ５是 这 关 ， 问题 （ ） １
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
振动与边界条件一维弦振动问题中的特殊函数解析
使用分离变量法假设u(x,t)可以表示为两个函数的积的形式，即u(x,t) = X(x)T(t)。带入波动方程可以得到X''/X = T''/(c²T) = -λ²，其中λ是常数。
解出X(x)的通解为X(x) = Asin(λx) + Bcos(λx)，T(t)的通解为T(t) = Csin(λct) + Dcos(λct)。根据固定边界条件，我们可以得到弦的振动模式。
3.2特殊函数解析
通过合适的边界条件，我们可以得到一维弦振动问题的特殊函数解。对于n次特殊函数解（n为正整数），位移函数可以表示为
u(x,t) = Σ[Cnsin(nπct/L) + Dncos(nπct/L)]sin(nπx/L)
其中，L为弦的长度，Cn和Dn为常数。
4.结论
在一维弦振动问题中，边界条件的设定对于特殊函数解析非常重要。通过固定边界条件和自由边界条件的设定，我们可以得到关于位移函数的特殊函数解。
特殊函数解析在物理学和工程学等领域有着广泛的应用。通过合适的边界条件设定，我们可以解决一维弦振动问题，并得到振动模式。这些模式在乐器制作、声学研究等领域具有重要的实际意义。
需要注意的是，以上内容仅探讨了一维弦振动问题中的特殊函数解析，实际问题中还存在其他边界条件和更加复杂的情况，需要综合考虑。在求解实际问题时，我们可以借助数值方法进行计算和模拟，以获得更加精确的结果。
3.1分离变量法
使用分离变量法假设u(x,t)可以表示为两个函数的积的形式，即u(x,t) = X(x)T(t)。带入波动方程可以得到X''/X = T''/(c²T) = -λ²，其中λ是常数。
解出X(x)的通解为X(x) = Asin(λx) + Bcos(λx)，T(t)的通解为T(t) = Csin(λct) + Dcos(λct)。根据自由边界条件，我们可以得到弦的振动模式。
《相对论Euler方程自由边界问题适定性以及非相对论极限研究》范文
《相对论Euler方程自由边界问题适定性以及非相对论极限研究》篇一相对论Euler方程自由边界问题适定性及非相对论极限研究摘要：本文旨在研究相对论Euler方程在自由边界问题下的适定性，并探讨其与非相对论极限的关联。
首先，我们将介绍相对论Euler 方程的基本概念和数学框架。
接着，我们将详细讨论自由边界问题的数学描述及适定性的相关理论。
随后，我们分析该方程的解的性质和特征，以及非相对论极限下该方程的渐进行为。
最后，我们将总结本文的主要发现和结论，并对未来可能的研究方向进行展望。
一、引言相对论力学是物理学中一个重要的分支，它描述了高速运动下的物理现象。
相对论Euler方程作为描述流体动力学的重要工具，在研究高速流体运动中具有重要意义。
在处理涉及自由边界的问题时，该方程的适定性成为研究的重点。
此外，非相对论极限下的行为也值得深入探讨，因为这有助于我们理解相对论效应在低速情况下的影响。
二、相对论Euler方程概述相对论Euler方程是描述流体动力学的基本方程之一，它考虑了相对论效应对流体运动的影响。
该方程包括质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。
在处理自由边界问题时，该方程的解需要满足一定的边界条件，以确保解的适定性。
三、自由边界问题的数学描述及适定性理论自由边界问题是指流体域的边界随时间变化的问题。
在数学上，这可以通过变分不等式或偏微分方程来描述。
对于相对论Euler方程的自由边界问题，我们需要构建适当的数学模型，并利用适定性理论来研究解的存在性、唯一性和稳定性。
适定性理论是研究偏微分方程解的重要工具，它可以帮助我们理解解的性质和特征。
四、相对论Euler方程的解的性质和特征相对论Euler方程的解具有一些独特的性质和特征。
首先，由于考虑了相对论效应，解的动态行为与经典流体动力学方程的解有所不同。
其次，在处理自由边界问题时，解需要满足一定的边界条件，以确保解的适定性。
此外，解的性质还受到初始条件和物理参数的影响。
非局部方程(组)的自由边界问题
非局部方程（组）的自由边界问题非局部方程（组）的自由边界问题一、引言自由边界问题是数学中一个重要的研究课题，在各个领域中都有广泛的应用。
而非局部方程（组）是一类特殊的方程，在描述一些复杂的现象时具有重要意义。
本文将探讨非局部方程（组）的自由边界问题，希望能给读者带来一些启发和思考。
二、非局部方程（组）的定义与特点非局部方程（组）是指不仅仅依赖于某一点的函数值，还依赖于整个函数在一定范围内的取值情况。
其数学描述形式可以用积分方程或者偏微分方程表示。
非局部方程（组）的研究对象常常是分布于整个空间或代表着一种统计平均的量，具有整体性的特点。
非局部方程（组）的一个典型例子是非局部扩散方程，该方程的形式为：∂u(t,x)/∂t = D∫[a,b]k(x,y)(u(t,y)-u(t,x))dy,其中，D表示扩散系数，u(t,x)表示在时刻t点x处的扩散物质的密度，k(x,y)表示在x处物质扩散到y处的影响系数。
与传统的局部方程相比，非局部方程具有以下特点：1. 长程作用：非局部方程（组）的解在整个空间上有影响，而不仅仅是一点或一片区域。
2. 非线性性质：非局部方程（组）中常常包含非线性项，使得解的分析和计算变得更加复杂。
3. 多尺度性：由于非局部方程的定义范围广泛，其解可能存在多个尺度。
这使得问题的分析和计算更具挑战性。
三、非局部方程（组）的自由边界问题自由边界问题是指在非局部方程（组）中，存在部分区域的解在该区域的边界上自由演化。
这部分区域的边界不受外界限制，而是由方程自身的特性决定。
在非局部方程（组）的自由边界问题中，自由边界的确定是一个重要的研究问题。
一般而言，我们需要先对方程进行变量转换和假设的降维处理，使问题变得更简化。
接下来，可以借助数值方法来求解，如有限差分法、有限元法或谱方法等。
在解决非局部方程（组）的自由边界问题时，需要对边界条件进行适当的选择。
这需要根据具体问题来确定合理的边界条件，以满足物理要求和数学条件。
连续铸钢中的一类周期自由边界问题
连续铸钢中的一类周期自由边界问题
严平;吴俊
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2000(13)1
【摘要】本文讨论了连续铸钢中的一类周期自由边界问题 ,证明了周期古典解的存在性。
【总页数】5页(P51-55)
【关键词】自由边界问题;周期解;古典解;连续铸钢;稳定性
【作者】严平;吴俊
【作者单位】安徽师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】TF777
【相关文献】
1.一类具有连续分布时滞和脉冲的多种群对数人口模型的周期及概周期解 [J], 邢文雅;张庆
2.两相连续铸钢周期Stefan问题解的渐近性质 [J], 严平;周先波
3.两相连续铸钢周期Stefan问题的古典解 [J], 严平
4.一类连续和不连续分段线性系统的周期解研究 [J], 杨静;柯昌成;魏周超
5.一类周期自由边界问题解的渐近性态 [J], 严平
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