证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法
求解行列式的若干方法
求解行列式的若干方法一、矩阵的行列式的基本定义行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。
它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。
二、行列式的四则运算法以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。
三、行列式解法法（1）基本思想：用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。
（2）实施步骤：1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。
令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：A1=|-3|= -3步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：四、Gauss-Jordan 消去法将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求出来了。
计算行列式常用的7种方法
行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261 在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明：|AA T |=|BB T ||CC T |.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
克莱姆法则系数行列式为0
克莱姆法则系数行列式为0克莱姆法则作为线性代数中的基本法则之一，广泛应用于解决线性方程组问题。
然而，当遇到系数行列式为零的情况时，克莱姆法则便无法适用，需要我们特别关注。
本文将探讨克莱姆法则系数行列式为零的原因、解决方法以及实际应用。
克莱姆法则的数学表达为：对于给定的线性方程组，通过构造矩阵并求解矩阵的特征向量，进而得到方程组的解。
当系数矩阵的行列式不为零时，可以通过求解特征向量得到方程组的全部解。
然而，当系数矩阵的行列式为零时，矩阵可能存在特征值重复的情况，导致无法通过特征向量求解方程组的解。
二、解决方法当系数行列式为零时，我们可以采取以下几种解决方法：1.考虑其他方法：对于系数行列式为零的线性方程组，可以考虑使用其他方法进行求解，如高斯消元法、逆矩阵法等。
这些方法在处理特殊情况时可能更加有效。
2.调整系数矩阵：如果系数矩阵的列向量组无解或存在无数多个解，可以考虑调整系数矩阵，使其满足克莱姆法则的使用条件。
3.考虑非线性方程组：如果线性方程组无法求解，可以考虑将其转化为非线性方程组进行求解。
非线性方程组的求解方法通常更为复杂，但也更具灵活性。
三、实际应用克莱姆法则在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在统计、经济、工程等领域中，线性方程组常常用于描述多个变量之间的相互关系，而克莱姆法则则为求解这些问题提供了有效的方法。
当系数行列式为零时，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
此外，克莱姆法则还可以用于计算机视觉、图像处理等领域。
在图像分割、特征提取等任务中，线性方程组常用于描述像素之间的空间关系和亮度变化，此时克莱姆法则同样具有重要作用。
总结：克莱姆法则系数行列式为零的情况在解决线性方程组时可能出现。
针对这种情况，我们可以采取调整系数矩阵、使用其他方法或考虑非线性方程组等方法进行解决。
克莱姆法则在实际问题中具有广泛应用，尤其在统计、经济、工程、计算机视觉等领域中发挥着重要作用。
在遇到系数行列式为零的情况时，我们需要灵活选择合适的方法进行求解。
克莱姆法则系数行列式为零
克莱姆法则系数行列式为零什么是克莱姆法则？克莱姆法则是线性代数中的一个重要定理，它用于解决n个线性方程组的解的唯一性。
根据克莱姆法则，如果一个n阶方程组的系数矩阵的行列式不等于零，那么这个方程组有唯一解。
反之，如果行列式等于零，那么这个方程组要么无解，要么有无穷多解。
什么是行列式？行列式是一个与矩阵相关的数学工具，用于判断方程组的解的存在性和唯一性。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为A 或det(A)。
行列式是一个数，可以通过对矩阵中的元素进行一系列的代数运算得出，具体的计算方法可通过展开定理或高斯消元法来实现。
行列式为零的意义当一个n阶方程组的系数矩阵的行列式等于零时，意味着方程组的解的个数可能为0或者无穷多。
这是因为在计算行列式时，零表示其中存在线性相关的行或者列，使得方程组的多个方程之间存在依赖关系或者方程组的解存在冗余。
这种情况下，方程组的解空间不是唯一确定的，使得方程组可能无解或者存在无穷多解。
证明行列式为零的方法当我们需要证明一个方程组的系数矩阵的行列式为零时，有以下几种方法：1. 利用展开定理：根据展开定理，行列式可以通过按照某一行或某一列展开来计算。
如果在展开过程中发现存在某一行或者某一列的元素全为零，那么行列式的值就为零。
2. 利用高斯消元法：我们可以利用高斯消元法将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，如果在化简过程中发现存在一行全为零的情况，那么行列式的值也为零。
3. 利用行列式的性质：行列式具有一系列的性质，可以用来简化计算或判断。
其中一个性质是当矩阵的某一行或者某一列全为零时，行列式的值为零。
这个性质可以通过对行列式的行和列进行互换，并利用对角线元素为零的结构性质来证明。
在实际应用中，我们可以根据具体的方程组和已知条件选择合适的方法来判断系数矩阵的行列式是否为零。
这一结果在解方程组或者判断解的存在性和唯一性时具有重要的意义。
行列式为零的案例分析下面通过一个具体的案例来分析行列式为零的情况。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。
在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。
一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。
恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。
3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。
对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。
正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。
上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。
根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。
2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。
代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。
3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。
4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。
利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。
5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。
总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。
一般技巧求解行列式
一般技巧求解行列式要解行列式，可以使用多种一般技巧。
本文将介绍其中一些常用的方法。
1. 展开法：行列式可以通过展开法进行求解。
展开法可以根据行列式的定义，将行列式展开为一系列的代数式相加。
例如，对于一个3阶行列式:| a b c || d e f || g h i |我们可以选择第一行展开：| a b c | = a * | e f | - b * | d f | + c * | d e || h i | | g i | | g h |然后可以通过继续展开这些子行列式，直到得到一个只有一个元素的行列式为止。
最终相加这些代数式就可以得到行列式的值。
2. 初等行变换：行列式的值不受初等行变换的影响，因此可以通过进行初等行变换简化行列式的计算。
初等行变换包括以下三种操作：(1) 交换两行的位置。
(2) 用一个非零常数乘某一行。
(3) 用一个行乘另一行再加到第三行上。
利用初等行变换，可以将行列式变为上三角形行列式或者对角行列式的形式，从而简化计算。
3. 行列式的性质：行列式具有一些性质，利用这些性质可以更方便地进行计算。
(1) 行列式与其转置行列式相等。
(2) 如果行列式有两行(列)完全相同，则行列式的值为0。
(3) 如果行列式的某一行(列)有一个元素等于0，那么行列式的值为0。
(4) 行列式的某一行(列)乘以一个非零常数，行列式的值等于原行列式的值乘以这个常数。
(5) 行列式的某一行(列)的元素乘以一个非零常数再加到另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变。
利用这些性质，可以通过简化行列式的形式，减少计算量。
4. 克拉默法则：对于n阶方阵A的系数矩阵A和常数矩阵b，如果A的行列式不为0，则该方程组有唯一解，并且解为x = (Dx/D, Dy/D, Dz/D, ......, Dn/D)，其中Dx表示把矩阵A 的第x列用向量b替换掉后，求得的行列式。
例如，对于二阶方阵：| a b || c d |方程组ax + by = e, cx + dy = f可以通过克拉默法则求解。
ab矩阵等于0的五个结论及证明
ab矩阵等于0的五个结论及证明AB矩阵等于0的五个结论及证明结论一：若矩阵A的任意一行乘以矩阵B的任意一列得到的元素之和为0，则矩阵AB等于0。
证明：设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，矩阵AB为m×p矩阵。
根据矩阵乘法的定义，矩阵AB的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列相乘后的元素之和。
即AB[i][j] = A[i][1] * B[1][j] + A[i][2] * B[2][j] + ... + A[i][n] * B[n][j]当A的任意一行乘以B的任意一列得到的元素之和为0时，即对于任意的i和j，有：A[i][1] * B[1][j] + A[i][2] * B[2][j] + ... + A[i][n] * B[n][j] = 0因此，AB的第i行第j列的元素为0，即AB等于0。
结论二：若矩阵B的任意一列乘以矩阵A的任意一行得到的元素之和为0，则矩阵AB等于0。
证明：设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，矩阵AB为m×p矩阵。
根据矩阵乘法的定义，矩阵AB的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列相乘后的元素之和。
即AB[i][j] = A[i][1] * B[1][j] + A[i][2] * B[2][j] + ... + A[i][n] * B[n][j]当B的任意一列乘以A的任意一行得到的元素之和为0时，即对于任意的i和j，有：A[1][i] * B[j][1] + A[2][i] * B[j][2] + ... + A[n][i] * B[j][n] = 0即AB的第i行第j列的元素为0，即AB等于0。
结论三：若矩阵A的任意一行与矩阵B的任意一列的对应元素之积之和为0，则矩阵AB等于0。
证明：设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，矩阵AB为m×p矩阵。
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前言：
一、线代的特点：
1、内容抽象
2、概念多
3、符号多
4、计算原理简单但计算量大
5、证明简洁但技巧性强
6、应用广泛
二、学习中要注意的问题
1、不要急于求成，不要急于做难题。
要分层次，扎扎实实的学习
2、熟练掌握基本内容。
基本概念（定义、符号）
基本结论（定理、公式）
基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）
基本证明和推理方法
3、自己动手推证书中的每个结果
尽量体会结论、证明的思想方法
用自己喜欢的方式写出简要总结
4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。
提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）
变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）
问题相互转化
5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。
要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流
该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理
一、行列式等于零的证明方法
例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)
由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二
在这里有一种常见的错误解法
由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0
其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。
例如
[1 1][ 1 1]
[1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0
（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。
KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）
二、矩阵等于零的证明方法
例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。
证明当AB＝0时，A＝0
证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0
∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解
又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n
∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n
∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0
证法二：
∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量
设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆
∴AB1=0
∴AB1B1^-1=0B1^-1=0
∴A =0
证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0
将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列
[a11 ... a1n]
[... ... ...]=A
[an1 ... ann]
[α1]
[α2]
[...]=B
[αn]
则
[a11α1+...+a1nαn]
[.................]=AB=0
[an1α1+...+annαn]
∴有方程组
[a11α1+...+a1nαn=0
[.................=0
[an1α1+...+annαn=0
∵R(B)=n∴α1...αn现性无关
∴
a11 ... a1n＝0
................
an1 ... ann=0
∴A=0
通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。
例如：
[ 1 0 0]
[ 0 1 0]
[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行
再如：
[ 1 0 1][ 1 2 3]
[ 0 1 0][ 2 3 4]=
[ 1 2 0][ 3 4 5]
[α1+α3]
[α2]
[α1+2α2]= [4 6 8] [2 3 4] [5 8 11]。