计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui
（2）幂函数模型
Y i A1 i1X 2 2 i 1 X k ke iu i
l Y i n l A n 1 l X 1 i n 2 l X 2 i n k l X k n u i i
Y i * l Y i , n 0 l A , X n 1 * i l X 1 i , n X 2 * i l X 2 i , n , X k * l i X k n
令
X* i
lnXi
则
Yi Xi*ui
（4）S-型曲线模型
Yi
1
eXi
ui
取倒数
1 Yi
eXi
ui
令
Yi*
1 Yi
,
Xi*
eXi
则
Yi* Xi*ui
第二节 线性化方法
2. 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
计量经济学
授课人：田立法
教材：张晓峒《计量经济学基础（第3版）》 授课班级：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：
tianlifa
2011年10月
第四章 非线性回归模型的线性化
第一节：变量间的非线性关系 第二节：线性化方法 第三节：案例分析
第一节 变量间的非线性关系
1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？
Z
2
Hale Waihona Puke f2(X1, X 2, , Xk)
Z k fk ( X 1, X 2 , , X k )
则 Y 0 1 Z 1 p Z p u
第二节 线性化方法
（1）多项式函数模型
Y i 0 1 X i 2 X i2 k X k k u i
令 则
Z 1 i X i,Z 2 i X i2 , ,Z k iX ik Y i 0 1 Z 1 i 2 Z 2 i k Z K u i i
Y i * 0 1 X 1 * i 2 X 2 * i k X k * i u i
第二节 线性化方法
例 4.2 对于柯布—道格拉斯（C-D）生产函数
Y i AiL K ie u i,i 1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
线性模型 Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k u
非线性模型 Y f ( X 1 ,X 2 , ,X k ;0 ,1 , ,p ) u
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
p
令 Y * Y f(X 1 ,X 2 , ,X k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i 1
f i,0 [i] 0
Z 1[ f1]0,Z 2[ f2]0, ,Zp[ fp]0
得 Y * 1 Z 1 2 Z 2 p Z p v
量，A 为效率系数， 和 非别为K 和 L的产出弹性，A、 和 均为待估未知参数。
取对数后： Ln L Y nL An L K n uL
第一节 变量间的非线性关系
第三类：不可线性化的非线性回归模型 有些回归模型无论通过什么样的变换，都无法
使其化为标准的线性回归模型，这类回归模型被称 为不可线性化的非线性回归模型。如：
Y01 e1 X 12 e2 X 2 u
第二节 线性化方法
1. 非标准线性回归模型的线性化方法
变量替换法
Y 01 f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) pfk(X 1 ,X 2 , ,X k ) u
变量替换公式为 Z1 f1( X1, X 2 , , X k )
型的非线性函数 在这组初始估计值附近作泰勒级数展
开，得
p f
Yf(X1,X2,,Xk; , 1,0 2,0,, p,0)i1[i ]0( i i,0)
1p p 2f
2i1
[
j1
i
j
]0(
i
)( i,0 j
j,0)u
舍掉二阶和二阶以上的高阶项，得：
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
p f
Y 移 项f( 整X 1 , 理X 2 后, 得,X ：k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i 1 [ i] 0 (i i,0 ) v
p f p f
Y f( X 1 ,X 2 , ,X k ;1 ,0 ,2 ,0 , ,p ,0 ) i 1i ,0 [ i] 0 i 1i[ i] 0 v
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型
Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p存在线性关系。
Y 01 f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2 f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k ) u
数。试利用天津市1980年~1996年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
迭代线性化法
第一步：根据经济理论和历史统计资料，选定 (1,0, 2,0,, ) p,0 作为未知参数 (1,2,,p)的一组初始估计值。接着将模
例4.1 假设某企业在15年中每年的产量和总成本的
统计资料如表4.1所示，试估计该企业的总成
本函数模型。
解：详见教材。
第二节 线性化方法
（2）双曲函数模型
1 Yi
1
Xi
ui
令
Y* i
1, Yi
X* i
1 Xi
则，化为标准的线性回归模型
Yi* Xi*ui
第二节 线性化方法
（3）对数函数模型
Yi ln Xi ui
非线性回归模型的线性化
k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 （生长曲线模型）
把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检 测存活个数，计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点，坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
计量经济学非线性回归模型的线性化
变量替换法
Y 0 1 f1 ( X 1 , X 2 ,, X k ) 2 f 2 ( X 1 , X 2 ,, X k ) p f k ( X 1 , X 2 ,, X k ) u
变量替换公式为 Z1 f1 ( X 1 , X 2 ,, X k )
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
Y AK L e
u
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入 量，A 为效率系数， 和 非别为K 和 L的产出弹性，A、 和 均为待估未知参数。 取对数后：
第四章 非线性回归模型的线性化
第一节：变量间的非线性关系 第二节：线性化方法 第三节：案例分析
第一节 变量间的非线性关系
1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？
线性模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k u
非线性模型 Y f ( X 1 , X 2 ,, X k ; 0 , 1 ,, p ) u
ln Y ln A
Z f ( X , X ,, X ) 2 2 1 2 k Z k f k ( X 1 , X 2 , , X k )
则
Y 0 1 Z1 p Z p u
第二节 线性化方法
（1）多项式函数模型
Yi 0 1 X i 2 X i k X k ui
就可以得到线性回归模型的一组新的最小二乘估计量。 第三步：将非线性函数 f 在这组新的参数估计值 附近作泰勒级数展开，线性化后得到一个新的标准线性回 归模型。对这个新的标准线性回归模型再应用普通最小二
（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
计量经济学基础-非线性回归模型
第四节 非线形回归模型一、 可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。
在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。
1．倒数模型我们把形如:u xb b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。
设：xx 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。
倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。
有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。
2．对数模型模型形式：u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2）(该模型是将ub e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。
上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。
因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。
令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。
模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：xdx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== （3.4.4） 它表示x 变动1%，y 变动了多少，即变动了1b %。
模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx ，lny ）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。
高级计量经济学 第四章 非线性模型[精]
![高级计量经济学 第四章 非线性模型[精]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/cb1012792e3f5727a5e9625e.webp)
随机性前沿函数(Stochastic frontier)
基于统计技术，需要对技术效率的分布形式做出假定 ，利用最大似然法估计。
该法也已经得到广泛应用，也有多种专门的软件。
Frontier Limdep/Nlogit Stata
21
随机前沿函数
线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从 一组参数的初始值开始将非线性函数线性化，然后求 解线性方程组并得到新的估计值；重复上述步骤直到 估计结果达到收敛标准或达到最大迭代次数时为止。
10
NLS方法
用线性化迭代求解法做回归包括以下步骤：
在未给定初始值的情况下，利用OLS方法估计系数（或 用其他算法得到的估计值）作为初始值，反之利用给 定的初始值。
26
EVIEWS下用最大似然法估计参数非 线性方程
最大似然法适合更为一般化的情况
在EVIEWS下选择Object/New Object/LogL 在随后出现的窗口中根据研究需要定义似然函数
需要调用EVIEWS的多个函数功能 给出参数的初始值
调用Estimate并确定有关选项 得到估计结果 可以在File下选择New/Program建立程序文件，更便于
5
两种主要的估计技术
非线性最小二乘法（NLS）
以残差平方和最小为标准获得参数估计 通常基于误差项满足正态分布的假定 一般计量经济软件有标准的指令和算法
最大似然法（ML）
以似然值最大为标准获得参数估计 误差项可以为任意统计分布形式 不同情况需要用到不同的指令和算法
计算技术效率采用以下公式（以生产函数为例）：
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴ 指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u e (4.6)b 取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性回归模型的线性化
p f p ( X1, X 2 , , X k ) ＋u
令
Z1 f1(X1, X2, Z2 f2(X1, X2,
, Xk) , Xk)
Zp fp(X1, X2, , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1Z1 2Z2 pZ p u
6
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型
p fp(X1, X2, , Xk )
2024/10/17
5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 , , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 , , X k )
Yi* bX i ui
2024/10/17
16
（2）幂函数模型（全对数模型）
幂函数模型的一般形式为：
Yi
AX
1 1i
X
2 2i
X e k ui ki
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
2024/10/17
1
线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1X1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或
（1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
15
2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
04-非线性回归模型的线性化.
对此方程采用对数变换 logM=loga+blog(r-2)
令Y=logM, X=log(r-2), β1= loga, β2=b
则变换后的模型为：
β β Y = + X + u 2020/10/1
t 1 2t t
15
将OLS法应用于此模型，可求得β1和β2的估计
值 ˆ1, ˆ2，从而可通过下列两式求出a和b估计值：
log(aˆ) ˆ1 (aˆ eˆ1 ) bˆ ˆ2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量 的性质（如BLUE,正态性等）只适用于变换后的参 数估计量 ˆ1和ˆ2 ，而不一定适用于原模型参数的估
计量 aˆ 和 bˆ 。
是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新
定义来解决。例如，对于
Y 1X12 2
X2
3
X3 X4
...
只需定义
Z1
X
2 1
,
Z2
X2 ,
Z3
X3 X4
...
该关系即可以重写为：
Y 1Z1 2Z2 3Z3 ... 此方程的变量和参数都是线性的。
2020/10/1
13
参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不
（2）参数的线性
因变量Y是各参数的线性函数。
2020/10/1
3
4.1.2. 非线性模型中变量间的关系
非线性模型的一般形式是 Yt f ( X1t , X 2t ,..., X kt ; 1, 2 ,..., m ) ut
其中f是关于解释变量和未知参数的一个非线性函
数。
上式中解释变量的个数k与参数个数m不一定相 等，
模型形式：
2表020示/10什/1 么意义呢？（思考）
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢？
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，但是可以转化 为线性函数。例如： 生产函数模型： Y AK L e 转化为： ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型： 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，而且无法转化 为线性函数。 例如：Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3