高三数学第一轮复习——数列(知识点超全)

高三数学第一轮复习——数列

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的

通项公式，即)(n f a n

=.

3.递推公式：如果已知数列

{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几

项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数

列

{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n

a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推

公式.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n .

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使

+∈≤N n M a n ,.

⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得

M a n >.

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.

2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n

)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.

⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=

或d n n na S n )1(2

1

1-+=.

3.等差中项

如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1

（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列.

5.等差数列的常用性质

⑴数列

{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等

差数列，公差为kd .

⑶d m n a a m n

)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n

m ，则q p n m a a a a +=+；

⑸若等差数列

{}n a 的前n 项和n S ，则?

??

???n S n 是等差数列；

⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n

n a a S S nd S S 1

,

+==-奇偶奇偶；

当项数为)(12+∈-N n n

，则n

n S S a S S n 1

,

-=

=-奇偶偶奇. 等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数

列，常数q 称为等比数列的公比.

2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：11-=n n

q a a ，1a 为首项，q 为公比 .

⑵前n 项和公式：①当1=q

时，1na S n =

②当1≠q 时，q

q

a a q q a S n n n --=

--=11)1(11. 3.等比中项

如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项?a ，

A ，b 成等差数列?b a G ?=2.

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22

1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列.

5.等比数列的常用性质

⑴数列

{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等

比数列，公比为k

q .

⑶),(+-∈?=N m n q a a m n m n

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n

m ，则q p n m a a a a ?=?；

⑸若等比数列

{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.

二、典型例题

A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；

2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．

3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5

5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==5

935,95S S

a a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}n

b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n

T n =+,则n n

a b =（ ）

5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .

6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

7、已知数列{}n a 是等差数列，若

471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .

9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 10、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += . 11、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a 12、等差数列{}n a 中，已知84816

1

,.3S S S S =求

B 、求数列通项公式

1） 给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

,,21,15,10,6,3,1

3，-33,333，-3333,33333……

2）给出前n 项和求通项公式

1、⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S . 2、设数列{}n a 满足2

*12333()3

n n

a a a a n N +++=

∈n-1

…+3，求数列{}n a 的通项公式

3）给出递推公式求通项公式

a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；

11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； b 、已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法.1

1

22332211a a a

a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=-----

例、已知数列{}n a 满足：

111

(2),21

n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； c 、构造新数列

1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解

例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除1

n p

+或待定系数法求解

例、n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ?+?=++12”，利用待定系数法求解 例、已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.

4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -

例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.

例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n

n

n ，求数列{}n a 的通项公式.

d 、给出关于n S 和m a 的关系

例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n

n n S b 3-=，

求数列{}n b 的通项公式．

例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212

≥??

?

?

?-

=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1

2+=n S b n

n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .

C 、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=

N n n

S b n

n .求证：

数列{}n b 是等差数列. 例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2

1. 求证：{

n

S 1

}是等差数列；

2）证明数列等比

例1、设{a n }是等差数列，b n ＝n

a ??

?

??21，求证：数列{b n }是等比数列；

例2、数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n .设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列；

例3、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，24+=n n a S .

⑴设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列； ⑵设数列{}n c 中，n

n

n a c 2=

，求证：{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.

例4、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n

n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}

12n n a n --?是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式

例5、已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111

*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.

D 、求数列的前n 项和

基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法.

例1、求数列n

{223}n +-的前n 项和n S . 例2、求数列 ，，，，，)2

1(81341221

1n n +

的前n 项和n S . 例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n （n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1111

()()n n k k n n k

=-++；

n n n n -+=++11

1；

例1、求和：S =1+n +++++

+++++ 3211

3211211 例2、求和：n

n +++++++++11

341231121 .

3）倒序相加法，

例、设2

2

1)(x x x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(21

3141f f f f f f +++++；

⑵).2010()2009()2()()()()(21

312009120101f f f f f f f ++++++++

4）错位相减法，

例、若数列{}n a 的通项n

n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .

5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2

，求数列{|a n |}的前n 项和T n .

E 、数列单调性最值问题

例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n . 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；

例3、数列{}n a 中，12832

+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.

例4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项.

例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ．

（Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

例6、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{}n a 中，前n 项和21(1)4

n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

(3)

n n b n a =

-(*)n N ∈，12n n T b b b =++

+，是否存在最大的整数m ，使得对任意

的n 均有32

n m

T >总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。

F 、有关数列的实际问题

例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的

8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为10

4

1=

a ,经过n 年后绿化的面积为1+n a ,试用n a 表示 1+n a ；

⑵求数列{}n a 的第1+n 项1+n a ；

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:4771.03lg ,3010.02lg ==)