信号与系统复频域分析

实验七 信号与系统复频域分析一、实验目的

1.学会用MATLAB 进行部分分式展开；

2.学会用MATLAB 分析LTI 系统的特性；

3.学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。

4.学会用MATLAB 画离散系统零极点图；

5.学会用MATLAB 分析离散系统的频率特性；二、实验原理及内容

1．用MATLAB 进行部分分式展开用MATLAB 函数residue 可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为 [],,(,)r p k residue num den =其中，num,den 分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数，p 为极点，k 为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k 为零。

例7-1 用部分分式展开法求F(s)的反变换 322()43s F s s s s +=

++解:其MATLAB 程序为format rat;

num=[1,2];

den=[1,4,3,0];

[r,p]=residue(num,den)

程序中format rat 是将结果数据以分数形式显示F(s)可展开为 210.536()13F s s s s --=++++所以，F(s)的反变换为 32

11()()326t t f t e e u t --⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦

2．用MATLAB 分析LTI 系统的特性

系统函数H （s ）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H （s ）的零极点可以应用MATLAB 中的roots 函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot 命令画图。

在MATLAB 中还有一种更简便的方法画系统函数H （s ）的零极点分布图，即用pzmap 函数画图。其调用格式为

pzmap(sys)

sys 表示LTI 系统的模型，要借助tf 函数获得，其调用格式为sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别为系统函数H （s ）的分子和分母多项式的系数向量。如果已知系统函数H （s ），求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应可以用以H ω（j ）前介绍过的impulse 和freqs 函数。例7-2 已知系统函数为 321221s s s +++H (s)=试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应，并判断系H ω（j ）统是否稳定。解：其MATLAB 程序如下：num=[1];den=[1,2,2,1];sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h)title('Impulse Response')[H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H))xlabel('\omega')title('Magnitude Response') 3．用MATLAB 进行Laplace 正、反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Laplace 正、反变换的函数Laplace 和ilaplace,其调用格式为

()()F laplace f f ilaplace F ==上述两式右端的f 和F 分别为时域表示式和s 域表示式的符号表示，可以应用函数sym 实现，其调用格式为

S=sym(A)式中，A 为待分析表示式的字符串，S 为符号数字或变量。例7-3 试分别用Laplace 和ilaplace 函数求（1）的Laplace 变换；()sin()()t

f t e at u t -=（2）的Laplace 反变换。22()1s F s s =+解：（1）其程序为f=sym('exp(-t)*sin(a*t)');

F=laplace(f)

或

syms a t

F=laplace(exp(-t)*sin(a*t))

（2）其程序为

F=sym('s^2/(s^2+1)');

ft=ilaplace(F)

或

syms s

ft= ilaplace(s^2/(s^2+1))

4．离散系统零极点图

离散系统可以用下述差分方程描述：∑∑==-=-M m m N i i

m k f b i k y a 00)

()(Z 变换后可得系统函数：N

N M

M z a z a a z b z b b z F z Y z H ----++++++==......)()()(110110用MATLAB 提供的root 函数可分别求零点和极点，调用格式是

p=[a0,a1…an],q=[b0,b1…bm,0,0…0], 补0使二者维数一样。画零极点图的方法有多种，可以用MATLAB 函数[z,p,k]=tf2zp(b,a)和zplane(q,p)，也可用plot 命令自编一函数ljdt.m,画图时调用。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system

p=roots(A)； %求系统极点

q=roots(B)； %求系统零点

p=p'； %将极点列向量转置为行向量q=q'； %将零点列向量转置为行向量x=max(abs([p q 1]))；%确定纵坐标范围

x=x+0.1；

y=x ；%确定横坐标范围

clf

hold on

axis([-x x -y y])

%确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi ；

t=exp(i*w)；

plot(t)

%画单位园axis('square')

plot([-x x],[0 0])

%画横坐标轴plot([0 0],[-y y])%画纵坐标轴

text(0.1,x,'jIm[z]')

text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x')%画极点

plot(real(q),imag(q),'o')%画零点

title('pole-zero diagram for discrete system')%标注标题

hold off