人教版高中数学必修5《等差数列的性质》课件
试解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知，得a1＝40，a11＝80，n＝11，由通项公式，得a11＝a1 ＋10d，即80＝40＋10d，解得d＝4.
因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64， a8＝68，a9＝72，a10＝76.
易错点评：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有11 级， 40 cm 是第1 级，80 cm 的是第11 级．
解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
【变式与拓展】
5．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
例4：一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级 宽80 cm，中间还有 9 级，各级的宽度构成等差数列，求中 间各级的宽度．
三项成等差数列的问题往往借助等差中项去
证明，即a，A，b 成等差数列⇔2A＝a＋b. 【变式与拓展】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3，
则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为_2_n__－__3__．
1．在做等差数列题时，注意利用结论：若 m＋n＝p＋ q，则 am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论源于通 项公式，故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很 远．
2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条 件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．
3．注意一个数列的变式为等差数列的应用，如一个数列的 倒数、一个数列加一个数组成一个等差数列、一个数列开方等．
2．等差数列的性质．
(1)an＝am＋( n－m )d.
(2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则___a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n___．
(3) 若{an} 是等差数列，且m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_＋__a_n_＝__2_a_k___．
题型3 等差数列性质的综合应用 例3：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17.
或aa57＝＝91，.
当 a5＝1，a7＝9 时，d＝4， 通项公式 an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19； 当 a5＝9，a7＝1 时，d＝－4， 通项公式 an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29. 【变式与拓展】
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2, a2＋a3＝13, 则a4＋a5
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式． 2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用．
1．等差中项． 由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_等__差__中__项__，
a＋b 即 2A＝__a_＋__b_____或 A＝____2____.
练习1：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝_1_0_.
出公差 d 与这两项的关系式． 答案：d＝ann－－mam
题型1 等差中项的应用 例1：已知a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a， a＋b也成等差数列．
证明：∵a，b，c 成等差数列，∴b＝12(a＋c)． ∴(b＋c)＋(a＋b)＝2b＋c＋a＝2×12(a＋c)＋c＋a＝2(c＋a)． ∴b＋c，c＋a，a＋b 也成等差数列．
题型2 等差数列性质的基本应用 例2：已知在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝ 45，求数列{an}的通项公式． 思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解
方程组．
自主解答：∵a5＋a6＋a7＝15，
∴3a6＝15，a6＝5. ∴aa55＋a7＝a7＝9. 10， 解得aa57＝＝19，
练习2：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习3：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写
＋a6＝( B ) A．40
B．42
C．
D． 45
4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21， 前三项之积为 231，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21.∴a2＝7. 又∵a1a2a3＝231， ∴a1a3＝33.∴aa11＋a3＝a3＝331. 4， 解得aa13＝＝311， 或aa13＝ ＝131. ， 又∵该数列单调递增，∴aa31＝＝131，. ∴d＝a2－a1＝4. ∴an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.
因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64， a8＝68，a9＝72，a10＝76.
易错点评：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有11 级， 40 cm 是第1 级，80 cm 的是第11 级．
解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
【变式与拓展】
5．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
例4：一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级 宽80 cm，中间还有 9 级，各级的宽度构成等差数列，求中 间各级的宽度．
三项成等差数列的问题往往借助等差中项去
证明，即a，A，b 成等差数列⇔2A＝a＋b. 【变式与拓展】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3，
则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为_2_n__－__3__．
1．在做等差数列题时，注意利用结论：若 m＋n＝p＋ q，则 am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论源于通 项公式，故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很 远．
2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条 件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．
3．注意一个数列的变式为等差数列的应用，如一个数列的 倒数、一个数列加一个数组成一个等差数列、一个数列开方等．
2．等差数列的性质．
(1)an＝am＋( n－m )d.
(2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则___a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n___．
(3) 若{an} 是等差数列，且m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ___a_m_＋__a_n_＝__2_a_k___．
题型3 等差数列性质的综合应用 例3：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17.
或aa57＝＝91，.
当 a5＝1，a7＝9 时，d＝4， 通项公式 an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19； 当 a5＝9，a7＝1 时，d＝－4， 通项公式 an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29. 【变式与拓展】
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2, a2＋a3＝13, 则a4＋a5
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式． 2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用．
1．等差中项． 由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_等__差__中__项__，
a＋b 即 2A＝__a_＋__b_____或 A＝____2____.
练习1：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝_1_0_.
出公差 d 与这两项的关系式． 答案：d＝ann－－mam
题型1 等差中项的应用 例1：已知a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a， a＋b也成等差数列．
证明：∵a，b，c 成等差数列，∴b＝12(a＋c)． ∴(b＋c)＋(a＋b)＝2b＋c＋a＝2×12(a＋c)＋c＋a＝2(c＋a)． ∴b＋c，c＋a，a＋b 也成等差数列．
题型2 等差数列性质的基本应用 例2：已知在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝ 45，求数列{an}的通项公式． 思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解
方程组．
自主解答：∵a5＋a6＋a7＝15，
∴3a6＝15，a6＝5. ∴aa55＋a7＝a7＝9. 10， 解得aa57＝＝19，
练习2：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习3：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写
＋a6＝( B ) A．40
B．42
C．
D． 45
4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21， 前三项之积为 231，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21.∴a2＝7. 又∵a1a2a3＝231， ∴a1a3＝33.∴aa11＋a3＝a3＝331. 4， 解得aa13＝＝311， 或aa13＝ ＝131. ， 又∵该数列单调递增，∴aa31＝＝131，. ∴d＝a2－a1＝4. ∴an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.
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等差数列的性质(52张PPT)
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第二章 2.2 第2课时
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方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
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第二章 2.2 第2课时
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[点评]
等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数
列，方法2正是应用等差数列这一性质解题的．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练2 已知数列{an}为等差数列． (1)若a15＝10，a45＝90，求a60； (2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋„＋a97＝50，求a3＋a6 ＋a9＋„＋a99的值．
第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. a5－a2 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝ ＝3； 5－2 a5－a2 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝ ＝－3. 5－2 ∴公差 d 为 3 或－3.
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第二章 2.2 第2课时
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[解]
(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，
∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48. 解得 a14＝12. (2)∵a2＋a5＝a3＋a4， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34. 解得 a2＋a5＝17. 又已知 a2a5＝52，
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人教高中数学必修五 第二章2.2 等差数列的概念课件(共20张PPT)
an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3
人教版高中数学必修5《等差数列》PPT课件
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的性质 高中数学必修五课件
巩固练习
3、已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4
2、
已知 a n 中 a 数 1 3 ， ,a 1 n 列 a 1 n 1 5 (n 2 )则 ,a n __ .
m n p q , a m a n a p a q .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
试ap求 q.
解：设 d,则公 因 apa 差 q为 (p 为 q)d, 所d以 apaqqp1. pq pq 从 a p q a p 而 q q d q ( 1 ) 0 . 所a以 pq0.
二、 例：
例： 已知数列{ a n }的通项公式为 an pnq，其
高中数学 2.2.2 等差数列的性质课件 新人教A版必修5
A.0
B.10
C.20
D.不确定
答案:C
等差数列的性质 剖析:若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则有: (1)当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0 时,数列
为递减数列. (2)d=ann--a11 = amm--akk(m,n,k∈N*).
(3)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
.
答案:13
12
2.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
由 a,A,b 成等差数列,得 A-a=b-A,所以 A=a+2b.反过来,如果 A=a+2b,那么 2A=a+b,A-a=b-A,即 a,A,b 成等差数列.
【做一做 2】 x+1 与 y-1 的等差中项为 10,则 x+y 等于( )
数 d 称为等差数列的公差. (2)通项公式:an=a1+(n-1)d,a1 为首项,d 为公差.
12
【做一做 1-1】 等差数列{an}的公差 d=2,a1=2,则 an 等于( )
A.2
B.2n-2
C.2n
D.2n+2
答案:C
【做一做 1-2】 在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=
∴am=a1+(m-1)d,ak=a1+(k-1)d,
∴am+an=2a1+(m+n-2)d =2a1+(2k-2)d=2a1+2(k-1)d =2[a1+(k-1)d]=2ak. 证明性质(7):∵an=a1+(n-1)d,且 λ,b 为常数,
人教版高中数学必修五等差数列课件
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）0，5，10，15，20，（ 25 ）. （2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. （3） 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同特点是？
d=5
( 1 ) 0,5，10，15，20，（25）
（3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3,d=0
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
不是
2345
（6）15，12，10，8，6，…
不是
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
探究性问题1：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
练习二
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
通项公式
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
（1） （2） （3）
（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用课件ppt
= 8.
2 + 2 + 2 = 116,
(方法 2)设这三个数分别为 a-d,a,a+d,由已知可得
(-) + + ( + ) = 18,
①
(-)2 + 2 + ( + )2 = 116, ②
由①得 a=6,代入②得 d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去,∴d=2,∴这三个数分别为 4,6,8.
思维脉络
等差数列的性质
等差数列的性质及应用 性质的应用
利用等差数列解决实际问题
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,分别按照以下方法操作,
得到的数列还是等差数列吗?
(1)将数列中的前m项去掉;(2)取出数列中的所有奇数项;(3)取出数列中所
有序号为7的倍数的项.这些问题的结论就是今天我们要学习的“等差数列
探究三
等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积
成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则
从上往下数,第5节的容积为(
A.1 升
67
B. 升
66
)
47
C. 升
44
37
D. 升
33
分析设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
a25=a1+24d=4+24× =40.
2
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而
a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
2 + 2 + 2 = 116,
(方法 2)设这三个数分别为 a-d,a,a+d,由已知可得
(-) + + ( + ) = 18,
①
(-)2 + 2 + ( + )2 = 116, ②
由①得 a=6,代入②得 d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去,∴d=2,∴这三个数分别为 4,6,8.
思维脉络
等差数列的性质
等差数列的性质及应用 性质的应用
利用等差数列解决实际问题
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,分别按照以下方法操作,
得到的数列还是等差数列吗?
(1)将数列中的前m项去掉;(2)取出数列中的所有奇数项;(3)取出数列中所
有序号为7的倍数的项.这些问题的结论就是今天我们要学习的“等差数列
探究三
等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积
成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则
从上往下数,第5节的容积为(
A.1 升
67
B. 升
66
)
47
C. 升
44
37
D. 升
33
分析设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
a25=a1+24d=4+24× =40.
2
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而
a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
高中数学 2.2.2 等差数列的性质课件 新人教A版必修5
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
迁移与应用
1.有三个数成等差数列,它们的和为 9,积为-21,则这三个数分别
为
.
答案:-1,3,7 或 7,3,-1
解析:设这三个数分别为 a-d,a,a+d,则
(-) + + ( + ) = 9,
= 3,
解得
= ±4.
(-)·
·
( + ) = -21,
-
提示:在等差数列{an}中,an-am=(n-m)d,所以 d=
.
-
2.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和有何特点?
提示:在等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和相等,且等于
首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.可由等差数列的通项公
式求得每两项之和都等于 2a1+(n-1)d,故上述结论成立.
(2)是否存在实数 λ 使数列{an}为等差数列?若存在,求出 λ 及数列
{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
思路分析:(1)把 a1,a2 及 n 代入已知式,即可求出 λ,从而 a3 也很容易
求出.
(2)假设存在实数 λ 使数列{an}为等差数列,利用等差数列的定义求
解.
第十九页，共29页。
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
例 2 已知四个数 m,n,p,4,前三个数成等差数列,且和为 9,并
且 4 是 n,p 的等差中项,则 =
.
思路分析:本题可运用等差中项关系求解,也可设出首项、公差求
解.
人教版高中数学必修五等差数列课件
列.
2 1
2
【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an= dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函 数(d≠0时)或常数函数(d=0时). (2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点，其 中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知 道，d= (n≠m).
a2=3-2×2=-1，故a1+a2=0.
答案：0
4.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89的项数为
.
【解析】因为a1=1，d=-1-1=-2，所以an=a1+(n-1)d=2n+3.
由-2n+3=-89，得n=46.
答案：46
一、等差数列的概念 观察下列几个实例，探究以下问题 (1)2，4，6，8，10，12，… (2)1，1，1，1，1，1，… (3)1，3，5，7，9，11，…
(2)公差：这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母__表示.
(3)通项公式：a常n=数_________.
d
2.等差中项
a1+(n-1)d
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，
并且A=______.
ab 2
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1，则它的公差为 ()
二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，探究下列问题：
探究1：利用数列的通项公式如何建立数 列任意两项之间的关系. 提示：在等差数列{an}中，若m，n∈N*， 则an=am+(n-m)d. 推导如下：因为对任意的m，n∈N*，在等差数列中， 有am=a1+(m-1)d，① an=a1+(n-1)d，② 由②-①得an-am=(n-m)d， 所以an=am+(n-m)d.