广东省东莞市2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题(A卷)有答案

广东省东莞市2011－2012学年度第一学期教学质量检测

高一数学（A 卷）2012-1-10

一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.）

1．已知全集{1234567}U =，，，，，，，{245}A =，，，则A =C U （ ）

A ． Φ

B ． {246}，

， C ． {1367}，，， D ．{1357}，，， 2．下列命题中，正确的是（ ）

A ．经过不同的三点有仅有一个平面

B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C ．垂直于同一条直线的两条直线平行

D ．垂直于同一个平面的两条直线平行

3．已知Rt ABC ?的顶点坐标分别为(51)A -，，(11)B ，，(2)C m ，，若90C ∠=

，则实

数m 的值为（ ）

A ．2或2-

B ．2

C ．2-

D ．3

4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）

A ．

124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142π

π

+ 5．三个数0.3log 6a =，6

0.3b =，0.3

6

c =，则的大小关系是（ ）

A ．b c a <<

B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．a b c << 6．函数2

()ln f x x x

=-

的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1)e

，

B ．(12)，

C ． (23)，

D ．()e +∞， 7．已知直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．0

8．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（ ）

A

B

C

D

9．已知点(10)A ，

，(10)B -，，过点(01)C -，的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是（ ）

A ．[45135]

， B ．[4590)(90135]

，，C ．[045][135180]

，，D ．[0135]

，

10．已知函数210()210x x x f x x x ?++≥=?+

．若2

()(2)f m f m <-，则实数m 的取值范围是

（ ）

A ．(1)(2)-∞-+∞ ，

， B ．(12)-， C ．(21)-， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．幂函数()f x

的图象过点(3 ，则()f x

12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 2()log 1f x x =+，则(4)f -= .

13．一个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的

正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此 几何体的侧棱长等于 .

14．规定符号“*”表示两个正实数a 、b 之间的运算，

即a b a b *=+，已知11k *=，则函数()(0)f x k x x =*>

的值域是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)

已知集合{|17}A x x =≤<，2{|log (2)3}B x x =-<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ．

（1） 求A B ；

（2） 如果A C ≠Φ ，且B C =Φ ，求实数a 的取值范围．

16．(本小题满分13分)

设直线1:2l y x =与直线2:3l x y +=交于P 点．

（1） 当直线m 过P 点，且与直线0:20l x y -=时，求直线m 的方程；

（2） 当直线m 过P 点，且坐标原点O 到直线m 的距离为1时，求直线m 的方程．

17．(本小题满分13分)

某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？

第13题图

18．(本小题满分14分)

如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，E 为PC 的中点，

PA = （1）证明：//BE 平面PAD ； （2）证明：BE ⊥平面PDC ； （3）求三棱锥E PBD -的体积．

19．(本小题满分14分) 已知函数2

()()21

x

f x a a R =-

∈+ （1）判断并证明函数的单调性；

（2）若函数为()f x 奇函数，求实a 数的值；

（3）在（2）的条件下，若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．

20．(本小题满分14分)

已知函数()||f x x a =-，2

()21g x x ax =++（a 为正实数），且函数()f x 与()g x

的图象在y 轴上的截距相等． （1） 求a 的值；

（2） 对于函数()F x 及其定义域D ，若存在0x D ∈，使00()F x x =成立，则称0

x 为()F x 的不动点．若()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，求实数b 的取值范围；

（3） 若n 为正整数，证明：()

()4

10

()45

f n

g n ?< (参考数据：lg30.3010=，94()0.13425=，164()0.02815=，25

4()0.00385

=)

第18题图

2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查

高一数学（A 卷）参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题 11．

()x x f = 12．3- 13 14．()1,-+∞

三、解答题

15. （本小题满分12分）

解：（1）由2log (2)3x -<，得028x <-<， ………………………2分

210x ∴<<，即{|210}B x x =<<. ………………………4分

∴}101|{<≤=x x B A . …………………………6分 （2）?≠C A ，

∴1a >. ……………………………8分 又∵B C =? ，

∴2a ≤， …………………………10分 ∴12a <≤，

即实数a 的取值范围是(]1,2. ……………………………12分

16．（本小题满分13分）

解：由23y x

x y =??

+=?

，解得点()21，P . ………………………2分

（1）因为m ⊥0l ，所以直线m 的斜率

22

11

10

-=-=-

=l m k k ， ……………………………4分

又直线m 过点()21

，P ，故直线m 的方程为：()221y x -=--，即240x y +-=. …………………………6分

（2）因为直线m 过点()21，P ，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为

()21y k x -=-，即

20kx y k --+=. …………………7分

所以坐标原点O 到直线m

的距离1d =

=，解得3

4

k =

， …………9分 因此直线m 的方程为：

33

2044

x y --+=，即3450x y -+=. …………10分 当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，验证可知符合题意．……12分 综上所述，所求直线m 的方程为1x =或3450x y -+=. ………………13分

17．（本小题满分13分）

解：设酒店将房费提高到x 元，每天的客房的总收入为y 元. …………1分

则每天入住的客房间数为)1020

200

300(?--x 间, ……………3分 由200

30010020

x --

?≥及0≥x ， …………………4分 得：8000≤≤x . ……………………5分 依题意知：)1020

200

300(?--=x x y ……………………8分 =x x 400212

+-

=80000)400(2

12

+--x . ……………………10分

因为8000≤≤x ，所以当400=x 时,y 有最大值为80000元. ………………12分

答:酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高. ……………………13分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取PD 中点Q ,连结AQ 、EQ .……………1分

E 为PC 的中点，

CD EQ //∴且CD EQ 2

1

=.………………2分

又CD AB // 且CD AB 2

1

=

， AB EQ //∴且AB EQ =.…………………3分

∴四边形ABED 是平行四边形，

AQ BE //∴. …………………………4分

又?BE 平面PAD ，?AQ 平面PAD ，

∴//BE 平面PAD . …………………………5分

（2）证明：⊥PA 底面ABCD ，

CD PA ⊥∴. …………………………6分

又AD CD ⊥ ，且A AD PA =?,

⊥∴CD 平面PAD ，

AQ CD ⊥∴. …………………………7分 AD PA = ，Q 为PD 的中点，

PD AQ ⊥∴， …………………………8分

,D PD CD =?

⊥∴AQ 平面PDC . …………………………9分 AQ BE // ，

∴⊥BE 平面PDC . …………………………10分

（3）解法一

∵E 为PC 的中点，

∴E PBD B PDE V V --=＝B ECD V -＝E BCD V -. …………………………11分

⊥PA 底面ABCD ，

∴点E 到面BCD 的距离11

22

d PA =

=. …………………………12分 11

21122BCD S CD AD ?∴=?=??=. …………………………13分

E BCD V -1111

13326BCD S d ?=?=??=，

E 为PC 的中点，

∴1

6

E PBD V -=

. …………………………14分 解法二

由前面证明可知：BE 是三棱锥B PDE -的高，CD PD ⊥.

在Rt PAD ?中，

PD =122

BE AQ PD ==

=

. ………………11分

1112222

PDE PDC S S PD DC ??=

=???=

， …………………………12分 E PBD B PDE V V --= …………………………13分

11133226

PDE S BE ?=?=?=. …………………………14分

19．（本小题满分14分）

（1）函数()f x 为R 上的增函数．证明如下： ……………………………1分

证明：函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，R x ∈2，设21x x <，则

121222

()()()()2121

x x f x f x a a -=-

--++ …………………………2分 122121222(22)

2121(21)(21)

x x x x x x -=-=++++. …………………3分 因为2x y =是R 上的增函数，且12x x <，所以1222x x

-＜０，……………………4分

所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………5分 （2）解：∵函数()f x 为奇函数，

∴(0)10f a =-=， …………………………6分 ∴1a =. …………………………7分

当1a =时，2

()121x f x =-+＝2121

x x -+.

()f x -=2121x x ---+＝1212x x -+＝－21

21

x x -+＝－()f x ，…………8分

此时，()f x 为奇函数，满足题意．

所以，1a =． …………………………9分

（3）解：因为()f x 是奇函数，从而不等式22(2)()0f t f t tk ++->对任意的R t ∈恒成立

等价于不等式22(2)()f t f tk t +>-对任意的R t ∈恒成立． …………………………10分 又因为在(,)-∞+∞上为增函数，

所以等价于不等式2

2

2t tk t +>-对任意的R t ∈恒成立，

即不等式2

220t kt -+>对任意的R t ∈恒成立． …………………………11分 所以必须有2

160k ?=-<， …………………………12分 即44k -<<， …………………………13分

所以实数k 的取值范围{}

44k k -<<． …………………………14分

20．（本小题满分14分）

解：⑴ ∵函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等，

∴()()00f g =，即1a =． ……………………………1分 又0a >，

∴1a =． ……………………………2分

⑵由（1）知，()()2

23 1

=2 1

x x b x f x g x b x x b x ?++≥?++?+++

当1x ≥时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有2

3=x x b x ++，即

()2

2=211b x x x --=-++． ………………………3分

∵1x ≥，∴()2

113x -++≤-，此时3b ≤-． ………………………4分 当1x <时，若()()f x g x b ++存在不动点，

则有2

2=x x b x +++，即2

=2b x -- ……………………5分

∵1x <，∴222x --≤-，此时2b ≤-． ………………………6分

故要使得()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，则实数b 的取值范围应为

(]2-∞-，

． ……………… …………………………………………7分

⑶设()()()

4105g n f n G n ??=? ?

??

．

因为n 为正整数， ∴()2121

41005n n n G n -++??=?>

?

??

． ………………………8分 ∴

()()()()22+12+11

2+3121

410+145=1045105n n n

n n n n G n G n ++-++??? ?

????=? ?????? ???

． ………………………9分 当

()()+11G n G n <时，

2+341015n ???< ???，即()42+3l g 15n ??

<- ???

，亦即12lg 3132-->+n ，∴13

3.726lg 22

n >

-≈-． ………………………11分

由于n 为正整数，因此当13n ≤≤时，()G n 单调递增；当4n ≥时，()G n 单调递减． ∴()G n 的最大值是

()(){}max 3,4G G ． ………………………12分

又()16

2

43=10=1000.0281=2.815G ??

?? ???

，

()25

344=10=10000.0038=3.85G ??

?? ???

，

………………………13分 ∴()()44G n G ≤<． ………………………14分