Quadprog二次规划问题
线性规划与二次规划的应用
投资组合优化
定义：在给定风险 水平下，最大化预 期收益或最小化风 险
应用场景：股票、 债券等金融资产 组合
目标：实现资产 保值增值，降低 风险
方法：利用二次 规划算法进行优 化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。 通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。 二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司 需要将产品从多 个产地运往多个 销售地，如何安 排运输工具和运 输路线使得总成 本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器 使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条 件和梯度下降法， 通过迭代更新可 行解，逐渐逼近 最优解。
算法步骤：初始 化可行解，计算 目标函数的梯度 和约束条件的雅 可比矩阵，迭代 更新可行解，直 到满足收敛条件。
算法优势：内点 法具有全局收敛 性和多项式时间 复杂性，适用于 大规模优化问题。
感谢您的观看
灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等 二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度 二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线 性规划问题的迭代算法
二次规划问题
二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
matlab解决凸优化和拉格朗日对偶方法
matlab解决凸优化和拉格朗日对偶方法
Matlab是一个强大的数值计算和科学编程工具，提供了丰富的函数和工
具箱来解决各种数学优化问题，包括凸优化和拉格朗日对偶方法。
在Matlab中，我们可以使用内置函数和工具箱来解决凸优化问题。
凸优
化是一类非常重要且广泛应用的数学优化问题，其目标是最小化或最大化凸
函数，在给定一些约束条件下，求解最优解。
Matlab中最常用的凸优化函数是"cvx"工具箱。
该工具箱提供了一套简洁
而强大的函数，可以轻松地定义凸优化问题，并使用内置的求解算法进行求解。
通过该工具箱，用户可以快速解决线性规划、二次规划、半定规划和凸
二次规划等问题。
除了凸优化，Matlab也提供了功能强大的函数来解决拉格朗日对偶方法。
拉格朗日对偶方法是一种用于解决约束优化问题的有效技术。
它通过将原问
题转化为拉格朗日函数，并通过求解对偶问题来近似求解原问题。
在Matlab中，我们可以使用"quadprog"函数来解决带约束的二次规划问题，其中可通过添加约束条件和求解问题的对偶问题来实现拉格朗日对偶方法。
此外，Matlab还提供了其他一些函数和工具箱，如"fmincon"和"linprog"，这些函数可以用于解决不同类型的优化问题。
Matlab是一个功能强大的工具，可以通过其内置函数和工具箱来解决凸
优化和拉格朗日对偶方法。
无论是解决线性规划问题还是非线性优化问题，Matlab都提供了易于使用且高效的求解方法，可以帮助研究人员和工程师解
决复杂的数学优化问题。
matlab5二次规划问题
二次规划的标准形式为：min (1/2)X’HX+f’X约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。
在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。
调用格式:x=quadprog (H,f,A,b)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…)[x,fval,exitflag]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例0-6 计算下面二次规划问题minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2约束条件： x1+x2≤2-x1+x2≤2，2x1+x2≤3；x1≤0； x2≤0解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里：H= 1 -1 f= -2 X= x1-1 2 -6 x2在命令窗口键入命令：>>H=[1 –1;-1 2];>>f=[-2;-6];>>A=[1 1;-1 2;2 1];>>b=[2;2;3];>>lb=[zeros(2,1)];>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)运行以上命令得到的显示结果如下：x= %最优值点 §3 二次规划模型 数学模型： ub x lb beq x Aeqbx A x f Hx x T T x ≤≤=⋅≤⋅+21min其中H 为二次型矩阵，A 、Aeq 分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x 为向量。
quadprog函数的c语言实现
文章标题：深度解析quadprog函数的C语言实现1. 引言quadprog函数是一种优化算法，它在数学和计算机科学领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨quadprog函数的C语言实现，以便读者更全面地理解这一优化算法的原理和应用。
2. quadprog函数简介quadprog函数是一种求解二次规划问题的算法，它能够在给定一组线性约束条件下，寻找使得二次目标函数取得最小值的变量取值。
在实际应用中，quadprog函数被广泛用于金融、工程和科学领域，用于解决多种优化问题。
3. 原理和算法quadprog函数的C语言实现涉及到数学优化和算法设计的方方面面。
它主要采用了凸二次规划问题的求解方法，通过牛顿法等数值优化技术来逼近最优解。
在C语言实现中，需要考虑求解速度、内存占用和数值稳定性等方面的问题。
4. C语言实现细节在实际的C语言编程中，quadprog函数的实现需要考虑到数据结构的设计、算法的优化和代码的可读性。
需要采用合适的数据类型来表示矩阵、向量和约束条件，同时需要设计高效的求解算法来加速优化过程。
5. 示例和应用场景我们可以通过一个具体的示例来展示quadprog函数在C语言中的应用。
可以考虑一个投资组合优化的问题，通过quadprog函数来确定最优的资产配置比例，以实现风险控制和收益最大化。
6. 个人理解和观点从个人的角度来看，我认为quadprog函数的C语言实现不仅需要考虑数学优化的理论和算法，还需要结合实际应用的需求来进行设计和优化。
在实际项目中，需要综合考虑算法性能、可维护性和易用性等方面的问题。
7. 总结与展望通过本文的深度解析，读者可以更全面地了解quadprog函数的C 语言实现。
未来，随着数学优化和计算机科学的发展，我们可以期待更多基于C语言的优化算法在实际应用中发挥重要作用。
以上是对quadprog函数的C语言实现的文章撰写。
希望对你有所帮助。
quadprog函数的C语言实现在数学和计算机科学领域中有着广泛的应用。
最小二乘拟合 二次型quadprog优化方法
最小二乘拟合二次型quadprog优化方法最小二乘拟合二次型quadprog优化方法1、引言最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法，它通过最小化实际观测值与理论值之间的平方误差来寻找最佳拟合曲线或曲面。
而二次型quadprog优化方法则是一种用于求解二次型优化问题的常用数值方法。
本文将深入探讨最小二乘拟合和二次型quadprog优化方法，并分析它们在实际问题中的应用。
2、最小二乘拟合最小二乘拟合是一种用于拟合数据的常见方法，它通过最小化观测值与理论值之间的平方误差来寻找最佳的拟合参数。
最小二乘法的数学表达式为：\[ \sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2 \]其中，\(y_i\)为实际观测值，\(f(x_i)\)为理论值，\(n\)为观测数据的数量。
通过求取使得上式最小化的参数，即可得到拟合曲线或曲面的最佳参数。
最小二乘拟合广泛应用于各种领域，如统计分析、金融建模、工程优化等。
在金融建模中，最小二乘拟合常用于股价走势的预测；在工程优化中，最小二乘拟合可用于拟合工程实验数据，寻找最佳的工程参数。
3、二次型quadprog优化方法quadprog是一种用于求解二次型优化问题的数值方法，它的数学表达式为：\[ \min \frac{1}{2}x^T P x + q^T x \]\[ s.t. Gx \leq h, Ax = b \]其中，\(P\)为一个对称矩阵，\(q\)为一个向量，\(G\)和\(A\)分别为不等式约束和等式约束的系数矩阵，\(h\)和\(b\)分别为不等式约束和等式约束的右侧向量。
quadprog优化方法通过数值计算来求解上述二次型优化问题的最优解，它在实际问题中具有广泛的应用。
4、最小二乘拟合与二次型quadprog优化方法的联系最小二乘拟合问题本质上可以看作是一个二次型优化问题。
以线性拟合为例，其最小二乘问题的目标函数可以表示为:\[ \min \sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b))^2 \]这个目标函数可以转化成一个二次型优化问题的形式，进而可以利用quadprog优化方法进行求解。
第16讲 二次规划
投资一年的收益 w ' 也是一个随机变量，期望收益为
E ( w ') E (1 ) w 1 E (2 ) w 2 ,, E (n ) w n
马库维茨建议用随机变量 w ' （组合投资收益）的方差作为投资
风险的度量，即
2 D (w ' ) E ( (w ' E (w ' ) )2 )
量分解 xB x1 x2 , xN x3.
代入二次函数可得
min
x3R
4 x32
( x3
1)2
x32，
由此可解
x3
1 2
.
然后代入
xB
的表达式,得
x
1,
3 2
,
1 2
.
由 A g Gx，可知
2 1
3 1
11
0 1
1
1 2
，
从上式可求得 Lagrange 乘子1 2,2 1.
求得
x
1.9500 1.0500
,
Min
f (x) 11.0250
二．等式约束二次规划问题
1．标准形式
min q(x) 1 xTGx gT x, 2
(2)
s.t. AT x b,
其中 x Rn,b Rm, A Rnm, g Rn,G Rnn且G是对称的，
设rank( A) m.
方法 1 直接变量消去法
4．应用实例-组合投资的马库维茨模型 1952 年 Markowitz 发表了《资产选择:投资的有效分散化》
一文，奠定了资产组合的理论基础，从而推动了基金业的发展. Markowitz 最早采用风险资产的期望收益率和用方差代表
的风险来研究资产的选择和组合问题. Markowitz 的证券组合投资模型是现代证券投资理论的基
车辆运动控制算法——MPC
车辆运动控制算法——MPCMPC是模型预测控制算法，在车辆运动跟踪轨迹的控制中发挥很⼤的优势基础的不多说，下⾯记录我对LQR/MPC/⼆次规划问题的理解我们从LQR来引出MPCLQR的能量函数，⽬的是求函数J最⼩，即⽤最⼩的代价得到最好的控制效果，理论上只要系统是可控的，LQR就能求出较优的解的解是 u= -K_lqr * x，这是⼀个线性解，⽤这个算法仅需要对能量函数求解⼀次，线下求解的u的表达式，线上不断重复计算u即可MPC算法和LQR的公式⾮常接近，其表达式是离散的，函数是有边界的（算法中称之为约束条件），现实⽣活中，求出的解必须要对其进⾏限制（那车速举例，你不可能让车⼦跑出500km/h，这就是约束条件）要知道，系统接下来的状态量x是根据系统当前控制量u得到的，因此需算出N+1的状态约束条件：为什么会存在多组状态？MPC的算法和LQR算法的计算量根本不是⼀个数量级的，因为每个时刻t=1，2，3……都需要重新求解⼀遍J，⽽MPC是根据当前状态给出接下来的控制量和状态量的序列（相⽐LQR仅算出⼀次u的表达式，MPC要计算N次，这⾥N指步长）u（1），x..., u（2），x...,u（3）……u（N），然后选取第⼀个u（1）作为当前控制量，等到下⼀时刻，所有的控制量u和状态量x的序列⼜重新计算，再次取新的u（1）作为现在时刻的控制量，或许有⼈会疑问，这样不是浪费计算量么？我们要搞清楚，MPC的原理，他是为了接下来的预测出来的控制量控制出来的假想出的状态来判断，来给出当前最优的控制量，和⼤多数控制算法只关注当前时刻的状态是不同的。
这也是为什么MPC是⽬前⾃动驾驶车辆运动控制算法的⾸选。
⼆次规划问题MPC的离散公式其实就是求关于x（i）和u（i）的函数的积分，假设该函数为f（x(i),u(i)），那么⼆次优化就是求出函数f的优化形式，由于f 的计算涉及到⼤量矩阵，因此所选⽤的优化⽅法主要就是减少运算次数，缩短MPC的计算时间，以达到车辆⾼速运动时的快速响应。
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Quadprog
什么是二次规划？
如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。
其数学模型为：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=≤+ub x lb beq x Aeq b Ax t s x f Hx x T T x ·..21min ， 式中，Ｈ,Ａ，和Aeq 为矩阵 f,ｂ, beq, lb, ub , 和x 为向量。
利用quadprog 函数求解二次规划问题，其调用格式为：
● x=quadprog(H,f,A,b)
这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型： x f Hx x T T +2
1
Subject to
Ax ≤b
● x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq 。
● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,)
定义设计变量的下届Ib 和上界ub,使得lb<=x<=ub 。
● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)
同上，并设置初值x0。
● x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)
根据options 参数指定的优化参数进行最小化。
● [x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b)
这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值fval=x f Hx x T
T +2
1
● [x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b)
返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。
● [x,fvai,exitfIag,output]=quadprog(H,f,A,b)
返回包含优化信息的结构输出output,其中包括：迭代次数，使用的算法，共轭梯度迭代的使用次数等信息。
● [x,fvaI,exitfIag,output,Iambda]=quadprog(H,f,A,b)
返回解x 处包含拉格朗日乘子的lambda 参数。
其中，LAMBDA.ineqlin 对应于线性不等式，LAMBDA.eqlin 对应于线性等式约束。
实例：
在命令窗口输入如下参数：（参数行的结尾一定要加上；以后才能换行）
>> H=[2 -2;-2 4];
>> f=[-2 -6];
>> A=[1 1;-1 2];
>> b=[2;2];
>> lb=zeros(2,1);
然后，调用工具箱函数quadprog求解
>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog (H,f,A,b,[],[],lb)
Warning: Large-scale algorithm does not currently solve this problem formulation, using medium-scale algorithm instead.
> In quadprog at 291
Optimization terminated.
x =
0.8000
1.2000
fval =
-7.2000
exitflag =
1
output =
iterations: 2
constrviolation: 0
algorithm: 'medium-scale: active-set'
firstorderopt: []
cgiterations: []
message: 'Optimization terminated.'
lambda =
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [2x1 double]
输出中的warning说明 quadprog是采用的中型算法解决此问题的。
在默认情况下，如果制定了如下两种约束中的任意一种，quadprog采用大型算法（1）自变量的上届和下界约束；
（2）线性方程约束，约束矩阵Aep的列向量线性无关，且Aep是稀疏矩阵。