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三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
解直角三角形省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
6
B
∴ B 90 A 90 60 30
∴ AB 2AC 2 2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 （精确到0.1）
解:在RtABC中
∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
∵ tan B b ∴tan 35°= 20
a
a
∴a= 20 。≈28.6 tan 35
28.2解直角三角形（1）
知 识回 顾
一种直角三角形有几种元素？它们之间有何关系？
有三条边和三个角，其中有一种角为直角
(1)三边之间旳关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间旳关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间旳关系:
sinA＝
A＝ b c
∵AB>0
2
C
6
B
∴AB= 2 2
∵ tan A BC 6 3 AC 2
A 60
,∠A为锐角
∴∠B=90°-∠A= 30°
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2, BC 6
解这个直角三角形
解： 在RtABC中
A
∵
tan A BC AC
6 2
3
，∠A为锐角
2
C
A 60
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
• 作业:顶尖28.2解直角三角形
课件认识三角形3市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
C.最长边中点
D.三边中线交点
第9页
4.如图,BD=DE=EF=FC,则△AEC中EC边上中线是(C
A.AD
B.AE
C.AF
D.无法确定
)
第10页
5.如图,AD,AE分别是△ABE和△ADC中线,
则BD= DE
= EC .
第11页
6.如图,假如∠1=∠2=∠3,那么AM为△
AN为△ AMC 角平分线.
变式练习
1.如图,AD是△ABC中线,AE是△ACD中线,已知DE=2 cm,则
6 cm .
BE长为
第6页
2.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,∠ACB平分线交AB于
D,DE∥BC交AC于E,求∠BDC,∠EDC度数.
第7页
解:因为∠A=60°,∠B=70°,
所以∠ACB=180°-60°-70°=50°.
第14页
9.如图,在△ABC中,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∠BIC=130°,
则∠A= 80° .
第15页
10.如图,AD是△ABC中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD
与△ACD周长之差.
解:因为AD为△ABC中线,所以BD=CD.
所以△ABD与△ACD周长之差为:
(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
因为 CD 平分∠ACB,所以∠BCD= ∠ACB= ×50°=25°.
所以∠BDC=180°-70°-25°=85°.
因为 DE∥BC,所以小明用铅笔能够支起一张质地均匀三角形卡片,则他
D
支起这个点应是三角形(
D.三边中线交点
第9页
4.如图,BD=DE=EF=FC,则△AEC中EC边上中线是(C
A.AD
B.AE
C.AF
D.无法确定
)
第10页
5.如图,AD,AE分别是△ABE和△ADC中线,
则BD= DE
= EC .
第11页
6.如图,假如∠1=∠2=∠3,那么AM为△
AN为△ AMC 角平分线.
变式练习
1.如图,AD是△ABC中线,AE是△ACD中线,已知DE=2 cm,则
6 cm .
BE长为
第6页
2.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,∠ACB平分线交AB于
D,DE∥BC交AC于E,求∠BDC,∠EDC度数.
第7页
解:因为∠A=60°,∠B=70°,
所以∠ACB=180°-60°-70°=50°.
第14页
9.如图,在△ABC中,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∠BIC=130°,
则∠A= 80° .
第15页
10.如图,AD是△ABC中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD
与△ACD周长之差.
解:因为AD为△ABC中线,所以BD=CD.
所以△ABD与△ACD周长之差为:
(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
因为 CD 平分∠ACB,所以∠BCD= ∠ACB= ×50°=25°.
所以∠BDC=180°-70°-25°=85°.
因为 DE∥BC,所以小明用铅笔能够支起一张质地均匀三角形卡片,则他
D
支起这个点应是三角形(
三角形的认识主题讲座公开课获奖课件省赛课一等奖课件
由三条线段围成旳图形（每相 邻两条线段旳端点相连）叫做三角 形。
三角形旳字母表达
A
B
C
为了体现以便，用字母A、B、C 分别表达三角形旳3个顶点，上面 旳三角形能够表达成三角形ABC。
平行四边形旳高旳画法
D
高
A
底
C
1、在平行四边形旳 一条边上选一点。
2、从这一点到对边
B
引一条垂线。
画这点高和时垂一足之定间要旳用线虚段叫线做画平,行四边形旳高。 并垂标足出所在垂旳足边、叫相做平应行旳四高边形和旳底底。
直线段，
B
4、作标识，标出垂直符号、高和 底。
A
高
底
C
7、一种三角形有几条高？
A
底
底
高 高高
B
C
底
我懂得：一种三角形有3条高。
例一
8、直角三角形旳底和高
高
底
底
高
底 高
例一
9、钝角三角形旳底和高
高 底
底 高
底
三、知识利用
1、判断。 ①由三条线段构成旳图形是三角形。（× ）
②三角形有三条高，三个底。
（√ ）
③这是三角形ABC旳一组底和高。 （×）
A
高底
B
C
三、知识利用
A
2、找一找：
F D
B
E
C
三角形ABC以BC为底边上旳高是线段（AE ），
以AB为底边上旳高是线段（CF ），线段BD是以
（AC）为底边上旳高。
4、三角形旳高和底
什么是三角形旳高呢？
高 底
从三角形旳一种顶点到它旳对边作一条垂线， 顶点和垂足之间旳线段叫做三角形旳高。
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（1）找出图形中全部三角形，用符号表示出来_______ (2) △ADE三边为______三内角为______
（3）∠ADB是______、______、______外角。
(4) 以C为顶点三角形有_______
（5）以AC为边三角形
A
有_______
B
D EF C第3页来自例2.三角形按角分为____________问： （1）若△ABC中，∠A+ ∠ B= ∠ C，此三角形为
______ （2）若△ABC中，一个内角大于相邻外角，此三角形
为______
第4页
1.△ABC三边a，b，c，依据以下数据以边为标准说出各 种三角形形状. （1）a=3，b=4，c=6；（2） a=4，b=5，c=5；（3）a： b：c=1：1：1
2.问：若△ABC三角比为1；2：3，判断该三角形形 状：
A
三角形是由三条不在
同一直线上线段首尾
顺次连接组成平面图 形。
表示为：△ABC
B
C
线段AB、BC、AC是△ABC边
点A、B、C是△ABC顶点
每两边所组成角叫做三角形内角
三角形中内角一边与另一边反向延长 线所组成角叫做三角形外角
第2页
例1.画△ABC，在BC边上取三点D、E、F连接AD、AE、 AF.
若△ABC三角比为1；2：6，判断该三角形形状： 若△ABC三角比为2；3：4，判断该三角形形状：
第5页
3.若△ABC周长为20，a：b=1：4，c-a=b，试判断这个三 角形形状.
第6页
谢谢
第7页
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何两边的差的问题，你发现了什么？
A
如图：在△ABC中，
c
b
a-b＜c, b-c＜a, c-a＜b.
B
a
C
问题：你是如何理解三角形任何两边的和大于
第三边，三角形任何两边的差小于第三边的？
︳两边之差︳< 第三边 <两边之和
三角形性质
【变式2】一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长 度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？ 若能拼成，则第三条边应在什么范围呢？
解：设第三边长为x，则应有 7-2<x<7+2， 即5<x<9.
则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒 也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9.
归纳：设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和.
知识总结
定义
表示
分类
性质
A
概念及表示
△ABC c
性质：边
b 三角形任何两边的和大于第三边
一个内角是直角 一个内角是钝角
⑥ ①④⑤
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三角形分类
还有其他的分类方法吗？
【思考】三角形怎样分类？
三个内角都是锐角的三角形是
三 角 形
按角的大小分
锐角三角形
有一个内角是直角的三角形是 直角三角形
有一个内角是钝角的三角形是 钝角三角形
按边的长短分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm.
小学数学《三角形的认识》ppt优秀课件
三角测量
在工程测量中，经常需要测量两点之间的距离或某一点的高度。通过三角形的相似性或全等性质，可 以准确地计算出所需的距离或高度。
激光测距仪
现代激光测距仪也利用了三角形的原理。通过发射激光束并测量其反射回来的时间，可以计算出目标 物体与测距仪之间的距离。
2024/1/25
29
地理信息系统中方向判断
若已知三角形的三条边长 分别为a、b、c，则周长 P=a+b+c。
11
实际问题中面积和周长应用
面积应用
在农业、林业等领域中，经常需要计算土地、林地等区域的面积，以确定种植面积、造林密度等参数。此时可以 利用三角形面积公式进行计算。
周长应用
在建筑、装修等领域中，经常需要计算房间、墙面等区域的周长，以确定材料用量、装修成本等参数。此时可以 利用三角形周长计算方法进行计算。同时，在解决一些实际问题时，如围栏问题、最短路径问题等，也需要利用 到三角形的周长计算。
小学数学《三角形的 认识》ppt优秀课件
2024/1/25
1
目录
2024/1/25
• 三角形基本概念与性质 • 三角形面积与周长计算 • 三角形角度与边长关系 • 相似与全等三角形判定定理 • 三角形在生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
2
01 三角形基本概念与性质
2024/1/25
3
三角形定义及分类
2024/1/25
12
03 三角形角度与边长关系
2024/1/25
13
正弦、余弦、正切在三角形中应用
1 2
正弦（sine）
在直角三角形中，正弦值等于对边长度除以斜边 长度，即 sin(A) = a/c。通过正弦值可以求出角 度或边长。
在工程测量中，经常需要测量两点之间的距离或某一点的高度。通过三角形的相似性或全等性质，可 以准确地计算出所需的距离或高度。
激光测距仪
现代激光测距仪也利用了三角形的原理。通过发射激光束并测量其反射回来的时间，可以计算出目标 物体与测距仪之间的距离。
2024/1/25
29
地理信息系统中方向判断
若已知三角形的三条边长 分别为a、b、c，则周长 P=a+b+c。
11
实际问题中面积和周长应用
面积应用
在农业、林业等领域中，经常需要计算土地、林地等区域的面积，以确定种植面积、造林密度等参数。此时可以 利用三角形面积公式进行计算。
周长应用
在建筑、装修等领域中，经常需要计算房间、墙面等区域的周长，以确定材料用量、装修成本等参数。此时可以 利用三角形周长计算方法进行计算。同时，在解决一些实际问题时，如围栏问题、最短路径问题等，也需要利用 到三角形的周长计算。
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目录
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• 三角形基本概念与性质 • 三角形面积与周长计算 • 三角形角度与边长关系 • 相似与全等三角形判定定理 • 三角形在生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
2
01 三角形基本概念与性质
2024/1/25
3
三角形定义及分类
2024/1/25
12
03 三角形角度与边长关系
2024/1/25
13
正弦、余弦、正切在三角形中应用
1 2
正弦（sine）
在直角三角形中，正弦值等于对边长度除以斜边 长度，即 sin(A) = a/c。通过正弦值可以求出角 度或边长。
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都能拼成一个三角形吗？再试一试
A
B
C
新知应用
1.下列长度的三条线段能否组成三角 形？为什么？ （1）3、4、8 （2）5、6、11 （3）5、6、10
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm
和7cm，则其周长为
cm
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm
和9cm，则其周长为
cm
课堂小结
再识三角形你有什么新的收获？
情境导入
探究一：同学们手中有四根长度不 同的小棒，请你从中任选三根拼成一个 你喜欢的平面图形,并和同桌交流你为什 么喜欢这个平面图形。
埃及金字塔
水 分 子 结 构 示 意 图
飞机机翼
探究延续：仔细观察你所拼成的三 角形，想一想你拼三角形的过程，再和 你的同桌说一说它是怎么构成的。
顶点
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
三角形
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
小组讨论：还有其他的分类方法吗？
探究三： 四根长度不同的小棒中任选三根
内角
边
边
顶点
内角 边
内角 顶点
解决问题：数一数，下图中有几 个三角形？
怎么区分这5个三角形呢？
自主学习：阅读教材P2页第3、4、 5段内容，说说三角形的表示方法。
顶点
内角
边
边
顶点
内角 边
内角 顶点
Байду номын сангаас
A
c
b
B
a
C
怎么区分这5个三角形呢？
新知探究
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
作业
基础性作业：课本P84习题4.2 ： 1、3
发展性作业：（探究延伸）三角形的 任意两边之和大于第三边，那么它的任意 两边之差与第三边有什么关系？
A
B
C
新知应用
1.下列长度的三条线段能否组成三角 形？为什么？ （1）3、4、8 （2）5、6、11 （3）5、6、10
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm
和7cm，则其周长为
cm
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm
和9cm，则其周长为
cm
课堂小结
再识三角形你有什么新的收获？
情境导入
探究一：同学们手中有四根长度不 同的小棒，请你从中任选三根拼成一个 你喜欢的平面图形,并和同桌交流你为什 么喜欢这个平面图形。
埃及金字塔
水 分 子 结 构 示 意 图
飞机机翼
探究延续：仔细观察你所拼成的三 角形，想一想你拼三角形的过程，再和 你的同桌说一说它是怎么构成的。
顶点
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
三角形
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
小组讨论：还有其他的分类方法吗？
探究三： 四根长度不同的小棒中任选三根
内角
边
边
顶点
内角 边
内角 顶点
解决问题：数一数，下图中有几 个三角形？
怎么区分这5个三角形呢？
自主学习：阅读教材P2页第3、4、 5段内容，说说三角形的表示方法。
顶点
内角
边
边
顶点
内角 边
内角 顶点
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A
c
b
B
a
C
怎么区分这5个三角形呢？
新知探究
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
探究二：猜一猜，老师盖住的是 什么三角形？
作业
基础性作业：课本P84习题4.2 ： 1、3
发展性作业：（探究延伸）三角形的 任意两边之和大于第三边，那么它的任意 两边之差与第三边有什么关系？