2018-2019学年陕西省宝鸡市高三(下)模拟数学试卷(理科)(三)(2月份)

2018-2019学年陕西省宝鸡市高三（下）模拟数学试卷（理科）（三）（2月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．（5分）在区间[﹣2，2]上任意取一个数x，使不等式x2﹣x＜0成立的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2a4＝16，则a6＝（）A．64B．32C．16D．44．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．6．（5分）若均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，则（）A．log a3＞log b3B．3a+3b＞6C．3ab+1＞3a+b D．a b＞b a7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+B．8+2C．12D．8．（5分）如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP＝x（x∈[0，]），BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为y＝f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3B．0，4C．2，3D．2，410．（5分）已知函数f（x）＝的图象关于y轴对称，则y＝sin x的图象向左平移（）个单位，可以得到y＝cos（x+a+b）的图象A．B．C．D．π11．（5分）已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB＝4，BC＝CD ＝AD＝2，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．D．212．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）A．3+2B．4+4C．2D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线C：，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的率心率为．14．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．15．（5分）设△ABC的外心P满足＝（+），则cos∠BAC＝．16．（5分）数列{a n}的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k+1个1之间有2k ﹣1个2，即数列{a n}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…记数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝（用数字作答）三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．18．（12分）如图（1），等腰梯形ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E、F分别是CD的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线AE、BF折起，使得点C和点D重合，记为点P如图（2）．（Ⅰ）求证：平面PEF⊥平面ABEF；（Ⅱ）求平面P AE与平面P AB所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点T（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得+＝﹣7恒成立？请说明理由．20．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次，假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率（Ⅱ）设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k＝5，P＝0.1时，求ξ的分布列；②试运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．21．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣4x+mln（2x），其中m为大于零的常数．（Ⅰ）讨论y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若y＝f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为cosθ，ρ＝3sinθ．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的一个交点为点A（A不为极点），直线l与OA的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+a|x﹣2|（a为实数）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（Ⅱ）若a＞1，解不等式f（x）≤a．2018-2019学年陕西省宝鸡市高三（下）模拟数学试卷（理科）（三）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）在区间[﹣2，2]上任意取一个数x，使不等式x2﹣x＜0成立的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】求解一元二次不等式，再由测度比是长度比得答案．【解答】解：由x2﹣x＜0，得0＜x＜1．∴在区间[﹣2，2]上任意取一个数x，使不等式x2﹣x＜0成立的概率为．故选：D．【点评】本题考查几何概型，考差了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2a4＝16，则a6＝（）A．64B．32C．16D．4【考点】87：等比数列的性质．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的通项公式的应用求出结果．【解答】解：各项为正数公比为q的等比数列{a n}满足a1＝1，a2a4＝16，则：，解得：q＝2（负值舍去），所以：．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由欧拉公式e ix＝cos x+i sin x，可得＝＝，则答案可求．【解答】解：由欧拉公式e ix＝cos x+i sin x，可得＝＝＝＝，∴表示的复数位于复平面中的第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题．5．（5分）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD 的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|＝＝故选：B．【点评】题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．6．（5分）若均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，则（）A．log a3＞log b3B．3a+3b＞6C．3ab+1＞3a+b D．a b＞b a【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用．【分析】直接利用不等式的应用求出结果．【解答】解：均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，所以：a＞b＞1，故：对于选项A：log a3＞log b3不成立，故A错误．对于选项C，当a＝1.02，b＝1.01，所以：ab+1＜a+b，故：3ab+1＜3a+b，故：C，D错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+B．8+2C．12D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】几何体为正方体与三棱锥的组合体，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图，可得该几何体的体积为8+＝8+，故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP＝x（x∈[0，]），BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为y＝f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】先求出函数的解析式，再判断函数的图象即可．【解答】解：当∠ABP＝x（x∈[0，]），f（x）＝tan x，当∠ABP＝x（x∈[，]），f（x）＝1﹣tan（﹣x）＝1﹣，故只有D符合，故选：D．【点评】本题考查了函数图象和识别和函数的解析式，属于基础题．9．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3B．0，4C．2，3D．2，4【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；32：分类讨论；48：分析法；5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a＝6，b＝8，i＝0，i＝1，不满足a＞b，不满足a＝b，b＝8﹣6＝2，i＝2满足a＞b，a＝6﹣2＝4，i＝3满足a＞b，a＝4﹣2＝2，i＝4不满足a＞b，满足a＝b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝的图象关于y轴对称，则y＝sin x的图象向左平移（）个单位，可以得到y＝cos（x+a+b）的图象A．B．C．D．π【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】首先利用函数的奇偶性，进一步判定a+b的值，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝的图象关于y轴对称，故：f（x）＝f（﹣x），所以：sin（x+a）＝cos（﹣x+b）＝cos（x﹣b），整理得：2k＝﹣b（k∈Z），所以：a+b＝（k∈Z）．则：y＝cos（x+a+b）＝cos（x+2k）＝﹣sin x即：y＝sin x的图象向左平移π个单位，得到：y＝sin（x+π）＝﹣sin x．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换及函数的平移变换和伸缩变换的应用，函数的奇偶性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11．（5分）已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB＝4，BC＝CD ＝AD＝2，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出抛物线方程，设出D的坐标，求出A的坐标，代入抛物线方程，求解即可．【解答】解：设抛物线方程为：y2＝2px，一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB＝4，BC＝CD＝AD＝2，D（a，1），则A（a+，2），可得，解得p＝．则该抛物线的焦点到其准线的距离是．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）A．3+2B．4+4C．2D．6【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5Q：立体几何．【分析】利用三垂线定理得到与AM垂直且过点B的两条相交线，进而确定截面，求解不难．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BD⊥AC，∴BD⊥AM（三垂线定理），取BB1中点N，A1B1中点E，连MN，AN，BE，可知BE⊥AN，∴BE⊥AM（三垂线定理），∴AM⊥平面DBE，取A1D1中点F，则α即为截面BEFD，易求周长为3，故选：A．【点评】本题考查正方体截面问题，难度不大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线C：，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的率心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点在曲线上，推出a、b关系，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：，点P（2，1）在C的渐近线上，可得：，可得，即：4c2﹣4a2＝a2，∴e＝故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为＝令得r＝4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．15．（5分）设△ABC的外心P满足＝（+），则cos∠BAC＝．【考点】9E：向量数乘和线性运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】推导出P是△ABC的重心，从而△ABC是等边三角形，由此能求出cos A．【解答】解：∵△ABC的外心P满足＝（），∴P是△ABC的重心，∴△ABC是等边三角形，∴A＝60°，∴cos A＝cos60°＝．故答案为：．【点评】本题考查角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量、三角形重心性质的合理运用．16．（5分）数列{a n}的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k+1个1之间有2k ﹣1个2，即数列{a n}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…记数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝3993（用数字作答）【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，要求S2019，只要判断出前2019项中的1及2的项数即可，而容易知道当k＝45时，有45个1，有1+3+5+…+89＝2025个2，该数列中前2019项中共45个1，有共有1974个2，代入可求出所求和．【解答】解：由题意可得，k＝45时，有45个1，有1+3+5+…+89＝2025个2，该数列中前2019项中共有45个1，有共有1974个2，S2019＝45+1974×2＝3993．故答案为：3993．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式在解题中的应用，解题的关键是根据等比数列的和公式的计算判断出所要求解的数列的项中的1与2 的项数．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】33：函数思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】（1）由二倍角余弦公式求出sin A的值，再由正弦定理即可求出a的值；（2）由sin A的值求出cos A的值，再由余弦定理即可求出b的值及△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，且0＜A＜π，∴．∵，由正弦定理，得．（2）由得．由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得b2﹣2b﹣15＝0．解得b＝5或b＝﹣3（舍负）．∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．18．（12分）如图（1），等腰梯形ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E、F分别是CD的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线AE、BF折起，使得点C和点D重合，记为点P如图（2）．（Ⅰ）求证：平面PEF⊥平面ABEF；（Ⅱ）求平面P AE与平面P AB所成锐二面角的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥EF，BE⊥PE，从而BF⊥面PEF，由此能证明平面PEF⊥平面ABEF．（Ⅱ）过P作PO⊥EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO⊥面ABEF，以O 为原点，OE，OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与平面P AB 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵等腰梯形ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E，F是CD的两个三等分点，∴ABEF是正方形，∴BE⊥EF，∵BE⊥PE，且PE∩EF＝E，∴BF⊥面PEF，又BF⊂平面ABEF，∴平面PEF⊥平面ABEF．解：（Ⅱ）过P作PO⊥EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO⊥面ABEF，以O为原点，OE，OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），E（0，1，0），P（0，0，），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣1，），＝（0，2，0），＝（2，﹣1，﹣），设平面P AE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（，，1），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，∴，取x＝，得＝（，0，2），设平面P平面P AE与平面P AB所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面P AE与平面P AB所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）已知F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点T（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得+＝﹣7恒成立？请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c＝1，|PF1|+|PF2|+2c＝2a+2c＝6，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）假设存在常数λ满足条件．当过点T的直线AB的斜率不存在时，求出当λ＝2时，+＝﹣7；当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+1，联立，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，由此利用韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件推导出存在常数λ＝2，使得+＝﹣7恒成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c＝1，∵△PF1F2的周长为6，∴|PF1|+|PF2|+2c＝2a+2c＝6，∴a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）假设存在常数λ满足条件．（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，A（0，），B（0，﹣），∴•+＝﹣3+λ[（）（﹣）]＝﹣3﹣2λ＝﹣7，当λ＝2时，+＝﹣7．（2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，∴，，∴＝x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]＝（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝﹣﹣+1＝+1＝﹣7，∴，解得λ＝2，即λ＝2时，+＝﹣7，综上所述，存在常数λ＝2，使得+＝﹣7恒成立．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次，假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率（Ⅱ）设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k＝5，P＝0.1时，求ξ的分布列；②试运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据概率公式即可求出3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率（Ⅱ）①k＝5，P＝0.1，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为，若混合检验结果为阳性，则其概率为1﹣0.95，每人所检验的次数为，可得X的分布列，②由题求出分组检验的数学期望，再由题意可得1﹣（1﹣p）k+＜1，就能得到分组的办法能减少检验次数．【解答】解：（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事假A：3人中恰好有1人检测结果为阳性，其概率P（A）＝C32×0.1×（1﹣0.1）2＝0.243，（Ⅱ）①k＝5，P＝0.1，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为，若混合检验结果为阳性，则其概率为1﹣0.95，每人所检验的次数为，故ξ的分布列为ξp0.951﹣0.95分组时，每人检验次数的期望如下，P（ξ＝）＝（1﹣p）k，P（ξ＝+1）＝1﹣（1﹣p）k，∴E（ξ）＝•（1﹣p）k+（+1）[1﹣（1﹣p）k]＝1﹣（1﹣p）k+，不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，则1﹣（1﹣p）k+＜1，即1﹣p＞，∴当1﹣p＞时，用分组的办法能减少检验次数．【点评】本题主要考查了概率的应用，同时考查了离散型变量的数学期望以及计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣4x+mln（2x），其中m为大于零的常数．（Ⅰ）讨论y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若y＝f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为a≤＝2（1﹣2x1）﹣+8x1ln2x1，设t＝2x1，0＜t＜，令h（t）＝2（1﹣t）﹣+4lnt（0＜t＜），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0），①m≥时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；②0＜m＜时，设方程8x2﹣4x+m＝0的两根为x1，x2，则x1＝，x2＝，∴0＜x1＜，＜x2＜，∴f（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，0＜m＜且x1+x2＝，x1•x2＝，由f（x1）≥ax2，故a≤，f（x1）＝4﹣4x1+mln2x1＝﹣1+4x1（1﹣2x1）ln2x1，故＝＝2（1﹣2x1）﹣+8x1ln2x1，设t＝2x1，0＜t＜，令h（t）＝2（1﹣t）﹣+4lnt（0＜t＜），h′（t）＝2[1﹣+2lnt]，当0＜t＜时，1﹣+2lnt＜0，故h（t）在（0，）递减，故h（t）＞h（）＝﹣3﹣2ln2，综上，a∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2]时，f（x1）≥ax2恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为cosθ，ρ＝3sinθ．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的一个交点为点A（A不为极点），直线l与OA的交点为B，求|AB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用极径的应用求出|AB|的长．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+y﹣1＝0，转换为极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（Ⅱ）由于：曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为cosθ，ρ＝3sinθ．所以：，得到：tan，所以：．所以：点A（），由于点B在直线OA上，所以：点B的极坐标为（），由于x+y＝1，所以：ρcosθ+ρsinθ＝1，得到：，所以：，所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+a|x﹣2|（a为实数）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（Ⅱ）若a＞1，解不等式f（x）≤a．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）代入a的值，根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|＝1，故f（x）的最小值是1；（Ⅱ）①x＞2时，f（x）＝x﹣1+ax﹣2a≤a，x≤，∵﹣2＝＞0，解得：2＜x≤；②1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1﹣ax+2a≤a，x≥1，解得：1≤x≤2；③x＜1时，f（x）＝1﹣x﹣ax+2a≤a，x≥1，无解，综上：x∈[1，]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。