2017-2018学年高中数学(人教B版)必修4 同步导学案：第2章 2.4 向量的应用

2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.[基础·初探]教材整理1 向量在几何中的应用阅读教材P117～P120以上内容，完成下列问题.1.直线与向量平行的条件(1)直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝y－y1x－x1＝a2a1＝tan α.(2)平行条件：如果知道直线l的斜率k＝a2a1，则向量(a1，a2)一定与该直线平行.(3)法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量.2.特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( )【解析】 (1)错误.因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角.(2)错误.向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合. 【答案】 (1)× (2)×教材整理2 向量在物理中的应用阅读教材P 121～P 122以上内容，完成下列问题. 1.力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.2.速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.【解析】 由已知位移AB →＝(－4,3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]如图2-4-1，在正三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，且AE 与CD 交于点P ，求证：BP ⊥DC .图2-4-1【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积. 【自主解答】 设PD →＝λCD →，并设正三角形ABC 的边长为a ，则有：CD →＝23BA →－BC →， PA →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →.又EA →＝BA →－13BC →，PA →∥EA →， ∴13(2λ＋1)BA →－λBC → ＝kBA →－13kBC →，于是有⎩⎪⎨⎪⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝17，k ＝37，∴PD →＝17CD →，∴BP →＝BD →＋DP →＝17BC →＋47BA →， 从而BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC → ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. 由向量垂直的条件知，BP ⊥DC .垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP →，CD →由基底BA →，BC→线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.[再练一题]1.如图2-4-2所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2→－AC 2→＝DB 2→－DC 2→，求证：AD ⊥BC .图2-4-2【证明】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则 a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程.【精彩点拨】 在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →∥a 可以得(1)，由AP →⊥b 可以得(2).【自主解答】 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1).(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0，∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P (x ，y )，从而得到向量AP →的坐标. 2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.[再练一题]2.已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA→＝2AP →，求点P 的轨迹方程.【导学号：72010069】【解】 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y ). 由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程.(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角且|F 1|＝2，|F 2|＝4，则|F3|＝()A.6B.2C.2 3D.27(2)某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.【精彩点拨】 (1)可利用F 1＋F 2＋F 3＝0分离F 3得F 3＝－F 1－F 2，平方可求|F 3|.(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解.【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－(F1＋F 2)，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2 ＝4＋16＋2×2×4×12＝27.【答案】 D(2)设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝PA →，所以PA →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →. 由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ，所以实际风速是每小时2a 千米的西北风.向量在物理中的应用：(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题. 再练一题]3.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？【解】 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.[探究共研型]探究1【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.探究2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.两个力F1＝i ＋j ，F2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量).求(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功.【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.【自主解答】 AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j . (1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J. F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB → ＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J. (2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W＝|F ||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.[再练一题]4.如图2-4-3所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，则力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)图2-4-3【解】设木块的位移为s，则：W＝F ·s＝|F |·|s|cos 30°＝50×20×3 2＝5003(J).因为F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|＝|F |·sin 30°＝50×12＝25(N)，所以物体所受的支持力的大小为|F N|＝|m g|－|F 1|＝8×10－25＝55(N).所以摩擦力的大小为|f |＝|μF N|＝0.02×55＝1.1(N).又f 与s反向，所以f ·s＝|f |·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).即F 与f 所做的功分别是500 3 J与－22 J.1.过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A.2x ＋y －7＝0 B.2x ＋y ＋7＝0 C.x －2y ＋4＝0D.x －2y －4＝0【解析】 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u ， 又∵MP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0. 【答案】 A2.若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F2|为()A.10B.2 5C. 5D.15【解析】 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， 所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝5，故选C. 【答案】 C3.在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.形状无法确定【解析】 ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形. 【答案】 C4.若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________. 【解析】 由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形. 【答案】 等腰梯形5.一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000km 到达B 地，然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移.【导学号：72010070】【解】 如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处， 则A (0,0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°) ＝(－5003，500)，C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°) ＝(－1 0003，－1 000)，∴BC →＝(－5003，－1 500)， ∴|BC →|＝(－5003)2＋(－1 500)2＝1 0003(km).我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A.－1 B.1 C.2D.－1或2【解析】 向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为11－m ，则11－m ＝－m 2，解得m ＝－1或m ＝2.【答案】 D2.已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( ) A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形【解析】 因为AD →＝(8,0)，BC →＝(8,0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形.【答案】 B3.在△ABC 中，若13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG →，则点G 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心D.重心【解析】 因为13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG →，所以GA →－GO →＋GB →－GO →＋GC →－GO →＝3OG →，化简得GA →＋GB →＋GC →＝0，故点G 为三角形ABC 的重心.【答案】 D4.在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则下列向量中与AD →同方向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B.a |a |＋b |b |C.a －b |a －b |D.a |a |－b |b |【解析】 因为D 为BC 边的中点，则有AB →＋AC →＝2AD →，所以a ＋b 与AD →共线，又因为a ＋b|a ＋b |与a ＋b 共线，所以选项A 正确.【答案】 A5.如图2-4-4所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N ，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )图2-4-4A.100焦耳B.50焦耳C.503焦耳D.200焦耳【解析】 设小车位移为s ，则|s |＝10米， W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60° ＝10×10×12＝50(焦耳).故选B. 【答案】 B 二、填空题6.在边长为1的正三角形ABC 中，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________.【导学号：72010071】【解析】 AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA → ＝AB →·BA →－CA →·CB → ＝－AB →2－|CA →||CB →|cos 60° ＝－12－1×1×12 ＝－32. 【答案】 －327.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2-4-5所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________.图2-4-5【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N 三、解答题8.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，F D 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程.【解】 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2). 设点M (x ，y )是直线DE 上的任意一点， 则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)， DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程.同理可得直线EF ，F D 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上的任意一点， 则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0， CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求高线CH 所在直线的方程.9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)求AB →和AC →夹角的余弦值； (3)是否存在实数t 满足(AB→－tOC→)·OC→＝OA →·OC →，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.【解】 (1)由题意知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)， 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42， 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝234×2＝1717，所以AB →和AC →夹角的余弦值为1717.(3)存在.由题设知：OA →＝(－1，－2)，OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t ). 假设存在实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝OA →·OC →，所以(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝4， 从而5t ＝－15，所以t ＝－3.[能力提升]1.(2016·德州高一检测)点O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OA →＋OC →)＝0，则点O 为△ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】 因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0， 则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0， 所以OB →2－OC →2＝0， 所以|OB →|＝|OC →|. 同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， 所以O 为△ABC 的外心. 【答案】 B2.如图2-4-6，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积.图2-4-6【解】 如图，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8， 所以M (8,4)，N (4,2).设点E (e,0)，则AM →＝(8,4)，AN →＝(4,2)，AE →＝(e,0)，EN →＝(4－e,2)， 由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8,4)·(4－e,2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5， 所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.。