高三数学一轮学案模块2三角函数与数列第6讲函数Asin(ωx+φ)的图象新人教A版
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象与性质及三角函数的应用
（2）“异名”函数图象的平移变换问题的关键是借助诱导公式,将“异名”函数先化为
“同名”函数,可以将“已知函数名称”化为“所求函数名称”,也可将“所求函数名称”转化为
“已知函数名称”.
题型二由图象确定 = + 的解析式
如图所示,则 1 =() B
A.− 3B.−1C.1D. 3
[解析]根据题图可知,函数 的最小正周期
=
+
=
=
= , = , =
= ,
× + = −,又 < < ,所以 = ,所以
+ ,所以 = + = −.故选B.
=−
最小,此时 =
∈ ,得 = −
+ , ∈ ,∵ > ,∴当 = 时,
π
1
（2）将函数 = 2cos + 的图象作怎样的变换可以得到函数 =
3
2
π
1
3
解将函数 = 2cos + 的图象向右平移 个单位长度,可得函数
3
2
2π
π
3
1
π
= 2cos[ −
（2）已知函数
= sin + > 0, > 0, < π 的部分图象
如图所示,则下列说法正确的是() C
A.函数
3π
的初相是
4
B.函数 的最大值是2
2025届高中数学一轮复习课件《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》ppt
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解：(1)若 f(x1)＝2，f(x2)＝0，即 x1 是 f(x)的最大值点，x2 是 f(x)的零点，且|x1－x2|的最 小值为π4，设 f(x)的最小正周期为 T，则T4＝π4，即 T＝2ωπ＝π，解得 ω＝2.
由 f(0)＝1，得 f(0)＝2sin φ＝1，即有 sin φ＝12，所以 φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或 φ＝56π＋2kπ(k ∈Z)，又|φ|≤π2，所以 φ＝π6.综上所述，f(x)＝2sin2x＋π6，令－2π＋2kπ≤2x＋π6≤2π＋2kπ(k ∈Z)，解得－π3＋kπ≤x≤6π＋kπ(k∈Z)，所以 f(x)的单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．
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第五章 三角函数
第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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复习要点 1.了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数 ω，φ，A 的意义， 了解参数的变化对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利 用三角函数构建刻画事物周期变化的3页
解析：设函数 f(x)的最小正周期为 T，由图可知T4＝π6－－3π＝π2，所以 T＝2π，又 ω>0， 所以2ωπ＝2π，所以 ω＝1，则 f(x)＝2sin(x＋φ)，因为 f－3π＝2，所以－π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈ Z，即 φ
代入最值点，解三角方程求 φ 的值． ＝56π＋2kπ，k∈Z，又 0<φ<π，所以 φ＝56π， 则 f(x)＝2sinx＋56π. 题眼 因为 f－116π＝2sin(－π)＝0，所以－116π，0是函数 f(x)＝2sinx＋56π图象的一个对称 中心．故选 D．
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asinωx+φ的图象及应用教案(理)(含解析)新人教A版
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础知识整合1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上的所有点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴只需将函数y ＝sin2x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图可知，34T ＝5π12＋π3＝3π4，T ＝π，ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2在图象上，所以2×5π12＋φ＝π2＋2k π，φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故选A.3．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 D 解析2πω＝π得ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3.选D.4．(2019·河北五校联盟摸底)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12答案 C 解析5．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减 答案 A解析 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin2x ，当2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )时，y ＝sin2x 单调递增，令k ＝0，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，所以y ＝sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，故选A.核心考向突破考向一 三角函数的图象变换例1 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.故选C. 触类旁通两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即时训练 1.将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2答案 D解析y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D. 考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例 2 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.答案9π10解析 由图象可知ω＝45，当x ＝2π时，y ＝1，∴45×2π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.触类旁通确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.2求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.3求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A ，ω，b 已知或代入图象与直线y ＝b 的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练 2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.答案3解析 由图象可知，T 2＝3π8－π8，即π2ω＝π4，所以ω＝2，再结合图象，可得2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即|φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k π＋π4<π2，所以－34<k <14，只有k ＝0，所以φ＝π4，又图象过点(0,1)，代入得A tan π4＝1，所以A ＝1，函数的解析式为f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3. 考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质角度1 函数图象与性质的综合应用例3 (2019·山西模拟)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z .故选D.角度2 图象变换与性质的综合应用例4 (2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．角度3 三角函数模型的简单应用例5 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，因为0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温． 触类旁通 1解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x ＝A sin ωx ＋φ＋k 中的待定系数.2研究y ＝A sin ωx ＋φ的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
高考数学 一轮 第三章 三角函数 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
ω
列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象时,应列出
该区间内的特殊点. (2)图象变换法 ①平移变换 沿x轴平移,遵循“左加右减”法则; 沿y轴平移,遵循“上加下减”法则. ②伸缩变换
沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1 (纵坐标不变);
12
t
3
,故有10-2sin
12
tt
3
<-
1 2
.
又0≤t<24,因此 7 < t+ <11 ,即10<t<18.
6 12 3 6
故10时至18时实验室需要降温.
ωx+φ
0
π
π
2
3π
2π
2
x
π
π
12
3
Asin(ωx+φ)
0
5
7π
5π
13π
12
6
12
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin
2x
6
.
(2)由(1)知
f(x)=5sin
2x
6
,
得g(x)=5sin
2x
2θ
6
.
令2x+2θ- =kπ,解得x=k + -θ,k∈Z.
6
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点
5 12
,
0
中心对称,
则可令 k + -θ=5 ,解得θ= k - ,k∈Z.
《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的应用
栏 目 链
∴f(0)＝
2sin2kπ＋π3 ＝
6 2.
接
栏 目 链 接
考点探究
考点1 五点法作图及图象变换
【例 1】 已知函数 y＝3sin12x－π4 .
栏
(1)用五点法作出函数的图象；
目
(2)说明此图象是由 y＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的；
链 接
(3)求此函数的振幅、周期和初相；
π
π
C.向左平移12个单位 D.向左平移 4 个单位
链
接
易错点拨：本题若考生把 y＝sin 3x＋cos 3x 恒等变换成 y＝sin 3x＋cos 3x＝
2sin3x＋π4 ，再考虑平移难度就很大；若记错公式把 y＝sin 3x＋cos 3x 化成 y ＝ 2cos3x＋π4 ，容易错选 C.题目的“倒装语句”叙述，也容易发生错误判断．
接
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x－π4 的图象，最后将 y
链
的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为 0，π2 ，π，32π，2π的
接
五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一
个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移 2kπ(k∈N*)个单位长
度，即得函数的整个图象．
课前自修
(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：
课前自修
解析：本题考查三角函数的图象变换及三角恒等变换，难度中等．
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形6函数y=Asinωx φ练习含解析
函数y＝A sin(ωx＋φ)考试要求 1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( √ ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( × )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( √ )教材改编题1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，只要把y ＝sin3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 C2．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案 D3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，A >0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2k π，k ∈Z ，0<φ<π， 所以φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14].题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )等于( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．(2)(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π3答案 C解析 y ＝sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位长度后， 得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由题意知2φ－π2＝π6＋2k π(k ∈Z )，则φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又0≤φ<π2，所以φ＝π3.教师备选1．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 D解析 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6， 所以只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．2．(2020·江苏)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________． 答案 x ＝－5π24解析 将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度， 所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近．思维升华 (1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练 1 (1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值C ．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象D ．把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象 答案 AC解析 T ＝2π1＝2π，故A 正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故B 错误．y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――――――――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故C 正确．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的――――――――――――――――――――――――――――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫13x ＋π3的图象，故D错误．(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 D解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，故π6为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期， 即2k πω＝π6(k ∈N *)， 则ω＝12k (k ∈N *)，故当k ＝1时，ω取得最小值12.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的大致图象如图所示，将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3k π，3k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π，3k π＋3π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋3k π，5π4＋3k π(k ∈Z ) 答案 C 解析 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝－1，故f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4， 故T ＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝1，故π6＋φ＝2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1；将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1， 再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3－π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.答案 － 3解析 由题意可得，34T ＝13π12－π3＝3π4，∴T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝13π12时，ωx ＋φ＝2×13π12＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－136π(k ∈Z )．令k ＝1可得φ＝－π6，据此有f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝2cos 5π6＝－ 3.教师备选1．(2022·天津中学月考)把函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象，已知函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案 D解析 先根据函数图象求函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式， 由振幅可得A ＝1，显然T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，再由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0， 由|φ|<π2可得φ＝－π6，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，反向移动先向左平移π4个单位长度可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.答案 － 3解析 由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， 所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3.思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析 由图象知π<T <2π，即π<2π|ω|<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1<|ω|<2， 故k ＝－1，得ω＝32，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y ＝g (x )的图象，至少要将函数y ＝f (x )的图象向右平移________个单位长度．答案π86 解析 由图象可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2×[6－(－2)]＝16， ∴ω＝2π16＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋φ，由于函数f (x )的图象过点(－2,0)且在x ＝－2附近单调递增， ∴－2×π8＋φ＝2k π(k ∈Z )，可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋π4，假设将函数f (x )的图象向右平移t 个单位长度可得到偶函数g (x )的图象， 且g (x )＝f (x －t )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －πt 8＋π4，∴－πt 8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得t ＝－2－8k (k ∈Z )，∵t >0，当k ＝－1时，t 取最小值6.题型三 三角函数图象、性质的综合应用 命题点1 图象与性质的综合应用例3 (2022·衡阳模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数g (x )为偶函数，则f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 D解析 依题意可得ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，所以f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又函数g (x )为偶函数， 所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴为x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，排除A ，C ，由2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，则f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，排除B ，当k ＝1时，－π12＋π2＝5π12，故D 正确．命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是_____． 答案 [－2,1)解析 同例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 三角函数模型例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当t ＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )A ．摩天轮离地面最近的距离为4米B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则h ＝－60cosπ15t ＋68 C ．若在t 1，t 2时刻，游客距离地面的高度相等，则t 1＋t 2的最小值为30 D ．∃t 1，t 2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 答案 BC解析 由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A 不正确；t 分钟后，转过的角度为π15t ，则h ＝60－60cosπ15t ＋8＝－60cos π15t ＋68，故B 正确； h ＝－60cosπ15t ＋68，周期为2ππ15＝30，由余弦型函数的性质可知，若t 1＋t 2取最小值，则t 1，t 2∈[0,30]，又高度相等， 则t 1，t 2关于t ＝15对称， 则t 1＋t 22＝15，则t 1＋t 2＝30，故C 正确；令0≤π15t ≤π，解得0≤t ≤15，令π≤π15t ≤2π，解得15≤t ≤30，则h 在t ∈[0,15]上单调递增，在t ∈[15,20]上单调递减， 当t ＝15时，h max ＝128， 当t ＝20时，h ＝－60cosπ15×20＋68＝98>90， 所以h ＝90在t ∈[0,20]只有一个解， 故D 不正确． 教师备选(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时，则( )A ．点P 第一次到达最高点需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动50秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h (米)与t (秒)的函数解析式为h ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π3＋2答案 ABC解析 设点P 距离水面的高度h (米)和时间t (秒)的函数解析式为h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h max ＝A ＋B ＝6，h min＝－A ＋B ＝－2，T ＝2πω＝60，h 0＝A sin ω·0＋φ＋B ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝2，ω＝2πT ＝π30，φ＝－π6，故h ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.故D 错误；对于A ，令h ＝6，即h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，解得t ＝20，故A 正确；对于B ，令t ＝155，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝2，故B 正确； 对于C ，令t ＝50，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2， 解得h ＝－2，故C 正确．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则下列说法正确的是( )A ．直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减C ．函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得到y ＝cos2x 的图象D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1答案 ABD解析 ∵f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ＝cos(2x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴φ＝π6.则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝cosπ＝－1，∴直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减，故B 正确；函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为cosπ＝－1，故D 正确．(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 答案 AD解析 对于A ，由A (3，－33)， 知R ＝32＋－332＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60；当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ， 解得sin φ＝－32，又|φ|<π2， 所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，可知f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π60t －π3，当t ∈(0,60]，π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误； 对于C ，当t ∈(0,60]， π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误； 对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时精练1．函数f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的振幅、初相分别是( )A ．－2，π4B ．－2，－π4C ．2，π4D ．2，－π4答案 C解析 振幅为2，当x ＝0时，φ＝π4，即初相为π4.2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝sin2x B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 答案 C解析 向右平移π4个单位长度后得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.3．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，将其图象向左平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．－12B.32C ．1 D.12答案 D解析 因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，图象向左平移π3个单位长度后所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π6＝sin π6＝12. 4．(2022·天津五十七中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2答案 A解析 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝1， 12·2πω＝2π3－π6， ∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象．令2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z ，可得函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3. 5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝2(sin x ＋cos x ) C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝2sin x ＋ 2 答案 AD解析 f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4与f (x )＝2sin x ＋2经过平移后能够重合． 6．(多选)(2022·深圳模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 B ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2C ．将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合答案 BD解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，令x ＝－π12，求得f (x )＝－1，为最小值，故f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，故A 错误；若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为T 2＝12×2π2＝π2，故B 正确；将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故C 错误； 将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，与曲线E 重合，故D 正确．7．(2022·北京丰台区模拟)将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一) 答案π4解析 将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度， 可得g (x )＝cos(2x ＋2φ)，由函数g (x )的图象关于原点对称， 可得g (0)＝cos2φ＝0， 所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.8．(2022·济南模拟)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则为了得到曲线C 1，首先要把C 2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度．(本题所填数字要求为正数) 答案 2π6解析 ∵曲线C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3－π6，∴先将曲线C 2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3向右至少平移π6个单位长度．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2. (1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π， 所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6.列表如下，2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21描点、连线得图象．(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)， 得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－12，n ＝(3cos x ，cos2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值及最小正周期； (2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． 解 (1) f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以函数的最大值为1，最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＋f (2021)＋f (2022)＋f (2023)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2023B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝202312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝202412D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2024答案 D解析 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，又T ＝4，∴ω＝π2，b ＝1，A ＝12，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32得12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝32， ∴cos φ＝1.∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0. ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin0＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinπ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin3π2＋1＝4. 又2024＝4×506， ∴S ＝4×506＝2024.12．(多选)关于函数f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1的描述正确的是( )A ．其图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．f (x )在[0，π]上有3个零点D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－ 2 答案 AD解析 f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 对于A ，由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2上单调递减，故选项B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[]0，π， 所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， 所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以f (x )∈[]－2，1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－2， 故选项D 正确．13．(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin ωx cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________． 答案 12解析 f (x )＝3cos ωx －sin ωx＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 图象向左平移2π3个单位长度得，g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3－π3， g (x )为奇函数，则2πω3－π3＝k π，k ∈Z ， 解得ω＝12＋32k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为12.14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9000元，9月份价格最低，为5000元，则7月份的出厂价格为________元． 答案 6000解析 作出函数简图如图．三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ， 由题意知A ＝12×(9000－5000)＝2000，B ＝12×(9000＋5000)＝7000， T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2000sinπ6x ＋7000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2000×sin7π6＋7000＝6000(元)．故7月份的出厂价格为6000元．15．(多选)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．g (x )为奇函数B ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0C ．当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有4个极值点D ．若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则ω的最大值为5答案 BCD解析 由题意得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2.因为g (0)＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－ωπ2＝－1，所以ωπ2＝2k π＋π2，ω＝4k ＋1，k ∈N ， 从而g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2k π－π2＝－cos ωx ，显然为偶函数，故A 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－cos4k ＋1π2＝0，故B 正确； 当ω＝5时，g (x )＝－cos5x ， 令g (x )＝－cos5x ＝±1得 5x ＝k π，x ＝k π5，k ∈Z .因为0<x <π，所以x 的值为π5，2π5，3π5，4π5，即函数g (x )在(0，π)上有4个极值点，故C 正确；若函数g (x )＝－cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则πω5≤π，即0<ω≤5，故D 正确．16．(2022·深圳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，函数f (x )图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x ＝π3处取到最小值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间；(3)若关于x 的方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 其中A >0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f (x )的最小正周期为π2＝2πω，解得ω＝4，又函数f (x )在x ＝π3处取到最小值－2，则A ＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2， 即4π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， 令k ＝0可得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向左平移π6个单位长度可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos 2x ，令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 解得－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )． (3)∵方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，作出函数g (x )＝2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8的图象，由图可知－2<m＋2≤2或m＋2＝2，解得－4<m≤2－2或m＝0.∴m的取值范围为－4<m≤2－2或m＝0.31。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
第五节函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用【课程标准】1.结合具体实例,了解y=A sin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查y=A sin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用“五点法”画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点ωx+φ02π322πx0-φω2-φω-φω32-φω2-φωy=A sin(ωx+φ)0A0-A0【微点拨】用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.2.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移个单位长度而非φ个单位长度.3.简谐运动的有关概念y=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相A T=2ωf=1T=ω2ωx+φφ【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的有()A.函数y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-AB.函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π6)C.把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin12xD.如果y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为2【解析】选ABC.因为只有当A>0时,y=A sin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以选项A错误;因为函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π3),所以选项B错误;因为把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin2x,所以选项C错误;因为函数y=A cos(ωx+φ)相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,所以选项D正确.2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于()A.sin(2-7π12)B.sin(2+π12)C.sin(2x-7π12)D.sin(2x+π12)【解析】选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(12x+π12).3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为__________.【解析】从题图可知:14T=7π12-π3=π4,所以T=π,ω=2,又因为2×7π12+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-2π3+2kπ(k∈Z),又因为0<|φ|<π,所以φ=-2π3,显然A=2,因此y=2sin(2x-2π3).答案:y=2sin(2x-2π3)4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosωx,则ω的值为()A.3B.13C.9D.19【解析】选B.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=13.【巧记结论·速算】1.函数y=A sin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减.”2.函数y=A sin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.【即时练】为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3+()A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【解析】选D.因为y=2sin3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3+所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.【核心考点·分类突破】考点一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换[例1](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移6个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,4]上的值域为()A.[-32,1]B.[-12,1]C.[12,1]D.[32,1]【解析】选C.将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变得到y=sin2x的图象,再将y=sin2x的图象上所有点向左平移6个单位长度得到f(x)=sin(2x+3)的图象.当x∈[0,4]时,(2x+3)∈[π3,56],所以sin(2x+3)∈[12,1].(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<2)的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象()A.横坐标缩短到原来的12,再向右平移12个单位长度B.横坐标缩短到原来的12,再向右平移6个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移3个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6个单位长度【解析】选C.由题图可知,12T=56-3=2,所以T=π,故ω=2=2,故函数f(x)=sin(2x+φ),又函数图象经过点(3,0),故有sin(2×3+φ)=0,即2×3+φ=kπ,所以φ=kπ-23(k∈Z),又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),故将函数f(x)=sin(2x+π3)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+π3)的图象,然后再向右平移π3个单位长度即可得到y=sin x的图象.【解题技法】三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.【对点训练】1.(2024·长春模拟)要得到y=cos2的图象,只要将y=sin2的图象()A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π个单位长度D.向右平移π个单位长度【解析】选C.函数y=sin2的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(2+π2)=cos2的图象.2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ=__________.【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-π3],函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-π3)=0,则2φ-π3=kπ,k∈Z,则φ=π6+χ2,k∈Z,因为φ∈(0,π2),所以φ=π6.答案:π6考点二由函数图象确定函数y=A sin(ωx+φ)的解析式[例2](1)函数y=A sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为()A.y=2sin(2x+23)B.y=2sin(x+3)C.y=2sin(2-3) D.y=2sin(2x-3)【解析】选A.由已知可得函数y=A sin(ωx+φ)的图象经过点(-12,2)和点(512,-2),则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),将(-12,2)代入得-6+φ=2+2kπ,k∈Z,所以φ=2π3+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=2π3,此时y=2sin(2x+2π3).(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为()A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2cos(2x-π3)C.g(x)=2sin(x-π6)D.g(x)=2cos(x+π3)【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;又f(0)=2sinφ=-1,所以sinφ=-12,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(7π12)=2sin(7π12ω-π6)=0,由五点作图法可知7π12ω-π6=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-π6);所以g(x)=f(x+π6)=2sin[2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)=2cos[π2-(2x+π6)]=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3).【解题技法】根据三角函数图象求解析式的三个关键(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【对点训练】1.(2021·全国甲卷)已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (π2)=__________.【命题意图】本题考查函数f (x )=2cos(ωx +φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.【解析】观察图象可知:f (x )的最小正周期T =43×=π,所以ω=2,又因为2×13πφ=-π6+2k π,k ∈Z ,所以f (x )=2cos 2-所以2×π2-=2cos 5π6=-3.答案:-32.已知函数y =A sin(ωx +φ)+n 的最大值为4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,若A >0,ω>0,0<φ<π2,则函数解析式为__________.【解析】依题意,得A =4-02=2,n =4+02=2,ω=2ππ2=4,所以y =2sin (4x +φ)+2,所以4×π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π-5π6,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以k =1,φ=π6.所以函数解析式为y =2sin(4x +π6)+2.答案:y =2sin(4x +π6)+2【加练备选】函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,<π2)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为()A.y=-2sin(2x-π4)B.y=2sin(2x+π4)C.y=2sin(x+3π8)D.y=2sin(2+7π16)【解析】选B.由题图知A=2,2=5π8-π8=π2,T=π,所以ω=2,把最值点(π8,2)代入y=2sin(2x+φ),得2sin(2π8+φ)=2,所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z),所以φ=2kπ+π4(k∈Z),又因为<π2,所以φ=π4,因此函数的解析式是y=2sin(2x+π4).考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=sin2B+(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于点-π3,0对称B.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin2x的图象C.f(x)在区间0,-32D.f+【解析】选D.因为f(x)的图象过点0所以sinφ=12,因为0<φ<π2,所以φ=π6.因为f(x),-1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6=3π2,得ω=1,所以f(x)=sin2+因为f(-π3)=sin(-2π3+π6)=sin(-π2)=-1,所以x=-π3为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得y=sin2-+2-所以B错误;当x∈0,2x+π6∈,所以-12≤sin(2x+π)≤1,所以f(x)在区间0,为-12,所以C错误;f+2++2+2x,令g(x)=f+2x,因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以g(x)=f+2x为偶函数,所以D正确.【解题技法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为a sin x+b cos x的形式;(2)构造f(x)=2+2·2+2sin x+2+2·cos x;(3)和角公式逆用,得f(x)=2+2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);(4)利用f(x)=2+2sin(x+φ)研究三角函数的性质.角度2函数零点(方程根)问题[例4](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)=cosωx-1=0,则cosωx=1有3个根,令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.答案:[2,3)【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.【解题技法】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.【对点训练】1.(多选题)已知函数f(x)=2sin2+0<<π的图象关于直线x=π对称,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是-2π,0D.f(x)的一个单调递增区间是2,3【解析】选BD.由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π,则B正确;由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sinφ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;由函数f(x)=2sin2+0<<π是偶函数可知φ=π2,则f(x)=2cos2x,故f(x)的对称中心为(χ2-π4,0)(k∈Z),C错误;由于(2,3)⊆(π2,π),f(x)在(π2,π)上单调递增,D正确.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1-2的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为()A.16B.4C.8D.12【解析】选D.由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即π=3,所以ω=π3,则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3,即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,k∈Z,因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=tan(π3x+π3).又因为f(2)=tan(2π3+π3)=0,所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1-2的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.考点四三角函数模型及其应用[例5]如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h=-8sinπ6t+10B.h=-cosπ6t+10C.h=-8sinπ6t+8D.h=-8cosπ6t+10【解析】选D.由题意设h=A cosωt+B,因为12min旋转一周,所以2π=12,所以ω=π6,由于最大值与最小值分别为18,2.所以-+=18,+=2,解得A=-8,B=10.所以h=-8cosπ6t+10.【解题技法】三角函数模型的两种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【对点训练】1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为__________℃.【解析】由题意得+=28,-=18,解得=23,=5,所以y=23+5cos[π6(x-6)],令x=10,得y=20.5.答案:20.52.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧C ,下部是一个矩形ABCD,C 所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=33米,∠COD=2π3,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在C 上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)当cosθ为何值时,矩形EFGH的面积S最大?【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,∠COD=2π3,可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=π3,在Rt△COP中,CP=2,∠COP=π3,所以OC=433米,OP=233米,所以OM=OP-PM=OP-BC=33米,在Rt△ONG中,∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=433米,所以GN=433sinθ米,ON=433cosθ米,所以GH=2GN=833sinθ米,GF=MN=ON-OM=(433cosθ-33)米,所以S=GF·GH=(433cosθ-33)·833sinθ=83(4cosθ-1)sinθ,θ∈(0,π3),所以S关于θ的函数关系式为S =83(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,π3).(2)由(1)得S'=83(4cos 2θ-4sin 2θ-cos θ)=83(8cos 2θ-cos θ-4),因为θ∈(0,π3),所以cos θ∈(12,1),令S'=0,得cos θ=1+12916∈(12,1),设θ0∈(0,π3),且cos θ0=1+12916,所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S 在(0,θ0)上单调递增,由S'<0,得θ0<θ<π3,即S 在(θ0,π3)上单调递减,所以当θ=θ0时,S 取得最大值,所以当cos θ=1+12916时,矩形EFGH 的面积S 最大.【重难突破】三角函数解析式中ω的求法三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.类型一ω的取值范围与单调性相结合[例1]已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[12,34]C .(0,12]D .(0,2]【解析】选A .由π2+2k π<ωx +π4<3π2+2k π(k ∈Z ),得π4+2χ<x <5π4+2χ(k ∈Z ,ω>0).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以(π2,π)⊆(π+2χ,5π4+2χ),+2χ≤π2,+2χ≥π,解得12+4k ≤ω≤54+2k ,k ∈Z .>0,≥π2,所以0<ω≤2,当k =0时,12≤ω≤54.【解题技法】已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),在[x 1,x 2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法第一步:根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x 2-x 1≤12T =π,求得0<ω≤π2-1;第二步:以单调递增为例,利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[-π2+2k π,π2+2k π],解得ω的范围;第三步:结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.【对点训练】已知ω>0,函数f (x )=cos(ωx -π6)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()A .[12,54]B .[13,76]C .(0,16]D .[16,136]【解析】选B .令2k π≤ωx -π6≤2k π+π(k ∈Z ),得2χ+π6≤x ≤2χ+7π6(k ∈Z ).因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,π2,≥π,其中k ∈Z ,解得4k +13≤ω≤2k +76(k ∈Z ).又因为函数f (x )在(π2,π)上单调递减,所以T ≥π⇒ω≤2.又ω>0,所以当k =0时,有13≤ω≤76.类型二ω的取值范围与对称性相结合[例2]已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,若f (x )在区间(π5,π4)上单调,则ω的最大值是()A.14B.16C.18D .20【解析】选A .设函数f (x )的最小正周期为T ,因为x =-π8是函数f (x )的一个零点,x =π8是函数f (x )的一条对称轴,则2r14T =π8-(-π8)=π4,其中n ∈N ,所以T =π2r1=2π,所以ω=4n +2.因为函数f(x)在区间(π5,π4)上单调,则π4-π5≤2=π,所以ω≤20,所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-π8)=sin(-9π4+φ)=0,所以φ-9π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+9π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=π4,所以f(x)=sin(18x+π4),当π5<x<π4时,77π20<18x+π4<19π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上不单调,不符合题意;(ⅱ)当ω=14时,f(x)=sin(14x+φ),f(-π8)=sin(-7π4+φ)=0,所以φ-7π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+7π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=-π4,所以f(x)=sin(14x-π4),当π5<x<π4时,51π20<14x-π4<13π4,所以函数f(x)在(π5,π4)上单调递减,符合题意.因此,ω的最大值为14.【解题技法】三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值范围.【对点训练】(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移3π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,则ω可取的值为()A.13B.12C.1D.4【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移3π2个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-3π2)+π6]=sin(ωx+π6-3π2)=cos(ωx+π6),又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以F(x)=sin(ωx+π6)cos(ωx+π6)=12sin(2ωx+π3)的图象关于点(π3,0)对称,则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,所以ω=3-12,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,故ω可取的值为1,4.类型三ω的取值范围与三角函数的最值相结合[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为()A.[83,7)B.(83,4)C.[4,203)D.(203,7)【解析】选B.因为f(x)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以π3-(-π4)>2=π,所以ω>127.令t=ωx+π6,当x∈(-π4,π3)时,t∈(-π4ω+π6,π3ω+π6),于是f(x)=2sin(ωx+π6)在区间(-π4,π3)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上的最值点个数.由ω>127知,-π4ω+π6<0,π3ω+π6>0,因为g(t)在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上恰有一个最大值点和一个最小值点,<-π4+π6<-π2,π3+π6<3π2,解得83<ω<4.【解题技法】三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.【对点训练】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为12,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为________.【解析】由题意可知,f(0)=12,且0<φ<π,则φ=π3.又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以2=π≥π,即0<ω≤1;f (x )=cos (ωx +π3),令ωx +π3=k π,k ∈Z ,即x =χ-π3,k ∈Z ,所以当x =χ-π3,k ∈Z 时,函数f (x )=cos (ωx +π)取到最值,因为f (x )在区间(π,2π)内没有最值,≤π,π3≥2π,k ∈Z ,解得k -13≤ω≤2+13,k ∈Z ,当k =0时,-13≤ω≤13,又0<ω≤1,所以0<ω≤13,当k =1时,23≤ω≤56,可得ω∈(0,13]∪[23,56].答案:(0,13]∪[23,56]类型四ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合[例4](2022·全国甲卷)设函数f (x )=sin(ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()A BC D ,【解析】选C .当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;函数f (x )=sin B +(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则有ωx +π3∈χ+所以5π2<ωπ+π3≤3π,求得136<ω≤83.【解题技法】三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为2,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.【对点训练】(2022·全国乙卷)记函数f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )=32,x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为________.【解析】因为f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T =2π,因为f(T)=cos(ω·2π+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因为0<φ<π,所以φ=π6,即f(x)=cos(ωx+π6),又因为x=π9为f(x)的零点,所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.答案:3。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
2020年高三数学第一轮复习教案-三角函数-第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
第六节 函数Y＝ASIN(ΩX＋Φ)的图像及应用
【知识必备】
知识点一 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
【知识必备】
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
【知识必备】
知识点三 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
A
【典题演练】
D
A
【典题演练】
D
【典题演练】
【作 业】
1、完成新数学中的【典例剖析】 2、完成课时作业（二十二）
再见
【知识必备】
1.由 y＝sinωx 到 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移ωφ个 单位长度而非 φ 个单位长度．
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)确定； 对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
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第六讲 函数()sin y x ωϕ=A +的图象
一、知识梳理
函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．
1）振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．
2）周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ． 3）相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．
由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法： 或
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位． 二、同步练习
1.为了得到函数y=cos(x+
3
π
)，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y=cosx 上的所有的点 ( )
(A) 向左平移
3π
个单位长度 (B) 向右平移3π
个单位长度
(C) 向左平移1
3个单位长度 (D) 向右平移1
3个单位长度
2.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称，则θ= ( )
(A) 2k π+
6
π
(k ∈Z) (B) 2k π+ π(k ∈Z) (C) k π+
2
π
(k ∈Z) (D) k π+ π(k ∈Z)
3. 函数y=2sin(ωx+φ)，|φ|<
2
π的图象如图所示，则
( )
(A ) ω=10
11,φ=
6
π (B ) ω=10
11,φ= -6
π
(C ) ω=2,φ=6
π
(D ) ω=2,φ= -6π
4.函数y=cosx 的图象向左平移3π
个单位，横坐标缩小到原来的1
2，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( )
(A) y=3cos(1
2x+3
π
) (B) y=3cos(2x+
3
π) (C) y=3cos(2x+
23
π) (D) y=13cos(1
2x+
6
π
)
5.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x=12π
时,ymax=2;当x=712π
时，,ymin=-2.
那么函数的解析式为 ( )
(A) y=2sin(2x+
3
π
) (B) y=2sin(2x
-6
π
) (C) y=2sin(2x+
6
π) (D) y=2sin(2x-3
π
)
6.把函数f(x)的图象沿着直线x+y=0的方向向右下方平移,得到函数y=sin3x 的图
象，则 ( ) (A) f(x)=sin(3x+6)+2 (B) f(x)=sin(3x-6)-2 (C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2 7.函数y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 ;
8.函数y=cos(
23
π
x+
4
π
)的最小正周期是 ;
9.函数y=2sin(2x+6
π
)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 ;
10.函数y=sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x=6π
对称，则φ的最小值是 .
11.写出函数y=4sin2x (x ∈R)的图像可以由函数y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)
12.已知函数y=log0.5(2sinx-1),
(1)写出它的值域.(2)写出函数的单调区间.
(3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.
13.已知函数y=2sin(3k
x+5)周期不大于1，求正整数k 的最小值.
14. 已知N(2,
2
)是函数y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲
线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.。