数学联想在课堂教学中的若干思考
联想在数学教学中应用
浅析联想在数学教学中的应用在数学教学中，老师们常常感到很困惑：学生对独立的数学知识比较容易地就掌握了，但学生在解题过程中却反应迟钝、思维中断，特别是对于那些本身学习能力较差的学生，更加明显. 在数学学习中，有些学生也常常很困惑：学习数学很刻苦，且能不厌其烦地向老师请教，老师也能反复耐心地指导，可数学学习效果就是不好，感觉总是很吃力，其重要原因之一就是学生缺乏连贯性的联想思维方式.一、联想在数学教学和数学学习中有着重要意义1. 联想有利于系统掌握数学基本概念和数学基本知识运用联想可以增强对某部分知识的记忆，唤起学生对旧知识的回忆，加强知识间的联系，培养学生思维的敏捷性与灵活性. 例如，要判定一个四边形是平行四边形，运用联想，可以回忆起平行四边形的性质，可以连锁回忆起“两条直线平行，同位角相等”、“两条直线平行，内错角相等”、“两条直线平行，同旁内角互补”等；再如给出三角形，运用联想，不仅可以回忆起三角形内角和关系，三角形的外角和关系，三角形三条边的关系，还可以回忆起等腰三角形，等边三角形等一系列相关知识点. 这样学生养成习惯，长期坚持，在头脑中可以形成一系列的知识网点，更有利于学生掌握繁多的知识点.2. 联想有利于提高数学解题技能数学解题就是学生通过分析题目中图形或图示所给的已知条件，运用学过的数学概念、数学定理以及数学方法等，联想得出未知的数学结论和数学方法. 其产生的基础是知识、方法之间客观存在的固有联系，这种联系或是明确的、显现的或是隐蔽的、潜在的，此时，学生的有效联想为高效解题起着非常重要的作用.数学解题中的联想，最常见最基本的是因果联想，它是条件与结论间的联想，一般做法是找出两者的差异，并寻求消除差异的途径. 如常州市某学年度第一学期期末质量调研八年级数学试题中的第21题：如图，在△abc中，∠acb = 90°，de是△abc的中位线，点f 在ac的延长线上，且cf = ■ac.（1）说明：四边形dcfe是平行四边形；（2）请说明∠a与∠f相等.首先让我们从条件展开丰富的联想：由条件“∠acb = 90°”我们联想到直角三角形的有关性质，如两锐角互余、三边之间的勾股关系、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等；由条件“de是△abc的中位线”联想到三角形中位线的定义与性质，即点d与点e是线段ab，bc的中点，de = ■ac且de∥af；将这两个条件联系起来，我们又可以得到dc = bd = ad等；由条件“cf = ■ac”与之前的联想结论“de = ■ac且de∥af”可以得到de = cf且de∥cf等. 接着我们从结论出发展开联想：要说明“四边形dcfe是平行四边形”，我们联想到判定四边形是平行四边形的条件，而条件中已经得到了一组对边平行且相等，问题得到了解决；要说明“∠a与∠f相等”，首先联想到说明两个角相等的方法，如特殊图形（等腰三角形、平行四边形等图形）中的两个角相等；两直线平行同位角相等、内错角相等；说明这两个角都与第三个角相，等等，观察图形后我们可以发现应该要用到第三个角，再从条件入手联想图中角的关系，从而由“dc = ad”得到∠a = ∠dca，由“四边形dcfe 是平行四边形”得到∠dca = ∠f，问题（2）也解决了.积极、广泛地由此及彼的联想，有助于沟通命题的条件与结论的联系，从而能迅速准确地解决问题. 在数学解题教学中，教师应该引导、启发学生通过不同形式的联想，寻求多种途径的解题方法，探索新的结论，促使学生的思维向多层次、多方位发散，从而使学生分析问题、解决问题的能力不断提高.二、采取多种形式和手段培养学生的联想能力1. 引导学生正确观察. 科学的观察、结合教学内容有效的观察，是学生展开联想的基础，这就要求学生观察时做到四要：一要认真细致，二要有序有向，三要全面深刻，四要动静结合.2. 丰富语言，发展抽象思维. 联想需要思维和语言的配合，同时也受其制约. 有了语言与抽象思维的参与调节，学生的联想才会更丰富，想象的构思才能更广阔，更具有逻辑性. 因此，要十分重视学生数学语言的培养和训练，做到抽象思维和形象思维互助互补.3. 鼓励学生质疑问难. 联想往往是从疑问产生的. 平时教学中，要启发学生大胆地提出疑问，对天真幼稚的问题也要耐心解释，保护学生的积极性，逐步引导学生有目的地为解决问题设疑、质疑，发展学生潜在的联想能力.4. 引导学生学会几种常见的联想方法. （1）引发类似联想，促进知识的迁移. 例如，在学习分式的性质时，教师可以引导学生从分数的性质入手，让学生展开连锁的类似联想，自行获取新知，使学生的类推能力、逻辑思维能力得到一定程度的发展. （2）诱导接近联想，提供解决问题的途径. 如学习矩形的判定方法时，学生可以根据得出平行四边形判定方法的经验，通过接近联想，模仿已有的经验得出新知. （3）培养对比联想，训练逆向思维. 如有理数的加法与减法、乘法与除法的相互关系等，教学时分析知识的可逆结构，实际上就是为学生进行对比联想打基础.总之，有意识地培养学生的联想能力，能提高学生学习数学的兴趣，更是提高学生思维品质的有效方法，对他们现在和将来的发展有着深刻的影响. 因此，教师在引导学生学习的过程中，特别要注重培养学生的联想能力，让我们一起在教与学的过程中展开想象的翅膀吧.。
联想在数学教学中运用分析报告
联想在数学教学中运用分析报告联想在数学教学中运用分析报告联想是指一种心理过程而引起与之相联的另一种心理过程的现象。
巴甫洛夫认为：“一切教学都是各种联想的形式。
为此，在数学教学中，教师能运用好“联想”这一心理现象去诱导学生从已有的知识、经验联想到与之有关的新的知识，对激发学生的学习兴趣，帮助学生探索新的知识，解决新的问题，培养学生的求异思维能力是非常有意义的。
一、用于引出新知。
用联想引出新知就是借助学生已有的知识、经验（旧知）去联想与之相关的要学习的知识（新知）。
教学时，教师先让学生复习旧知，然后引导学生从已有的知识、经验展开联想，从联想中激发学生的学习兴趣，引出要学习的内容。
如：六年制第九册第68页，复习：“小东和小英同时从两地出发，相对走来，小东每分走50米，小英每分走40米。
经过3分两人相遇。
两地相距多远？”学生自己解答后，教师先引导学生从“速度和×相遇时间＝两地距离”这一数量关系展开联想，学生自然就会想到另外两个数量间的关系（即：两地距离÷速度和＝相遇时间；两地距离÷相遇时间＝速度和）。
再引导学生从复习题展开联想：你们已经会解“已知速度和时间，求路程”的应用题，接下来你们还想学习已知什么，求什么的应用题？这时，学生将会水到渠成地说出：“已知路程和速度，求时间”或“已知路程和时间，求速度”。
从而达到引出新知的目的。
二、用于探索新知数学是一门系统性很强的学科，学生已有的知识常常成为某一新知识的原型和依据。
教学中，教师有意识地引导学生利用已有的知识、经验去联想与之相关的新知识，学生就能轻松而又系统地获取新的知识，收到事半功倍的效果。
下面就如何引导学生联想介绍几种常见的方法。
1.类似联想。
类似联想是由于具有相似特征的事物之间形成联系而由一种事物想到另一种事物的过程。
教学时，教师可促进学生引发类似联想，向新知实行逻辑推进，让学生展开连锁的类似联想，自行获取新知。
如：教学比的基本性质，教师设计以下的教学程序。
运用联想提高数学课堂教学效率
题 ：同底数幂相乘，其结果是 “ 底数 不变 ，指数相加” ，如果是同底数幂 相除，那结果又会是怎样的呢？如果 是不同底幂相乘除，其指数是否也能 直接相加减？同底数幂相加减 ，其结
果又会是怎样的？这一连串基于 “ 同 底数 幂的乘法 ”基础上所进行的联
想 、探 究的 问题 ，大 大激 起了学生 探
… …
路，激发学生的思维，让学生 自主学 习 ，自主探究 ，在解决 问题 的基础
上，加深对知识的理解． 例如在学习 “ 同底数幂的除法”
用学生 的想象力 ，补充教师讲述 的
不足 ，培养学生利用掌握 的知识独
立思考获取新知并作出判断的能力 ； 可以提高学生学 习数学 的兴趣和有
结 、归纳 、迁移的能力等．
一
、
运用联想。激起学生
的求知欲望和 兴趣
孔子 日： “ 知之者不如好之者 ， 好之者不如乐之者． ”所以说兴趣是
的主体 ，是知识 的学 习者 、运用者
智
探索能力离不开联想思维． 联想是创 造性思维的重要环节 ， 是培养创新 能力的有效途径． 学生通过联想可 以
多媒体播放优美 的音乐— — 化蝶 》
进行新课导入． 在背景画面上 ，阳光
在 课 堂 教学 中 ，我 以 问题 为 纽
联想 、迁移和重组 ，以加深其对知
识 的理解或说 明新 的问题 ；可以利
明媚 ，百花 盛放 ，两 只色彩斑澜的
带，引导学生通过联想寻找解题的思
蝴蝶在一朵美 丽的花瓣上翩翩起舞
意 注 意 ，使 学 生兴 致 盎 然 、 主动 积
引导学生观察 画中的蝴蝶在跳
舞时有什么特点？然后又让学生继
续观察苏州园林 、天安门城楼 、广 州海心塔等的造型特点 ，从而 引导 学生发现这些事物给人以美的感觉 的共 同之处 在于——对称性 ，由此
如何在数学教学中介入联想思维
如何在数学教学中介入联想思维摘要：联想是指由一事物想到另一事物的心理过程，也是一种心理过程而引起与之相联的另一种心理过程的现象。
心理学认为：思维起源于问题，联想是思维的渠道。
关键词：引发联想；促成联想；联想能力联想是指由一事物想到另一事物的心理过程，也是回忆旧知识，发现新知识的重要手段，是在解题过程中不可缺少的心理活功。
那么，在数学教学中，教师如何通过培养学生的联想能力以发展学生的思维，提高教学质量呢？一、在复习旧知中引发联想联想总是以先前的知识为前提的，数学知识的内在联系是实现联想的基本条件。
在教学新课时，教师先让学生复习旧知，然后引导学生从已有的知识、经验展开联想，从联想中激发学生的学习兴趣，引出要学习的内容。
例如：教学“乘法的运算律及简便计算”师：加法有哪些运算定律？你能用字母表示吗？用自己的话说一说什么是加法交换律？什么是加法结合律？（回忆：我们在学习加法运算律的时候首先是进行猜想，然后举例验证，得到结论，最后应用规律。
这样的学习方法，在我们的数学学习中经常用到。
）师：除了加法，在我们学习的运算中乘法也有类似的运算规律吗？今天这节课我们一起学习乘法运算律。
（揭题：乘法运算律）师：猜想乘法会有哪些运算定律？（板书：乘法交换律、乘法结合律）加法的交换律和结合律是学生学习乘法交换律和结合律的基础，通过复习，一方面可以唤起学生对加法运算律的回忆，另一方面可以引起学生的联想和思考。
同时，引导学生把加法运算律的活动经验和学习方法迁移到乘法运算律的学习中来，促进学生主动学习。
二、在新课学习中促成联想在新课的学习过程中，教师通过适当的启发或是提供一些素材帮助学生联系原型中所提供的内容，引导学生开展一系列的观察、分析、联想、判断等思维活动，从而使学生较为独立地去获得新知。
例如：教学“乘法的运算律及简便计算”师：刚才通过猜想、验证、得到结论，发现乘法也有交换律，那么你能用这样的方法来研究乘法结合律吗？首先要（猜想），然后再去（验证），最后（得出结论）。
“联想”,有助于数学思考
“联想”，有助于数学思考作者：周雯来源：《中学课程辅导·教师通讯》2017年第11期【内容摘要】我们可以通过寻找已知知识和未知知识之间的联系，来解决一些含有未知知识的数学问题，笔者暂且就将这种数学思考方式称之为“联想”，本文将谈谈其对发展数学思考的一些作用。
“联想”，有助于导入新课；“联想”，有助于解决数学问题。
数学课强调理性思维，知识讲究来龙去脉，方法讲究前因后果，其实这就是回归数学教学的本真。
【关键词】联想数学思考本真《2011版义务教育数学课程标准》将课程总目标从以下四个方面具体阐述：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
以下，笔者就自己在教学活动中的一种具体数学思考活动——“联想”，来谈谈其对发展数学思考的一些作用。
我们可以通过寻找已知知识和未知知识之间的联系，来解决一些含有未知知识的数学问题，笔者暂且就将这种数学思考方式称之为“联想”。
“联想”，有助于很多数学教学活动，有助于解决很多数学问题。
一、“联想”，有助于导入新课新课导入，现在比较流行情境导入，恰如其分地运用情境导入，的确能激发学生的学习兴趣，尤其在一个新知识出现的第一课时我们经常使用，而且效果很好。
但当知识学习进入到中间阶段时，通过对已有知识进行联想，发展新知识，这种引入往往有奇效。
案例1：在《合并同类项》一节课中同类项概念的引入。
导入时，先给出问题：计算：（1）2x+3x=？（2）4x-x=？（3）2x+3y=？（4）4x-y=？其中（1）、（2）两问，小学已经学过，学生完全能够解答。
而对于（3）、（4）两个问题，学生却无从下手。
此刻，教师可以追问：为什么（3）、（4）两题无法计算，而（1）、（2）两题却可以呢？请你比较并思考。
思考后，学生可能意识到导致不能计算的原因，即：字母不同。
紧接着，再给出几组能合并成一项的单项式，再次观察这几组能合并成一项的单项式都有什么共同特点，从而归纳出同类项的定义，引入本节课。
案例2：在《用尺规作线段与角》这节课中，导入时，直接让学生动手画图操作：已知线段a，画一条线段等于已知线段a。
“联想教学法”在数学课堂中的应用
联想教学法”在数学课堂中的应用⑩袁燕联想是一种心理过程引起另一种与此相连的心理过 程的现象，可以由某一事物而想起其他相关事物，或者通过 某个知识而想到其他相关知识。
儿童想象力丰富,儿童的 这一特征为联想教学奠定了基础，我们应当充分利用儿童 想象的优势实施联想教学，提高学习效果。
数学知识是一 个有机的整体，各部分之间有着千丝万缕的联系，联想教学 法正是基于数学知识之间存在内在联系以及儿童擅长想象 的特点，充分调动学生的联想能力，针对某一知识、某一现 象或某一问题引导学生展开相关联想，从而激活学生思维，发现解决问题的路径与策略，获得数学知识的自主建构。
联想有利于思维的发散，有助于新知的探究,有利于问题的 解决。
下面笔者结合曰常教学实践，谈谈"联想教学法”在 小学数学课堂中的应用。
一、情境激发,点燃联想火花联想是人对过往的回忆与现实的思考。
联想不是无 中生有的胡思乱想，联想是真实的想象。
联想教学基于一 定的媒介，情境是最好的联想媒介。
情境具体直观，触发 学生形象思维;情境生动有趣，引起学生情感体验。
情境 不仅能激趣，而且能诱思，能够促进学生联想，点燃学生联 想的火花，使他们联想生活经历,联想学习过程，联想相关 知识。
例如,在教学"认识人民币"时，为了激发学生联想，教 师利用多媒体播放了超市场景,创设了一个“逛超市”的生 活情境，现实的生活情境唤醒了学生联想意识，学生触景 生情、追忆过往，边观看视频边联想自己的购物经过，联想 付钱找钱情景,从而激发了对"人民币”的探究欲望。
二、类比迁移,尝试联想解题类比联想法是数学教学中经常用到的一种教学方法，是指由某一学习情境的触发而引起与同类型问题解决经 历相似的联想。
通过类比联想，展开经验迁移，从而将相 关方法、经验等迁移到当前问题情境之中，实现问题的有 效解决。
在数学教学中，笔者经常组织学生尝试联想解题。
例 如，"多边形的面积"单元包含了平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积等内容，这些内容之间联系比较紧密，在推导各类图形面积计算公式时都采用了相同的策 略——转化。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用
联想方法是一种在高中数学解题中常用的思维方法，通过将问题与已掌握的知识联系
起来，从而找到解题的思路和方法。
联想方法可以帮助学生快速回忆起相关知识点。
在高中数学中，知识点繁多且内容复杂，学生很容易忘记或混淆各种定理、公式和解题方法。
通过联想方法，学生可以将正在
解题的问题与已学知识点相联系，迅速回忆起相关的概念和定理。
当遇到求极限的问题时，可以联想到极限的定义和常见的极限计算方法，从而引导思路。
联想方法可以帮助学生找到解题的启示和思路。
有些数学问题看似复杂，但实际上可
以通过联想到一个简单的或类似的问题来解决。
当遇到一个函数求导的问题时，可以通过
联想到一类类似函数的求导方法，从而找到问题的解题思路。
联想方法还可以通过找到问
题中的共性和特点，从而引出解题的关键和思路。
联想方法可以帮助学生巩固和扩展已学的数学知识。
通过联想方法，在解题过程中学
生可以将已学知识与新问题相联系，从而加深对知识点的理解和应用。
联想方法还可以帮
助学生扩展和应用已学的知识，例如通过联想到一个更一般的问题或推广到其他领域。
通
过这种方式，学生可以建立更加完整和深入的知识结构。
联想方法在高中数学解题中具有广泛的应用。
通过联想已学的知识点，找到解题的思
路和方法；通过联想到类似问题或进行问题转化，解决复杂的数学问题；通过联想加深对
知识点的理解和应用。
学生在学习高中数学时可以尝试运用联想方法，提高解题能力和数
学水平。
联想能力的培养数学课堂教学中学生
联想能力的培养数学课堂教学中学生数学(汉语拼音：shùxué;希腊语：μαθηματικ;英语：Mathematics)，源自于古希腊语的μθημα(máthēma)，其有学习、学问、科学之意。
古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。
另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。
即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。
摘要：联想能力不仅影响着学生学习数学的积极性、实效性和趣味性，而且还是制约学生数学能力发展、思维品质优化的根本原因之一。
在全面实施新课程、贯彻素质教育的今天，有必要在中学数学教学中加强联想思维能力的培养，促使学生改变学习方式，激发学生的创造才能。
关键词：联想作用教学建议一、联想在数学教学中的作用(1)激发学习兴趣，深化对知识的理解联想就是将头脑中相分离的表象联系在一起，由一种已有的表象唤起另一种表象，是忆旧知识，发现新知识的重要手段;它能使学生在“由此及彼”的思维中回忆或搜集相关信息，掌握知识的纵横联系，加强对数学思想方法的理解;在“触类旁通”中激发了学习热情，提高了学习有效性，发展了数学能力。
联想以知识经验为背景，借助形象进行思维，具有形象直观、生动具体的特点，这不但有助于学生理解和掌握抽象的科学知识，而且还能使学生突破现实的局限，具有重要的方法论意义。
(2)引导探究、拓宽知识，完善认知结构联想是发展智力的基础，也是人们认识客观事物的重要途径。
在数学教学中，教师应遵循学生学习数学的心理规律，充分考虑学生原有的知识背景、活动经验和对数学的理解，充分发挥联想的主导作用，创设出生动的情景，使学生在探索与交流中有所发现，有所创造，实现知识向能力的转化。
在进行新知识的教学中，联想能优化教学设计，找到新知识的“最近发展区”，引导学生探究知识的发生与发展过程，感受数学的发现乐趣，体验解决问题的一些基本策略，创造性地建构对数学的理解。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用联想方法是一种将已有的知识和经验与新的问题相结合的思维方法，将原本枯燥乏味的问题转化为有趣的解决过程。
在数学解题中，联想方法可以帮助学生发掘数学问题背后的规律，提高解题效率和思维质量。
一、利用联想方法转化问题对于高中数学来说，很多问题都需要转化为更简单的问题以便解决。
联想方法可以帮助学生将复杂的数学问题转化为简单的数学问题，从而更容易理解和解决。
例如，一元二次方程组的问题通常较难解决。
此时，可以联想到二元一次方程组的解决方法，并将问题转化为二元一次方程组的问题，通过解决二元一次方程组的问题，最终得到一元二次方程组的解。
又例如，对于二次函数的解析式求解问题，可以联想到二次函数的顶点坐标、对称轴、导数等相关知识，从而更好地理解和解决问题。
二、利用联想方法发现规律数学问题中常常需要通过发现规律来进行推理和解决。
联想方法可以帮助学生从已有的知识和经验中发现规律，进而推导解决问题。
例如，对于一个数列的问题，学生可以联想到数列的通项公式、等差数列、等比数列等相关知识，并通过对这些知识的运用，发现数列中的规律，从而解决问题。
再例如，对于解决两个正整数的最大公约数和最小公倍数的问题，学生可以联想到质因数分解和互质等相关知识，从而发现寻找最大公约数和最小公倍数的方法，进而得出问题的解。
在高中数学中，学生经常需要将某种模型或者方法应用到各种题型中，并在问题中灵活运用。
此时，学生可以通过联想方法，将已有的知识和方法与新的题型进行比较和对照，从而更好地解决问题。
例如，对于解决三角函数的问以及其相关题型的问题，学生可以联想到三角函数的限制条件、单位圆等相关内容，并通过对这些内容的应用，灵活解决各种类型的三角函数题目。
又例如，对于解决向量的问题，学生可以通过联想方法，将已有的知识和方法与新的题型进行对照，将问题转化为向量运算问题，以此解决向量的问题。
总之，联想方法是一种非常实用的思想工具，在高中数学的学习和解题过程中可以发挥巨大的作用。
联想在数学教学中的作用
联想在数学教学中的作用摘?要：数学是一门重要的基础学科，数学教学不仅要使学生掌握牢固的基础知识，还要培养学生的思维能力，尤其是联想思维能力。
中学生最具有丰富的想象、联想能力。
因此在数学教学中要尽可能给学生提供条件，鼓励引导他们大胆地联想，通过联想教学开发学生潜在的智能，提高他们的综合能力。
关键词：联想；数学；教学；应用数学家希尔伯特说过：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部门之间的联系，尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系，同时在它的不同部分之间也有大量的相似之处。
”由此可见，数学知识、数学方法及数学问题之间存在着相互的联系，教师如果能够把握住数学中的这些联系，在教学中适时激发学生的联想意识，能使学生系统化地理解和掌握所学的理论知识、方法，从而提高分析问题、解决问题的能力，有利于强化数学的教学效果。
一、联想在数学知识教学中的作用一些教师在教学中，往往把教学的侧重点放在数学知识本身的教学上，如单纯地讲解定义、定理、公式、法则等的理解、推导、运用，就事论事，忽视知识的联系，这样不利于知识的融会贯通。
在知识的教学过程中，如果能启发学生对所学知识横向、纵向的联系、联想、比较、分析，那就会使学生所学知识早日系统化，并对学生在解决问题时，产生丰富的联想起很大的促进作用。
如我们在讲“点到平面的距离”时，就可以联想“点到直线的距离”，通过对这两个概念的联系，可使学生对这两个基本概念加深理解，使他们能够利用它们的关系相互转化，即求点到平面的距离时可以转化为点到直线的距离，求点到直线的距离时也可以转化为点到平面的距离，等等。
像这样的相关知识在数学上很多，如乘方和幂，正数和非负数，不完全为零和全不为零，锐角和第一象限的角等。
例：在约束条件x2+4y2-4=0下，求函数f（x，y）=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值。
分析：由约束条件x2+4y2-4=0，可化为—+y2=1。
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数学联想在课堂教学中的若干思考∗Ә唐俊涛㊀㊀(吴县中学ꎬ江苏苏州㊀２１５１５１)㊀㊀摘㊀要:高中数学较之于其他学科有着独有的特点ꎬ是一门非常严谨㊁抽象的学科ꎬ在教学过程中通过适当的联想ꎬ能够唤起学生对已学知识的加速认识ꎬ同时也能够对未知内容通过现有的认知过程和经验ꎬ类比推理出知识脉络或解题思路ꎬ从而理清知识间的内在联系.文章举例说明之.关键词:数学联想ꎻ课堂教学ꎻ提升素养中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１９)０３￣０００４￣０４㊀㊀所谓的联想就是在头脑中由一种已知了解的事物想到另一种事物的心理过程.由于高中数学较之于其他学科有着独有的特点ꎬ在教学过程中通过适当的联想ꎬ能够唤起学生对已学知识的加速认识ꎬ同时也能够对未知内容通过现有的认知过程和经验ꎬ类比推理出知识脉络或解题思路ꎬ从而理清知识间的内在联系.因此ꎬ培养学生的数学联想对于数学教学㊁数学解题很有必要.教师教学要面对几十名甚至上百名思维有差异的学生ꎬ如果千篇一律地使用一种解题思路ꎬ那么很难满足所有的学生.更何况学生的想法㊁思路比较 跳跃 ꎬ方式多样ꎬ教师如果固定使用某一类教学方式㊁解题模式ꎬ不仅不能达到有效的教学目的ꎬ同时还可能制约学生的思维发展ꎬ长此以往进行类似的教学则不利于拓宽学生的解题思路.因此教师在教学过程中要鼓励学生多多发言ꎬ无论其思路的对与错㊁简与繁ꎬ都不能简单肯定与否定ꎬ要教会其分析其中的 闪光点 或 瑕疵 [１].笔者结合平时的教学ꎬ从等式结构联想㊁数与形的联想㊁构造图像的联想㊁解题通法的联想㊁讲授新知的联想等５个方面ꎬ谈谈数学联想教学对提升学生思维能力㊁促进学生解题能力的重要性.１ 等式结构的联想ꎬ串联不同 知识板块在数学解题过程中常常能见到一些已知等式ꎬ仅仅通过一些常规的处理方式ꎬ题目是不能得到解决的ꎬ需要通过一定的联想ꎬ转换解题视角ꎬ将已有的条件变换为学生所熟悉的知识情形或已经解决过的数学问题ꎬ从而串联不同的 知识板块 ꎬ达到 跨界 解题的目的.(上接第３页)数系扩充以及新数学习的过程又充满着逻辑推理与数学运算素养的培养.因此ꎬ让学生去经历数系扩充的过程ꎬ有助于学生多种素养的提升.总之ꎬ本节课试图通过历史还原㊁有脉络的思维以及过程经历使学生的数学学习更具数学本质.当然这仅仅是一个初步的尝试ꎬ还有待进一步的深入研究.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀王海青.数学史视角下 数系的扩充和复数的概念 的教学思考[Ｊ].数学通报ꎬ２０１７ꎬ５６(４):１５￣１９.[２]㊀徐章韬ꎬ汪晓勤ꎬ梅全雄.认知的历史发生原理及其教学工程化:以数学学科为例[Ｊ].数学教育学报ꎬ２０１２ꎬ２１(１):２６￣２９ꎻ４２. [３]㊀波利亚.数学的发现:对解题的理解研究和讲授[Ｍ].刘景麟ꎬ曹之江ꎬ邹清莲ꎬ译.北京:科学出版社ꎬ２００６:１３２￣１３３.∗收文日期:２０１８￣０９￣０３ꎻ修订日期:２０１８￣１０￣０８基金项目:江苏省苏州市 十三五 规划重点课题(１６０３１０１４)作者简介:唐俊涛(１９８３ )ꎬ男ꎬ江苏苏州人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.㊀㊀例１㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＲꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬａ>ｂ>０ꎬ则ｂａ２＋ｃ２的取值范围是.解法１㊀(不等式视角)由ａ＋ｂ＋ｃ＝０且ａ>ｂ>０ꎬ可得ａ＋ａ＋ｃ>ａ＋ｂ＋ｃ>ａ＋ｃ＋ａꎬ从而２ａ＋ｃ>ａ＋２ｃꎬ于是－２<ｃａ<－１２.消元构造齐次式ꎬ得ｂａ２＋ｃ２æèçöø÷２＝(ａ＋ｃ)２ａ２＋ｃ２＝１＋２ａｃａ２＋ｃ２＝１＋２ｃａ１＋ｃａæèçöø÷２ꎬ令－ｃａ＝ｘɪ１２ꎬ２æèçöø÷ꎬ得ｂａ２＋ｃ２æèçöø÷２ɤ１５ꎬ亦即ｂａ２＋ｃ２ɪ－５５ꎬ５５æèçöø÷.解法２㊀(解析几何视角)观察分析要求的结果ｂａ２＋ｃ２ꎬ发现有点类似解析几何中点到直线的距离公式.点Ｐ(０ꎬ０)到直线ａｘ＋ｃｙ＋ｂ＝０的距离ｄ＝｜ｂ｜ａ２＋ｃ２ꎬ由ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ通过分析联想可发现直线ａｘ＋ｃｙ＋ｂ＝０过定点(１ꎬ１)ꎬ由解法１可知－２<－ｃａ<－１２ꎬ即直线ｌ的斜率为－２<ｋ<－１２ꎬ利用几何图像可知ｄɤ５５ꎬ即ｂａ２＋ｃ２ɪ－５５ꎬ５５æèçöø÷.数学解题需要站在多元化的视角进行观察㊁分析ꎬ若只是局限在一个解题思路中ꎬ无论是自行独立研究的结果还是被告知的解法ꎬ则都会存在认识的局限性ꎻ若能从不同的角度去观察问题ꎬ则会得到多样化的解题思路.一道好的数学题ꎬ往往入口很宽ꎬ渠道很多ꎬ上述问题从表面上看是以不等式为背景ꎬ实则通过转化㊁迁移等方式ꎬ综合考查了解析几何中的点到直线的距离公式㊁直线的斜率等知识点.学生如果死盯着基本不等式ꎬ那是无济于事的ꎬ出题者的意图也是希望学生通过扎实的数学功底和转化技巧ꎬ将问题轻松解决.教师要重视训练学生的思维ꎬ这样才能透彻地理解㊁看清问题的本质ꎬ也有利于培养学生的解题能力㊁提升数学思维能力ꎬ这也是数学核心素养形成的必经之路.２㊀数与形的联想ꎬ提升思维简化运算数学归根结底是研究数与形的学科ꎬ数形结合也成了高中数学中最重要的思想方法之一.例２㊀已知实数ｘ１ꎬｘ２ꎬｙ１ꎬｙ２满足ｘ２１＋ｙ２１＝１ꎬｘ２２＋ｙ２２＝１ꎬｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝１２ꎬ则｜ｘ１＋ｙ１－１｜２＋｜ｘ２＋ｙ２－１｜２的最大值为.(２０１８年上海市数学高考试题第１２题)分析㊀由已知条件ｘ２１＋ｙ２１ꎬｘ２２＋ｙ２２ꎬｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２容易同向量中的模与数量积的公式关联起来ꎬ而且所求问题中｜ｘ１＋ｙ１－１｜２ꎬ｜ｘ２＋ｙ２－１｜２又可以与解析几何中的点与直线距离串联起来ꎬ由此本题的基本解题思路已经较为清晰.图１如图１ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ且点ＡꎬＢ在单位圆上ꎬＯＡңꎬＯＢң的夹角为６０ʎꎬ｜ｘ１＋ｙ１－１｜２＋｜ｘ２＋ｙ２－１｜２的几何意义为点Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)到直线ｘ＋ｙ－１＝０的距离之和ꎬ由图像可知｜ｘ１＋ｙ１－１｜２＋｜ｘ２＋ｙ２－１｜２也可以看成点ＡꎬＢ的中点Ｃ到直线ｘ＋ｙ－１＝０距离的两倍.若求其最大值ꎬ通过图像分析ꎬ则只需使得直线ＡＢ与ｘ＋ｙ－１＝０平行即可.求得满足条件的直线ＡＢ方程为ｘ＋ｙ＋６２＝０ꎬ由此ꎬ两平行直线间的距离为３２＋２２ꎬ故｜ｘ１＋ｙ１－１｜２＋｜ｘ２＋ｙ２－１｜２的最大值为２＋３.当然ꎬ这就需要教师在平日的教学中多多放手让学生去尝试ꎬ学生平时如果不去思考ꎬ那么当其独自解题时ꎬ就算给了时间让他们思考ꎬ学生也不知从何入手ꎬ只能像只 无头苍蝇到处乱撞 ꎬ就算偶尔找到了解题方法ꎬ也只能说是 瞎猫碰到死耗子 ꎬ并非必然ꎬ学生实际的解题能力并没有得到提高.换言之ꎬ数学解题中需要联想ꎬ但是也要求学生观察问题的高度要高一些ꎬ从不同的角度来观察问题ꎬ通过适当的转化将原有问题背景进行迁移ꎬ转变为另外的数学 模块 ꎬ从而找到解题的切入口.３㊀构造图像的联想ꎬ深挖问题的本质数学学科中的核心素养之一:直观想象ꎬ其主要表现就是需要学生建立形与数的联系.学生在解题中如遇到结构熟悉的等式往往可以通过构造图形ꎬ将 已有的数 与 构造的形 相结合ꎬ增强运用几何直观来思考数学问题的意识.例３㊀已知ａꎬｂɪＲ＋ꎬａ２＋ｂ２－ａｂ＝３ꎬ则２ａ＋ｂ的最大值是.分析㊀联想解三角形中的余弦定理ꎬ由ａ２＋ｂ２－ａｂ＝３可设ｃ＝３ꎬ且øＣ＝６０ʎꎬ再通过正弦定理得ａ＝２ｓｉｎＡꎬ㊀ｂ＝２ｓｉｎＢꎬ从而㊀２ａ＋ｂ＝４ｓｉｎＡ＋２ｓｉｎＢ＝４ｓｉｎＡ＋２ｓｉｎ(１２０ʎ－Ａ)＝５ｓｉｎＡ＋３ｃｏｓＡ＝２７ｓｉｎ(Ａ＋φ)ꎬ其中辅助角φ满足ｔａｎφ＝３５<３３且φɪ０ꎬπ６æèçöø÷ꎬφ<Ａ＋φ<２３π＋φꎬ即２ａ＋ｂɪ(３ꎬ２７].综上可知２ａ＋ｂ的最大值为２７.类似的题型在高中数学竞赛中也时常出现ꎬ例如:例４㊀设ｘꎬｙꎬｚ均为正实数ꎬ且满足ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＝３ꎬｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＝４ꎬｚ２＋ｚｘ＋ｘ２＝７ꎬìîíïïïï求ｘ＋ｙ＋ｚ的值.(２０１８年陕西省高中数学联赛试题第９题)分析㊀由已知的３个等式可构造余弦定理ｘ２＋ｙ２－２ｘｙｃｏｓ１２０ʎ＝(３)２ꎬｙ２＋ｚ２－２ｙｚｃｏｓ１２０ʎ＝２２ꎬｚ２＋ｘ２－２ｘｚｃｏｓ１２０ʎ＝(７)２ꎬìîíïïïï通过构造әＡＢＣꎬ使得ＡＢ＝３ꎬＢＣ＝２ꎬＣＡ＝７ꎬ且由边长可知әＡＢＣ为直角三角形.在әＡＢＣ内部存在一点Ｏꎬ使øＡＯＢ＝øＢＯＣ＝øＣＯＡ＝２３πꎬ且ＯＡ＝ｘꎬＯＢ＝ｙꎬＯＣ＝ｚꎬ由面积公式可得ＳәＡＢＣ＝ＳәＡＯＢ＋ＳәＢＯＣ＋ＳәＡＯＣꎬ即３＝３４ｘｙ＋３４ｘｚ＋３４ｙｚꎬ亦即ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ＝４.再将已知３个等式相加ꎬ可得２ｘ２＋２ｙ２＋２ｘ２＋ｘｙ＋ｚｘ＋ｙｚ＝１４ꎬ从而ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝５ꎬ(ｘ＋ｙ＋ｚ)２＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋２ｘｙ＋２ｚｘ＋２ｙｚ＝１３ꎬ故ｘ＋ｙ＋ｚ＝１３.数学解题方法是平日技巧的积累ꎬ数学思想则是解题方法的升华.解决数学问题的核心就是数学思想方法ꎬ学习数学知识同样也需要数学思想.在平日的教学中ꎬ教师应该积极引导学生自主去联想数学思想ꎬ让学生站在较高的平台上去研究数学问题ꎬ思考数学解题方向ꎬ这样学生的思维能力才能得到充分的开发与提升ꎬ从而解决数学问题就变得简单㊁自然㊁顺畅.４㊀解题通法的联想ꎬ少走弯路 直奔主题联想不仅局限在陌生题目上ꎬ对于结构类似的题目也可通过联想寻找到解题的通性通法ꎬ上面的案例往往是 由式想形 ꎬ通过已知的等式联想到解析几何的距离㊁方程等ꎬ也有很多高考题通过图像结合已知条件ꎬ让学生 由形到式 找出相应值之间的关系ꎬ从而解决相关问题.图２例５㊀如图２ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬøＡＢＣ的角平分线交ＡＣ于点Ｄꎬ且ＢＤ＝１ꎬ则４ａ＋ｃ的最小值为.(２０１８年江苏省数学高考试题第１３题)江苏省数学高考已经多次考到了利用建系处理向量数量积的问题.本题虽然并非考查向量数量积ꎬ但此图形与之前向量问题的处理方法如出一辙ꎬ都可以通过建系来作为解题突破口.建系后本题所有点的坐标都能通过ａꎬｃ来表示ꎬ再利用点ＡꎬＣꎬＤ共线得到ａꎬｃ之间的关系ꎬ找到解题的突破口ꎬ从而下面的解题就变得水到渠成了.图３分析㊀建立如图３所示的直角坐标系ꎬ可得Ａ－ｃ２ꎬ３２ｃæèçöø÷ꎬＢ(０ꎬ０)ꎬＣ(ａꎬ０)ꎬＤ１２ꎬ３２æèçöø÷.因为点ＡꎬＣꎬＤ共线ꎬ所以ｋＡＣ＝ｋＣＤꎬ代入坐标化简可得ａ＝ｃｃ－１>０ꎬ从而４ａ＋ｃ＝４ｃｃ－１＋ｃ.令ｃ－１＝ｔ>０ꎬ则４ａ＋ｃ＝ｔ＋４ｔ＋５ȡ４＋５＝９ꎬ当且仅当ｔ＝４ｔꎬ即ｔ＝２ꎬ亦即ｃ＝３ꎬａ＝３２时取到等号.在高三课堂教学中ꎬ教师肯定讲了很多有关建系的题目ꎬ但大多数题目解决的方案都是 硬塞给 学生ꎬ学生缺乏自主体验和寻求解题思路的机会ꎬ因此教师更需要让学生通过比较分析㊁总结反思出解决类似题目的 套路 .习惯成自然 ꎬ学生要养成好的思维习惯ꎬ教师也有必要帮助学生养成良好的学习习惯.好的解题习惯会让学生在不知不觉中形成好的解题思路ꎬ如上面涉及的向量㊁三角建系坐标化.正所谓:题勿需多ꎬ经典即可ꎻ法勿需杂ꎬ适用就行.５ 讲授新知识联想ꎬ类比新旧知识学习过程课堂教学中教师不可能解决所有的问题㊁讲遍所有的方法ꎬ而应该注重通过解决一类问题的方法ꎬ经过适当修正后 嫁接 到其他问题上面ꎬ这就是我们口中的联想迁移.这也是学生在学习新知识中所需要的一种重要的能力ꎬ由已有的知识学习过程类比推理出新知识的内容及研究过程.数学中的创造性需要联想ꎬ数学新知识的发现活动往往以猜想的形式呈现.联想㊁想象能使人开拓崭新的思路ꎬ开创新的探索方向和研究领域ꎬ提出新的假设和理论.从旧的方向看新的问题ꎬ需要有创造性的想象㊁联想能力.例如ꎬ学习向量的加法运算时ꎬ教师教学可以通过让学生感受 数学是充满联系的ꎬ并不是孤立的 入手ꎬ要让学生用联系㊁对比的目光来观察和研究新的知识.教师可以让学生回忆数的研究顺序:概念㊁运算㊁运算律㊁应用 因此ꎬ类比㊁联想向量的学习我们也应该选择类似的过程ꎬ首先研究加法ꎬ从而引出所要学习的新内容ꎬ让一切顺理成章ꎬ自然过渡.可是现在大部分的课堂教学都是轻视概念本身ꎬ而注重过度练习.很多教师在概念教学上不舍得花时间ꎬ导致学生的概念生成是被动的ꎬ错题订正也是被教师 牵着鼻子 走ꎬ解题也是进入了机械式的模仿ꎬ自己往往没有 自主选择 权.长期这样的教学会让学生对于题目本质的理解㊁问题所考查的方向不明确ꎬ导致在问题思路选择上出现偏差.因此现阶段教师有必要让学生更多地参与到教学中来ꎬ让其真正成为课堂的主人.要提升学生数学的联想能力ꎬ需要教师通过正确的引导ꎬ使学生习惯从不同的方向㊁视角㊁高度重新审视问题.若遇到解题障碍ꎬ则迂回前行ꎬ摸索新的解题套路ꎬ形成方法ꎬ从中提炼思想ꎬ总结经验ꎬ完善解题过程ꎬ从而达到提升素养的目的.奥苏贝尔曾经说过: 教育的本质是当学生忘却所学内容后依然能够保存下来的东西. 这也是我们教育的本源ꎬ课堂上教学生的新知识ꎬ并不是为了知识的本身ꎬ更多的是为了帮助学生找到掌握知识的方法ꎬ完善和优化学习过程ꎬ在这过程中沉淀出更高品质的数学核心素养ꎬ将数学应用到实际生活中ꎬ激发学生对学习的兴趣.数学联想能力的培养ꎬ不仅可以培养学生形成良好的学习习惯㊁掌握数学各个知识板块内的相互联系㊁抓住数学问题的本质内容㊁领悟数学学科的价值所在ꎬ同时还能让学生对数学思想方法的理解更加深刻ꎬ真正地让数学核心素养在数学课堂上生根发芽.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀单墫.解题漫谈[Ｍ].上海:上海教育出版社ꎬ２０１６.。