D7_3曲面方程
各种曲面的方程
各种曲面的方程
1. 球面方程
球面是一种非常常见的曲面，它的方程为：
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
其中，a、b、c分别为球心的坐标，r为球的半径。
这个方程描述了一个以(a,b,c)为球心，半径为r的球面。
球面在几何学中有着广泛的应用，比如在计算机图形学中，球面可以用来表示三维空间中的物体表面，比如球体、球形天体等等。
2. 椭球面方程
椭球面是一种比球面更加复杂的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的椭球面。
椭球面在几何学中也有着广泛的应用，比如在地球科学中，椭球面可以用来表示地球的形状，以及计算地球的重力场等等。
3. 双曲面方程
双曲面是一种非常特殊的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² - (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的双曲面。
双曲面在几何学中也有着广泛的应用，比如在物理学中，双曲面可以用来表示电磁场中的等势面，以及计算电场、磁场等等。
曲面方程是几何学中非常重要的一部分，它们可以用来描述各种不同形状的曲面，以及在各种不同领域中的应用。
第七章第四节常见曲面及其方程
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
高数九大曲面方程总结
高数九大曲面方程总结1. 一次曲面方程一次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数均为1。
一次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C和D为常数。
一次曲面方程描述了一个平面，可以通过平面上的一点和法向量来确定。
平面的法向量可以通过将x,y和z的系数标准化得到。
2. 二次曲面方程二次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数为2。
二次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0其中A,B,C,D,E,F,G,H,I和J为常数。
二次曲面方程可以描述各种曲面，例如椭球面、双曲面和抛物面。
通过适当选择系数，可以调整曲面的形状和方向。
3. 椭球面方程椭球面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之和相等。
椭球面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是椭球面的半轴。
椭球面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转椭球面、长轴与x轴平行的旋转椭球面和长轴与y轴平行的旋转椭球面。
通过合适选择系数，可以调整椭球面的大小和形状。
4. 双曲面方程双曲面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之差相等。
双曲面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$$或$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是双曲面的半轴。
双曲面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转双曲面、长轴与x轴平行的旋转双曲面和长轴与y轴平行的旋转双曲面。
通过合适选择系数，可以调整双曲面的大小和形状。
曲面及其方程
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
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短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
高等数学-曲面及其方程
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0)，
x2 y2 4
半径为 2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O 及 M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M ( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1
,
x 22 y 32 z 42 2
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C . （其他类推）
曲面与曲面相切判别式
曲面与曲面相切判别式曲面是几何学中的一个重要概念，指的是具有弯曲形状的平面之外的物体。
在三维空间中，我们可以通过判断两个曲面是否相切来研究它们的关系和性质。
为了判断曲面之间是否相切，我们需要依据一定的判别式来进行分析和计算。
1. 曲面与曲面相切的定义曲面与曲面相切指的是两个曲面在某一点上具有相同法线方向。
这意味着两个曲面在这一点上的切平面相同，即两个曲面的切空间重合。
2. 曲面方程的一般形式一般地，表示曲面的方程可以用以下形式表示：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是一个关于变量x, y, z的函数。
该函数决定了曲面在空间中的形状和性质。
3. 曲面方程的法向量曲面的法向量是垂直于曲面上每一点的向量，通常用n表示。
法向量的方向决定了曲面的朝向，也是我们判断曲面相切的关键依据。
4. 曲面的梯度曲面方程的梯度用∇F(x, y, z)表示，表示F(x, y, z)在点(x, y, z)处的梯度。
梯度是一个向量，其方向与曲面在该点的法向量相同。
5. 判别式的计算为了判断两个曲面是否相切，我们需要计算它们在某一点上的判别式。
判别式可以通过计算两个曲面的法向量之间的内积来实现。
具体地，判别式可以表示为：∇F1(x, y, z) ·∇F2(x, y, z) = 0其中，F1(x, y, z)和F2(x, y, z)分别是两个曲面的方程。
如果判别式为零，则说明两个曲面在该点上相切；如果判别式不为零，则说明两个曲面在该点上不相切。
6. 曲面相切的判断根据判别式的计算结果，我们可以得出曲面与曲面相切的判断。
如果在曲面方程中存在参数，我们可以将其代入判别式中进行计算。
如果判别式对所有参数值均成立，则说明两个曲面在所有点上相切；如果判别式对某些参数值不成立，则说明两个曲面在某些点上不相切。
7. 实例分析为了更好地理解曲面与曲面相切的判别式，我们来分析一个具体的实例。
假设有两个曲面的方程分别为：F1(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0F2(x, y, z) = x^2 + y^2 + z - 2 = 0首先，我们需要计算两个曲面方程的梯度。
03曲面及其方程、二次曲面
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
44
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民
2019/7/24
1
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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高等数学（下）主讲杨益民
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
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2
高等数学（下）主讲杨益民
例1 求球心在点 M 0(x0,y0,z0)半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
曲面方程及其方程
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
3. 旋转曲面
(1) 定义 一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
(2) 转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：
如图， M( x, y, z) , 1 过点M作垂直于z 轴的平面
2 点M 到z 轴的距离
d x2 y2 y1
x
z
• oMo
母线 L
y
x
•
曲面
M1 准线C
：
F ( x, z0
y)
0
反之，不在 上的点M，其在 xoy 面上的投影点M1 不在C上，从而其坐标不满足该方程.
类似地，
G( y, z) 0 : 表示母线 // x 轴的柱面. H (z, x) 0 : 表示母线 // y 轴的柱面.
小结：只含 x, y而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在空间直
M0
M
y
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
高等数学课件D37曲率
k：曲率系数
曲率系数k的计算 公式：k = 1/r
r：曲率半径的倒 数
曲线方程： y=x^3+2x^2+ 3x+4
求导： y'=3x^2+4x+3
求二阶导： y''=6x+4
计算曲率： k=|y''|/|y'|^3
PART FOUR
D37曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量 曲率越大，曲线弯曲程度越大 曲率与曲线的弧长、半径、切线斜率等几何量有关 曲率与曲线的形状、位置、方向等几何性质有关
航空导航：曲率用于 计算飞机的飞行路径， 确保飞机在飞行过程 中的安全和效率
船舶设计：曲率用于 计算船舶的航行路径， 确保船舶在航行过程 中的安全和效率
机器人控制：曲率用于 计算机器人的运动轨迹， 确保机器人在运动过程 中的安全和效率
PART THREE
D37曲线是三维空间中的一种特殊曲线，其特点是具有恒定的曲率。
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曲率变化：D37曲线的曲率变化可 以反映机械零件的应力分布和变形 情况，有助于优化设计。
曲率半径与疲劳寿命：D37曲线的曲 率半径与零件的疲劳寿命有关，可以 通过调整曲率半径来延长零件的使用 寿命。
飞机设计：D37曲线的曲率用于优化飞机的气动外形，提高飞行性能
航天器设计：D37曲线的曲率用于设计航天器的外形，提高航天器的稳定性和可靠 性
曲率是描述曲线弯曲 程度的量
运动状态包括速度、 加速度、角速度等
曲率与运动状态的关 系：曲率越大，运动 状态越复杂
曲率与运动状态的关 系：曲率越小，运动 状态越简单
曲率与运动状态的关 系：曲率与运动状态 的变化有关，如曲率 变化率与加速度有关
D73曲面方程26351
准线为xoy 面上的抛物线.
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
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一般地,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
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内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 旋转曲面
如,
曲线
f (y, z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f ( x2 y2 , z) 0
( 必要时需作图 ).
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例1. 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
如,曲面F(x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
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作业
P31 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11
第四节 目录
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�
=1
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a=b 时为旋转椭球面; 当a=b=c 时为球面.
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的截痕
3 抛物面 (1) 椭圆抛物面
z
x y + = z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面(鞍形曲面) z
2
2
y
x y + = z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
x
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y
结束
4. 双曲面 (1)单叶双曲面 (1)单叶双曲面
z
2
x y z + 2 2 = 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z = z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y = y1上的截痕情况:
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) = 0 若点 M 1 (0, y1 , z1 ) ∈ C , 则有
z
f ( y1 , z1 ) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
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1. 椭圆锥面
z
z
x y + 2 = z 2 ( a, b 为正数 ) a2 b 在平面 z = t 上的截痕为 椭圆 2 2 x y + = 1, z = t ① (at ) 2 (bt ) 2
2
2
o
xx
y y
在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P25 )
x=5
x + y =9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y = x +1
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2. P318 10 答案: 题10 答案 在 xoy 面上
z
C
o x
z
x y 2 + 2 = 1表示母线平行于 a b z 轴的椭圆柱面 椭圆柱面. 椭圆柱面
x y = 0 表示母线平行于 z 轴的平面 平面. 平面 (且 z 轴在平面上)
2
2
y
z
o
y
o
y
x
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x
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一般地,在三维空间
z
y
l1
方程 F ( x, y ) = 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
第三节 曲面及其方程
一,曲面方程的概念
二,旋转曲面 三,柱面 四,二次曲面
第八章 八
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一,曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 引例: 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM = BM , 即
( x 1) 2 + ( y 2) 2 + ( z 3) 2 = ( x 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 4) 2 化简得 2 x 6 y + 2 z 7 = 0 说明: 说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
α
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z = a (x + y )
2 2 2
x2 y2 + =1, 2 2 a b z=0
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x y z + 2 + 2 = 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
2
2
2
x
a c2
2
2
(c 2 z12 )
+
y
b c2
2
2
z
(c 2 z12 )
三元二次方程
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面 其基本类型有: 二次曲面. 二次曲面 椭球面,抛物面,双曲面,锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
y1 x z 2 = 1 2 2 a c b y = y1
2 2 2
(实轴平行于x 轴; 虚轴平行于z 轴)
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2) y1 = b 时, 截痕为相交直线: x z ± =0 a c y = b (或 b) 3) y1 > b时, 截痕为双曲线:
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2. 椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
(1)范围:
2
2
2
x ≤ a,
y ≤ b,
z ≤c
y2 z2 + =1 , b2 c2 x=0 x2 z 2 + =1 a 2 c 2 y=0
(2)与坐标面的交线:椭圆
2 2 2
x
y
z
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三,柱面
引例. 引例 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上,
z
M
表示圆C, C o M1 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 + y 2 = R 2
o
F ( x, y , z ) = 0
z
S y
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
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x
例1. 求动点到定点 方程. 解: 设轨迹上动点为 即 故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为
距离为 R 的轨迹 依题意
( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 = R
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x y +z =1 2 2 a c
2 2 2
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x +y z 2 =1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
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( p, q 同号)
练习
1. 指出下列方程的图形: 方 程
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 圆 柱面. 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 圆柱面 x + y = R 表示圆柱面
2 2 2
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定义3. 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面 C 叫做准线 l 叫做母线 柱面. 准线, 母线. 柱面 准线 母线 表示抛物柱面 抛物柱面, 抛物柱面 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.
表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 点 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹 球面 虚轨迹. 虚轨迹
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二,旋转曲面
定义2. 定义 . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线 定直线旋转 定直线 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 旋转曲面. 旋转曲面 旋转 轴 . 例如 :
M ( x, y , z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z = z1 ,
x + y = y1