一类可逆矩阵在保密通信中的应用
浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用
㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用Һ孟庆云㊀王玉雷㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类．可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活㊁有效．本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性．ʌ关键词ɔ可逆矩阵；线性变换；作用；反作用ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金面上项目 有限群的特征标与群结构 （１１７７１３５６）；河南工业大学高等代数一流课程项目（０１１２／２６５１０００２）．引㊀言从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用．然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用．我们以 榜样 这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里 榜样 是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用．可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具．本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用．１㊀实例例１㊀加密矩阵与解密矩阵图１是保密通信系统中信息传输端的简单模型．图１通常，信息用二元域上的ｎ维向量表示．在发送端，明文信息α经过加密矩阵Ｋ（ｎ阶可逆方阵）的作用（Ｋ左乘α）得到密文信息β＝Ｋα，这是加密的过程．加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别．这一过程需要解密矩阵Ｘ（即加密矩阵Ｋ的逆矩阵）的作用．具体为解密矩阵Ｘ左乘作用在密文β上，即Ｘβ＝ＸＫα＝Ｋ－１Ｋα＝α，从而将明文信息α还原．由此可看出：任意ｎ阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的．事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用．［１］例２㊀逆时针旋转矩阵与顺时针旋转矩阵记Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷，观察矩阵Ａ左乘作用在向量α上的结果Ａα，其中α＝ｘｙæèçöø÷＝ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷，α为平面上任意给定的２维向量，ｒ与φ分别表示向量α的长度与辐角．记 α＝Ａα，则 α＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷＝ｒｃｏｓ（φ＋θ）ｒｓｉｎ（φ＋θ）æèçöø÷．由此可看出：Ａ左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到 α，如图２所示．由此，我们称Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷（其中θ为任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵．图２反之，注意到矩阵Ａ可逆，且Ａ－１＝ｃｏｓθｓｉｎθ－ｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷．将Ａ－１左乘 α继续作用在α上，可得Ａ－１将 α顺时针旋转θ角变回α，如图３所示．即Ａ－１为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转．在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用．图３例３㊀沿线反射矩阵记Ａ＝１００－１æèçöø÷，观察Ａ作用在２维向量α＝ｘｙæèçöø÷上的结果Ａα＝ｘ－ｙæèçöø÷．㊀㊀㊀１５３㊀㊀图４从图４可以看出：Ａ＝１００－１æèçöø÷的作用是将向量α沿ｘ轴所在的直线进行反射．一般地，设向量ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷为任意一个单位向量，θ为向量ε与ｘ轴正向的夹角．则向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线的反射：Ｔ（α）＝２（α，ε）ε－α＝２（ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ）ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷－ｘｙæèçöø÷＝ｘ（２ｃｏｓ２θ－１）＋ｙｓｉｎθｘｓｉｎ２θ＋ｙ（２ｓｉｎ２θ－１）æèçöø÷＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷ｘｙæèçöø÷其中Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷．即矩阵Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷具有将向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线反射的作用，如图５所示．图５若记α＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷，其中：γ，φ分别为向量α的长度与辐角．显然，Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷是可逆的，其逆Ａ－１＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷＝Ａ，且Ａ－１（Ａα）＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷γｃｏｓ（２θ－φ）ｓｉｎ（２θ－φ）æèçöø÷＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷＝α．即Ａ－１＝Ａ将Ａα还原为α，从图５来看，这显然是的．值得注意的是，例２中的旋转矩阵与例３中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵．这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换．因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形．更多的图形变换如：缩放变换㊁平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵．我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵．［２］２㊀理论基础从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵Ａ提供一种作用，而Ａ的逆矩阵提供的则是与Ａ相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现．运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效．定理㊀对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵；对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵．由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的．从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性．更广泛地，对于给定数域Ｆ上的ｎ维线性空间Ｖ，记Ｖ上的所有线性变换构成的Ｆ上的线性空间为Ｌ（Ｖ）．在取定Ｖ的一组基下，我们知道：ＶɸＦｎ，Ｌ（Ｖ）ɸＭｎ（Ｆ），这里，Ｆｎ为数域Ｆ上的ｎ维向量空间，Ｍｎ（Ｆ）为Ｆ上所有ｎ阶方阵构成的ｎ２维线性空间．［３］我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用．比如：例２中的２阶旋转矩阵实现的是对２维向量空间中向量的旋转变换．由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用㊁是运动㊁是变换．而其中可逆矩阵提供可逆变换．特别地，将Ｍｎ（Ｆ）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域Ｆ上的一般线性群，记为ＧＬｎ（Ｆ）．对于一般的抽象群Ｇ，通过建立Ｇ到群ＧＬｎ（Ｆ）的同态映射，则可以赋予抽象群Ｇ中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得Ｇ有更广泛㊁丰富的内涵，由此进一步研究抽象群Ｇ的性质与结构，这便是群的表示理论．３㊀总结本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用㊁运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法．ʌ参考文献ɔ［１］熊小兵．可逆矩阵在保密通信中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（３）：１０８－１１２．［２］王志俊，姜咏梅，田记．矩阵在图形学几何变换中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１４（１）：８７－８８，９９．［３］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．。
课程思政元素融入线性代数的教学研究——以逆矩阵为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ４课程思政元素融入线性代数的教学研究课程思政元素融入线性代数的教学研究㊀㊀㊀ 以逆矩阵为例Һ张林丽１㊀张晶晶１㊀刘德兵１㊀原乃冬２㊀（１．海南大学应用科技学院，海南㊀儋州㊀５７１７３７；２．海口经济学院网络学院，海南㊀海口㊀５７１１２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ逆矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，本文基于加密电文的破解问题，运用问题驱动法和类比法构造出逆矩阵概念，激发学生的爱国热情，培养学生的创新能力；利用研究式㊁类比式和启发式的教学方法推导出矩阵可逆的充要条件和可逆矩阵的性质，培养学生科学严谨的态度，引导学生树立正确的人生观，提高学生提出㊁分析㊁解决问题的能力以及在学习中发现规律和总结规律的能力；运用启发式教学，探讨逆矩阵在求解矩阵方程和在保密通信中的应用，引导学生行事做人要遵纪守法，提高学生学习的兴趣和应用知识解决实际问题的能力．本案例将课程思政元素与线性代数知识相结合，实现了在教学中立德树人的任务．ʌ关键词ɔ线性代数；逆矩阵；课程思政元素ʌ基金项目ɔ本文系海南大学教育教学改革研究项目（项目编号：ｈｄｊｙ２１５０，ｈｄｊｙ２０７４，ｈｄｊｙ２１０６）；海南省高等学校教育教学改革研究项目（项目编号：Ｈｎｊｇ２０２１ＺＤ－７）；海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（项目编号：ＨＤＹＫＪＧ２０２００１，ＨＤＹＫＪＧ２０２００５）．线性代数是非数学类专业本科生学习的一门公共基础课程，具有内容抽象㊁知识点多和逻辑严密等特点．为了提高学生的学习兴趣，许多学者围绕线性代数教学设计进行了研究［１－４］．２０１６年，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上提出了 各类课程与思想政治理论课要同向同行，形成育才育人协同效应 之后，各高校纷纷开展关于课程思政的研究．教师在线性代数课程教学中恰到好处地增加一些思政元素，通过课程教学的精心组织和实施，既可以向学生渗透数学概念㊁公式㊁定理的形成和发展脉络，培养学生严谨务实的认识论和科学观，又可以从知识点中发掘哲学思想与元素，将一些理论内容与折射出的科学精神相融合，帮助学生树立正确的人生观㊁价值观和世界观，成为全面发展的高素质应用型人才．目前，一些研究者在这一领域进行了部分探究，指出了课程思政元素融入线性代数的必要性和重要意义［５－７］．但是目前对课程思政元素融入线性代数的研究大都着眼于理论研究层面，如何将课程思政元素融入线性代数课堂教学中，如何将课程思政落到实处仍需要进一步探索［８］．以学生为中心的教学设计，强调的是学生的主体地位，将以 教 为中心变以 学 为中心，可以提高学生学习的积极性和课堂学习效果．本文以逆矩阵这一节教学内容的讲授为例，以学生为中心进行教学模型的合理设计，实现了线性代数教学中思政元素的融入，达到了于润物无声中立德树人的教学目标．一㊁课题引入播放电视剧‘永不消失的电波“中解密电文的一个片段，视频播放完后，教师讲解到：为了保密起见，我们在发送电文时需要对电文加密，接收方再对其解密就能知道原电文的意思．以密码学中的希尔密码为例，其加密方式为：２６个英文字母 Ａ－Ｚ 一一对应于自然数 １－２６ ．比如：我们要发送一份内容为 ＡＢＣ 的明文电文，一般先使用列矩阵Ｘ＝（１，２，３）Ｔ来表示它，Ｘ称为明文矩阵；加密的方法是在Ｘ的左侧乘以矩阵Ａ，Ａ称为加密矩阵．设加密矩阵Ａ＝１１１０１１１０１æèççöø÷÷，则Ｂ＝ＡＸ＝６，５，４()Ｔ就是收到的密文矩阵．很显然，已知加密矩阵Ａ和密文矩阵Ｂ，要解密得到明文矩阵Ｘ就是求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ．今天，老师也给同学们发来一封密信：Ｂ＝９８８５６５７７５５８０１６０１１９１４５æèççöø÷÷，秘钥是：ＡＢＣＢＢＡＣＤＣ，请猜猜老师想对同学们说什么呢？想成为密码大师吗？就让我们一起来学习如何利用逆矩阵破解加密电文．设计意图：教师采用问题驱动法，将如何破解加密电文的问题作为引入，激发学生的学习兴趣．‘永不消逝的电波“是一部战争题材的影视剧，电视剧片段的播放能激发学生的爱国热情，我们现在的幸福生活是无数烈士用生命和鲜血换来的，从而勉励学生 不忘初心，牢记使命 ，为祖国的繁荣昌盛而努力奋斗．二㊁逆矩阵的定义上一节的知识内容利用待定系数法求矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的解时很麻烦，我们是否可以借鉴一下代数方程ａｘ＝ｂ求解的思想方法呢？在代数方程ａｘ＝ｂ中，当ａʂ０时，因为ａ㊃ａ－１＝ａ－１㊃ａ＝１，其解为ｘ＝ａ－１ｂ．在矩阵的运算中，单位矩阵Ｅ相当于数的乘法运算中的１，因此，为了求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ和ＸＡ＝Ｂ，希望能找到一个矩阵Ａ－１，满足ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ，使得ＡＸ＝Ｂ的解为Ｘ＝Ａ－１Ｂ，以及ＸＡ＝Ｂ的解为Ｘ＝ＢＡ－１．所以有如下定义：All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ４定义㊀［９］对于ｎ阶矩阵Ａ，如果存在一个ｎ阶矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则称Ａ为可逆矩阵，简称矩阵Ａ可逆；并称矩阵Ｂ为Ａ的逆矩阵，记作：Ａ－１，即Ｂ＝Ａ－１，于是有ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ．说明：（１）可逆矩阵是方阵；（２）Ａ，Ｂ互为逆矩阵，即Ａ－１＝Ｂ，Ｂ－１＝Ａ；（３）Ａ的逆矩阵记为：Ａ－１，不能写成１Ａ；（４）Ａ可逆，则｜Ａ｜ʂ０；（５）Ａ的逆矩阵是唯一的；（６）Ｅ－１＝Ｅ；Ｏｎ不可逆．设计意图：破解密码即求解矩阵方程，教师带领学生类比代数方程构建出逆矩阵的定义，让学生领悟到数学概念是由求解实际问题的需要而构建出来，而不是凭空产生的，帮助学生弄清逆矩阵概念的来龙去脉，激发学生的创造力，培养学生严谨㊁务实的认识论和科学观．为了强化学生对逆矩阵概念的理解，我们给出六点说明，培养学生科学严谨的态度．三㊁矩阵可逆的充要条件由Ｅ－１＝Ｅ；Ｏｎ不可逆，说明并不是每一个方阵都可逆．教师提问：（１）方阵可逆的充要条件是什么呢？我们知道方阵Ａ的行列式是一个数，类比在代数论中，数ａ 可逆 ⇔ａʂ０，是否有方阵Ａ可逆⇔｜Ａ｜ʂ０？（２）当方阵Ａ可逆时，如何来求方阵Ａ的逆矩阵呢？教师带领学生回忆上节课所讲的伴随矩阵Ａ∗的一个基本性质：ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝｜Ａ｜Ｅ，它离我们所求的ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ只有一步之遥，这一步是需要条件的，请同学们想一想应该是什么呢？进一步启发学生由ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝｜Ａ｜Ｅ推导出：Ａ可逆的必要条件是｜Ａ｜ʂ０；又因为Ａ可逆时，一定有｜Ａ｜ʂ０，于是得到教材中的定理１：定理１（可逆矩阵的判别定理）［９］ｎ㊀阶方阵Ａ可逆的充要条件是｜Ａ｜ʂ０，且当Ａ可逆时，有Ａ－１＝１｜Ａ｜Ａ∗，其中Ａ∗为Ａ的伴随矩阵．注：利用定理１求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法．设计意图：教师利用研究式和类比式的教学方法，有利于学生理解定理，同时培养学生提出问题㊁分析问题和解决问题的能力．通过定理的充分条件和必要条件的推导，培养学生严谨的科学态度．由矩阵的可逆与不可逆，引出 对立和统一 的辩证关系，因对立能由此及彼，因统一能相互利用，构成了线性代数丰富的知识体系．例１㊀已知Ａ＝１９５８æèçöø÷，求Ａ－１．总结㊀当ａｂｃｄʂ０时，ａｂｃｄæèçöø÷－１＝１ａｄ－ｂｃｄ－ｂ－ｃａæèçöø÷．口诀㊀主对调㊁次添负㊁乘行列式分之一．注意㊀此口诀只适合于二阶方阵求逆矩阵．例２㊀已知Ａ＝４－１３－２１２３－１０æèççöø÷÷，求Ａ－１．总结㊀用伴随矩阵法求逆矩阵的步骤：（１）计算行列式｜Ａ｜，当｜Ａ｜ʂ０时，方阵Ａ的逆矩阵存在；（２）求伴随矩阵Ａ∗；（３）利用公式Ａ－１＝１｜Ａ｜Ａ∗，求出Ａ－１．设计意图：让学生由一般方法总结出特殊矩阵的逆的求法公式，使计算简洁的同时又培养了学生在学习知识过程中获得的成就感．将全班分成４组，让每个小组合的学生分别计算行列式｜Ａ｜㊁伴随矩阵Ａ∗的三行，最后教师带领学生一起算出Ａ－１，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出教学重点，分散教学难点，还能让学生获得到团队合作的成就感．学生由例２的解题过程可以总结出用伴随矩阵法求逆矩阵的三步骤，在第一章学过行列式的计算，在上节课学过伴随矩阵的求法，这样就达了用旧知识解决新问题的目的．对比例１和例２的解题过程，可以看出：随着矩阵阶数的增加，用伴随矩阵法求逆矩阵的计算量将会大大增加，于是在第三章我们会介绍求逆矩阵的新方法 初等变换法．四㊁抽象矩阵可逆的判定从前边的研究中可知定义法和伴随矩阵法各有其利弊，我们将其综合起来可否找到一条捷径呢？带领学生分析：ＡＢ＝Ｅ⇔｜Ａ｜｜Ｂ｜＝１⇔｜Ａ｜ʂ０，｜Ｂ｜ʂ０⇔方阵Ａ，Ｂ都可逆，且Ｂ＝ＥＢ＝（Ａ－１Ａ）Ｂ＝Ａ－１（ＡＢ）＝Ａ－１Ｅ＝Ａ－１，所以只要满足ＡＢ＝Ｅ就能得出Ａ，Ｂ互为逆矩阵的结论．于是得到如下推论：推论㊀［９］：若同阶方阵Ａ，Ｂ满足ＡＢ＝Ｅ（或ＢＡ＝Ｅ），则Ａ－１＝Ｂ，Ｂ－１＝Ａ．此推论说明：如果要验证Ａ是否可逆，且矩阵Ｂ是否为Ａ的逆矩阵，那么只要验证ＡＢ＝Ｅ或ＢＡ＝Ｅ中的一个就行，该方法称为验证法．例３㊀设方阵Ａ满足Ａ２－Ａ－２Ｅ＝０，证明Ａ可逆，并求Ａ－１．设计意图：教师采用启发式教学，利用分析法从结论出发寻求每一步推导的思路，培养学生的逻辑思维能力，并将研究问题和解决问题贯穿教学的始终．五㊁逆矩阵的运算性质教师让学生利用推论验证：若矩阵Ａ，Ｂ可逆，常数ｋʂ０，则Ａ－１，ｋＡ，ＡＢ，ＡＴ是否可逆？并验证：（Ａ－１）－１＝Ａ，（ｋＡ）１ｋＡ－１()＝Ｅ，（ＡＢ）－１（Ｂ－１Ａ－１）＝Ｅ，（ＡＴ）（Ａ－１）Ｔ＝Ｅ，｜Ａ－１｜｜Ａ｜－１＝１．进而得出教材中逆矩阵的５条运算性质［９］：（１）若矩阵Ａ可逆，则Ａ－１也可逆，且（Ａ－１）－１＝Ａ；（２）若矩阵Ａ可逆，数ｋʂ０，则（ｋＡ）－１＝１ｋＡ－１；All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ４（３）两个同阶可逆矩阵Ａ，Ｂ的乘积是可逆矩阵，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１；注：此性质可推广到任意有限个同阶可逆矩阵的情形，即若Ａ１，Ａ２， ，Ａｎ均是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２ Ａｎ也可逆，且（Ａ１Ａ２ Ａｎ）－１＝Ａ－１ｎ Ａ－１２Ａ－１１．（４）若矩阵Ａ可逆，则ＡＴ也可逆，且有（ＡＴ）－１＝（Ａ－１）Ｔ；（５）若矩阵Ａ可逆，则｜Ａ－１｜＝｜Ａ｜－１．例４㊀若三阶方阵Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，已知｜Ａ｜＝１２，求｜（３Ａ）－１－２Ａ∗｜．设计意图：教师采用启发式教学法，让学生利用推论得出逆矩阵的５条性质，提高学生在学习中发现规律和总结规律的能力，同时培养学生缜密的思维习惯和严谨求实的科学态度．设计例４的目的是锻炼学生利用性质进行计算的能力．六㊁逆矩阵的应用（一）逆矩阵在解矩阵方程中的应用含有未知矩阵Ｘ的方程称为矩阵方程，有如下三种标准形式的矩阵方程［９］：（１）矩阵方程ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，则ＡＸ＝Ｂ有唯一解：Ｘ＝Ａ－１Ｂ；（２）矩阵方程ＸＡ＝Ｂ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，则ＸＡ＝Ｂ有唯一解：Ｘ＝ＢＡ－１；（３）矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，Ｂ为ｍ阶可逆方阵，则ＡＸＢ＝Ｃ有唯一解：Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１．例５㊀利用逆矩阵求解线性方程组４ｘ１－ｘ２＋３ｘ３＝２－２ｘ１－ｘ２＋３ｘ３＝０３ｘ１－ｘ２＝１ìîíïïï．设计意图：与引入相呼应，强调有了逆矩阵相当于矩阵有了类似于数的除法运算．解释之所以有三种标准形式的矩阵方程，是因为矩阵乘法不满足交换律，即空间位置不能变，但时间次序可以变．教师可顺势引导学生行事做人要遵纪守法．例５的求解过程用到例２的结果，设计的目的是减少课堂上计算的时间，将授课重点放在掌握解决问题的方法和数学的思维方法上．例５讲解完后，教师提问：用逆矩阵求解矩阵方程的条件和Ｇｒａｍｅｒ法则的条件是否相同呢？条件是相同的，因为方阵Ａ可逆的充要条件是｜Ａ｜ʂ０．教师继续提问：矩阵的乘法一般不满足消去律，两个非零矩阵的乘积也可能是零矩阵，即Ａ，Ｂ，Ｃ是同阶方阵，由ＡＢ＝ＡＣ不一定能推出Ｂ＝Ｃ，由ＡＢ＝Ｏ不一定能推出Ａ＝Ｏ或Ｂ＝Ｏ．今天学习了逆矩阵之后，请同学们思考一下，要使得推导关系成立，需要加什么条件呢？当方阵Ａ可逆时，在等式ＡＢ＝ＡＣ两边左乘逆矩阵Ａ－１则可得到Ｂ＝Ｃ．在等式ＡＢ＝Ｏ两边左乘逆矩阵Ａ－１则可得到Ｂ＝Ｏ．该提问的设计有利于培养学生 立体㊁全面地学 的学习习惯，以及构建前后知识的关联．（二）逆矩阵在保密通信中的应用已知加密矩阵Ａ和密文矩阵Ｂ，要解密得到明文矩阵Ｘ就是求解矩阵方程ＡＸ＝Ｂ，而当加密矩阵Ａ是可逆矩阵时，可得明文矩阵Ｘ＝Ａ－１Ｂ．所以，双方只需要事先约定好加密矩阵Ａ，当接收方收到加密电文时，利用逆矩阵Ａ－１即可进行解密．还记得前文老师发来的密信吗？它的答案是：ＩＬＯＶＥＹＯＵ．教师进一步提问：是否有其他加密方式呢？因为矩阵方程有三种标准形式，解密的过程就是求解矩阵方程的过程，所以还可以用加密矩阵Ａ右乘明文矩阵Ｘ，也可以寻找两个可逆矩阵Ａ和Ａ１，分别左乘和右乘加密ＡＸＡ１．接着，教师布置今天的一道作业题：请同学们利用今天所学的知识，尝试给老师或者同学发一封有趣的密信．七㊁小结思政元素的融入既要不失时机，又要润物无声．逆矩阵的定义㊁性质和定理中，研究的主体都是互逆矩阵Ａ和Ｂ，其实单位矩阵看似可有可无，但其可承载前所未有的重任，如ＡＡ－１＝Ａ－１Ａ＝Ｅ，承担着连接两个互逆矩阵的重要桥梁作用；在 已知Ａ２－Ａ－２Ｅ＝０，证明Ａ可逆，并求Ａ－１ 的解题过程中，等位矩阵Ｅ也是哪里需要哪里搬．教师也要引导学生树立正确的人生观，我们要做那个 Ｅ ，低调做人，认真做事，时刻准备着，哪里需要哪里去；做一名有思想㊁有抱负的人才，在祖国和人民需要的时候，做出应有的贡献．ʌ参考文献ɔ［１］冯艳刚．线性代数微课教学设计研究 以逆矩阵的定义教学为例［Ｊ］．赤峰学院学报（自然科学版），２０１８，３４（８）：１５４－１５５．［２］何俊．问题驱动教学法在线性代数课堂教学中的应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１８（４８）：１２３－１２４．［３］郑玉军，华玉春，汤琼．问题驱动教学法在‘线性代数“课程教学中的应用与实践［Ｊ］．湖南科技学院学报，２０１８，３９（１０）：５－７．［４］涂正文，吴艳秋，彭扬．线性代数课程中 逆矩阵 的教学设计与思考［Ｊ］．亚太教育，２０１５（１０）：９１．［５］孙晓青，薛秋芳，秦新强．新工科形式下 课程思政 在‘线性代数“课程中的体现［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１９（１３）：４８－４９．［６］张敬华，林玉蕊，赖尾英，等． 课程思政 在‘线性代数“课程教学改革中的研究与探索［Ｊ］．中文科技期刊数据库（全文版）教育科学，２０１９（１２）：３５０－３５１．［７］安玉娥，张东，郝瑞丽．大学数学专业课程思政化的有效路径探析 以‘高等代数“课程为例［Ｊ］．知识文库，２０２０（１３）：１０９－１１０．［８］张林丽，原乃冬，张晶晶，白忠玉．线性代数中特征值与特征向量的教学设计［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：８－９．［９］工程数学：线性代数（第６版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２０１４．All Rights Reserved.。
自可逆矩阵在hill密码算法中的应用
2019年 11月 Journal of Science of Teachers′College and University Nov. 2019文章编号：1007-9831（2019）11-0013-03自可逆矩阵在Hill密码算法中的应用杨录峰1，2（北方民族大学1. 数学与信息科学学院，2. 宁夏科学计算与智能处理协同创新中心，宁夏 银川750021）摘要：分别提出了自可逆矩阵作为加密密钥的改进Hill密码及仿射Hill密码算法，并给出了一种自可逆矩阵的构造方法．密钥矩阵的自可逆性避免了解密中逆矩阵的计算过程，降低了计算复杂度，并且改进的仿射Hill同样弥补了已知明文攻击的缺陷．关键词：Hill密码；自可逆矩阵；正交矩阵；仿射密码中图分类号：O157.4文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.11.004The application of self-invertible matrix in Hill cipher algorithmYANG Lu-feng1，2（1. School of Mathematics and Information Science，2. Collaborative Innovation Center of Scientific Computingand Intelligent Processing in Ningxia，North Minzu University，Yinchuan 750021，China）Abstract：An improved Hill cipher and an affine Hill cipher with the self invertible matrix as the encryption key are proposed respectively，and a construction method of the self invertible matrix is given．The self reversibility of the key matrix avoids the computation of the inverse matrix in decryption and reduces the computational complexity．The improved affine Hill also makes up for the shortcomings of known plaintext attacks．Key words：Hill cipher；self-invertible matrix；orthogonal matrix；affine cipher在信息时代，随着互联网等电子通信形式的日益普及，电子安全变得越来越重要．密码学是一门保护重要数据安全的学科，它在移动电话通信、付费电视、电子商务、发送私人电子邮件、传输金融信息、ATM 卡的安全性、计算机密码以及日常生活的许多方面发挥着核心作用．密码学是一门艺术或科学，它包含了将可理解的信息（明文）转换为不可理解的信息（密文），然后将该信息重新转换回其原始形式的原则和方法．在现代，密码学被认为是数学和计算机科学的一个分支，与信息论、计算机安全与工程密切相关[1-2]．密码学系统大致可分为对称和非对称2类．对称密码系统使用相同的密钥加密和解密消息，而非对称密码系统使用公钥加密消息，使用私钥解密消息．非对称密码系统也称为公钥密码系统，对称加密被称为单密钥加密．传统加密技术可以进一步分为经典技术和现代技术2大类．传统加密的特点是算法的密码或密钥是共享的，被涉及保密通信的各方所知．Hill密码是由L.S. Hill于1929年提出的一种密码体制[3]，是一种基于矩阵理论的多表替换密码和经典对称密码．Hill密码容易受到已知明文攻击[4]，使其在实践中无法使用，但它仍然在密码学和线性代数的教学中发挥着重要的作用．Hill密码是一种分组密码，相对于单表替换密码而言，它具有隐藏明文字母频率，使得传统的通过频率分析来破译密文的方法失效的一种密码体制．Hill密码的加密和解密过程仅使用矩阵乘法和逆运算，具有实现简单、加解密速度快的优点．但该算法的缺点是用于加密明文的矩阵的逆矩阵并收稿日期：2019-07-08基金项目：国家级特色专业——信息与计算科学建设经费资助项目作者简介：杨录峰（1980-），男，山东沂水人，讲师，硕士，从事信息安全研究．E-mail：ylf-sd@.不总是存在．因此，如果矩阵不可逆，加密的文本就不能解密．正交矩阵是高等代数研究及解决问题的一个重要的工具[5]，结合正交矩阵的对称性得到的自可逆矩阵，可以看作是一种特殊的正交矩阵，具有正交矩阵的良好性质，利用构造正交矩阵的方法构造自可逆矩阵，可以更好地引导学生利用已学过的基础知识，解决新的问题，既可以使学生快速地掌握新知识，又能够加深学生对基础知识的理解．本文提出了一种将自可逆矩阵作为秘钥的Hill 密码及仿射Hill 密码．自可逆矩阵保证了加密矩阵的可逆性，并且在解密时仅需要密钥矩阵的本身即为解密秘钥，提高了解密的速度．仿射Hill 密码部分克服了Hill 密码容易受到已知明文攻击的缺陷．1 自可逆矩阵定义1[6] 设A 为n 阶实方阵，若满足×=A A E ，则称A 为自可逆矩阵，即1-=A A ．对于正交矩阵A ，由正交矩阵的定义可知，1T -=A A ，因此只需要正交矩阵A 满足对称性，则即为自可逆矩阵．定理 设12, , , n e e e L 是欧式空间n R 中的一组标准正交基，h 是任一非零向量，设, 2(1, 2, , ), i i i i n =-=e e L hx h h （1）则12, , , n L x x x 也是n R 中的标准正交基，并且()12, , , n x x x L A =为自可逆矩阵．证明 因为欧式空间中标准正交基的度量矩阵为单位矩阵，容易验证12, , , n L x x x 的度量矩阵为单位矩阵，又因为度量矩阵本身即为对称矩阵，因此()12, , , n x x x L A =为自可逆矩阵． 证毕．根据定理，对于任意随机给定的非零向量与一组标准正交基，就可以生成另一组标准正交基，并且这组标准正交基按列排列即可得到相应的对称正交矩阵——自可逆矩阵． 2 改进Hill 密码Hill 密码是应用线性代数理论的密码技术，文献[7]给出了Hill 密码的原理及实现的步骤．以随机自可逆矩阵为Hill 加密矩阵的改进Hill 密码的实现原理为：Step1 明文分组．对给定的明文进行分组，使得每一组恰好有m 个字母，并将明文字母与0~25的一个数字建立一一对应关系．Step2 生成密钥矩阵．随机产生长度模26不等于零的m 维向量()12, , , m a a a =L a ，其中：{}0, 1, , 1i a m Î-L ，则由式（1）得()12, i i i e a -=-e L x a ，其中：1-L 为(), a a 模26的乘法逆元[8]，根据定理可知，()12, , , n a x x x =K L 为自可逆矩阵，将a K 作为Hill 密码的加密密钥，解密密钥也为a K ．Step3 加密过程．取(mod 26)a =×C K P （2）其中：()()1212, , , , , , , m m p p p c c c ==P C L L 分别表示长度为m 的明文列向量和密文列向量．Step4 解密过程．取(mod 26)a =×P K C （3）3 改进仿射Hill 密码Hill 密码容易遭受已知明文攻击，本文改进的Hill 密码也不例外，即窃听者如果已知m 组明文P 与对应的密文C ，根据加密公式（2），有1(mod 26)a -=K CP ，只要明文模26可逆，利用1(mod 26)a -=K CP 即可得到Hill 密码的密钥矩阵K ．当明文P 模26不可逆时，继续收集明文和相应的密文直至可逆，当m 未知时，可以尝试2, 3, 4, m =L ，直至找到密钥．结合仿射密码和Hill 密码的仿射Hill 密码克服了上述缺点，是可以同时对m 个明文字母进行加密的多表替代密码．改进仿射Hill 密码的密钥是密钥矩阵a K （正交矩阵）和向量V ，加密过程为a =×+C K P (mod 26)V ，类似地，解密过程为()(mod 26)a =×-P K C V ．第11期 杨录峰：自可逆矩阵在Hill 密码算法中的应用 15 4 数值实验例1 需要传送的明文信息为“Informationandmathematics”使用Hill 密码加密并解密．解 （1）令3m =，产生模26长度非零的随机向量(2, 1, 2)=a ，由式（1）生成随机正交矩阵（密钥）3142142142143a æöç÷=ç÷ç÷èøK ，Hill 加密后的密文为“INFSTQWREQBCBXAUDBYWURUAC”．（２）令5m =，随机向量()3, 1, 5, 5, 3=a ，密钥矩阵31812122187441812421201212420211221812123a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èøK ，此时的密文为“ATJSJYENCAVUJZUEDFCQEDGAW”．解密均可以得到原来需要发送的明文．例2 对例1利用仿射Hill 密码进行加密并解密．解 （1）当3m =时，随机向量(1, 1, 3)=a ，密钥矩阵为151416141516161623a æöç÷=ç÷ç÷èøK ，常数向量(1, 1, 3)==V a ，仿射Hill 密码加密以后的密文为“TYMRUVFYXNMJPIAVDZODNB”．（２）当5m =时，随机向量(5, 3, 1, 2, 2)=a ，密钥矩阵为211248812318101041871212810122524810122425a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èøK ，常数向量(5, 3, 1, 2, 2)==V a ，仿射Hill 密码加密以后的密文为“ZSYADPHEEKGNJLZHTLPEVB”．利用２种分组方式进行仿射Hill 密码进行解密，均可以顺利恢复出明文． 5 结论本文给出了一种自可逆矩阵作为密钥的改进的Hill 加密方法，在正交矩阵的基础上，构造出自可逆的正交矩阵作为Hill 密码的密钥，避免了传统Hill 密码解密需要求解逆矩阵的缺陷，降低了计算复杂度．改进的仿射Hill 密码克服了传统Hill 密码容易遭受已知明文攻击的弱点，提高了Hill 密码算法的安全性．这种对学生熟悉的基础知识进行延伸解密新问题的方法，起到了温故知新的作用．教学实践表明，这种方法能够更好地使学生理解Hill 密码的本质，提高了学生综合运用所学知识解决问题的能力．参考文献：[1]杨波．现代密码学[M]．北京：清华大学出版社，2017 [2]谷利泽，郑世慧，杨义先．现代密码学教程[M]．北京：北京邮电大学出版社，2015 [3] Lester S Hill．Cryptography in an Algebraic Alphabet[J]．The American Mathematical Monthly，1929，36（6）：306-312 [4]Douglas R，Stinson M B．Paterson.Cryptography:theory and practice[M]．5th Ed．Boca Raton：CRC Press，2018 [5]北京大学数学系．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2014 [6]Acharya B，Rath G S．Novel Methods of Generating Self-Invertible Matrix for Hill Cipher Algorithm[J]．International Journal of Security，2007（1）：14-21 [7]连德忠，吴文城．用MATLAB 实现HILL 密码的加密与解密[J]．龙岩学院学报，2016，32（4）：45-49 [8]任伟．信息安全数学基础——算法、应用与实践[M]．北京，清华大学出版社，2016。
《线性代数》课程思政教学设计的两个案例
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２０线性代数课程思政教学设计的两个案例‘线性代数“课程思政教学设计的两个案例Һ崔冉冉㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ课程思政教学在近年来受到高度重视．本文以 线性代数 中两节课的教学设计案例为例：在逆矩阵这节课中根据加密解密原理，以密信为例；在矩阵的初等变换这节课中，以物资配送问题为例，来探索 线性代数 教学中的课程思政建设．ʌ关键词ɔ课程思政；线性代数；逆矩阵；矩阵的初等变换ʌ基金项目ɔ河南省自然科学基金项目（Ｎｏ．１６２３００４１００６６），河南工业大学２０１９年本科教育教学改革研究与实践专项项目（ＪＸＹＪ－Ｋ２０１９４２），河南工业大学２０２０－２０２１年理学院高等教育教学改革项目．课程思政教学在近年来受到高度重视．２０１６年习近平在全国高校思想政治工作会议上强调：把思想政治工作贯串教育教学全过程，开创我国高等教育事业发展新局面．２０１７年９月，中共中央办公厅㊁国务院办公厅印发的‘关于深化教育体制机制改革的意见“中指出：健全全员育人，全过程育人，全方位育人的体制机制，充分挖掘各门课程中的德育内涵，加强德育课程㊁思政课程．２０１９年８月，中共中央办公厅㊁国务院办公厅印发的‘关于深化新时代学校思想政治理论课改革创新的若干意见“中指出：整体推进高校课程思政和中小学学科德育．建成一批课程思政示范高校，推出一批课程思政示范课程，选出一批课程思政教学名师和团队，建设一批高校课程思政教学研究示范中心．教育部印发的‘高等学校课程思政建设指导纲要“的通知（教高［２０２０］３号文件）中指出：确定课程思政建设的意义㊁任务㊁建设目标要求和内容重点等．２０２０年９月，在‘求是“杂志中，习近平指出：思政课程是落实立德树人根本任务的关键课程，实现全员全程全方位育人，既要有惊涛拍岸的声势，也要有润物无声的效果，这是教育之道．知识是载体，价值是目的，教师要把价值观渗透于知识传授之中．青少年阶段是人生的 拔节孕穗期 ，思维最为活跃，需要精心引导和栽培．在高校课程思政教学中，教师要积极探索课程思政改革，开展集体备课，并结合每节课的知识点，引入适合的案例，而不是进行简单的政治宣传．以 线性代数 中的 逆矩阵 和 矩阵的初等变换 两节课所设计的两个案例为例，介绍课程思政教学设计．在 逆矩阵 这节课中，先介绍引例：大学生小王给朋友小红发了一封密信Ｂ，用３阶矩阵来表示，这里有加密矩阵Ａ，并且满足矩阵中的数字１－２６和字母Ａ－Ｚ有一一对应关系，密信内容是什么？密文：Ｂ＝２２５２５９１２１５１５２１０æèçççöø÷÷÷㊀加密矩阵：Ａ＝０１０１００００１æèçççöø÷÷÷约定：用引例激发学生的学习兴趣，进而引导学生分析这个问题：ＡＸ＝Ｂ只要求出未知矩阵Ｘ，密信的真实内容就求解出来了．以此引入可逆矩阵和逆矩阵的定义等基本概念．然后，回归引例，继续分析：Ｘ＝Ａ－１Ｂ于是利用逆矩阵的知识，就得到了：Ｘ＝Ａ－１Ｂ＝０１０１００００１æèçççöø÷÷÷２２５２５９１２１５１５２１０æèçççöø÷÷÷＝９１２１５２２５２５１５２１０æèçççöø÷÷÷．对照字母表，得到密信内容为：ＩＬＯＶＥＹＯＵ．接下来介绍逆矩阵的应用：加密解密原理．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２０教师在布置作业时也可以发布小组讨论作业：根据逆矩阵的应用：加密解密原理，尝试给教师㊁父母或者同学写一封有趣的密信．引例设计的目的：（１）由实际应用问题密信引入，能引起学生探究密信内容的兴趣，激发学生学习的兴趣．同时，学生对知识点应用的印象会更加深刻．（２）根据加密解密原理，可以开展课程思政：加密矩阵很重要，所以从事通信保密专业的工作人员，一定要遵守职业规范，加强保密安全意识，国家安全人人有责．（３）课后作业的安排要能突出思政教育的意义：培养学生团队协作能力．在 矩阵的初等变换 这节课中，设计引例：配送物品．疫情期间，湖北省三市急需物资支援，其中孝感４０吨，武汉２１１吨，黄冈８０吨．根据实际情况，河南㊁河北㊁湖南㊁广东一次可运送物资如下．尝试设计一种运输方案，给三市配送物资．解：设河南㊁河北㊁湖南㊁广东分别运送ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４次，则有：２ｘ１＋４ｘ４＝４０，ｘ１＋９ｘ２＋５ｘ３＋６ｘ４＝２１１，２ｘ１＋ｘ３＋８ｘ４＝８０．ìîíïïïï由此引入消元法和矩阵的初等变换，化简得方程组为：ｘ１＋９ｘ２＋５ｘ３＋６ｘ４＝２１１，９ｘ２＋５ｘ３＋４ｘ４＝１９１，ｘ３＋４ｘ４＝４０．ìîíïïïï取ｘ４为自由未知数，则：ｘ１＝－２ｘ４＋２０，ｘ２＝１６９ｘ４－１，ｘ３＝－４ｘ４＋４０．ìîíïïïï取ｘ４＝ｃ，ｘ＝ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèçççççöø÷÷÷÷÷＝－２ｃ＋２０１６９ｃ－１－４ｃ＋４０ｃæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ｃ－２１６９－４１æèçççççöø÷÷÷÷÷＋２０－１４００æèççççöø÷÷÷÷（ｃɪＲ）．取ｃ＝９，则可得唯一的正整数解：ｘ１＝２，ｘ２＝１５，ｘ３＝４，ｘ４＝９．即河南㊁河北㊁湖南㊁广东分别运送２，１５，４，９次．引例设计的目的：（１）介绍疫情期间救援物资的配送问题，培养学生一方有难㊁八方支援的团结一致的精神．（２）由增广矩阵（如下）可以看到：矩阵的数字有特殊含义：Ａ－＝２００４４０１９５６２１０２０１８８０æèçççöø÷÷÷第一行２００４代表：郑州工程学院，郑州工业高等专科学校于２００４年合并组建成河南工业大学；第二行数字１９５６代表：河南工业大学始建年份；第三行２０１８代表：河南工业大学于２０１８年获批博士学位授予单位．让学生了解学校发展史，并感受线性方程组和矩阵的构造可以具有特殊含义．（３）介绍重要的数学著作‘九章算术“．全书采用问题集的形式，共２４６个问题，分成九章，其中书中的第八章 方程 采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵，解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致．成书于公元１世纪左右．在西方，直到１７世纪，莱布尼茨才提出完整的解法法则．‘九章算术“是世界上最早记录完整的线性方程组的解法的著作，以此增强学生爱国情感和民族自豪感，进而奋发学习．由以上两个例子可以看到，在线性代数教学过程，要结合实际问题设计案例，这样不仅可以让学生看到线性代数知识的实际应用，还可以更好地开展课程思政教育．ʌ参考文献ɔ［１］王翠芳．混合教学模式下线性代数课程改革探索［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（２１）：３０－３１，３３．［２］肇慧，范广慧，张宏蕃，王晓丹．‘线性代数“课程线下教学与网络线上教学相结合的研究与实践［Ｊ］．科技创新导报，２０１８，１５（２４）：２３９，２４１．［３］刘舒婷，陈梅芳，张茂胜．线性代数的案例式教学探索与应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１９（１２）：２０４－２０６．［４］徐琛梅．线性代数课程实践教学网络平台的研究和探索［Ｊ］．高等数学研究，２０１７，２０（０４）：１１７－１１９．. All Rights Reserved.。
(完整word版)矩阵分析在通信领域的应用
编号：审定成绩：重庆邮电大学矩阵分析小论文学院名称：通信与信息工程学院学生姓名：胡晓玲专业:信息与通信工程专业学号:S160101047教师：安世全时间：2016 年 12 月矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用矩阵广泛应用于通信的各个环节，例如:奇异矩阵,酉矩阵等MIMO 上的应用；可逆矩阵在保密通信上的应用；生成矩阵，监督矩阵在信道编码上的应用;Toeplitz 和Hankel 矩阵在通信信号处理中的应用等。
本文主要讨论矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用。
一、 矩阵应用于MIMO 信道我们知道MIMO 信道在不增加频谱资源和天线发射功率的情况下能显著提升系统容量，同时提高信道的可靠性，降低误码率。
是4G 和未来5G 中的一个非常重要的技术，因此对MIMO 的信道进行建模研究具有巨大的指导意义.本文首先建立了MIMO 信道模型,利用矩阵理论得出MIMO 信道简化模型，再结合信息论计算出信道容量，并得出结论.首先建立一个MIMO 信道模型,发射端通过空时映射将要发送的信号映射到多根天线上发送出去，接收端将各根天线接收到的信号进行空时译码从而恢复出发射端发送的数据信号.当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的， 这样，MIMO 系统的信道用一个n*m的复数矩阵H 描述。
H 的子元素a ij 表示从第x i （i=1，2，…n)根发射天线到第y j (j=1，2,。
m)根接收天线之间的空间信道衰落系数。
1121112222n n αααααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪H 信宿发送信号可以用一个n*1的列向量X =（x 1，x 2…。
x n )表示，其中x i 表示 在第i 个天线上发送的数据.用一个m*1的列向量Y =(y 1，y 2…y m ）表示,其中y i 表示在第i 个天线上接收的数据。
信道中的噪声为高斯白噪声n 。
通过这样一个模型,在t 时刻接收信号可以表示为：发送信号的协方差：Rxx=E[XX H ］ 发送信号的功率：P=tr （R xx ） 噪声的协方差:R nn =E[nn H ］ 接收信号的协方差：因为x 与噪声n 不相关，所以MIMO 信道容量做一般性推导下面根据信息论知识，我们对MIMO 信道容量做一般性推导。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
可逆矩阵在通信中的应用
可逆矩阵在保密通信中的应用矩阵是数学的基本概念之一。
作为线性代数的核心内容，矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。
可逆矩阵是矩阵理论中一个很重要的概念，在线性代数中，给定一个n 阶方阵A ，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E （或AB=E 、BA=E 任满足一个），其中E 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆矩阵，记作A -1。
可逆矩阵在通信中的典型应用就是在保密通信中。
保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。
我们可以用逆矩阵对所传递的明文消息进行保密措施后( 即密文消息) 发给接收方, 而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
一、算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A 的阶数（||A||=n ） , 将明文转换为n 维数向量X, 然后将X 与A 相乘得到密文Y , 既Y=AX, 再将Y 发送, 信息端接受到Y 后, 则利用密钥矩阵A -1（其中A 与A -1互为可逆矩阵）与Y 相乘, 则会得到明文X , 既: A -1Y = A - 1AX = X 。
例如 : 一个密钥矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110111A ，另一个密钥矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001-1001-1A 1-，信息发送端欲发送信息ABC 。
首先根据ASC Ⅱ码表将ABC 传为三维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=676665X ，则对应的密文⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==67133198676665100110111AX Y ，然后将密文Y 传输，当信息端接收到密文Y 时，利用解密密钥矩阵A -1，根据公式求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==676665671331981001-1001-1Y A X 1-，然后利用ASCII 码表即可解析出发送的信息为ABC 。
线性代数在数学建模中的一些应用
线性代数在数学建模中的一些应用摘要:线性代数是许多高校开设的一门重要基础理论课,作为数学的一个重要的分支,它具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。
数学建模是对实际问题进行分析,利用数学知识和方法建立数学模型,对模型求解并用于实际问题的处理。
因此,数学建模是联系数学和实际问题的重要纽带。
本文通过一些实例讨论了线性代数在数学建模中的一些重要应用。
关键词:线性代数数学建模应用随着社会的发展,数学在社会各领域中的应用越来越广泛,作用越来越大。
不但运用到自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。
不论是用数学方法解决哪类实际问题,还是与其他学科相结合形成交叉学科,首要的和关键的一步是将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来,即建立所谓的数学模型,还要将求解得到的结果返回到实际问题中去,这种解决问题的全过程称为数学建模[1]。
建立数学模型是一个比较复杂的过程,该过程可归纳为以下步棸[2]。
(1)对某个实际问题进行观察、分析。
(2)对实际问题进行必要的抽象、简化,作出合理的假设。
(3)确定要建立的模型中的变量和参数。
(4)根据某种规律,建立变量和参数间确定的数学关系,这是最关键的一步。
(5)解析或近似地求解该数学问题,这里要用到很多数学理论和方法。
(6)数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象,或用某种方法来验证结果是否正确。
(7)如果(6)的结果是肯定的,则可用于指导实践;如果是否定的,则要回到前面六步重新进行分析,并重复上述建模过程。
作为数学科学的重要分支,线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象,其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。
线性代数虽然是一门理论性很强的学科,但是它与实际问题也有着十分密切联系。
线性代数中的基本定义都是从实际问题中抽象和概括得到的,因此通过实际问题的求解来理解线性代数中的定义会更有趣更深刻。
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ−１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B−1 A−1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，…，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２…Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２…Ａｍ）−１＝（Ａｍ）−１…（Ａ２）−１（Ａ１）−１.2、若A可逆，则A−1也可逆，且（A−1）−1=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）−1=1λA−1；4、若A可逆，则A T也可逆，且（A T）−1=（A−1）T；5、(A′)−1=(A−1)′；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ−１。
例１、求矩阵Ａ＝(２２３１−１０−１２１)的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ−１存在设Ａ−１＝(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)，由定义知Ａ−１Ａ＝Ｅ，∴(２２３１−１０−１２１)(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)＝(100010001)由矩阵乘法得(２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１−ｘ２１ｘ１２−ｘ２２ｘ１２−ｘ２３−ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１−ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２−ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３)＝(100 010 001)由矩阵相乘可解得{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝−１；{ｘ１２＝−４ｘ２２＝−５ｘ３２＝６；{ｘ１３＝−３ｘ２３＝−３ｘ３３＝４故A−1=(1−4−3 1−5−3−164)㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ−１＝１|Ａ|Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。
矩阵分析在通信领域的应用论文
矩阵分析在通信领域的应用学院：电气与电子工程学院学号：____*********____*名：___**____矩阵分析在通信领域的应用【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。
矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。
本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。
关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO1、引言随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。
而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。
此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。
一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。
因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。
多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。
然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。
2、矩阵在通信领域中的应用2.1 矩阵在保密通信中的应用[2]保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。
我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
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一类可逆矩阵在保密通信中的应用
作者：梁晓雷李波党辉
来源：《理论与创新》2018年第08期
摘要：循环矩阵根据矩阵的第一行元素生成，每一行元素都是对第一行元素进行移位得到，所以循环矩阵不仅可以实现硬件电路利用最大化，还能够节省存储空间，具有较高的运算效率。
构造符合保密通信系统要求的可逆循环矩阵是一个值得研究的问题。
关键词：保密通信；可逆矩阵；应用
基本概念
首先给出一些基本概念和定义。
则称矩阵A为循环矩阵。
循环矩阵A的第一行元素确定后，该矩阵便确定下来，这不仅是数学形式上的一种简洁，更有许多良好的性质。
本文约定，循环矩阵A的首行元素为其生成元。
定义2生成多项式称多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1为循环矩阵A的生成多项式。
定义3汉明重量设α=（ω1，ω2，…，ωn）是一个向量，W（α）表示向量α=（ω1，
ω2，…，ωn）中非零元素的个数，则称W（α）为向量α的汉明重量。
汉明重量指字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，汉明重量的大小指一个字符串中的非零元素的个数。
定义4分支数设f是（F2m）n→（F2m）n的一个线性变换，则f的分支数表示为。
定义5子矩阵设A是一个n阶矩阵，则矩阵A中任意m（m
定义6最优扩散矩阵若n阶矩阵A的分支数为n+1时，该矩阵扩散性能达到最优状态，则称A为最优矩阵，或称最优扩散矩阵。
定义7可逆矩阵若矩阵A的行列式不为零，则称矩阵A可逆，或非奇异。
定义8有限域设R是一个环，如果1
1）q元有限域记为GF（q），其中，q=pn，p为素数，即有限域的元素个数只能是素数幂。
2）若f（x）满足，则f（x）为GF（q）上不可约多项式。
3）本原多项式是系数取自GF（p）上，并以GF（pn）上的本原域元素为根的一类最小多项式。
可逆矩阵的一般域构造
引理在域K上，函数f（x）没有重根，当且仅当f（x）与f'（x）没有公共根。
证明：设x1是f（x），f'（x）的一个公共根，则存在g'（x）使f（x）=（x-x1）g（x）成立；由于x1是f（x），f'（x）的一个公共根，所以f'（x1）=g（x1）+（x1-x1）g'（x1）=0；所以存在h （x）使f（x）=（x-x1）g（x）=（x-x1）2 h（x）；可见x1是f（x）的一个重根。
故函数f （x）没有重根，当且仅当f（x）与f'（x）没有公共根。
定理1在域K上，函数f（x）没有重根，当且仅当（f（x），f'（x））=1，其中，（f （x），f'（x））表示f（x）与f'（x）的最大公因式。
定理2令g（x）=xn-1，循环矩阵A可逆的充要条件是f（x）与g（x）互素，即（f （x），g（x））=1。
推论1循环矩阵A的生成元之和为0时矩阵可逆。
推论2循环矩A阵A可逆，当且仅当其所有特征值非零。
实际上由此便可得出一类可逆矩阵的构造方法，即只需要令矩阵A的特征多项式在n次单位根群上的取值非零即可得到可逆矩阵。
由推论1可知，在任何域G上，要获得可逆矩阵，其生成元之和在域G上不为零。
可逆的充分必要条件是c0+c1+c2+c3≠0。
结束语
在保密通信系统中应用的可逆矩阵其构造必须在有限域上进行，希尔算法可有效对抗字母统计规律的攻击，但在对抗差分分析和线性分析能力上不足。
利用循环矩阵构造可逆矩阵可以充分利用硬件电路，节约内存和运算资源。
本文提出的快速生成算法，可应用于小型嵌入式的设备当中。
参考文献：
[1]李兆斌，刘丹丹，黄鑫，等.基于国密算法的安全接入设备设计与实现[J].信息网络安全，2016（11）：19-27.
[2]张新文，王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（2）：166-170.。