牛顿运动定律中的临界和极值问题

牛顿运动定律中的临界和极值问题
牛顿运动定律中的临界和极值问题
动力学中的典型临界问题包括接触与脱离的临界条件、相对静止或相对滑动的临界条件、绳子断裂与松弛的临界条件以及速度最大的临界条件。

对于接触与脱离的临界条件，当两物体相接触或脱离时，接触面间弹力FN等于0.
对于相对静止或相对滑动的临界条件，当两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，此时相对静止或相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。

对于绳子断裂与松弛的临界条件，绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT等于0.
对于速度最大的临界条件，在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值。

解决临界极值问题常用方法有极限法、假设法和数学法。

极限法可以把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。

假设法常用于临界问题存在多种可能时，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时。

数学法则将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。

举例来说，对于接触与脱离类的临界问题，可以考虑以下几个例子：
例1：在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（a<g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？
例2：竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上
端与质量为3.0kg的物块B相连接。

另一个质量为1.0 ___的
物块A放在B上。

先用竖直向下的力F=120N压A，使弹簧
被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运
动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2m，取g
＝10m/s，求刚撤去F时弹簧的弹性势能？
例3：质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上
并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉A，当运动距离
为h时A与B分离。

则下列说法正确的是：A和B刚分离时，弹簧为原长；弹簧的劲度系数等于3mg/2h；从开始运动到A
和B刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小；从开始
运动到A和B刚分离的过程中，A物体的机械能一直增大。

如图所示，一根弹簧一端固定在倾角为θ的光滑斜面底端，另一端连接着质量分别为m的物块A和B。

斜面与水平面的
夹角为α，重力加速度为g。

现在用平行于斜面向上的力F拉
动物块B，使B做匀加速度运动，A、B两物块在开始一段时
间内的速度-时间关系分别对应图中的A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点）。

已知弹簧的
劲度系数为k，则下列说法正确的是（）
A．t1和t2时刻弹簧形变量分别为
$\frac{mgsin\theta+ma}{k}$和$\frac{mgcos\alpha}{k}$ B．A、B分离时$t1=\frac{2(mgsin\theta+ma)}{ak}$
C．拉力F的最小值为$mgsin\theta+ma$
D．从开始到t2时刻，拉力F逐渐增大
解析：我们可以通过速度-时间关系来解决这道题。

首先，根据题目描述，物块B做匀加速度运动，因此可以列出以下
公式：
v_B=at
其中，___表示物块B的速度，a表示物块B的加速度，t
表示时间。

根据图中的A、B图线，我们可以得到物块A的速度-时间关系为：
v_A=gcos\alpha t
因为在t1时刻，物块A、B的速度相同，所以可以列出以下公式：
gcos\alpha t_1=at_1
解得：
t_1=\frac{gcos\alpha}{a}
此时，物块A的速度为：
v_A=gcos\alpha t_1=gcot\alpha
因为物块A受到斜面的支持力，所以可以列出以下公式：mgcos\alpha=ks
其中，s表示弹簧的形变量。

因此，可以得到弹簧的形变
量为：
s=\frac{mgcos\alpha}{k}
在t2时刻，物块A的速度为0，因此可以列出以下公式：
v_A=gcos\alpha(t_2-t_1)
因为此时物块A受到弹簧的拉力，所以可以列出以下公式：
ks=mgsin\theta+ma
解得：
s=\frac{mgsin\theta+ma}{k}
因此，可以得到t2时刻弹簧的形变量为：
s=\frac{mgcos\alpha}{k}-
\frac{mgsin\theta+ma}{k}=\frac{mgcos\alpha-mgsin\theta-ma}{k} 因此，选项A正确。

根据物块B的运动情况，可以列出以下公式：
s=\frac{1}{2}at_1^2
代入t1的表达式中，可以得到：
s=\frac{1}{2}\frac{a(gcos\alpha)}{a^2}=\frac{gcos\alpha}{2 a}
因为此时弹簧的形变量为s，所以可以得到：frac{gcos\alpha}{2a}=\frac{mgsin\theta+ma}{k} 解得：
a=\frac{2(mgsin\theta+ma)}{k}
因此，选项B正确。

根据物块A的运动情况，可以列出以下公式：s=\frac{1}{2}gcos\alpha(t_2-t_1)^2
代入t1和t2的表达式中，可以得到：
s=\frac{1}{2}gcos\alpha(\frac{gcos\alpha}{a})^2=\frac{g^2c os^3\alpha}{2a^2}
因为此时弹簧的形变量为s，所以可以得到：
frac{g^2cos^3\alpha}{2a^2}=\frac{mgcos\alpha-mgsin\theta-ma}{k}
解得：
a^2=\frac{g^2cos^3\alpha k}{2(mgcos\alpha-mgsin\theta-ma)}
因此，选项D错误。

综上所述，正确答案为A、B。