浙江省绍兴一中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学

绍兴一中

一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知等差数列{}n a 中，1348a a a +==，则6a 的值是 ( )

A ．10

B ．12

C ．8

D ．16

2．在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a b c 、、，已知b 2=，30B =o

，15C =o ，

则a =（ ） A ．

B ．

C ．26-

D ．4

3．公差不为零的等差数列{}n a 中，236,,a a a 成等比数列，则其公比为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知()23,a =，()47b =-,，则b 在a 上的投影为（ ）

A B ． C D 5．已知ABC △的三个内角C B A ,,所对边长分别为c b a ,,，向量),(b a c a m -+=→

，

),(c a b n -=→

，若→m ∥→

n ，则=∠C （ ）

A ．

6π B ． 3π C ． 2

π

D ．32π

6．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，BC a b =+，2CD a b =-，若

,,A B D 三点共线，则p 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．2-

D ．1- 7．已知α是第二象限角，sin cos αα+=

，则cos 2α等于( ) A ．3-

B ．9-

C ．9

D ．3

8．已知ABC ?的三个顶点,,A B C 及所在平面内一点P 满足230BC BA PB ++=, 则

BCP ?

的面积与ABP ?的面积之比为（ ） A ．2:1 B ．3:1

C ．3:2

D ．1:2

9．在ABC ?中，已知2

2

20b bc c --=

，a =

7

cos 8

A =

，则ABC ?的面积S 为 ( ) A ．

152 B ．15 C ．8155

D ．6 3 10．数列{n a }定义如下:1a =1,当2n ≥时,21

1()

1()n n n a n a n a -+???=????为偶数为奇数,若85n a =,则n 的值为（ ）

A ．20

B ．28

C ．30

D ．40

二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分) 11．若向量)sin ,(cos αα=→

a ，))3

sin(

),3

(cos(

απ

απ

++=→

b ，则a b →→

?= ．

12．已知数列{}n a 为等比数列，且2

113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为___ ．

13．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ?的面积，

2224a b c S +-=，则角C = ．

14．已知向量,,a b c 满足20a b c -+=，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，则||=b ． 15．一货轮航行到M 处测得灯塔S 在货轮的北偏东

15相距20海里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60处，则货轮航行的速度为 海里/小时．

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，12n n a a +-=，

则33

n S n

+的最小值为 ． 17．已知平面向量,a b 满足1a =，b 与a b -的夹角是120，则2

2()b a b -?的最大值

是 ．

三、解答题（本大题共5小题，总分为49分）

18．（本题满分7分）在ABC ?中， (2,3)AB =，(1,)AC k =，若ABC ?是直角三角形.

求k 的值．

19．（本题满分10分） 已知向量2

12cos ,12x

a ω?

?=- ??

?，1,cos()3b x πω?

?=-+ ??

?，0ω>，点A 、B 为函数b a x f

?=)(的相邻两个零点，AB π=.

(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 若33)(=x f ，??

?

??∈2,0πx ，求x sin 的值；

20．（本题满分10分） 设公差为d (0d ≠)的等差数列{}n a 与公比为q (0q >)的等比数列

{}n b 有如下关系:211==b a ,33b a =,53

=b a .

(Ⅰ) 求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(Ⅱ) 记{}20321,,,,a a a a A =,{}20321,,,,b b b b B =,B A C =,求集合C 中的各

元

素之和.

21．（本题满分10分）

设锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c B C a ?=; (Ⅰ) 求角C 的大小 (Ⅱ) 若1c =，求2

2

a b +的取值范围;

22．（本题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*

n N ∈都有

33332

123+2n n n a a a a S S +++

+=，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.

(Ⅰ) 求12a a ，； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅲ)设13(1)2n a

n n n b λ-=+-?，对任意的*

n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，求实数λ的取值范围.

附加题(本大题共10分,每小题5分)

1．已知AB 是单位圆上的弦，P 是单位圆上的动点，设()f BP BA λλ=-的最小值是M ，若M 的最大值max M 满足max 3

2

M ≥，则AB 的取值范围是 ．

2．如下图的倒三角形数阵满足: ① 第一行的第n 个数,分别是1,3,5,7,9,,21n -; ② 从

第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和; ③ 数阵共有n 行; 问:第32行的第17个数是 ．

1357911 48121620 12202836

高一年级数学期中考参考答案

二、填空题（每题3分，共7题，合计21分）

11．

12 12

13 ．4

π

14

．15

．/小时 16．272 17．3

4

三、解答题：本大题共5小题，共49分） 18．23k =-

或113k =

或k = ……..7分 19．解：（1

）2

1()2cos 1cos()cos cos 232x

f x x x x x ωπωωωω=-++=+

32cos 23x x x πωωω??

=-=+ ??

?

,………..3分 由T AB 21=

=π，得22T π

πω

==

，则1ω=……………..4分 （2）由（1）得33)32sin(3)(=+

=πx x f ，则3

1

)32sin(=+πx .

由??

?

??∈2,

0πx ，得322)32cos(-=+

πx ，……………..6分 =-+

=∴)3232sin(sin ππx x 32cos )32sin(ππ+x 3

2sin

)32cos(π

π+-x 6

1

6223)322()21(31-=

?---?=

………………10分 20．解:(I)由已知???=-+=+5

)1(222232d b q d ∴0322

=-+d d 得1=d 或23-=d

又012

>+=d q ∴1=d ?2=q ∴1+=n a n , 2

12

+

=n n b ……6分

(Ⅱ)集合A 与集合B 的相同元素和为:3022224

3

2

=+++ ……10分 21

．

解

(1)

由

已

知

得

:

cos sin cos cos c B C a c B b C ?==+

sin cos C b C =

tan C ∴=

6C π∴= … …3分

（2）由正弦定理得

2sin sin sin a b c A B C === 2sin ,2sin 2sin()6

a A

b B A π

∴===+ 22224sin sin ()42)63

a b A A A ππ

?

?∴+=++=

=+-???

?… …7分

由于三角形为锐角三角形 3

2

A π

π

∴

<<

sin(2)123

A π

<-≤

2274a b ∴<+≤+ …10分

22．解：（1）令1n =，则32111+2a S S =，即3

2111+2a a a =，所以12a =或11a =-或10a =

又因为数列{}n a 的各项都是正数，所以12a =

令2n =，则3321222+2a a S S +=，即33

2121212()2()a a a a a a +=+++

解得13a =或12a =-或10a = 又数列{}n a 的各项都是正数，所以23a =… …2分 （2）

333

32

123+2(1)n n n

a a a a S S +++

+=

333

32

123111+2(2)

(2)n n n a a a a S S n ---∴+++

+=≥ 由(1)(2)-得3

2

2

11(+2)(+2)n n n n n a S S S S --=-

化简得到2

12(3)n n n a S S -=++ 2

1122(3)(4)n n n a S S n ---∴=++≥

由(3)(4)-得2

21112(2)(2)n n n n n n a a S S S S -----=++-++

化简得到2

2

11n n n n a a a a ---=+，即11(3)n n a a n --=≥ … …6分

当2121n a a =-=时，，所以11(2)n n a a n --=≥ 所以数列{}n a 是一个以2为首项，1为公差的等差数列

1(1)2(1)1n a a n d n n ∴=+-=+-=+ … …8分

（3）113(1)2n n n n b λ-+=+-?

因为对任意的*

n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，即有12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-?>+-?

化简得1

13

(1)

()32n n

λ--

当n 为奇数时，13()32n λ

λ

2λ<

当n 为偶数时，13()32n λ>-?恒成立，213()32

λ>-?，即3

4λ>-

31

42λ∴-<<

… …12分

附加题(本大题共10分,每小题5分)

1． (

2． 37

2