20届高二理科数学下学期零诊模拟考试试卷
四川省金堂中学校高2020届6月月考零诊模拟考试(理)题卷1
调查人数（x）
10 20 30 40 50 60 70 80
愿意整体搬迁人数（y） 8 17 25 31 39 47 55 66
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ （ bˆ 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工 2500 人，请预测该校
已知函数 f (x) ax2 3x ln x ，且 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
11
y ( dx)x m 平行，（其中 m 为常数， m R ）。
02
（1）求实数 a 的值； （2）求函数 f (x) 的单调减区间。
18．（本小题满分 12 分） 为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高
2 4
主视图
2所示．则其体积为（ ▲ ）
8 A． +4π
3
8 B． +8π
3
C．8+4π D．8+8π
俯视图
7．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C：y2=2px(p>0)的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，
若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p=（ ▲ ）
A．2
B． 2 2
C．4
D． 4 2
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面
内点 P 满足 PB 3PA ，则|PO|的最大值为（ ▲ ）
四川省成都市新都一中2019-2020学年高二零诊模拟练习十四数学理试题+PDF版含解析
13．计算： log9 2 log2
2
3 83
______．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 ﹣ y2 =1(a＞0)的一条渐近线方程为 y= 5 x，则该双曲线的
a2 5
2
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离心率是____.
15．已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 D1 为球心， 5 为半径的球面与侧面
BCC1B1 的交线长为________．
16．记函数
H
x
x, 2e ln x
x
x s, ,0 x
s,
若对任意的实数
k
，总存在实数
m
，使得
H
m
k
成立，则实数
s
的取值集合______.
三、解答题
17．已知函数 f (x) x2 ax 1 ln x 在 x 1处取得极值.
（1）求 f (x) ，并求函数 f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；
（2）求函数 f (x) 的单调区间. 18．某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的 1000 名消费者在端午节期间的粽子 购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值； （Ⅱ）求这 1000 名消费者的棕子购买量在 600g～1400g 的人数； （Ⅲ）求这 1000 名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代 表）．
三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A． 4 13
B． 2 13 13
C． 9 26
高二下零诊模拟数学理(理科).doc
七中嘉祥高二下零诊模拟数学试卷（理科）（时间120分钟 满分150分）命题人：郑江一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合{2,3,4,5,6},{3,5,7},P Q ==若,M P Q =⋂则M 的子集个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91；91.5B ．91；92C ．91.5 ； 91.5D ．91.5；923、设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1289,2,a a a =-+=-当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84、已知函数22()2,()log ||,f x x g x x =-+=则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为（ ）A B C D 5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C D 6、已知:p 函数2()()f x x a =-在(,1)-∞-上是减函数，21:0,x q x a x+∀>≤恒成立，则 p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题：①若//,//,m n αβ且//αβ，则//;m n ②若,//,m n αβ⊥且//αβ，则;m n ⊥③若//,,m n αβ⊥且αβ⊥，则//;m n ④若,,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则.m n ⊥ 其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18、执行如图所示的程序框图，若输出的7,n =则输入的整数K 的最大值是（ ）A ．18B ．50C ．78D ．3069、函数()cos sin )f x x x x x =+-的的图象可由()2sin 2g x x =的图象作如下哪种变换得到（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 10、设G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，若30,3aGA bGB cGC ++= 则角A =（ ）A ．90B ．60C ．45D ． 30 11、设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足00|3412|1,5x y --=则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．17[,)7+∞ C ．17[1,]7 D ． 17(,]7-∞ 12、已知21a b +=且1,b >则1a a b+的取值范围（ ） A ．(3,2)--B ．(,1-∞-C ．(3,1--D．(2,1--二、填空题：（每小题5分，共20分）13、对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB=2，采用斜二测画法作出其直观图，则直观图的面积为 ．14、在三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V -->的概率是 ． 15、若sin :sin 5:3,2θθ=则cos θ= ．16、定义一个对应法则':(,)0,0).f P m n P m n →≥≥现有点(2,6)A 与(6,2),B 点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则':.f M M →当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点'M 所经过的路线长度为 ．三、解答题（17、18、19、20、21各12分，22题10分）17、成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18、已知数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项的和,且对于任意的n N *∈,都有()241n n S a =+（1）求证:数列{}n a 为等差数列;（2）若2n n tS ≥对于任意的n N *∈恒成立,求实数t 的最大值.19、在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． （1）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；（2）求经过点A,D,E,F 的球的表面积；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．20、已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=的距离为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知,A B 是抛物线C 上的两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线的交点为M ，设线段AB 的中点为N ，证明：存在R λ∈，使得;MN OF λ=（3）在（2）的条件下，若抛物线C 的切线BM 与y 轴交于点R ，直线AB 两点的连线过点F ，试求ABR 面积的最小值.21、已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．22、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角， （1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．七中嘉祥高二下零诊模拟数学试卷答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合{2,3,4,5,6},{3,5,7},P Q ==若,M P Q =⋂则M 的子集个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：∵P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，∴M=P ∩Q={3，5}，则M 的子集个数为22=4．故选：B ．2、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91；91.5B ．91；92C ．91.5 ； 91.5D ．91.5；92【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C ．3、设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1289,2,a a a =-+=-当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：等差数列{a n }中，a 1=﹣9，a 2+a 8=2a 1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2， 所以，S n =﹣9n+=n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n 取得最小值，故选：A ．4、已知函数22()2,()log ||,f x x g x x =-+=则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为（ ）A B C D【解答】解：∵f （﹣x ）=﹣x 2+2=f （x ），g （﹣x ）=log 2|x|=g （x ），∴F （﹣x ）=f （﹣x ）g （﹣x ）=f （x ）g （x ）=F （x ），∴函数F （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，∵当x →+∞时，f （x ）→﹣∞，g （x ）→+∞，∴当x →+∞时，F （x ）→﹣∞，故选：B ．5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BCD 【解答】解：双曲线， 可得虚轴的一个端点M （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（﹣c ，0），设∠F 1MF 2=120°，得c=b ，平方得c 2=3b 2=3（c 2﹣a 2），可得3a 2=2c 2，即c=a ，得离心率e==． 故选：B ．6、已知:p 函数2()()f x x a =-在(,1)-∞-上是减函数，21:0,x q x a x +∀>≤恒成立，则 p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：p ：函数f （x ）=（x ﹣a ）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，∴﹣1≤a ，∴￢p ：a ＜﹣1．q ：∵x ＞0，∴=x+≥=2，当且仅当x=1时取等号，∴a ≤2．则￢p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．7、已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题：①若//,//,m n αβ且//αβ，则//;m n ②若,//,m n αβ⊥且//αβ，则;m n ⊥ ③若//,,m n αβ⊥且αβ⊥，则//;m n ④若,,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则.m n ⊥ 其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：由两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m 与n 平行或异面，故①错误；在②中，若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m ⊥n ，故②正确； 在③中，若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m ⊥n ，故④正确． 故选：C ．8、执行如图所示的程序框图，若输出的7,n =则输入的整数K 的最大值是（ ）A ．18B ．50C ．78D ．306【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0S=2，n=2不满足条件S ≥K ，S=6，n=3不满足条件S ≥K ，S=2，n=4不满足条件S ≥K ，S=18，n=5不满足条件S ≥K ，S=14，n=6不满足条件S ≥K ，S=78，n=7由题意，此时满足条件78≥K ，退出循环，输出n 的值为7．则输入的整数K 的最大值是78．故选：C ．9、函数()sin )f x x x =+-的最小正周期是（ ）A ．2π B ．π C ．32π D ． 2π 【答案】B10、设G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，若30,3aGA bGB cGC ++= 则角A =（ ）A ．90B ．60C ．45D ． 30【解答】解：∵G 是△ABC 的重心，∴，可得．又∵， ∴移项化简，得． 由平面向量基本定理，得，可得a=b=c ， 设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===， ∵A 为三角形的内角，得0°＜A ＜180°，∴A=30°．故选：D11、设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足00|3412|1,5x y --=则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．17[,)7+∞ C ．17[1,]7 D ． 17(,]7-∞ 【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点B 坐标为（m ，﹣m ），（m ＞0） 直线x ﹣2y=2的斜率为，斜截式方程为，由|3x ﹣4y ﹣12|=5得=1， 设d=， 则d 的几何意义是区域内的点到直线3x ﹣4y ﹣12=0的距离等于1，设到直线3x ﹣4y ﹣12=0的距离等于1的直线为3x ﹣4y+c=0，则=1，得c=﹣7或c=﹣17．要使平面区域内存在点P （x 0，y 0）满足|3x ﹣4y ﹣12|=5，则点B （m ，﹣m ）必在直线3x ﹣4y ﹣7=0的下方，即3m+4m ﹣7≥0，解得m ≥1．故m 的取值范围是：[1，+∞）．故选：A ．12、已知21a b +=且1,b >则1a a b+的取值范围（ ）A ．(2,1--B ．(,1-∞-C ．[1)++∞D ．[14)+【解答】解：由a+2b=1得，①；∵b ＞1；∴； ∴a ＜﹣1；∴； 将①带入得：；设，整理成关于a 的方程为：（2+m ）a 2﹣（1+m ）a+1=0②，该方程在（﹣∞，﹣1）上有解；若m=﹣2，a=﹣1，不符合a ＜﹣1；∴m ≠﹣2；∴方程②为关于a 的一元二次方程，在（﹣∞，﹣1）上有解；设f （a ）=（2+m ）a 2﹣（1+m ）a+1，则a 应满足：f （﹣1）=2m+4＜0（1），或（2），或（3）； 解（1）得，m ＜﹣2，解（2）得，，或，解（3）得，；又m ＜0；∴m； 由a+2b=1得，；∴； ∴；∵a ＜﹣1，b ＞1；∴； ∴一定有成立，及m ＞﹣3； m 一定满足；即； ∴只有选项A 正确．故选：A二、填空题：（每小题5分，共20分）13、对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB=2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观的面积为 4 14、在三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V -->的概率是 ．【解答】解：作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P ﹣ABC =V S ﹣ABC ，则高OP=SO ，即此时P 在三棱锥V S ﹣ABC 的中垂面DEF 上，则V P ﹣ABC ＞V S ﹣ABC 的点P 位于小三棱锥V S ﹣EDF 内，则对应的概率P=（）3=，故答案为：．15、若sin :sin5:3,2θθ=则cos θ=．【解答】解：∵==∴由二倍角的余弦可得，=故答案为：16、定义一个对应法则':(,)0,0).f P m n P m n →≥≥现有点(2,6)A 与(6,2),B 点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则':.f M M →当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点'M 所经过的路线长度为 ．【解答】解：由题意知AB 的方程为：x+y=8，设M （x ，y ），则M ′（x 2，y 2），从而有x 2+y 2=8， 易知 A （2，6）→A ′（），B （6，2）→B ′（），不难得出∠A ′OX=，∠B ′OX=，则∠A ′OB ′=，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为；故答案为．三、解答题17、18、成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解： (1)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155…………12分19、在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（1）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（2）求经过点A,D,E,F的球的表面积；（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．（1）∵=（0，2，0）又=（﹣1，2，﹣1）∴=∴异面直线所成角的余弦值为：3（2）由题意知：经过点A,D,E,F 的球的半径为1498∴球的表面积为14916π（3）假设满足条件的点P 存在，可设点P （2，2，t ），（0＜t ≤2），=（0，2，t ），=（﹣2，2，0） 平面ACP 的一个法向量为则∴取=（1，1，），易知平面ABC 的一个法向量=（0，0，2）依题意知∴|cos |==解得t=∈（0，2）∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为时，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为30°20、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解答：解：（1）直线l 的参数方程为，即．…（5分）（2）圆C 的参数方程化为普通方程为x 2+y 2=4，把直线代入 x 2+y 2=4，可得，∴，t 1•t 2=﹣2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2． …（10分）21、（1）由题，抛物线C 的方程为24(0)x cy c =>322=，解得1c =，所以抛物线C 的方程为24.x y =（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由214y x =，则12y x '=，得直线1211,22AM BM k x k x ==， 11122211:(),()22AM y y x x x BM y y x x x ∴-=--=-：，两式做差得：21112211()()22y y x x x x x x -=---又因为1122(,),(,)A x y B x y 都在抛物线C 上，故22112211,44y x y x ==，代入上式得：222111*********()()()44222x x x x x x x x x x x -=---⇒=+， 即M 的横坐标为121()2M x x x =+，又N 的横坐标为121()2N x x x =+，所以//MN y 轴，故MN 与OF 共线.所以存在R λ∈，使得.MN OF λ=（3）设2(,)(0)4t B t t ≠，则切线BM 的方程为21()42t y t x t -=-，可得2(0,)4t R -.直线24:14t BA y x t -=+，由2224144(,)44t y x A t t t y x ⎧-=+⎪⇒-⎨⎪=⎩23114114|||||1||||2|22424ABR B A t S FR x x t t t t t∴=⋅-=+⋅+=++令314()2(0)4f t t t t t =++>，则2234()24f t t t'=+-，令()0f t '=得t =，当(0,3t ∈时，()0,f t '<当(,)3t ∈+∞时，()0,f t '>所以当(0,3t ∈时，()f t单调递减；当()3t ∈+∞时，()f t 单调递增.故min ()f t f ==故ABR22、已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明． 解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x xx+=--== ………2分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x x x⋅-+⋅'==- ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔>所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …4分 （2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立[]22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'==令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x '=-≥，当且仅当1x =时取等号．所以()ln h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>．……6分 因此，2()()0h x g x x'=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，min ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ …………………8分 （3）(方法一)由（2），当1x ≥时，即12)(+≥x x f ，即12ln 1+≥+x x x ． 从而x x x 21121ln ->+-≥．………..10分 令1(1,2,,)k x k n k +==，得,22112ln ->322ln123⋅>-， …… 12ln 11n n nn +⋅>-+将以上不等式两端分别相加，得 123ln(1)2()2341n n n n +>-+++++1123ln 2()12341n n n n ∴<++++-++ ………………………14分（方法二）1=n 时，2ln 11ln-=+n < 011132212=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n猜想11ln+n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<132212 对一切*N n ∈成立。
2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)
2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{2,1,0,1}A =--，{}=≤B x x a ，A B ⊂，则a 的取值范围是（A ）(,1]-∞ （B ） (,2]-∞- （C ） [1,)+∞ （D ）[2,)-+∞ （2）已知复数z 满足(2i)2i z +=-，则z 的虚部是（A ）i 34-（B ）34-（C ）i 54-（D ）54- （3）已知向量a=(1,),=(1,2)x b x -r r，若a r -b r 与a r 垂直，则|a r |等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）3（4）设30log 2.a =，3lg0.10=b ，3010.c =，则（A ）c b a <<（B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （5）已知函数2()()af x x a x =+∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（A ）(,4)-∞ （B ）(,4]-∞（C ）(,8)-∞（D ）(,8]-∞（6）函数sin()y A x ωϕ=+的图象如右图，则,,A ωϕ的一组可能值为6π-3π2y x（A ）622π,,- （B ）12,,26π（C ）2,2,3π （D ）2,2,3π-（7）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）π320+ （B ）π324+ （C ）π220+ （D ）π224+（8）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 （A ）256 （B ）512 （C ）1024 （D ）1048576（9）在一个样本容量为30的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的41，则中间这组的频数为 （A ）15（B ）14（C ）6（D ）24 （10）祖暅原理是中国古代一个涉及几何体体积的结论：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设,A B 为两个同高的几何体.:,p A B 的体积相等，:,q A B 在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件1k k =+开始A A k =+SS A ⋅=2否 是?3<k1,0,1k A S ===结束输出S 俯视图侧视图正视图12222（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（11）圆22(4)1x y -+=的圆心到双曲线22221x y a b-=的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（A ）233 （B ） 63 （C ）477（D ）3 （12）若函数x y 2sin π=的图象与x y a log =的图象至少有12个交点，则a 的取值范围是（A ）(]141,（B ）[)∞+，14 （C ）(]71,（D ）[)∞+，7第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）（13）已知31)cos(=π-x ，0tan >x ，则=x sin .（14）某企业在2017年2月份引入高新技术，预计“用10个月的时间实现产量比2017年1月的产量翻一番”的指标．按照这一目标，甲乙丙三人分别写出在这十个月间平均增长率x 满足的关系式，依次为甲：1102x +=；乙：1012x +=；丙：10(1)2x +=，其中关系式正确的是 .（15）已知点()y ,x 满足()()13122≤-+-y x ，则其落在区域()()041≤-+-y x x 的概率等于 ．（16）为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积等于 ．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） （17）（本小题满分10分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈u r r ，设()f x m n =⋅u r r．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：1,7,1,7n n n a n n +⎧=⎨->⎩≤（*n ∈N ），数列{}n b 满足：n a n b )1(-=.（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并加以说明.（19）（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15161718有生育意愿家庭数 4 816 226（Ⅰ）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（Ⅱ）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．（20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA BEP，4AB PA==，2BE=．（Ⅰ）求证：//CE平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．（21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，有两定点(2,0) ,(2,0)A B -和两动点(0,),(0,)M m N n ，且1mn =，直线AM 与直线BN 交点轨迹为曲线W（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）若直线,AM BN 分别与直线4x =交于,C D ，在曲线W 上是否存在点E ，使得△ECD 的面积是△EAB 面积的4倍，若存在，求出E 点的横坐标，若不存在，说明理由．(22)（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈． （Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立．高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题。
2020届四川省成都市新都一中高二数学下学期零诊模拟 试题答案
2019-2020学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习六理科数学详解1．D由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3.故选：D.2．A解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<，因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.3．B根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9，故选B ．4．D ∵5tan 012A =-<， ∴A 为钝角，cos 0A <，且sin 5tan cos 12A A A ==-，22sin cos 1A A +=， 联立解得5sin 1312cos 13A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故选：D.5．Da n ＝﹣21+（n ﹣1）d ．∵从第8项起开始为正数，∴a 7＝﹣21+6d ≤0，a 8＝﹣21+7d ＞0，解得3＜d 72≤． 故选：D ．6．D如图所示，不等式组表示的平面区域为ABC ∆边界及其内部的部分， 由140x x y =⎧⎨-+=⎩，可得(1,5)A ，同理可得(2,2),(1,1)B C --， 故6,AC ABC =∆的高3h =，所以192ABC S AC h ∆=⋅⋅=，故选D.7．C1136n n S x -=⋅-，1211112333663n n n n n n a S S x x x ----⎛⎫⎛⎫∴=-=⋅--⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211,362a x S x x ∴===-∴=，故选C. 8．A 第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++；第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++； 第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A.9．C 函数1()()ln f x x x x =+，定义域为{}0xx ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x >故选：C。
成都七中度高二(下)零诊模拟考试理数
成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)时间: 120 分钟 满分:150 分一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.121i z i i-=++，则z 的虚部为 A.iB.3iC.11:10l x ay +-=与直线2:10l ax y ++=平行，则a=A.0B.1C.-13.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为B.C.10()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x R ∈时，()0 f x '>是“()f x 单调递增”的A.充要条件C.必要不充分条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a=（ ）A.0B.8C.122x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为( ) A.14x =- B.12x =-C.1x =-D.2x =-lg y x =的图象经过变换10:2x x y y ϕ''⎧=⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x = A.1lg x -+B.1lg x +C.3lg x -+D.3lg x +8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是C.丙1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且,22πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x y l +=的最短距离为 A.0 B.15C.25π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(x ，y)，且要求x ，y 均小于1；再统计x 、y 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(x ，y)的个数m ；最后利用统计结果估计π值.假如某次实验结果得到m=28，那么本次实验可以将π值估计为 A.227B.4715C.7825D.531711.点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB=BC=2，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ； ③sin cos αβ=：④12r >A.1B.2C.3()1sin(11)x f x e x =--在[0,)+∞上的零点个数为A.1B.2C.3二、填空题:共4道小题,每题5分，共20分.13.命题“0tan x x x ∀>>，”的否定为_____________.()cos x f x x =的图象在x π=处的切线方程为_____________. 15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为____________.16. 双曲线2222:1(,0)x y H a b a b -=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF 内切圆半径为r ，若223PF r ≥∣，则双曲线H 的离心率的取值范围为______. 三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+- (1)求()1f '-、()1f 的值；(2)求()f x 在[0,2]上的最值.18.（12分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5.(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率.（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立关于x 的回归方程(a ，b 的值精确到0.01)，并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元.参考数据:其中ln i i v y =,5115i i v v ==∑ 参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线ˆˆˆwu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i n i i u w nw unu β=-=-=-∑∑，ˆˆw u αβ=- 19.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且AB=AC=2,D 为11B C 的中点，1122AA BC ==. (1)证明:1//AC 平面1A BD ;（2）求平面1AB C 与平面1AA D 所成锐二面角的余弦值20.（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为0.已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q.当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ 面积的最大值.21.(12分）设函数()x f x e ax =-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；(2)若函数f(x)有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围. 22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和sin 4x πρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且二者交于M ，N 两个不同点. (1)写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若点P 的极坐标为(2,),||||PM PN π+=a 的值.。
2020年下学期高二年级摸底检测试卷数学科试卷解析版
2020年下学期高二年级摸底检测试卷数学科试题总分：150分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.其中第1～10小题,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,第11、12小题为多选题,少选得3分,多选或错选得0分) 1．已知命题“若p ，则q ”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（ ） A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝1．C.解析：依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若p ，则q ”的逆否命题“若q ⌝，则p ⌝ ”是真命题，故应选答案C ．2．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，编号为2~32的学生样本中被抽到的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．17 D ．182．B.解：由于所抽的样本容量为6，所以每段有10个数据，故有3个被抽取到。
3.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点G,用AG 为半径作圆,则圆的面积介于25π cm2到64π cm2之间的概率是( )A. B. C. D.3.C. 因为以AG 为半径作圆,面积介于25π cm2到64π cm2之间,则AG 的长度应介于5 cm 到8 cm 之间.∴所求概率P(A)=.4.54x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，x 的系数为 （ ） A ．20B ．-20C ．5D ．-54.A. 因为 54x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的第1r +项为()()5355255414rr rrr rrC x C xx ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由3512r -=可得4r =，所以展开式中x 的系数为()4451420C -⋅=. 5.已知随机变量X 所有可能取值的集合为{-2,0,3,5},且P (X=-2)=,P (X=3)=,P (X=5)=,则P (X=0)的值为( ) A.0B .C .D .5.C 因为由分布列的性质可知,P (X=0)=1-P (X=-2)-P (X=3)-P (X=5)=.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (单位:吨)与相应的生产能耗y (单位:吨标准煤)x 3 4 5 6 y2.5344.5线性回归方程为y=0.7x+a ，则A.0.32B.0.33C.0.34D.0.356.D.因为由题中数据可知=4.5,=3.5.=3.5-0.7×4.5=0.35.7．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量超过9.8kg 的概率为（ ）（精确到0.0001） 注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974． A.0.0228 B.0.9544 C.0.9772 D.0.0456 7．C 【解析】∵袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ， ∴1(9.8)(1(9.810.2))2p p ξξ<=-<<1(1(1020.11020.1))2p ξ=--⨯<<+⨯1(10.9544)0.02282=-=.1-0.0228=0.9772，故选择C. 8.中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种8.D (1)若甲选《春秋》，则有133318C A =种情况； (2)若甲不选《春秋》，则有233336A A =种情况；所以5名同学所有可能的选择有183654+=种情况.故选D9．已知函数()x f x x e -=⋅，21()ln 2g x x x a =-+，若12,[1,2]x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2211ln 22,2e e ⎛⎫+--⎪⎝⎭ B ．2211ln 22,2e e ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦C ．2112,ln 222e e ⎛⎫--+⎪⎝⎭D ．2112,ln 222e e ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦9．B 解：因为函数()x f x x e -=⋅，21()ln 2g x x x a =-+， ()(1)0x f x e x -'∴=-<，()f x 在区间[1,2]上是单调减函数，所以221(),e e f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 211()0x g x x x x-'=-=>，()g x 在区间[1,2]上是单调增函数，所以1(),2ln 22g x a a ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦， 由于12,[1,2]x x ∃∈使得()()12f x g x =， 所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⋂==∅，当{|()}{|()}y y f x y y g x =⋂==∅时，得222ln 2e a -+<或112a e <+， 所以22ln 22e a <+-或11e 2a >-， 所以()()f x g x ⋂≠∅，得2211ln 22,e e 2a ⎡⎤∈+--⎢⎥⎣⎦．故选：B ．10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞B ．[]1,3-C ．(),22⎡-∞⋃+∞⎣D ．22⎡-+⎣10．D 由题得直线AB 的方程为01y x -=-即y=x-1,设A 1122(,),(,)x y B x y ， 联立2121221610614y x x x x x x x y x=-⎧∴-+=∴+=⋅=⎨=⎩所以1212121132222x x y y x x ++-+-===，|AB|=23641181-+⋅= 所以AB 为直径的圆E 的圆心为（3,2），半径为4. 所以该圆E 的方程为22(3)(2)16x y -+-=.所以点D 恒在圆E 外，圆E 上存在点P,Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E 上存在点P,Q ，使得DP ⊥DQ ，显然当DP,DQ 与圆E 相切时，∠PDQ 最大，此时应满足 ∠PDQ 2π≥，所以2222(32)(2)EP DEt =≥++-，整理得2430t t --≤.解之得 2727t -≤≤+，故选D.11．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论正确的是A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%11．ABC 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选ABC ．12．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法错误的是( ) A. 至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B. 若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C. 对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D. 若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关 12．ABC 【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选ABC ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中16题第一空1分，第二空4分.把答案填在题中横线上)13.．已知实数x 、y 满足1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.13.．252.作出不等式组1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立36010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得9272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域内的点97,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距最大，此时，目标函数2z x y =+取得最大值，且max 97252222z =⨯+=. 故答案为：252. 14.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 .14..多面体为一个三棱锥，高为2，底面为底为3高为2的三角形，所以体积为11223=232⨯⨯⨯⨯15.某医院为防控新冠疫情，安排5名医生到某县的3个乡镇进行帮扶，要求每个乡镇至少安排1名医生，且1名医生只去一个乡镇，则不同的安排方法有________. 15.解：根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，若分为1、1、3的三组，有C 53＝10种方法， 若分为1、2、2的三组，有＝15种方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3所学校，有A 33＝6种情况， 则25×6＝150种安排方法；16．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，构成新数列，新数列第12项为__________.则此数列的前55项和为_________.16.15;4072. 因为构成新数列为2、3、3、4、6、4、5、10、10、5、6、15、20...... 原每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 行和为S n 1212n -==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12行的和为S 12＝212﹣1=4095，因此新数列前55项的和为S 12﹣23＝4072.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10分)在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有75人更爱看综艺类节目，另外25人更爱看体育类节目；男同学中有45人更爱看综艺类节目，另外55人更爱看体育类节目. （1）根据以上数据完成22⨯列联表：（2）试判断是否有99.9﹪的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”. 临界值表：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++17.解：（1）根据题目中的数据填写22⨯列联表；（2）2200(75552545)18.7510.82812080100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99.9﹪的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”.18. (本小题满分12分)某市一所医院在某时间段为发烧超过38C 的病人特设发热门诊，该门诊记录了连续5天昼夜温差x (C )与就诊人数y 的资料： （人）(1)求(),i i x y ()1,2,,5i =的相关系数r ，并说明昼夜温差(C )与就诊人数y 具有很强的线性相关关系.(2)求就诊人数y (人)关于出昼夜温差x (C )的线性回归方程，预测昼夜温差为9C 时的就诊人数.附：样本(),i i x y ()1,2,,i n =的相关系数为()()niix xy y r --=∑||0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系.回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆnniii ii inniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 5.10≈10.30≈ 18.．(1)()181013127105x =++++=，()11825282717235y =++++=， 250352436510.985.1010.30r --++⨯+⨯+--==≈⨯，0.75r >，昼夜温差x （c ）与就诊人数y 具有很强的线性相关关系．(2)因为()()51(2)(5)023524(3)(6)51iii x x y y =--=-⨯-+⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，()52222221=(810)(1010)(1310)(1210)(710)26i i x x =--+-+-+-+-=∑，所以51ˆ 1.9626b=≈，ˆ2319.6 3.40a =-=，所以ˆ 1.96 3.40yx =+， 当9x =时，ˆ 1.969 3.4021.04y=⨯+≈， 由此可以预测昼夜温差为9C 时的就诊人数大约为21人左右.19. (本小题满分12分)近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.19．（1）仅使用A 支付方法的30名学生中， 金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35， 且X 的所有可能值为0、1、2. 则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=， 所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=； （2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.”假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==. 我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.20.(本小题满分12分)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.20解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元；（2）由题意知()17.40,6.92X N ~（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101k kk C p P k p ξ-=-=， 从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯- 得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.21.(本小题满分12分)已知函数()ln (0)f x a x x a =->．（1）当e a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的零点个数．21．（1）当e a =时，()eln f x x x =-， 则e ()1f x x'=-，(1)1f =-，(1)e 1f '=-，（2分） 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．（4分）（2）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x-'=-=， 当0x a <<时()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在x a =处取得最大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，（6分）当0e a <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；（7分）当e a =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；（8分）当e a >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，（10分） 易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0x h'x x -=<， 所以函数()h x 在(e,)+∞上单调递减，则()2lne e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <， 所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．（11分）综上，当0e a <<时，函数()f x 无零点；当e a =时，函数()f x 有唯一零点；当e a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）22.(本小题满分12分)已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
四川省成都市新都一中2019-2020学年高二下学期零诊模拟练习五数学理试题+PDF版含详解
则 m ，故正确；故选：D
11．D
设抛物线 C：x2＝4y 的准线上任意一点 P(m, 1) ．
点 P 作抛物线的切线 PA，PB，设切点分别为 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 A，B 是抛物线上的点知 x12 4y1 ， x22 4y2
x2＝4y⇒ y 1 x2，y 1 x ，
P（1，0）代入可得： t3 at a 3t2 a (1 t) ，解得： t 3 或 t 0 ， 2
所以 k1
f (0)
a 和 k2
f ( 3) 2
27 4
a，
因为
k1
k2
3 4
，即
27 4
2a
3 4
，即
a
3 ，所以
f
( x)
3x2
3.
当 x 2 时， f (x) m(x 2) 恒成立，即 f (x) m 恒成立， x2
则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和为 AB，
数形结合知当 AB 为通径时最小，最小值是 2p＝4．故选：D．
答案第 3 页，总 10 页
12．C
设切点坐标为 t,t3 at a ，由题意知 f (x) 3x2 a ，切线的斜率 f (t) 3t2 a ，
所以切线方程为： y t3 at a 3t2 a (x t) ，
由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为： 2 1 ， 10 5
故选：A．
9．C
设 OA OB OC OP | r ，
OP xOA yOB zOC 1 x2 y2 z2 ，
答案第 2 页，总 10 页
(x y z)2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz 3(x2 y2 z2 ) 3，
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(八)(理科)
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（八）（理科）一．选择题（5×12=60分）1．若C=C，则n=（）A．5 B．6 C．5或2 D．5或62．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）X 1 2 3 4P mA． B． C．D．3．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：办理业务所需的时间Y/分1 2 3 4 5频率0.1 0.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（）A．0.22 B．0.24 C．0.30 D．0.314．随机变量X～B，那么D（4X+3）的值为（）A．64 B．256 C．259 D．3205．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．46．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A．A55•A42种 B．A55•A52种 C．A55•A62种 D．A77﹣4A66种7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子所得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的情况下，方程x2+mx+n=0有实根的概率是（）A． B． C． D．8．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．9．某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A．312 B．288 C．480 D．45610．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种11．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种12．（x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160二．填空题（4×5=20分）13．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P （ξ≤0）=．15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．16．已知n为正整数，在二项式（+2x）n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．（1）求n的值；（2）判断展开式中第几项的系数最大？三.解答题（第17题10分，18-22每题各12分）17．已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+a n的值．18．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ++≥3．19．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．20．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．21．某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？22．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10售价16 13 9.5 7 4.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）23．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.89710.828 K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=80 b=对商品不满意c=d=10合计n=20024．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．参考答案与试题解析一．选择题（5×12=60分）1．若C=C，则n=（）A．5 B．6 C．5或2 D．5或6【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据组合数的性质，由C=C，得2n﹣5=n+1，或（2n ﹣5）+（n+1）=11，求出n的值．【解答】解：∵若C=C，∴2n﹣5=n+1，或（2n﹣5）+（n+1）=11；解得n=6或n=5．故选：D．2．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）X 1 2 3 4P mA． B． C．D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．3．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：办理业务所需的时间Y/分1 2 3 4 5频率0.1 0.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（）A．0.22 B．0.24 C．0.30 D．0.31【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，分别计算各个事件的概率，利用互斥事件概率加法公式，可得答案．【解答】解：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P=0.1×0.1+0.1×0.4+0.1×0.3+0.4×0.1+0.4×0.4+0.3×0.1=0.31，故选：D4．随机变量X～B，那么D（4X+3）的值为（）A．64 B．256 C．259 D．320【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】利用二项分布的方差的性质求解．【解答】解：∵随机变量X～B，∴Dξ=100×0.2×0.8=16，∴D（4X+3）=16Dξ=16×16=256．故选：B．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c ﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c=2，所以选B．6．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A．A55•A42种 B．A55•A52种 C．A55•A62种 D．A77﹣4A66种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，先排大人，有A55种排法，分析可得，去掉头尾后，有4个空位，再用插空法，将2个小孩插在4个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．【解答】解：先排大人，有A55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A42种排法，由分步计数原理，有A42•A55种不同的排法，故选A．7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子所得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的情况下，方程x2+mx+n=0有实根的概率是（）A． B． C． D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件（m，n）共包括以下11种情况：（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），（6，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6）．方程x2+mx+n=0有实根需要满足：△≥0，即m2﹣4n ≥0，其中只有其中7种情况满足△≥0，利用古典概率概率计算公式即可得出．【解答】解：基本事件（m，n）共包括以下11种情况：（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），（6，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6）．方程x2+mx+n=0有实根需要满足：△≥0，即m2﹣4n≥0，其中只有以下7种情况满足△≥0：（5，5），（6，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6）．由古典概率概率计算公式可得：在先后两次出现的点数中有5的情况下，方程x2+mx+n=0有实根的概率P=．故选：C．8．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个．∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D．9．某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A．312 B．288 C．480 D．456【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对体育课的排法分2种情况讨论：①、若体育课排在上午第三、四节和下午第一节，②、若体育课排在下午第二节，每种情况下分析音乐和其他4门课程的排法数目，计算可得每种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，体育不排在上午第一、二节，则体育课只能排在上午第三、四节和下午第一、二节，分2种情况讨论：①、若体育课排在上午第三、四节和下午第一节，体育课有3种排法，音乐与体育课不相邻，体育课前后2节课不能安排音乐，有3种排法，将剩下的4门课全排列，安排其余的4节课，有A44=24种排法；此时有3×3×24=216种排法；②、若体育课排在下午第二节，音乐与体育课不相邻，音乐课不能排在下午第一节，有4种排法，将剩下的4门课全排列，安排其余的4节课，有A44=24种排法；则此时有4×24=96种排法；故不同的排法总数为216+96=312种；故选：A．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况，则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选：C．11．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据分类计数原理，本题需要分两类，AC同色，和AC异色，问题得以解决，【解答】解：当AC同色时，有2=48种，当AC异色时，有=24种，根据分类计数原理得，不同的涂色方法共有48+24=72种．故选：D．12．（x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．【解答】解：（x+﹣2）5的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣2）r，0≤r≤5，对于，它的通项为•x5﹣r﹣2k，令5﹣r﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r，故当r=1，k=2；或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为•（﹣2）•+•（﹣8）•+（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B．二．填空题（4×5=20分）13．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）= 2．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）．【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==2．故答案为：2．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P （ξ≤0）=0.16．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率．【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．故答案为：0.768．16．已知n为正整数，在二项式（+2x）n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．（1）求n的值；（2）判断展开式中第几项的系数最大？【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）根据题意列出方程++=79，解方程即可；（2）设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值．【解答】解：（1）根据题意， ++=79，即1+n+=79，整理得n2+n﹣156=0，解得n=12或n=﹣13（不合题意，舍去）所以n=12；…（2）设二项式=•（1+4x）12的展开式中第k+1项的系数最大，则有，解得9.4≤k≤10.4，所以k=10，所以展开式中第11项的系数最大．…三.解答题（第17题10分，18-22每题各12分）17．已知，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+a n的值．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n﹣5）（n﹣6）=90，解可得：n=15或n=﹣4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由得：n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=56•即（n﹣5）（n﹣6）=90解之得：n=15或n=﹣4（舍去）．∴n=15．（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1﹣2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令x=0得：a0=1，∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2．18．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： ++≥3．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，求m的值，分类讨论，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．又f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]，故m=3．所以f（x）+f（x+2）＞0可化为：3﹣|x﹣2|+3﹣|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．①当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜6，∴x＞﹣4，又x≤﹣2，∴﹣4＜x≤﹣2；②当﹣2＜x≤0时，﹣x+x+2＜6，∴2＜6，成立；③当x＞0时，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．综上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集为：{x|﹣4＜x ＜2}…（Ⅱ）证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，因为（++）（a+b+c）≥（b+c+a）2，所以++≥3…19．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【考点】DA：二项式定理．【分析】（1）由二项式定理，可得（﹣）n的展开式的通项，又由题意，可得当r=5时，x的指数为0，即，解可得n的值，（2）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得（﹣）n的展开式的通项为=，又由第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，解可得n=10，（2）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，令，可得r=2，所以含x2项的系数为，（3）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，若T r+1为有理项，则有，且0≤r≤10，分析可得当r=2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为．20．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．故m的最小值为3．…（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3．∴或或∴或．…21．某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意甲乙两人必须相邻的站法，把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，且甲、乙的位置还可以互换根据分步计数原理，得到结果．（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式（3）若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；【解答】解：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，且甲、乙的位置还可以互换∴不同站法有A44•A22=48种．（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式．∴不同站法有A33•C42A22=72种．（3）优先考虑甲：若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；∴不同站法有A44+C31C31A33=78种．22．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10 售价16 13 9.5 7 4.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求线性回归直线方程为…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）…L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）…x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减…所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…23．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.89710.828 K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=80 b=40120对商品不满意c=70d=10 80合计15050n=200【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80 40 120 对商品不满意70 10 80合计150 50 200…2分K2=≈11.111＞10.828 …4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=0.63=；P（X=1）=C31•0.4•0.62=；…7分P（X=2）=C32•0.42•0.6=；P（X=3）=C33•0.43=．…9分X的分布列为：X 0 1 2 3P…10分②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72 (12)分．24．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，则“男生甲闯关成功”为事件，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×××=1﹣=；（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，则P（B）=×××=，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；且P（X=0）=×=，P（X=1）=•••+•••=，P（X=3）=•••+•••=，P（X=4）=×=，P（X=2）=1﹣=；∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．第31页（共31页）。
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(十)(理科)
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（十）（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B． C．e D．﹣e3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A． B．C．D．6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B．C． D．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为．10．展开式中的常数项是．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1=；p2=．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：复数=．故选A．2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B． C．e D．﹣e【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得其导数f′（x），将x=﹣1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣x，则f′（x）=﹣e﹣x，则f′（﹣1）=﹣e﹣（﹣1）=﹣e；故选：D．3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）=，P（B）=，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p=1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=1﹣=．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A． B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S=（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=，故选：C6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2×2=4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D．7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B．C． D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．【解答】解：函数，∴f′（x）=1﹣cosx；令f′（x）=0，解得cosx=，又x∈[0，π]，∴x=；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）=﹣sin=﹣1，f（0）=0，f（π）=π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．【考点】62：导数的几何意义．【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在x=2处的导数值．【解答】解：∵y=∴y′=﹣则y′=﹣∴曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．故答案为：﹣10．展开式中的常数项是24．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•24﹣r•（﹣1）r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项是24，故答案为：24．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1=；p2=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由Eξ=2，利用离散型随机变量ξ的分布列，列出方程组，由此能求出解得p1，P2．【解答】解：∵Eξ=2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P2=．故答案为：，．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，②、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33=6种情况，则此时有3×2×6=36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33=6种情况，则此时有1×1×6=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：42．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）或﹣1．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（0）＜0，进而验证a=﹣1与a=0时是否符合题意，即可求答案．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣2ax+1，a≠0时，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，当a=﹣1时，f′（x）=﹣3x2+2x+1=0，在（﹣1，0）上恰有一根x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0，函数无极值点，综上，a∈（﹣∞，﹣）或a=﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣）或﹣1．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为0；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】①若a=e，可得b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x ﹣ax求出导数和单调区间，可得b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a﹣b的最小值．【解答】解：①若a=e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax的导数为y′=e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x=lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna的导数为f′（a）=lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a=时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，利用数学归纳法证明可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1=1，，则a2=×a1+1=4，a3=×a2+1=9，a4=×a3+1=16，a5=×a4+1=25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，用数学归纳法证明：①、当n=1时，a1=12=1，即n=1时，a n=n2成立，②、假设n=k（k≥1）时，结论成立，即a k=k2，n=k+1时，a k+1=×a k+1=（k+1）2，即n=1时，结论也成立，根据①②可得：a n=n2成立．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•=，故甲至少命中1次的概率为1﹣=．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）=，∴p=．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•=，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••=，故两人共命中3次的概率为+=．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣1时，f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，x=2是极小值点，极小值是f（2）=﹣4；（Ⅱ）f′（x）=3x2+6ax=3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max=f（2）=12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，故f（x）max=f（0）=0或f（2）=12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max=f（0）=0．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）=，从而求出P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）===∴P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）=1﹣=，整理，得：x2﹣29x+120=0，解得x=5或x=24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX=．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣==，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h （x）递减．可得h（x）在x=处取得极小值，且为最小值，且h（）=+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）=ax2+bx的导数为f′（x）=2ax+b，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，可得2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），则u′（m）=，当m＞e时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m=e处取得极小值，且为最小值，且u（e）==﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到函数g（x）在（1，+∞）的零点个数，求出方程在（1，+∞）的解的个数即可；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，根据函数的单调性求出函数的最小值，h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0=a ﹣alna≥0，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣a=（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）=xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）=﹣a＜0，g（a+1）=ae a+1﹣a=a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）=xe x﹣﹣a= [（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）=0，则（x﹣1）e x﹣a=0，由（Ⅱ）得g（x）=（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a=0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：x （1，x0）x0（x0，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）递减极小值h（x0）递增∴函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a=0，得x0﹣1=，故h（x0）=•﹣aln=a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。