中考数学专题复习课件：圆与证明
1.已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的取 大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.
a P A
d
●
O
B
A
a
P
●
O d
B
d a r . 2
d a r . 2
2.已知:P是⊙O内的一点,PO=3,⊙O的半径等 于5.求过点P的最短弦的长度.
●
A
O D ● P
B
过点P的最长弦是直径,最短弦是垂直于过点P的 直径的弦.
O B
A
C
9.圆锥展开图的妙用：
（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯 开口圆的直径EF长为10cm．母线 OE(OF)长为10cm．在母线 OF 上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的 点E处沿圆锥表面爬行到 A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
O
A
E
F
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦 称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距. 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径 分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称 为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆. 9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆. 10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧. 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个 交点,像这样的角,叫做圆周角. 13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交 的角称为弦切角.
P
ห้องสมุดไป่ตู้
B
O
T
A
如图：连接OT
PT PB ∵ PA=18, PT=12, PB=8, 可得 PA PT 且∠P为公共角，
P
则有△PBT∽△PTA ， ∴∠A=∠PTB, ∵AB为直径， ∴∠ATB=90°， ∵AO=OT , ∠A=∠OTA , 又∠A=∠PTB . ∴∠OTA+∠OTB=∠PTB+∠OTB=90° ， 即∠PTO=90°∴ PT⊥OT , ∴T 为⊙O上一点， ∵OT 为半径， ∴PT为⊙O的切线。
11.（08，南通）已知：如图，M是 弧AB的中 点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径 为4 cm，MN= 4 3 cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．
A O N
M
C B
解：（1）连结OM． ∵点M是弧AB的中点， A ∴OM⊥AB． 过点O作OD⊥MN于点D, 由垂径定理， 1
内含
2
2
两圆相交 两圆内切
R-r < d < R+r.
d = R-r;
两圆内含
d < R-r;
五、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧 . C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理三角形”
C D
A
O
E
B
解：（1）直线BD与⊙O相切 证明：如图1，连结OD．
OA OD A ADO C 90 CBD CDB 90 CBD A ADO CDB 90 ODB 90
∴直线BD与⊙O相切．
A O E D
C
B
（2）若AD : AO 8 : 5，BC 2，求BD的长.
一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长 称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆 心的圆记作⊙O,读作“圆O”. 2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大 小. 3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是 圆心. 5.圆的旋转不变性.
如图2，连结DE．
∵AE是⊙O的直径，
C D
ADE 90 ,
AD : AO 8 : 5, AD 4 cos A , AE 5 C 90 , CBD A, BC 4 cos CBD , BD 5 BC 2, 5 BD . 2
3.直线与圆的位置关系量化揭密.
圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
直线和圆相交
直线和圆相切
d < r;
d = r;
直线和圆相离
d > r;
四、圆与圆的位置关系
1.外离、外切、相交、内切、内含.
相切
●
相交
●
相离
●
O
O1
●
2
A
O
E
B
如图 2
二、点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有三种： 点在圆外,点在圆上,点在圆内. 2.点与圆的位置关系的数量[点 到圆心的距离(d)与半径(r)]关系：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d＞ r d＝ r d＜r
三、直线与圆的位置关系
1.相交、相切、相离.
●
O
●
O
●
O
相交
相切
相离
2.直线和圆有惟一公共点(即直线 和圆相切)时,这条直线叫做圆的切 线,这个惟一的公共点叫做切点.
O 10
8
A
2
F
E
10.某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量 该湖的半径，小杰和小龙沿湖边选取A , B , C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 m，A 到BC的距离为 50 m，，请你帮他们求出滴 水湖的半径。
O B A 图1 C
A D O B C
E B
A D O C
A D E C
O B
3.如图，在⊙O中，∠ABC=55°，
则∠D= 125°, ∠AOC= 110° .
若点 E 为 ⊙O 上任一点，则 ∠AEC的度数是多少？
5.练习１如图, ⊙O切PB于点 B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径————— 6.如图：PA,PC分别切圆O于 点A,C两点,B为圆O上与A,C 不重合的点,若∠P=50°,则 ∠ABC=___
B
O
A
P
C B
O A
P
7. 已知R t △ABC的斜边AB=8cm， AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径 R= cm时，AB与⊙O相切.
B
此题关键是求出圆心 C 到直线AB的 距离d，也就是求出R t △ABC斜边上的高，
8 d A 4 C
常用方法是面积相等法.
8.在△ABC中，∠ABC＝50°， ∠ACB＝75°， （1）若点O是三角形的内心 （2）若点O是三角形的外心 分别求出∠BOC的度数。
解：将圆锥沿OE展开，可得如图所示， 已知
1 1 EF OE 10 5 2 2 n r l n 90 180 EOF 90 EA EO 2 OA2 EO 10cm, OA 8cm EA 102 82 2 41cm.
2.垂径定理的逆定理
在下列五个条件中:① CD是直 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ④AC=BC, 径, ② CD⊥AB,③ AM=BM,
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
3.垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
六、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦 心距相等.
O
O1
●
O
●
O1
2
2
外切 相交
● ●
外离
● ●
O O1
2
O O 1
内含
内切
2
上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相 离三类
3.圆与圆的位置关系量化揭密
R
●
O
r
●
O1
外离
R
●
O
r
●
O1
外切
2
2
两圆外离
R
●
d > R+r; 两圆外切
r
●
d = R+r;
Rr
● ●
O
O1
相交
R
2
r
● ●
O O1
内切
O O 1
C
┓
┓ A
九、三角形与圆
1.定理 不在一条直线上的三个点确定一 个圆. 2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做 三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接 三角形. 3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的 内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线 的的交点,叫做三角形的外心. 5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点,叫做三角形的内心.
得MD
O D C M B
N
2 在RtODM 中，OM 4，MD 2 3 OD OM 2 MD 2 2， MD 3 2 cm． 故圆心O 到弦 MN 的距离为
MN 2 3，
（2）c o s ∠OMD＝ OM 2 , ∴∠OMD＝30°，∴∠ACM=90°－30°＝60°.
B
O
T
A
14. （08，北京）已知：如图，在 R t △ABC中，∠C=90°， 点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC 、 AB分 别交于点D、E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
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2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)高品质版
∠BAC=40°，则
∠BOC=_8_0_°
5.如图，已知⊙O中，弧AD= D
O
弧BC，∠DCA=30°
则∠BAC= __3_0_°___.
若⊙O的直径AB=4，则
C
B
AD=___2____.
点与圆的 位置关系
O C
A B
点A在圆上 点B在圆外 点C在圆内
d ＝r d＞r d＜r
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数 ）个，经过A、B两
点的圆（ 无数 ）个，若AB=6则经过A、B两点的
圆的半径r的取 值范围是（ R≥3
）
（2）经过三角形的三个顶点有且只有（ 一） 个
圆 ，若AB=3，AC=5，BC=4则三角形的外接圆的
圆心在（ AC的中点 ），半径是（ 2.5 ）。
直线与圆 相交
PA=PB ∠APO= ∠BPO ∠AOP= ∠BOP
圆与圆的 位置关系
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r 10.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm， 两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
4.如图，在⊙O中，若已知
中考数学复习课第21讲 与圆有关的位置关系课件
(1)证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， 1 ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠DCB＝2∠DCM， 2 ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180° ， 1 1 ∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠DCB)＝ × 180° ＝90° ， 2 2 ∴∠BOC＝180° －(∠OBC＋∠OCB)＝90° ， ∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOM＝∠BOC＝90° ， 即MN⊥MC且MO是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线；
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠MNC＋∠CND＝90° ， ∴∠MCN＋∠NCD＝90° ， 即MC⊥CD，∴直线CD是⊙M的切线．
(2)解：∠CDP的大小不会发生变化． 理由如下： 由三角形的外角性质可知∠CDP＝∠CAP＋∠APD， 1 1 ∵∠CAP＝ ∠COP，∠APD＝ ∠CPO， 2 2 1 1 1 ∴∠CDP＝∠CAP＋∠APD＝ ∠COP＋ ∠CPO＝ (∠COP＋∠CPO)＝45° ， 2 2 2 ∴∠CDP的大小不会发生变化，且∠CDP＝45° .
∴MN＝9.6 cm.
4. (2017· 天水)如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是 弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接 OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
(1) 证明：连接OB，如解图所示， ∵E是弦BD的中点，∴BE=DE， 1 OE⊥BD， ， 2 ∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90° ， ∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC， ∴∠OBE＋∠DBC＝90° ，∴∠OBC＝90° ， 即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB， ∴OC＝ ＝10，
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠MNC＋∠CND＝90° ， ∴∠MCN＋∠NCD＝90° ， 即MC⊥CD，∴直线CD是⊙M的切线．
(2)解：∠CDP的大小不会发生变化． 理由如下： 由三角形的外角性质可知∠CDP＝∠CAP＋∠APD， 1 1 ∵∠CAP＝ ∠COP，∠APD＝ ∠CPO， 2 2 1 1 1 ∴∠CDP＝∠CAP＋∠APD＝ ∠COP＋ ∠CPO＝ (∠COP＋∠CPO)＝45° ， 2 2 2 ∴∠CDP的大小不会发生变化，且∠CDP＝45° .
∴MN＝9.6 cm.
4. (2017· 天水)如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是 弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接 OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
(1) 证明：连接OB，如解图所示， ∵E是弦BD的中点，∴BE=DE， 1 OE⊥BD， ， 2 ∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90° ， ∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC， ∴∠OBE＋∠DBC＝90° ，∴∠OBC＝90° ， 即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB， ∴OC＝ ＝10，
2025年中考数学一轮复习+课件：第二十九讲++与圆有关的位置关系
(3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵已知☉O是等边三角形ABC的外接圆,
∴点O是等边三角形ABC的外心,
∴CE⊥AB,∠1=∠2=30°.
∴∠ADC=∠BDC=90°,
又∵AC=BC,CD=CD,
∴Rt△ACD≌Rt△BCD(HL).
答案:∠1(答案不唯一)
,
∴=
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD,
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD;
(3)过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,∴Q,F,P分别为该内切圆与
第二十九讲
与圆有关的位置关系
必备知识·夯根基
【知识要点】
1.点与圆的位置关系
(1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:
点P在圆外⇔________;点P在圆上⇔________;点P在圆内⇔________.
d>r
d=r
d<r
(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__________圆.
(1)见切点,连半径,得垂直:若已知中出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直
关系.
(2)无公共点,作垂直,证半径,得切线:在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件
中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线
段的长等于半径.
(3)有公共点,连半径,证垂直,得切线:当已知条件中明确指出直线与圆有公共点
;
【解析】(1)∠DCE(答案不唯一)
【解析】(1)∵已知☉O是等边三角形ABC的外接圆,
∴点O是等边三角形ABC的外心,
∴CE⊥AB,∠1=∠2=30°.
∴∠ADC=∠BDC=90°,
又∵AC=BC,CD=CD,
∴Rt△ACD≌Rt△BCD(HL).
答案:∠1(答案不唯一)
,
∴=
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD,
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD;
(3)过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,∴Q,F,P分别为该内切圆与
第二十九讲
与圆有关的位置关系
必备知识·夯根基
【知识要点】
1.点与圆的位置关系
(1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:
点P在圆外⇔________;点P在圆上⇔________;点P在圆内⇔________.
d>r
d=r
d<r
(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__________圆.
(1)见切点,连半径,得垂直:若已知中出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直
关系.
(2)无公共点,作垂直,证半径,得切线:在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件
中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线
段的长等于半径.
(3)有公共点,连半径,证垂直,得切线:当已知条件中明确指出直线与圆有公共点
;
【解析】(1)∠DCE(答案不唯一)
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
中考数学复习第六章圆第一节圆的基本性质课件
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC， ∴∠5＝∠6，∵∠3＝∠2， ∴△AED∽△CEB.
8.(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD， 若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( A ) A.65° B.55° C.50° D.75°
C
D
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半
(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE.
13.如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于 点E. (1)求证：∠BAC＝∠BCE； (2)若∠BAC＝60°，BC＝2 ，求⊙O的半径．
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
B
2.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于 点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( C ) A.50° B.100° C.130° D.150°
3.(2024·临夏州)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD的度数为( D ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
(1)证明：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DCE＋∠BCE＝90°， ∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°， ∴∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠BCE.
C
90°
6.(2024·龙东)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ 65° .
7.(2023·贵州)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交A B于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：∠1(答案不唯一)，图中与△ACD全等的三角 形是 △BCD ； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
中考数学复习方案 第六单元 圆 第26课时 圆的有关性质课件
的圆心为D,若点A,E,B在同一(tóngyī)直线上, ∠CAB=54°,设∠ABC=θ,那么θ=
24°
高
频
考
向
探
究
图26-6
第十六页，共四十八页。
.
基
础
知
识
巩
固
题组二 易错题
【失分点】
同(等)圆中,同(等)弧或弦所对的圆周角大于“圆外角”;不能灵活运用圆周角定理及其推论,且
忽略分类(fēn lèi)讨论.
∠OCB=60°,∠COB=45°,则 OC 的长是
高
频
考
向
探
究
图26-12
第二十九页，共四十八页。
.
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
[答案] 3+1
[解析]连接 AB,设△ OCB 的外接圆圆心为 M,则 AB 为☉M 的直径.
Rt△ ABO 中,∠BAO=∠OCB=60°,∴OB= 3OA= 3 × 2= 6.
高
频
考
向
探
究
6.如图 26-7,已知 AC 是☉O 的直径,点 B 在圆周上(不与 A,C 重合),点 D 在 AC 的延
长线上,连接 BD 交☉O 于点 E,若∠AOB=3∠ADB,则(
A.DE=EB
B. 2DE=EB
C. 3DE=DO
D.DE=OB
)
图26-7
第十七页，共四十八页。
基
础
知
识
巩
固
过点 B 作 BD⊥OC 于点 D.
2
Rt△ OBD 中,∠COB=45°,则 OD=BD= OB= 3.
中考数学复习与圆的切线有关的证明与计算课件
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过 切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
中考数学专题复习圆的基本性质课件人教版
中考总复习 8.1 提高 No.13
选择填空题答案
中考总复习 8.1 答案
8.1 课中检测
8.1 课后检测 1-5 DCADD
A
中考总复习 8.1 课中 No.3
中考总复习 8.1 课中 No.4
中考总复习 8.1 课中 No.5
E
中考总复习 8.1 课后
中考总复习 8.1 课后 No.1D中来自总复习 8.1 课后 No.2
C
中考总复习 8.1 课后 No.3
A
中考总复习 8.1 课后 No.4
D
中考总复习 8.1 课后 No.5
D
中考总复习 8.1 课后 No.6
中考总复习 8.1 课后 No.7
中考总复习 8.1 课后 No.8
中考总复习 8.1 课后 No.9
中考总复习 8.1 课后 No.10
中考总复习 8.1 课后 No.11
中考总复习 8.1 提高 No.12
中考总复习 8.1 提高 No.12
中考总复习 8.1 提高 No.13
中考总复习 8.1
中考总复习 8.1例题
中考总复习 知识填空
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中考总复习 8.1检测
中考总复习 8.1 课中
中考总复习 8.1 课中 No.1
B
中考总复习 8.1 课中 No.2