北师大版九年级上册数学第四章(复习题)图形的相似复习课件
复习检测（4/8）
在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. 若S△AEF=6cm2,则S△CDF =
54
cm2
18_cm2 S△ADF=___
D F A E B C
复习检测（5/8）
如图, 等边⊿ABC，点D、E分别在BC、AC上,且 BD=CE，AD与BE相交于点F. (1)试说明⊿ABD≌⊿BCE. (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由. (3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.
BC , AB AC
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AC
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的 黄金分割点,AC与AB的比 AC (或BC与AC的比) BC
AB
AC
称为黄金比.
AC BC 黄金比 AB AC
5 1 0618. 2
比例练习
a b c 1、已知 且3a-2b+c=18, 5 7 8
a c ab cd 合比性质: 如果 , 那么 . b d b d
a c e m 等比性质: 如果 , b d f n
a c e m a 那么 b d f n 0. b d f n b
黄金分割 A C B
如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
8 5 或 △ABC相似,那么AF=________ 5 2
A E .
D
C B
F1 F2
A
B C 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9,
6 则 AC=______
D
B C
复习检测（2/8）
在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P 为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是 __________________. （ 0，1.5）或（0，2/3） y
·P C · · O B
·A
x
复习检测（3/8）
B
如图, 线段AC、BD相交于点O，要使 A △AOB∽△DOC， 已经具备的条件是____________,还 D 需要添加条件是_________或 ___________或________。 如图，△ABC中，D是AB上的一 点，AD=4，AC=6，当 AB=_____时，△ACD∽△ABC， 它们的相似比是______， S△ACD：S△BCD=______。 O C A
图形的相似复习
线段的比 如果选用一个长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么两条线段的比为
a m a：b=m：n或 b n
其中a,b分别叫做这个线段比的前项和后项.
m a 如果把 表示成比值k , 那么 k , 或a k b. n b
成比例线段 在四条线段中 ,如果其中两条线段的比等于 另外两条线段的比 ,那么这四条线段叫做成 比例线段,简称比例线段． 四条线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d.
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫 作相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形性质
性质1 相似多边形的对应边成比例．
性质2 相似多边形的对应角相等．
性质3 相似多边形周长的比、对应线段比，对应三 角形的周长比都等于相似比，相似多边形面积的比等 于相似比的平方.
位似图形
性质2 相似三角形的对应角相等．
性质3 相似三角形周长的比、对应线段的比等于相 似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形判定
三、相似三角形的判定 判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似． 判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似． 特殊定理 两边对应成比例的两个直角三角形相似．
位似变换，位似的图形． 取定一点O，把图形上每一个点P对应到射线 OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′=kOP (k≠0)，点O对应到它自身，这种变换叫作位似变换， 点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过 位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形. P’ 利用位似变换可以把一个图形 放大或缩小
求3a+2b-c的值。
2a b 4 2、若 3a b 11
则
ab a 2b
的值是多少？
3、在某平面图上，一矩形公园的长为7cm、 宽为5cm，则此平面图的比例尺为1：20000， 这个公园的实际面积是多少
黄金分割练习
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠B=45° 点D是线段AB的黄金分割点吗？ C
CD AD AD AB
A
D
B
相似三角形概念
一、基本概念
1.相似的图形． 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图 形是与原图形相似的．
2.相似三角形． 三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个 三角形叫作相似三角形.相似三角形的对应边的比叫 作相似比．
相似三角 形性质
二、相似三角形的性质
性质1 相似三角形的对应边成比例．
a c 或 .其中a,d为比例外项;b,c为比例内项 b d
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相 同,即a∶b=b∶c(或表示为b2=ac),则线段 b叫a,c的比例中项．
比例的性质
a c 如果 那么ad bc. b d 基本性质: a c 如果ad bc, 那么 . b d
比例的变形: 横竖、上下都可比，交叉只能乘.
D
F
C
A
E
B
复习检测（8/8）
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点 P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发 向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两 地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？CQ NhomakorabeaB
P
A
复习检测（6/8）
一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近 一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上， 如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面 部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?
复习检测（7/8）
P B O A
B’
A’
相似三角形模型
A A A B A
O
D E C B D E CC D C
找出所有 相似的三 角形
D
B
B
条件：DE∥BC 找相似三角形 并写出对应边 的比
请补充一个条 件使得： △ADE∽ △ACB 并写出对应边 的比
条件：AB∥CD 找相似三角形 并写出对应边 的比
复习检测（1/8）
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北师大版初中数学九年级上-册第四章相似三角形(复习)(共29张PPT)精选全文
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
故选A.
考点聚焦
归类探究
回归教材
Байду номын сангаас中考预测
相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用
命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 ∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．
图22－4
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
考点聚焦
归类探究
回归教材
探究四 位似 命题角度： 1. 位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图．
例 4 在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，
以原点 O 为位似中心，相似比D为12，把△EFO 缩小，则点 E 的对应
点 E′的坐标是( )
A．(－2，1)
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
探究五 相似三角形与圆
命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 例5 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
相似三角形判定定理的证明课件北师大版九年级数学上册
九年级上册数学（北师版）
第四章 图形的类似
*4.5 类似三角形判定定理的证明
复习导入 问题：类似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形类似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形类似. ③ 三边对应成比例，两三角形类似.
探究新知
1 证明类似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形类似的条件，本节
E
)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行
线，交 AC 于点 E，
B
则∠B =∠ADE，∠C =∠AED，
∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两
个三角形类似).
B'
A' C C'
∴ AB AC . AD AE
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，AD
=
A′B′，
∴ AB = AC . ∴ AC = AC .
2
这两个直角三角形类似．
6DBiblioteka BC2练一练
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°， 根据下列各组条件判定这两个三角形是否类似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： 类似 ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： 类似 ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： 类似 .
C
∴ AB = 4.
DA
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2， 当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 类似．
A 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，
第四章 图形的类似
*4.5 类似三角形判定定理的证明
复习导入 问题：类似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形类似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形类似. ③ 三边对应成比例，两三角形类似.
探究新知
1 证明类似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形类似的条件，本节
E
)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行
线，交 AC 于点 E，
B
则∠B =∠ADE，∠C =∠AED，
∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两
个三角形类似).
B'
A' C C'
∴ AB AC . AD AE
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，AD
=
A′B′，
∴ AB = AC . ∴ AC = AC .
2
这两个直角三角形类似．
6DBiblioteka BC2练一练
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°， 根据下列各组条件判定这两个三角形是否类似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： 类似 ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： 类似 ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： 类似 .
C
∴ AB = 4.
DA
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2， 当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 类似．
A 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似专题一本章易错点例析课件
黄金分割
定义及相关 概念
续表
一般地，如果两个类似多边形任意一组对应顶点P， 位似多边形 P′所在直线都经过同一个点O，且有OP′=k·OP 的定义及相 （k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，
关概念 点O叫做位似中心.实际上，k就是这两个类似多边形的 类似比
画位似图形的步骤：
图形的位似
位似图形的 画法
1.两角分别相等的两个三角形类似; 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形类似; 3.三边成比例的两个三角形类似
续表
类似三角形
性质定理
利用类似三 角形测高
1.类似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线的比都等于类似比; 2.类似三角形的周长比等于类似比，面积比等于类似 比的平方
1.利用阳光下的影子测高; 2.利用标杆测高; 3.利用镜子的反射测高
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段 成比例
续表
类似多边形
定义
性质 定理
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做类似多边形
1.对应角相等、对应边的比等于类似比; 2.周长比等于类似比，面积比等于类似比的平方
类似三角形
定义
判定 定理
三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做类似三角 形
（1）证明：∵四边形PQMN为矩形， ∴MN∥PQ，即PQ∥BC. ∴△APQ∽△ABC. （2）解：设矩形的宽为x mm，则长为2x mm. ∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC. ∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD. ∵PN∶PQ＝1∶2，∴PQ为长，PN为宽.
易错典例
易错点3：臆造定理造成错解
错解分析：上述错误的表现是用两对类似三角形相加，推出待 证的两个三角形类似，实际是臆造定理“若两对三角形分别类似 ，则它们的和也对应类似”.一方面这种臆造意义不明确，两个 三角形相加到底是什么相加呢?另一方面即使意义明确，也需要 进行严格的证明，这些都没有做到，因而难以让人信服.
北师大版九年级数学上册 (相似多边形)图形的相似 课件
A
B
F
C
ED
A1 F1
E1
B1 C1
D1
图中的六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的多边形，
其中∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1，∠E 与∠E1，
∠F 与∠F1 分别相等，称为对应角；
AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DE 与 D1E1，EF 与 E1F1，FA
例2 一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边 框宽 7.5 cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
F B
(1.5+0.075×2) m
C G
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
解：
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似
比k＝ 2 , ∴
AB 2 , BC
2 ,
3 AB 3 BC 3
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
归纳
A1 F1
B1 C1
AB
F
C
E1
D1
E
D
要点归纳 ◑相似多边形的定义：
相似多边形用符号“∽”表示， 读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
◑相似多边形的特征： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
11.如图， 是 的中线， 是线段 上的一点，且 ，连接 并延长，交 于点 .若 ，
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
北师大版数学九年级上册全册复习PPT课件
.
9
5．矩形的判定 (1)有一个角是直角的__平__行__四__边__形___是矩形； (2)有三个角是直角的___四__边__形____是矩形； (3)对角线相等的__平__行__四__边__形____是矩形．
.
10
6．正方形的性质
(1)正方形的对边平__行_______； (2)正方形的四边_相__等______；
(3)正方形的四个角都是_直__角_____； (4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角 线平分一组对角；
(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ___四_____条，对称中心是对角线的交点．
.
11
7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形；
.
22
方法技巧 正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的 关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合 图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.
.
23
第二章 一元二次方程
.
24
┃知识归纳┃
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形 分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一 半．
.
7
4．矩形的性质 (1)矩形的对边_平__行__且__相__等______； (2)矩形的对角__相__等_______； (3)矩形的对角线__互__相__平__分____、__相__等______；
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
期末复习4图形的相似-北师大版九年级数学上册习题课件(共34张PPT)
对应线段_________.
对应成比例
5．相似三角形的定义：三角两分角 别相等、三边_____________的)_______分别相等的两个三角形相似； (2)两边_________且夹角相等的两个三角形平相方似；(3)三边 _________的两个三角形相似．
(1)求BC边上的高；
(2)求正方形EFGH的边长．
解：(1)作 AD⊥BC 于点 D，交 EH 于点 O.∵在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB
＝20 cm，AC＝15 cm，∴BC＝ 202＋152＝25(cm)．∵12
BC×AD
＝
1 2
AB×AC
，
∴
AD
＝
AB×AC BC
＝
20×15 25
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6.点 P 从点 A 出发，沿折 线 AB－BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 5 个单位长度的速度运动，在 BC 上以 每秒 3 个单位长度的速度运动．点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒43个单位长度的 速度运动．P、Q 两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．设点 P 的运动 时间为 t 秒．
＝2 3.
(2)解：∵AD＝4，DC＝4，AD⊥BC，BD＝2，∴AC＝4 2，AB＝2 5.∵DF⊥
AC，∴AF＝12AC＝2 2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，∴AD2＝AE·AB，AD2＝
AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，即AAEC＝AAFB.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC， 连接EF.
(1)若AD2＝BD·DC. ①求证：∠BAC＝90°； ②若AB＝4，DC＝6，求EF； (2)若(1)A①D证＝明4：，∵ABDD⊥＝B2C，，∴D∠CA＝DB4＝，∠求CDEFA.＝90°.又∵AD2＝BD·DC，∴BADD＝ACDD，
秋九年级数学上册北师大版课件：第四章 图形的相似 单元复习(共20张PPT)
∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠DBC，∠ADC+∠C=180°， ∵∠AEB=∠ADC，∠AEB+∠AED=180°， ∴∠AED=∠C，∴△ADE∽△DBC.
巩固提高
（2）连接EC，若CD2=AD•BC，求证： ∠DCE=∠ADB.
连接EC，由（1）得△ADE∽△DBC，
∴
，∴DB•DE=AD•BC.
变式练习
（2）若AP：AB=2：5，则△ACP与△APB的面 积比为 4:25 .
精典范例
【例4】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4， 2），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心， 把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点A′ 的坐标是（﹣8，4）.
或（8，﹣4）
变式练习
4.在直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A （﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，1），若 以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2 倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的A′的坐标 是 （2，. ﹣4）
在正方形ABCD中，AB=12， ∴∠D=90°，AD=12. ∵DE=5，∴根据勾股定理可得AE=13. ∵△ABF∽△EAD， ∴AB:AE=BF:AD，即12:13=BF:12， ∴BF=144/13.
巩固提高
13.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， ∠AEB=∠ADC. （1）求证：△ADE∽△DBC；
巩固提高
5.下列各组线段：①a=1，b=2，c=3，d=4；② a=1，b=2，c=2，d=4；③a= ，b= ，c= ， d= .其中是比例线段的有（B） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
巩固提高
6.如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC= 2：3，则下列结论正确的是（A） A.AD：AB=2：3 B.AE：AC=2：5 C.AD：DB=2：3 D.CE：AE=3：2
巩固提高
（2）连接EC，若CD2=AD•BC，求证： ∠DCE=∠ADB.
连接EC，由（1）得△ADE∽△DBC，
∴
，∴DB•DE=AD•BC.
变式练习
（2）若AP：AB=2：5，则△ACP与△APB的面 积比为 4:25 .
精典范例
【例4】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4， 2），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心， 把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点A′ 的坐标是（﹣8，4）.
或（8，﹣4）
变式练习
4.在直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A （﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，1），若 以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2 倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的A′的坐标 是 （2，. ﹣4）
在正方形ABCD中，AB=12， ∴∠D=90°，AD=12. ∵DE=5，∴根据勾股定理可得AE=13. ∵△ABF∽△EAD， ∴AB:AE=BF:AD，即12:13=BF:12， ∴BF=144/13.
巩固提高
13.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， ∠AEB=∠ADC. （1）求证：△ADE∽△DBC；
巩固提高
5.下列各组线段：①a=1，b=2，c=3，d=4；② a=1，b=2，c=2，d=4；③a= ，b= ，c= ， d= .其中是比例线段的有（B） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
巩固提高
6.如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC= 2：3，则下列结论正确的是（A） A.AD：AB=2：3 B.AE：AC=2：5 C.AD：DB=2：3 D.CE：AE=3：2
九年级数学上册 4 图形的相似单元复习(四)图形的相似课件 (新版)北师大版
3．(2015·海南)如图，点 P 是▱ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角形有( D )
A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对 4．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC ∽△CAD，只要 CD 等于( A )
三、解答题． 11．如图，已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，射线 AE 交 BD 于点 G，交 DC 的延长线于点 F，AB＝6，BE＝3EC，求 DF 的长．
解：在平行四边形 ABCD 中，∵AB∥CD，∴BEEC＝AEEF；∵AD∥BC， ∴AEEF＝DCFC，∴BEEC＝DCFC，∵BE＝3EC，CD＝AB＝6，∴CF＝2，∴DF＝ CD＋CF＝8
b2 b2 ab a2 A. c B. a C. c D. c
5．(2015·宜宾)如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形， 相似比为 1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若 B(1，0)，则点 C 的坐标为( B )
A．(1，2) B．(1，1) C．( 2， 2) D．(2，1) 6．如图，是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的 A 端时， 杠杆绕 C 点转动，另一端 B 向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使 其滚动，杠杆的 B 端必须向上翘起 10 cm，已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的 A 端向下压( C ) A．100 cm B．60 cm C．50 cm D．10 cm
12 ． 如 图 ， 在 6×8 的 网格 图 中 ， 每 个 小 正 方 形 边 长 均 为 1 ， 点 O 和 △ABC的顶点均为小正方形的顶点上． (1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为 1∶2； (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)