内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案
y＝－4＋
2 2t
，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点.
(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设不等式
的解集为 M．
(1)求集合 M；
(2)已知
，求证：
．
一、选择题
参考答案
2 x＝－2＋ 2 t，
(2)直线 l 的参数方程为
2
y＝－4＋ 2 t
(t 为参数)，
代入 y2＝2ax, 得到 t2－2 2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有 t1＋t2＝2 2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a). 因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2. 解得 a＝1. ………10 分
二、填空题
13. 30
14. 3
15.
16.
三、解答题
17.（1）由题设及正弦定理得
又
所以
.
由于
，则
.
， ，
又因为
，
所以 .
（2）由正弦定理易知
，解得 .
又因为
，所以
，即
.
在 中，因为
， ，所以 ，
所以在 中， ，
，
由余弦定理得
所以
.
18.（1）在
中，由余弦定理得
因为 为 的中点，则
．
因为
，则
，
，则
的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积
为
A.
B.
C.
D.
8. 从 2 个不同的红球，2 个不同的黄球，2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝
x
x
因此讨论 f x 在 1, 上的零点个数，即是讨论直线 y a 与曲线 y g x 的交点个数，
∵ gx
1 x
1 x2
x 1 ， g x 0 在 1, 上恒成立，
x2
故 g x ln x 1 在 1, 上单调递增， g x1, ，
x
又 g x 连续不断，所以当 a 1时， f x 在 1, 上无零点；
（x+2），令 x＝0，得点 P 的坐标为（0，
），
∵ kBM
=kAQ
，∴ 直线 AQ 的方程为 y
（x+2），
令 x＝0，得点 Q 的坐标为（0， ），由 （ ，
）， （ ， ），
∴• 2
0，∴ ⊥ ，即∠ PFQ＝90°，
故∠ PFQ 为定值
21.（1）由 f x xln x ax 1 0 得 a ln x 1 ，令 g x ln x 1 ，
的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1 个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有
（）
A．46 种
B．36 种
C．72 种
D．42 种
9.
已知双曲线 C : x2 a2
y2 b2
1 （ a 0,b 0 ）的左焦点为 F
，第二象限的点 M
在双曲线
C 的渐近线上，且| OM | a ，若直线 MF 的斜率为 b ，则双曲线的渐近线方程为( ) a
e2 1
B.
2e2
,1
e
1,
e2
2
1
e2 1 e 1
C.
2e2
,
e
e 1,e
D.e 1,e
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 1 x 2x2 5 展开式中的 x6 的系数为_______
14. 若向量 a (2, x),b (2,1) 不共线，且 (a b) (a b) ，则 a b ______
的大小为 ，求三棱锥
的体积.
19. （本题满分 12 分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，除
收费 元之外，超过 的部分，每超出 （不足 时按 计算）需再收 元．公司从承揽
过的包裹中，随机抽取 件，其重量统计如下：
公司又随机抽取了 天的揽件数，得到频数分布表如下：
工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利
（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
20. （本题满分 12 分）
已知椭圆 C：
的离心率为 ，左、右顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆 C 上异于 A，
B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P． （1）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围； （2）设椭圆 C 的右焦点为 F，点 Q 在 y 轴上，且 AQ∥ BM，求证：∠ PFQ 为定值． 21．（本题满分 12 分）
已知函数 f x xln x ax 1aR .
（1）讨论 f x 在 1, 上的零点个数；
（2）当 a 1时，若存在 x 1, ，使 f x e 1a 3 ，求实数 a 的取值范围.（ e 为自然
对数的底数，其值为……） （二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为
（元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为
（元）
因
故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利．
20.（Ⅰ）由题意可得 c2＝a2﹣2，∵ e
，∴ a＝2，c ，∴ 椭圆的方程为
，
可估计概率为 ，未来 天中，包裹件数在
间的天数 X 服从二项分布，
即
，故所求概率为
；
样本中快递费用及包裹件数如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元． （3）根据题意及 ，揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加
（元），
将题目中的天数转化为频率，得
以记录的 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（1）计算该公司 天中恰有 天揽件数在
的概率；
（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目
前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过 件，每人每天工资 元，公司正在考虑是否将前台
．
，所以
．
因为
，则
．
因为 底面 ，则
，所以 平面 ，从而
．
（2）分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设
，则点
，
设平面 的法向量为
， ，则
，所以 ，即
取
，则 ，
，所以
．
因为
为平面 的法向量，
则
，即
．
，
．
，
所以
，解得
，所以
．
所以
．
19. 样本中包裹件数在
内的天数为 ，频率为
A． 30
B． 60
C．150
4.执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（ ）
D． 30 或150
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720
5. 已知等差数列 的前 项和为 ，且
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知直线
和抛物线 C：
，P 为 C 上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C
A. (1, 2)
B. 1,2
C. (1,3)
D. (, 2]
2. 已知复数 z (a i)(1 i) （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 y 2x 上，则实数 a 的值
为（ ）
A. 0
B. 1
C. 1
D. 1 3
3． ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 c 2，b 6， B 60 ,则 C 等于（ ）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1.已知全集U R ，集合 A x | 2x 4 , B {x | (x 1)(x 3) 0} ，则 U A B （ ）
15. 设等比数列 的前 项和是 ，若
，则 __________．
16. 已知点 ，抛物线
的焦点为 ，连接 ，与抛物线 相交于点 ，延长 ，与
抛物线 的准线相交于点 ，若
，则实数 的值为__________．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个
23.（1）原不等式等价于
或
或
解得：
或
所以原不等式的解集为
（2）由（1）知，当
时，
，
所以 ，
从而
可得
<
又 h2 0 ，所以 h x 0 x 2 .
故实数 a 的取值范围为 2, .
22 (1)由 C：ρsin2θ＝2acos θ，得(ρsin θ)2＝2aρcos θ ，所以曲线的普通方程为 y2＝2ax.由直线 l 的参
2 x＝－2＋ 2 t，
数方程 y＝－4＋
2 2t
消去参数 t，得 x－y－2＝0. ……5 分
2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x−x2>0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|−1<x<0}C. {x|0<x<1}D. {x|1<x<3}+(1−i)2(i为虚数单位)，则|z|=()2.已知复数z=21−iA. 1B. √2C. 2√2D. 23.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1=2，a8+a10=28，则S9=()A. 36B. 72C. 144D. 2884.函数y=xe x在点(1,e)处的切线方程为()A. y=2e xB. y=x−1+eC. y=−2e x+3eD. y=2ex−e5.函数y=e x(x2+2x+1)的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹()A. 是圆B. 是椭圆C. 是抛物线D. 不是平面图形7. 甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为( ) A. 34 B. 13 C. 78 D. 35 8. 已知AD 为△ABC 边BC 的中线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 69. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n 的值为(参考数据：√3≈1.73，tan π12≈0.27，tan π24≈0.13) A. 6B. 12C. 24D. 4810. 设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 22=1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为2√6，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√2xD. y =±√22x 11. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱CC 1的中点，点A ，B ，D ，M 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 3πC. 94πD. 9π12. 函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为( )A. {x|−2<x <2}B. {x|x >2或x <−2}C. {x|0<x <4}D. {x|x >4或x <0}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若(√x +3x )n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中常数项为______．14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且4|NF|=5|MN|，则p的值为______．15.已知函数y=3sin (2x+π4),x∈[0,π2]的单调增区间为[0,m]，则实数m的值为________．16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，那么第12行的实心圆点的个数是_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；(2)求cos(2A−π3)的值．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求二面角A−FC−B的余弦值．(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值．19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b合计▓▓(1)写出a，b，x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率e=12，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过椭圆E的右焦点F2，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+2ln(a−x)(a∈R)，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与直线x−2y+2=0垂直，求a的值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．2.答案：B解析：通过化简，计算即可．本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．解：∵z=21−i +(1−i)2=2(1+i)(1−i)(1+i)−2i=2(1+i)1−i2−2i=1−i，∴|z|=√2．故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．根据{a n}是等差数列，a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14，S9=a1+a92×9可得答案．解：由题意{a n}是等差数列且a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14．∴S9=2+142×9=72，故选B．4.答案：D解析：本题考查切线方程的求法，考查计算能力．求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．解：函数f(x)=xe x，可得：f′(x)=(1+x)e x，则f′(1)=2e，f(1)=e；曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−e=2e(x−1)，y=2ex−e．故选D．5.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的变化趋势，属于基础题．解：y=e x(x2+2x+1)=e x(x+1)2≥0，故排除B，D，当x=−1时，y=0，故排除C，故选A．6.答案：A解析：本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，难度一般．由已知证得，，从而得出BH⊥AD,BH⊥HE，即可得出点H的运动轨迹．解：如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作BE⊥AD于E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．又由BD为圆的直径得BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH．又BH⊥AC，且AC∩CD=C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE．所以当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A．7.答案：A解析：本题考查了几何概型的概率计算，作出图形是解题关键，属于中档题．作出表示两人到达养老院的时间的平面区域，根据面积比得出概率．解：以x，y表示甲，乙两人到达养老院的时间，若两人相遇，则需满足|x−y|≤1，作出平面区域如图所示：则．故选：A ．8.答案：B解析：解：如图，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ∴100=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2；∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68；又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=14×(68−32)=9； ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 故选B ．可画出图形，对BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的两边平方即可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68，而对AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的两边平方，即可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的值，从而求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 考查向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算．解析：本题考查了程序框图和循环结构，属于基础题．模拟循环程序，进行模拟计算，列出循环过程中S和n的数值，若满足判断框的条件，即可结束循环．解：模拟执行程序，可得：当n=6时，，输出的S值为2√3≈3.46，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=12时，，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=24时，≈24×0.13=3.12，满足判断框条件S<3.2，退出循环．所以输出的n的值为24．故选C．10.答案：D解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：不妨设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，则c2a −y022=1，则y02=2⋅c2−a2a2=4a2，又S△ABF2=2√6，即为12⋅2c⋅|2y0|=4ca=2√6，即为ca =√62，则ba=√c2a2−1=√22，故该双曲线的渐近线方程为y=±√22x.故选：D．解析：本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知可得线段AM的中点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，求得AM，即得球O的半径，利用球的表面积公式可求．解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱CC1的中点，如图：∵AB⊥BC,AB⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1，∵BM⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BM，即△ABM为直角三角形，同理AD⊥DM，△ADM也为直角三角形，取AM的中点E，则EA=EB=EM=ED，所以点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，AC=√AB2+BC2=√2，CM=12，∴AM=√AC2+CM2=√2+14=32，则球O的半径R=34，则球O的表面积为4πR2=4π×916=9π4．故选C．12.答案：D解析：函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，则b−2a=0，故f(x)=ax2−4a=a(x−2)(x+ 2)，因为函数f(x)在(0,+∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2−x)>0的解集为{x|2−x>2或2−x<−2}={x|x<0或x>4}．13.答案：135解析：解：(√x+3x)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n2n=64，∴n=6，∴(√x+3x)6展开式的展开式的通项公式为：T r+1=C6r⋅3r⋅x3−3r2．令3−32r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项等于C62⋅32=135．故答案为：135．根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．14.答案：1解析：本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．设N(x0,2)，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=1．解：由题意知M(0,2)，设N(x0,2)，代入y2=2px(p>0)中得x0=2p，所以|MN|=2p，|NF|=2p+p2，因为4|NF|=5|MN|，所以4(p2+2p)=5×2p，解得p=−1(舍去)或p=1．故答案为1．15.答案：π8解析：本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题目．求出y=3sin(2x+π4)的单调递增区间，即可得到x∈[0,π2]的单调增区间，从而得到m的值．解：由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z．又0≤x≤π2，所以0≤x≤π8，即函数y=3sin(2x+π4)，x∈[0,π2]的单调增区间为[0,π8]．所以m=π8，故答案为π8．16.答案：89解析：本题主要考查了数列的应用，解题的关键构造这样一个数列{a n}表示空间圆点的个数变化规律，a n= a n−1+a n−2，属于中档题．解：观察可发现如下规律：每行空心圆点个数等于上一行的实心圆点个数；每行实心圆点个数等于上一行所有圆点个数.设a n为第n行所有圆点个数．∴第n行的空心圆点个数等于第n−1行的实心圆点个数，也即第n−2行的所有圆点个数a n−2，第n行的实心圆点个数等于第n−1行的所有圆点个数a n−1，所以a n=a n−1+a n−2，故各行中圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......a11=89，即第12行中实心圆点的个数是89，故答案为89．17.答案：解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．解析：(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cos A的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO.因为FO∩BD=O，FO,BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．(2)解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，又AC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABCD，∴平面BDEF⊥平面ABCD，又平面BDEF∩平面ABCD=BD，FO⊂平面BDEF，故F O ⊥平面ABCD ． 又AO,BO ⊂平面ABCD ，∴AO ⊥FO,BO ⊥FO ，又AO ⊥BO ，由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0), C(−√3,0,0),F(0,0,√3)．所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)．因为OA ，OB ，OF 两两垂直，OA ，OF 是平面AFC 内两条相交直线，则OB ⊥平面AFC ， 可知平面AFC 的法向量为v⃗ =(0,1,0)． 由二面角A −FC −B 是锐二面角，得|cos <n ⃗ ,v ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅v ⃗ ||n ⃗⃗ ||v ⃗ |=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155；(3)解：AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 平面BFC 的法向量n ⃗ =(1,−√3,−1)，所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√6×√5=−√105． 设AF 与平面BFC 所成角为θ，则．故AF 与平面BFC 所成角的正弦值为√105．解析：本题考查了直线和平面垂直的判定，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．(1)要证AC ⊥平面BDEF ，只要证AC 垂直于平面BDEF 内的两条相交直线即可，设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ，由已知FA =FC 可得AC ⊥FO ，再由ABCD 为菱形得到AC ⊥BD ，则由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出二面角A −FC −B 的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；(3)求出向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，直接用向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BFC 的法向量所成角的余弦值求得AF 与平面BFC 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)由题意可知，样本容量=80.16=50，∴b =250=0.04，第四组的频数=50×0.08=4， ∴a =50−8−20−2−4=16． y =0.0410=0.004，x =1650×110=0.032．∴a =16，b =0.04，x =0.032，y =0.004．(2)由(1)可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C 62=15种情况．设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)=C 42+C 22C 62=715．所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． (3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2， 则P(ξ=0)=C 42C 62=615=25，P(ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P(ξ=2)=C 22C 62=115． 所以，ξ的分布列为所以，Eξ=0×25+1×815+2×115=23．解析：(1)利用频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；(2)由(1)可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出． 熟练掌握频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．20.答案：解：(1)由于c 2=a 2−b 2，将x =−c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1，即y =±b 2a ，由题意知2b 2a =3，即a =23b 2，又e =ca =12， 所以a =2，b =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，Δ>0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以，所以|MN|∈(3,4)；当直线l 与x 轴垂直时，|MN|=3. 综上所述，|MN|的取值范围为[3,4)．解析：本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1) 由2b 2a=3，得a =23b 2，又e =c a =12，求出a ，b 即可．(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式求出|MN|，再与斜率不存在时比较即可．21.答案：解：由f(x)=ax 2+2ln(a −x)得f′(x)=2ax −2a−x ，所以f′(1)=2a −2a−1．由题设可得2a −2a−1=−2，从而a2=2，解得a =±√2， 检验可得a =√2符合题意， 所以a =√2．解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的条件等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题，利用导数的几何意义求出x =1处的切线的斜率，再根据两直线垂直的条件：斜率之积为−1，建立方程，解之即可．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．把{x =m −12ty =√32t代入x 2+(y −1)2=1， 并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√33<m <√3．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√152， 解之得m =√32或√36；(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92； 当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀； 当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72． 综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}； (2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立， 可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0) ≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1， 当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1， 由a +1≤32， 可得0<a ≤12， 即a 的范围是(0,12].解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x 的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。
2020年内蒙古高考数学(理科)模拟试卷(1)
2020年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4] 2．（5分）复数z满足|z+i|＝2，则|z﹣1+i|的最大值等于（）A．√2+1B．2+√2C．3D．3+2√2 3．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，则它的前8项的和为（）A．95B．80C．40D．204．（5分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝05．（5分）函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆x2+y2＝1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=12B．x2+y2=14C．x2+y2=12（x＜12）D．x2+y2=14（x＜14）7．（5分）七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，整幅七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．14B ．516C ．38D ．7168．（5分）三角形ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−14，1]B ．[−14，0]C ．[−12，4]D ．[−12，2]9．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．12010．（5分）已知F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．√3x ±y ＝0C ．x ±√3y ＝0D ．x ±2y ＝011．（5分）已知球面上两点的球面距离为1cm ，过这两点的球半径所成的角为π3，则球的半径为（ ）A ．1πcmB ．3πcmC ．πcmD ．3πcm ．12．（5分）已知函数f （x ）=12x+1+2x +1，且f （a 2）+f （2a ）＞3，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，3）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 232+⋯+a 202032020= ．14．（5分）已知直线l ：y ＝x ﹣1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p ＝ ，|AB |＝ ．15．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f （x ）的图象经过点(π3，1)，则函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为 ．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （4，3）＝10，则a （41，20）＝三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且∠DAC ＝90°，sin ∠BAC =2√23，AB ＝3√2，AD ＝3． （1）求BD 长； （2）求cos C ．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 是侧棱AA 1上的一点．（Ⅰ）证明：当点D 是AA 1的中点时，DC 1⊥平面BCD ； （Ⅱ）若二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929，求二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值．19．（12分）2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]（单位：元）．得到如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23．（1）求椭圆C 的方程．（2）过原点O 作圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，求F 1A →⋅F 1B →．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分） 22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=α(π2＜α＜π)与曲线C 1交于点M ，射线ON ：θ=α−π4与曲线C 2交于点N ，求1|OM|+1|ON|的取值范围．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +m |，g （x ）＝x +2． （Ⅰ）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），求m 的取值范围．2020年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．（5分）复数z满足|z+i|＝2，则|z﹣1+i|的最大值等于（）A．√2+1B．2+√2C．3D．3+2√2【解答】解：设z＝x+yi，由|z+i|＝2得圆的方程x2+（y+1）2＝2，又|z﹣1+i|=√(x−1)2+(y+1)2表示定点（1，﹣1）与圆上任一点（x，y）间距离．则由几何意义得|z﹣1+i|大＝1+√2，故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，则它的前8项的和为（）A．95B．80C．40D．20【解答】解：∵等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，∴2a3＝a2+a4＝4，2a4＝a3+a5＝8，∴a3＝2，a4＝4，∴d＝a4﹣a3＝2，∴a1＝﹣2∴数列的前8项之和S8＝﹣16+8×7×22=40，故选：C．4．（5分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【解答】解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．（5分）函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f(x)=(21+e x−1)sinx=1−ex1+e x•sin x，则f（﹣x）=1−e−x1+e−x•sin（﹣x）=e x−1e x+1•（﹣sin x）=1−e x1+e x•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，由f（x）＝0，得1﹣e x＝0或sin x＝0，得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π，当x＝1时，f（1）=1−e1+e•sin1＜0，排除A，故选：C．6．（5分）已知圆x2+y2＝1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=12B．x2+y2=14C．x2+y2=12（x＜12）D．x2+y2=14（x＜14）【解答】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD＝60°，在直角三角形BOD中，有OD=12OB=12，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=1 4，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜1 4，故选：D ．7．（5分）七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，整幅七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．516C ．38D ．716【解答】解：设小正方形的边长为1，则平行四边形的底为√2，高为√22， 大直角三角形的直角边长为2，斜边长为：√22+22=2√2， ∴大正方形的边长为2√2，∴在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为： P =√2×√22+1222×22=14．故选：A ．8．（5分）三角形ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−14，1]B ．[−14，0]C ．[−12，4]D ．[−12，2]【解答】解：根据题意，△ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°， 则|BC |2＝4+8﹣2×2×2√2×cos45°＝4， 所以|BC |＝2，△ABC 为直角三角形；以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，如图所示；则A （0，2），C （2，0）； ∴线段AC 的方程为x 2+y 2=1，即x +y ＝2，其中0≤x ≤2；设P （x ，y ），则PB →=（﹣x ，﹣y ），PC →=（2﹣x ，﹣y ）；∴PB →•PC →=−x （2﹣x ）+y 2＝x 2﹣2x +（2﹣x ）2＝2x 2﹣6x +4＝2(x −32)2−12， 当x =32时，PB →•PC →取得最小值为−12， 当x ＝0时，PB →•PC →取得最大值为4； ∴PB →•PC →的取值范围是[−12，4]． 故选：C ．9．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．120【解答】解：模拟程序的运行，可得 i ＝0，n ＝0，S ＝0执行循环体，i ＝1，n ＝1，S ＝1不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝2，n ＝3，S ＝4 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝3，n ＝6，S ＝10 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝4，n ＝10，S ＝20 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝5，n ＝15，S ＝35 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝6，n ＝21，S ＝56 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝7，n ＝28，S ＝84 满足条件i ≥7，退出循环，输出S 的值为84． 故选：C ．10．（5分）已知F 2为双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．√3x ±y ＝0C ．x ±√3y ＝0D ．x ±2y ＝0【解答】解：双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，若|OH |＝|F 2H |，可得在直角三角形OHF 2中，∠HOF 2＝45°，可得C 的渐近线方程为x ±y ＝0． 故选：A ．11．（5分）已知球面上两点的球面距离为1cm ，过这两点的球半径所成的角为π3，则球的半径为（ ） A ．1πcmB ．3πcmC ．πcmD ．3πcm ．【解答】解：∵两点的球面距离为1cm ，两条半径所成的角π3， ∴设球的半径为R ，可得π3•R ＝1，得R =1π3=3πcm故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）=12x+1+2x +1，且f （a 2）+f （2a ）＞3，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，3）【解答】解：根据题意，设F （x ）＝f （x ）−32=12x +1+2x +1−32=1−2x2(2x+1)+2x ， 则F （0）＝f （0）−32=0，又由F （﹣x ）=1−2−x 2(2−x+1)+2（﹣x ）＝﹣（1−2x 2(2+1)+2x ）＝﹣F （x ），即函数F （x ）为奇函数； 又由F ′（x ）=−2xln2(2x +1)2+2=−2x ln2+2(2x +1)2(2x+1)2=2x (4−ln2)+2(2x )2+2(2x+1)2＞0，所以函数F （x ）单调递增， 若f （a 2）+f （2a ）＞3， 则f （a 2）−32＞32−f(2a)， f （a 2）−32＞−[f （2a ）−32]，F （a 2）＞﹣F （2a ）， F （a 2）＞F （﹣2a ）， 所以a 2＞﹣2a ， 解得，a ＜﹣2或a ＞0， 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若x2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 20203=（43）2020﹣1 ．【解答】解：∵x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020， 令x ＝1得：a 0＝1； 令x =43得： （43）2020＝a 0+a 13+a 232+⋯+a202032020； ∴a 13+a 23+⋯+a 20203=(43)2020−1；故答案为：(43)2020−114．（5分）已知直线l ：y ＝x ﹣1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p ＝ 2 ，|AB |＝ 8 ． 【解答】解：根据条件得到抛物线的焦点为（p2，0），故0=p2−1，解得p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，联立{y 2=4x y =x −1，整理可得x 2﹣6x +1＝0，则x A +x B ＝6，所以|AB |＝x A +x B +2＝6+2＝8， 故答案为2，8．15．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f （x ）的图象经过点(π3，1)，则函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为 [0，π12]和[7π12，π] ．【解答】解：∵相邻两条对称轴之间的距离为π2，即T ＝π=2πω，∴ω＝2． 根据 （π3，1）在图象上得：2sin （2×π3+φ）+1＝1，∴sin （2×π3+φ）＝0；2π3+φ＝k π，k ∈z ．故φ＝k π−2π3．结合−π2＜φ＜π2，可得φ=π3， ∴函数f （x ）＝2sin （2x +π3）+1． 由 2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2得 k π−5π12≤x ≤k π+π12，k ∈z ， 故函数的增区间为[k π−5π12，k π+π12]，k ∈z ． 再结合x ∈[0，π]，可得增区间为[0，π12]和[7π12，π]．故答案为：[0，π12]和[7π12，π]．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （4，3）＝10，则a （41，20）＝ 839【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为a （41，20）对应的数字为奇数， 则前面奇数行共有：1+3+5+…+39=(1+39)×202=400个奇数， 故a （41，20）为第420个奇数，由2×420﹣1＝839，可得a （41，20）＝839， 故答案为：839．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且∠DAC ＝90°，sin ∠BAC =2√23，AB ＝3√2，AD ＝3． （1）求BD 长； （2）求cos C ．【解答】（本小题满分12分） 解：（1）∵∠DAC ＝90°，∴sin ∠BAC ＝sin （π2+∠BAD ）＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD =2√23，…（2分）在△ABD 中，由余弦定理得，BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos ∠BAD ，…（4分） 即BD 2＝18+9﹣2×3√2×3×2√23=3，得BD =√3．…（6分） （2）由cos ∠BAD =2√23，得sin ∠BAD =13，…（8分） 在△ABD 中，由正弦定理，得：BDsin∠BAD=AB sin∠ADB．∴sin ∠ADB =AB⋅sin∠BAD BD =3√2×13√3=√63，…（10分）∵∠ADB ＝∠DAC +C =π2+C ， ∴cos C =√63．…（12分）18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 是侧棱AA 1上的一点．（Ⅰ）证明：当点D 是AA 1的中点时，DC 1⊥平面BCD ；（Ⅱ）若二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929，求二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形， AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，因为CC 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵BC ⊥CA ，CC 1⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1 ∴C 1D ⊥BC ，∵∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45 0 ∠C 1DC ＝90 0 ∴C 1D ⊥DC ，DC ⊂平面DCB ，BC ∩DC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BCD ；（Ⅱ）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，以C 为坐标原点，分别以射线CA ，CB ，CC 1为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，设D （1，0，a ），a ∈[0，2]，C 1（0，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0）， 设n →1为平面DC 1B 的法向量，则{n 1→⋅DC 1→=0n 1→⋅C 1B →=0⇒n 1→=(2−a ，2，1)， n →2=(1，0，0)是平面C 1BC 的法向量，由题意可知，二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929， 即|cos ＜n 1→，n 2→＞|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=√(2−a)+5=29⇒a =12，n 1→=(32，2，1)，又因为n →3=(0，1，0)是平面C 1CD 的法向量， 则二面角B ﹣C 1D ﹣C的余弦值即求cos ＜n 1→，n 3→＞=n 1→⋅n 3→|n 1→||n 2→|=4√2929，则二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值是4√2929，19．（12分）2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]（单位：元）．得到如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记每户农户的平均损失为x 元，则x =(1000×0.00015+3000×0.00020+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.0003）×2000＝3360．（2）由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15户，损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3户， 随机抽取2户，则X 的可能值为0，1，2， P(X =0)=C 122C 152=2235，P(X =1)=C 121⋅C 31C 152=1235，P(X =2)=C 32C 152=135，X 的分布列为：X 012P22351235135数学期望为E(X)=0×2235+1×1235+2×335=1435=25． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23． （1）求椭圆C 的方程．（2）过原点O 作圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，求F 1A →⋅F 1B →．【解答】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23， 可得29a 2+89b 2=1，12•2c •2√23=2√23，且a 2﹣b 2＝c 2， 解得a ＝2，b ＝c ＝1， 则椭圆的方程为x 22+y 2＝1；（2）圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4的圆心为（2，1），半径为r ＝2， 当切线的斜率不存在，即x ＝0，代入圆的方程可得切点A （0，1）， 若切线的斜率存在，设为k ，方程设为y ＝kx ， 由√1+k 2=2，解得k =−34x ，将切线y =−34x 联立圆的方程，解得x =45，y =−35，即B （45，−35）， 又F 1（﹣1，0），可得F 1A →•F 1B →=（1，1）•（95，−35）＝1×95+1×（−35）=65． 21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=a x，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点．h ′（x ）=1x 12√x +m ＝m −116+（√x −14）2①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以√x 14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x 12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x 14x 1＞0， 所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分） 22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=α(π2＜α＜π)与曲线C 1交于点M ，射线ON ：θ=α−π4与曲线C 2交于点N ，求1|OM|2+1|ON|2的取值范围．【解答】解：（1）由曲线C 1的参数方程{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），得：cos 2φ+sin 2φ=(2)2+(3)2=1， 即曲线C 1的普通方程为x 22+y 23=1．又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ＝6， 即ρ2cos 2θ+2ρ2＝6．曲线C 2的极坐标方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2， 故曲线C 2的直角方程为x −y +√2=0．（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为（ρ1，α），(ρ2，α−π4)，其中π2＜α＜π，则|OM|2=ρ12=6cos 2α+2，|ON|2=ρ22=1sin 2(α−π2)=1cos 2α． 于是1|OM|2+1|ON|2=cos 2α+26+cos 2α=7cos 2α+26．由π2＜α＜π， 得﹣1＜cos α＜0，故1|OM|+1|ON|的取值范围是(13，32)． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +m |，g （x ）＝x +2． （Ⅰ）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m ＝﹣1时，|2x ﹣1|+|x ﹣1|＜3，等价为{x ≥12x −1+x −1＜3或{12＜x ＜12x −1+1−x ＜1或{x ≤121−2x +1−x ＜1，解得1≤x ＜53或12＜x ＜1或−13＜x ≤12，则原不等式的解集为（−13，53）；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），即为1﹣2x +x +m ﹣（x +2）＜0，即m ＜2x +1在x ∈[﹣m ，12）恒成立，可得m ＜﹣2m +1，可得m ＜13，但﹣m ＜12，即m ＞−12， 可得m 的取值范围为（−12，13）．。
2020年内蒙古包头市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. iB. -iC. 1D. -12.已知集合A={x|x2+x=0，x∈R}，则满足A∪B={0，-1，1}的集合B的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 83.设向量，满足|+|=，||=，则•=（）A. 1B. -1C. -2D. 24.定义运算,则函数的大致图象是( )A. B.C. D.5.圆C：,定点,直线l：,则“点P在圆C外”是“直线l与圆C相交”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如果执行如图的框图，输入N=6，则输出的数等于（）A. B. C. D.7.在公差不等于零的等差数列{a n}中，a2=4，且a1，a3，a9成等比数列，则a8=（）A. 4B. 18C. 24D. 168.已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点M在E上（不与顶点重合），△MF1F2为等腰直角三角形，则E的离心率为（）A. +1B.C.D.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 80B. 40C.D.10.若行的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -537611.已知函数f（x）=2，则f（x）的最大值为（）A. 1B.C.D. 212.将边长为2的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，点B、C分别是圆O和圆O1上的点，长为，长为，且B与C在平面AA1O1O的同侧，则A1O1与BC所成角的大小为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=下方的概率为______．14.设x，y满足约束条件，则，则z=2x+3y的取值范围______．15.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5-S4=3，S3=，S n=22，则n=______．16.若直线y=kx既是曲线y=e x-1的切线，又是曲线y=ln（x+b）的切线，则b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+2cos A=0．（1）若b=c=1，求a和S△ABC；（2）求cos B的最小值．18.一只红玲虫的产卵数y和温度t有关．现收集了7组观测数据如表：温度t/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325为了预报一只红玲虫在40℃时的产卵数，根据表中的数据建立了y与t的两个回归模型．模型①：先建立y与t的指数回归方程=e0.272t-3.849，然后通过对数变换u=ln y，把指数关系变为u与t的线性回归方程：；模型②：先建立y与t的二次回归方程=0.367t2-202.543，然后通过变换x=t2，把二次关系变为y与x的线性回归方程：=0.367x-202.543．（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40°时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（参考数据：模型①的残差平方和Q1=1550.538，模型①的相关指数=0.98；模型②的残差平方和Q2=15448.431，模型②的相关指数=0.8；e7.031=1131，e7=1096，e8=2981，ln7=1.946，ln11=2.398，ln21=3.045，ln24=3.178，ln66=4.190，l nl15=4.745，ln325=5.784）19.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.设F为抛物线C：y2=2px的焦点，A是C上一点，FA的延长线交y轴于点B，A为FB的中点，且|FB|=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E 两点，求四边形MDNE面积的最小值．21.e是自然对数的底数，已知函数f（x）=x（x-2）e x，x∈R．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）函数g（x）=f（x）-f（-）在R上能否恰有两个零点？证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|-2|x-1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈（-∞，0]时，f（x）≤ax+b，求a-b的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵==，∴复数的共轭复数是-i．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，A={0，-1}，由A={0，-1}，且A∪B={0，-1，1}，则集合B必须有元素1，可能有元素-1或0，故B可能为{1，-1}或{1，0}或{1，0，-1}或{1}，即满足条件的集合B有4个，故选：C．根据题意化简集合A={0，-1}，再分析可得集合B必须有元素1，可能有元素-1或0，进而可得集合B可能的情况，即可得答案．本题考查集合并集的性质，关键是分析出集合B中必须有和可能有的元素．3.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量模的运算，属基础题．由平面向量模的运算可得：2+2=3，①2-2=7，②，则①-②即可得解．【解答】解：因为向量，满足|+|=，||=，所以2+2=3，①2-2=7，②由①-②得：4=-4，即=-1，故选：B．4.答案：A解析：解：根据题意得，f（x）=且函数f（x）为奇函数，排除B、D；f（0）=0；当0＜x＜π时，f′（x）=，令f′（x）＞0⇒，令f′（x）＜0⇒0＜x＜，∴函数f（x）在（0，π）上是先递减再递增的，排除选项C；故选：A．图象题应用排除法比较简单，先根据函数f（x）为奇函数排除B、D；在根据函数的单调性排除选项C，即可得到答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．5.答案：C解析：解：若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外，则＞1，此时圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，则直线l与圆C相交；反之，若直线l与圆C相交，则圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，即＞1，则点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外．∴“点P在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分必要条件．故选：C．由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外，得＞1，则圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，直线l与圆C相交；反之成立．然后结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查点与圆、直线与圆的位置关系的应用，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．6.答案：B解析：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选B按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.答案：D解析：解：公差不等于零的等差数列{a n}中，a2=4，且a1，a3，a9成等比数列，设公差为d，由题意可得=a1•a9，即（4+d）2=（4-d）（4+7d），求得d=2，则a8=a2+6d=4+12=16，故选：D．由题意利用等差数列、等比数列的定义和性质，求出a8的值．本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．由题意分类画出图形，结合已知条件列式求解椭圆离心率．【解答】解：如图，若∠MF1F2为直角，则，即，解得e=；若∠F1MF2为直角，则b=c（舍去）.则E的离心率为．故选：B．9.答案：D解析：解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2+3、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：D．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.答案：A解析：解：∵的展开式中的各项系数的和为（a-1）9=1，∴a=2，或a=0（舍去）．故展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•a9-r•x18-3r，令18-3r=0，求得r=6，可得该展开式中的常数项为•23=672，故选：A．先求出a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：f（x）=1++=sin（x+）+，当sin（x+）=1时，f（x）的最大值为．故选：B．根据二倍角公式．辅助角公式化简即得到最值．本题考查三角恒等变换，辅助角公式及求最值，是基础题．12.答案：C解析：解：由弧长公式可知：∠A1O1C=，∠AOB=，在底面圆周上去点D且∠AOD=，则CD⊥面AOD，连接CD，BC，BD，则BD∥A1O1即∠CBD为异面直线A1O1与BC所成角，又DB=2，DC=2，所以∠CBD=，故选：C．由弧长公式可得：∠A1O1C=，∠AOB=，由异面直线所成角的作法可得：∠CBD为异面直线A1O1与BC所成角，再求解即可．本题考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，属中档题．13.答案：解析：解：作出平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}及曲线y=（x≥0，y≥0）如图，S正方形OABC=1×1=1，．∴向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=下方的概率为P=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：[2，8]解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的取值范围．【解答】解：作出x，y满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，由得A（1，2）,平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A（1，2）时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×1+3×2=8，由图象可知当直线y=-x+经过点B（1，0）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=2×1+3×0=2，∴2≤z≤8.故答案为：[2，8]．15.答案：8解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5-S4=3，S3=，S n=22，∴，解得a1=1，d=，∴S n=n+×=22，解得n=8或n=-11（舍）．故答案为：8．利用等差数列通项公式列出方和组，求出a1=1，d=，从而S n=n+×=22，由此能求出n的值．本题考查等差数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：1解析：解：设y=kx与y=e x-1和y=ln（x+b）的切点分别为（x1，kx1）、（x2，kx2），由导数的几何意义可得，再根据直线y=kx既是曲线y=e x-1的切线，又是曲线y=ln（x+b）的切线，可得，联立上述式子解得x1=x2=0，k=b=1，故答案为：1．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，属中档题．17.答案：解：（1）因为b=c=1，代入b+2c•cos A=0，得cos A=，所以A=120°，C=B=30°（2分）得，所以n=．（4分）S△ABC=ac sin B=．（6分）（2）把余弦定理代入b+2c•cos A=0，得b+2c•=（10分）≥当且仅当a2=3c2，即时，cos B取最小值．（12分）解析：（1）利用已知条件求出A的余弦函数值，然后求解A的值，然后求解三角形的面积．（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，三角形的面积以及基本不等式的应用，是中档题．18.答案：解：（1）对于模型①，当t=40°C时，u=0.272×40-3.849=7.031，由u=ln y可得y=e u=e7.031=1131，即根据模型①，可预测1只红玲虫在40°C时产卵1131个．对于模型②，当t=40°C时，x=402=1600，y=0.367×1600-202.543≈385．即根据模型②，可预测1只红玲虫在40°C时产卵385个．（2）因为Q1＜Q2，且R12＞R22，∴模型①得到的预测值更可靠．解析：（1）把t=40分别代入两个模型计算y即可；（2）比较两模型的残差平方和及相关系数大小即可得出结论．本题考查了线性回归方程，相关系数与残差分析，属于基础题．19.答案：解：（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC⊥PC．又AD=CD=1．在Rt△ADC，得，设AB中点为G，连接CG．则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG⊥AB，且BC=，因为AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，又因为BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC．所以平面EAC⊥平面PBC．（2）因为PC⊥平面ABCD，所以PC就是四棱锥P-ABCD的高，设PC=a，因为AB⊥CD，AB∥CD，所以四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形因为V P-ABCD=S△ACB×PC=×（CD+AB）×AD×PC==1，所以得a=2．在直角三角形PCB中，PB=，CE=PB=，因为PC⊥平面ABCD，又PC⊂平面PCB，所以平面PBC⊥平面ABCD．在平面PBC内过点E作BC的垂线EF，交BC于点D．则EF⊥平面ABCD，且EF=PC=1，在四面体E-ABC中，设B到平面EAC的距离为h，则V E-ABC=V B-EAC，即S△EAC•h=S△ABC•EF，所以有AC•CE•h=AC•CB•EF，得h==，所以点B到平面EAC的距离为．所以P到平面EAC的距离为．得，PC=2，PA=，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为：=．解析：（1）证明AC⊥PC．设AB中点为G，连接CG．推出CG⊥AB，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后证明平面EAC⊥平面PBC．（2）PC就是四棱锥P-ABCD的高，设PC=a，利用V P-ABCD=S△ACB×PC，得a=2．说明平面PBC⊥平面ABCD．通过V E-ABC=V B-EAC，求解点B到平面EAC的距离．得到P到平面的距离，然后求解直线与平面所成角的正弦函数值．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象以及计算能力．20.答案：解：（1）如图，∵A为FB的中点，OF=,∴A到y轴的距离为，∴|AF|=，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y=k（x-1）．由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．∵＞0，设M（x1，y1）、N（x2，y2）∴，则|MN|=x1+x2+2=4（1+）；同理设D（x3，y3）、E（x4，y4），∴，则|DE|=x3+x4+2=4（1+k2）．∴四边形MDNE的面积S=|MN|•|DE|=8（2+k2+）≥32．当且仅当k=±1时，四边形BCDE的面积取得最小值32．解析：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p，则抛物线C的方程可求；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立，求出|MN|，|DE|，可得四边形MDNE的面积，利用基本不等式求最值．21.答案：解：（1）∵函数f（x）=x（x-2）e x，x∈R．∴f′（x）=（2x-2）e x+（x2-2x）e x=（x2-2）e x，由f′（x）=0，得x=．列表如下：x（-∞，-）-（-）（）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴f（-）是极大值，f（）是极小值，∵f（x）=x（x-2）e x，当且仅当0＜x＜2时，f（x）＜0，在区间（0，）上，y=f（x）是减函数，在区间（）上，y=f（x）是增函数，∴y=f（x）在（-∞，+∞）上的最小值为f（）=2（1-）．（2）函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．证明如下：由g（-）=t（-）-t（-）=0，知x=-是一个零点，由（1）知t（-）是函数的一个极大值，g（x）在单调区间（-∞，-）和（-）都不会有零点，考虑区间（），由g（2）=f（2）-2（1+）e=-2（1+）＜0，g（2+）=f（2+）-2（1+）e=2（1+）（）＞0，∴g（x）=f（x）-f（-）在单调区间（，+∞）上恰有一个零点．∴函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．解析：（1）推导出f′（x）=（2x-2）e x+（x2-2x）e x=（x2-2）e x，由f′（x）=0，得x=．列表讨论得到f（-）是极大值，f（）是极小值，由f（x）=x（x-2）e x，当且仅当0＜x＜2时，f（x）＜0，在区间（0，）上，y=f（x）是减函数，在区间（）上，y=f（x）是增函数，由此能求出y=f（x）在（-∞，+∞）上的最小值．（2）由g（-）=t（-）-t（-）=0，知x=-是一个零点，知t（-）是函数的一个极大值，g （x）在单调区间（-∞，-）和（-）都不会有零点，g（x）=f（x）-f（-）在单调区间（，+∞）上恰有一个零点．从而函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．本题考查函数的最小值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与证明，考查导数性质、函数的单调性、函数最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y-4=0，∴直线l的普通方程为x+y-4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=-4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．解析：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ-）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．23.答案：解：（1）当x＜-1时，f（x）=x-3；当-1≤x＜1时，f（x）=3x-1；当x≥1时，f（x）=-x+3．y=f（x）的图象如图所示．（2）当x∈（-∞，0]时，由（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为-1，且各部分所在直线斜率的最小值为1，故当且仅当a≤-1，且b≥-1时，f（x）≤ax+b在（-∞，0]成立．因此，a-b≤2，即a-b的最大值为2．解析：（1）去掉绝对值符号，化简函数的解析式，然后画出函数的图象．（2）当x∈（-∞，0]时，借助（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为-1，且各部分所在直线斜率的最小值为1，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，函数的图象的应用，数形结合以及计算能力的考查．。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−1≥0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2.若复数z满足|z|⋅z.=20−15i，则z的虚部为()A. 3B. −3C. 3iD. −3i3.已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是()A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，104.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n<na n对n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若双曲线C:x2−y2m=1的一条渐近线为√2x+y=0，则实数m=()A. 12B. 2 C. 4 D. 146.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a7.设变量x,y满足约束条件{x+y≥0x−3≤0x−2y−1≥0，则z=x−y的最大值为()A. 2B. 4C. 6D. 88. 关于函数f(x)=cos|x|+|sinx|的下述四个结论中，正确的是( )A. f(x)是奇函数B. f(x)的最大值为2C. f(x)在[−π,π]有3个零点D. f(x)在区间(0,π4)单调递增9. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 29B. 37C. 56D. −2910. 椭圆x 26+y 22=1的离心率为( )A. 23B. 13C. √63D. 2√2311. 如图四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，PA =2，M ，N 分别是PD 和BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角的余弦值为 ( )A. √55 B. √33C. 225 D. 2512. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,1)，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角的余弦值为__________． 14. 设△ABC 中，cosA =35,cosB =513,b =3则c =________。
2020年内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2020年内蒙古高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z的共轭复数为z−，i为虚数单位，若z=1−i，则(3+2z−)i=()A. −2−5iB. −2+5iC. 2+5iD. 2−5i2.已知集合M={x|x2−2x−3<0}，N={x|x2−mx<0}，若M∩N={x|0<x<1}，则m的值为()A. 1B. −1C. ±1D. 23.已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4=24，S9=99，则a7=()A. 13B. 14C. 15D. 164.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A. 1−sin2θB. 12−12sin2θC. 1−sinθD. 12−sin2θ5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)的图象大致是()A. B.C. D.6.从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 45种B. 120 种C. 30种D. 63种7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积()A. √3πB. 2√3πC. 4√3πD. 12π8. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，A 在x 轴上方，且满足|AF 1|=3|F 1B|，cos∠AF 2B =35，则A 点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. y 轴上D. 都有可能9. 已知函数f(x)={e (x+1)2,x ≤0x +4x−3,x >0，函数y =f(x)−a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4的最大值为( ) A. 1+e B. 4+e C. 1−e D. 1+2e10. O 为△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A. 16B. 14C. 12D. 2311. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是( ) A. (√3,+∞) B. (2,+∞) C. (√3,2) D. (1,2)12. 定义在R 上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x >0时，xf′(x)+2f(x)<0.则( )A.f(e)4>f(2)e 2B. 9f(3)>f(1)C.f(e)9<f(−3)e 2D.f(e)9>f(−3)e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥−2，则z =2x +y 的最小值为______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 2+a 4=8，a 6+a 8=4，则a 10+a 12+a 14+a 16=______．15. “砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012−2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图(例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%).从2012−2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为______．16.在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a⃗=(2cosx,2sinx)，b⃗ =(sin(x−π6),cos(x−π6))，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求函数f(x)的零点；(2)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=2，△ABC的外接圆半径为√3，求△ABC周长的最大值．18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，EDBF是矩形，DE=a，平面EDBF⊥平面ABCD．(1)若a=1，求证：AE⊥CF；(2)若二面角A−EF−B的余弦值为45，求a的值．19.设动圆P(圆心为P)经过定点(0,2)，被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)直线l：y=√2x+m(m∈R)与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB=−2√2，求m的值．20.质量指标值m m<185185≤m<205M≥205等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N(216,139)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21.已知函数f(x)=x−2+ae x(e为自然对数的底数)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>6．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +ty =1−t (t 为参数)；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ (1)若a =1，求C 与l 交点的直角坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为2√2，求a ．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x −a|．(1)当a =−2时，求不等式0<f(x)≤3的解集；(2)若a ≤0，∃x ∈(0,+∞)使f(x)≤a 2−3成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由z =1−i ，得(3+2z −)i =(3+2+2i)i =(5+2i)i =−2+5i ． 故选：B ．把z =1−i 代入(3+2z −)i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵M ={x|−1<x <3}，N ={x|x 2−mx <0}，M ∩N ={x|0<x <1}， ∴N ={x|0<x <m}， ∴m =1． 故选：A ．可以求出M ={x|−1<x <3}，从而可以根据M ∩N ={x|0<x <1}即可得出N ={x|0<x <m}，从而得出m =1．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】C【解析】解：因为S 4=24，S 9=99， {4a 1+6d =249a 1+36d =99，解可得，a 1=3，d =2 则a 7=a 1+6d =15． 故选：C ．由已知结合等差数列的求和公式可求d ，a 1，然后结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 4.【答案】A【解析】解：由题意可知，小正方形的边长为2(cosθ−sinθ)，面积S 1=4(cosθ−sinθ)2=4(1−sin2θ)，大正方形的面积S =2×2=4，故镖落在小正方形内的概率P =(1−sin2θ)． 故选：A ．分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可． 本题考查概率的计算，考查三角函数知识的运用，属于基础题． 5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力． 利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可． 【解答】解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x ≤π且x ≠0)是偶函数排除A ．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x +cosx，令1x+cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故排除D．f(π)=lnπ>1，故排除C．故选B．6.【答案】A【解析】解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数=∁62⋅∁31=45．故选：A．6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．本题考查了分层抽样、组合数的意义、乘法原理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=√(√2)2+12=√3，S=4⋅π⋅(√3)2=12π．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】C【解析】解：设|BF1|=k，则|AF1|=3k由椭圆的定义可得：|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，|AB|=4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，即16k2=(2a−3k)2+(2a−k)2−2(2a−3k)(2a−k)⋅35，整理可得a=3k，所以|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A 在y 轴上， 故选：C ．设|BF 2|=k ，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a 与k 的关系，进而可得|AF 2|=3k =|AF 1|，可得A 在y 轴上． 考查椭圆的性质，属于中档题． 9.【答案】A【解析】解：若函数y =f(x)−a 有四个不同的零点，则有a ∈(1,e]，当x >0时，f(x)=x +4x −3≥2√x ⋅4x −3=1，可得f(x)在x >2递增，在0<x <2处递减，由f(x)=e (x+1)2，x ≤0，x <−1时，f(x)递减；−1<x <0时，f(x)递增，可得x =−1处取得极小值1，作出f(x)的图象，以及直线y =a ，可得e (x 1+1)2=e (x 2+1)2=x 3+4x 3−3=x 4+4x 4−3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1+x 2=−2，x 3，x 4是方程x +4x −3=a 的两根，即x 2−(3+a)x +4=0的两个根，∴x 3+x 4=3+a ， 则x 1+x 2+x 3+x 4=−2+3+a =a +1≤e +1， 故最大值为e +1， 故选：A ．作出函数f(x)的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解． 本题考查函数与方程的综合运用，考查函数的单调性及最值的求解，考查数形结合思想，转化思想及逻辑推理能力，属于中档题． 10.【答案】D【解析】解：由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，O ，D 三点共线，∴可设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λt OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λt =2(1−t)λ=1，解得t =23． 故选：D ．根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而根据B ，O ，D 三点共线，可设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λt OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样根据平面向量基本定理即可得出{λt =2(1−t)λ=1，解出t 即可．本题考查了共线向量基本定理，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：设直线方程为y =b a (x −c)，与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)联立，可得交点坐标为P(c 2,−bc2a ) ∵F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3C 2,bc 2a )，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )，由题意可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，即b 2c 24a 2−3c24<0，化简可得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2， 故可得c 2<4a 2，c <2a ，可得e =ca <2，∵e >1，∴1<e <2故选：D ．确定M ，F 1，F 2的坐标，进而由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合a 、b 、c 的关系可得关于ac 的不等式，利用离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题． 12.【答案】D【解析】解：令g(x)=x 2f(x)， 当x >0时，xf′(x)+2f(x)<0，则g′(x)=2xf(x)+x 2f′(x)=x[2f(x)+f′(x)]<0即g(x)在(0,+∞)上单调递减， 因为f(−x)=f(x)，所以g(−x)=(−x)2f(−x)=x 2f(x)=g(x)即g(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知，g(x)在(−∞,0)上单调递增，g(e)>g(3)， 所以f(e)9>f(3)e 2=f(−3)e 2，故选：D ．构造函数g(x)=x 2f(x)，结合已知条件及导数与单调性关系可判断g(x)的单调性及奇偶性，从而可求解．本题主要考查了利用奇偶性及单调性比较大小，解题的关键是函数性质的灵活应用． 13.【答案】−6【解析】解：由x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥−2作出可行域如图，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过B(−2,−2)时 直线在y 轴上的截距最小，z 最小z =−2×2−2=−6．故答案为：−6．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】3【解析】解：设等比数列的公比为q，则{a1q(1+q2)=8a1q5(1+q2)=4，解可得q4=12，所以a10+a12+a14+a16=(a2+a4)q8+(a6+a8)q8=8×14+4×14=3．故答案为：3．由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及性质在求解数列的项中的应用，属于基础试题．15.【答案】910【解析】解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P(B)=910，故答案为：910．设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．本题考查概率的求法，考查折线图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】√22a【解析】解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O 的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG//PN，且OG=12PN=√24a．在Rt△OGE中，OE=a2，则EF=2EG=2√OE2−OG2=√22a．故答案为：√22a．由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．本题考查多面体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cosxsin(x−π6)+2sinxcos(x−π6)=2sin(2x−π6)，由f(x)=0得2x−π6=kπ，k∈Z，得x=kπ2+π12，即函数的零点为x=kπ2+π12，k∈Z．(2)∵f(A)=2，∴f(A)=2sin(2A−π6)=2，得sin(2A−π6)=1，即2A −π6=2kπ+π2，即A =kπ+π3， 在三角形中，当k =0时，A =π3，满足条件，∵△ABC 的外接圆半径为√3，∴a sinA =2√3，即a =2√3×√32=3， 由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ≥=(b +c)2−34(b +c)2=14(b +c)2， 即(b +c)2≤4×9=36，即b +c ≤6当且仅当b =c 时取等号，则a +b +c ≤9，即三角形周长的最大值为9．【解析】(1)根据向量数量积的定义求出f(x)，结合零点的定义进行求解即可．(2)根据条件先求出A 和a 的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量数量积的定义以及余弦定理，利用基本不等式求最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．18.【答案】解：(1)连接AC ，在三角形ABD 中AB =2，AD =1， ∠BAD =60°，由余弦定理得BD =√3，AD 2+BD 2=AB 2，故AD ⊥BD ，EDBF 是矩形，DE =1，平面EDBF ⊥平面ABCD ，故BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，则AF =√4+1=√5，AE 2+EF 2=AF 2，故AE ⊥EF ，由AC =√22+1−2⋅2⋅1⋅cos120°=√7，EC =√5，AE =√2，得AE 2+EC 2=AC 2，故AE ⊥EC ，EC ∩EF =E ，所以AE ⊥平面EFC ，FC ⊂平面EFC ，所以AE ⊥FC ；(2)以D 为原点，DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，E(0,0，a)，F(0,√3,a)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,a),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)， 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +az =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0，得m ⃗⃗⃗ =(a,0,1)， 平面DEFB 的法向量为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，由cos <m ⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√a 2+1=45， 得a =43．【解析】(1)根据勾股定理判断AD ⊥BD ，AE ⊥EF ，AE ⊥EC ，得到AE ⊥平面EFC ，最后得出结论；(2)以D 为原点，DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB 的法向量，利用夹角公式列方程，求出a ．考查线面垂直的判定定理，利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．19.【答案】解：(1)设动圆P 的圆心为(x,y)，半径为r ，被x 轴截得的弦长为|AB|，依题意得：{√x 2+(y −2)2=r |y|2+(|AB|2)2=r 2， 化简整理得：x 2=4y ，∴曲线E 的方程为：x 2=4y ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点坐标C(x 3,y 3)，M(0,y 0)，联立方程{y =√2x +m x 2=4y，整理得：x 2−4√2x −4m =0， ∴△=16×2+4×4m =32+16m >0，∴m >−2，∴x 1+x 2=4√2，x 1x 2=−4m ，y 1+y 2=√2(x 1+x 2)+2m =8+2m ，∴x 3=2√2，y 3=4+m ，∴线段AB 的中点C 的坐标为(2√2,4+m)， 又|AB|=√1+(√2)2⋅|x 1−x 2|=√3×√32+16m =4√3×√2+m ，∴|AC|=2√3×√2+m ，又AB 的垂直平分线方程为：y −(4+m)=−√22(x −2√2)，∴y 0=6+m ， ∴|MC|=√(2√2)2+[(4+m)−(6+m)]2=2√3，∵CM 垂直平分AB ，∴∠AMB =2∠AMC ，又tan∠AMB =2tan∠AMC1−tan 2∠AMC =−2√2，解得tan∠AMC =√2或−√22(舍去)， ∴在Rt △AMC 中，tan∠AMC =|AC||MC|=√3√2+m 2√3=√2，∴m =0，满足m >−2，∴m 的值为0．【解析】(1)设动圆P 的圆心为(x,y)，半径为r ，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E 的方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点坐标C(x 3,y 3)，M(0,y 0)，联立直线l 与抛物线方程，利用韦达定理求出C 的坐标为(2√2,4+m)，利用弦长公式求出|AB|=4√3×√2+m ，所以|AC|=2√3×√2+m ，又y 0=6+m ，所以|MC|=√(2√2)2+[(4+m)−(6+m)]2=2√3，再利用二倍角的正切公式求出tan∠AMC =√2，所以tan∠AMC =|AC||MC|=√3√2+m2√3=√2，即可解出m 的值．本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.【答案】解：(1)根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025=0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；(2)由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P=C32C41C11+C31C42C11C84=37；(3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(216,139)，即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．【解析】(1)根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；(2)由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；(3)求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(216,139)，得质量指标的均值约为216，作差得答案．本题考查频率分布直方图，考查古典概型概率的求法，考查学生读取图表的能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1+ae x，当a≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，当a<0时，令f′(x)=0可得x=ln(−1a)，故函数的单调递增区间为(−∞,ln(−1a ))，单调递减区间(ln(−1a),+∞)，(2)证明：由f(x)=0可得a=2−xe x，设g(x)=2−xe x ，则g′(x)=x−3e x，当x<3时，g′(x)<0，函数单调递减，当x>3时，g′(x)>0，函数单调递增，当x=3时，g(x)取得最小值g(3)=−1e3，当x>时，g(x)<0，当x<2时，g(x)>0，不妨设x1<x2，则x1∈(2,3)，x2∈(3,+∞)，所以6−x1>3，且g(x)在(3,+∞)上单调递增，要证x1+x2>6，只要证x2>6−x1>3，故只要证g(x2)>g(6−x1)，因为g(x1)=g(x2)=a,只要证g(x1))>g(6−x1)，即2−x1e1>x1−4e1，即证e2x1−6(x1−4)+x−2<0，令ℎ(x)=e2x−6(x−4)+x−2，2<x<3，则ℎ′(x)=e2x−6(2x−7)+1，令m(x)=ℎ′(x)，则m′(x)=4e2x−6(x−3)<0，所以m(x)在(2,3)上单调及，ℎ′(x)>ℎ′(3)=0，故ℎ(x)在(2,3)上单调递增，ℎ(x)<ℎ(3)=0，即e2x−6(x−4)+x−2<0，从而：x1+x2>6．【解析】(1)对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；(2)由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，证明不等式，考查了学生分析问题，解决问题的能力．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ，∴曲线C 的普通方程为 x 24+y 2=1，∵直线l 的参数方程为 {x =a +t y =1−t (t 为参数)，∴当a =1时，直线l 的普通方程为x +y −2=0．由 {x 24+y 2=1x +y −2=0解得{x =2y =0或{x =65y =45从而C 与l 的交点的直角坐标是(2,0),(65,45)．(2)直线l 的普通方程是x +y −1−a =0，故C 上的点(2cos θ，sin θ)到l 的距离为d =√2=√5sin(θ+ϕ)−1−a|√2其中tanϕ=2， 当a ≥−1时，d 的最大值为√5+1+a√2． 由题设得√5+1+a2=2√2，所以a =3−√5当a <−1时，d 的最大值为．√5−1−a√2 由题设得，√5−1−a√2=2√2所以a =√5−5． 综上，a =3−√5,或a =√5−5．【解析】(1)求出曲线C 的普通方程和当a =1时，直线l 的普通方程，列方程组能求出C 与l 的交点的直角坐标．(2)直线l 的普通方程是x +y −1−a =0，C 上的点(2cos θ，sin θ)到l 的距离为d =√2=√5sin(θ+ϕ)−1−a|√2其中tanϕ=2，由此利用C 上的点到l 的距离的最大值为2√2，能求出a ．本题考查直线与曲线交点坐标的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：(1)当a =−2时，因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)=3， |所以f(x)≤3的解集为R ；由f(x)>0，得|x −1|>|x +2|，解得x <−12，故不等式0<f(x)≤3的解集为(−∞,−12)；(2)当a ≤0，x ∈(0,+∞)时，f(x)=|x −1|−x +a ={a −1,x ≥1−2x +1+a,0<x <1， 则f(x)min =f(1)=a −1，故a 2−3≥a −1，解得：a ≥2或a ≤−1，又a ≤0，所以a ≤−1．所以a 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)当a =−2时，利用绝对值不等式得f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，即f(x)≤3的解集为R ；再由f(x)>0，得|x −1|>|x +2|，解之，即可得到不等式0<f(x)≤3的解集；(2)当a ≤0，x ∈(0,+∞)时，可求得f(x)=|x −1|−x +a 的最小值为f(1)=a −1，解不等式a 2−3≥a −1即可得到答案．本题考查不等式恒成立问题、考查分类讨论思想与等价转化思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
4.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
5.如图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位：元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ＝ ．
Ⅰ 求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
Ⅱ 若点 在曲线 上，点 在曲线 上，求 的最小值及此时 点的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
已知函数 ＝ ．
【解析】
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【解答】
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5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
进行简根的合情亮理
【解析】
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【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
等差数常的占n项和
【解析】
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【解答】
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平均车速超过 的人数
平均车速不超过 的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
根据这些样本数据来估计总体，随机调查 辆家庭轿车，记这 辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过
的人数为 ，假定抽取的结果相互独立，求 的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 ．
临界值表：
设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
求 ；
若 为锐角三角形，求 的取值范围．
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)含答案解析
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数=a5=31．列，故a65=a3+（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．2020年7月22日第21页（共21页）。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷和答案(理科)
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|0≤x≤3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）若复数z＝cosα+isinα，则当时，复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100个B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个4．（5分）已知，，向量的夹角为，则＝（）A．B．1C．2D．5．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝﹣2a n+1，则S6的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小正周期是π；②函数f（x）在区间上是减函数；③函数f（x）的图象关于直线对称；④函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移个单位得到．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①③④8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知x∈[150，300]且x是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x的取值的和为（）A．2020B．2305C．4610D．4675 9．（5分）已知0＜a＜b＜1，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．alna＜blnb D．a a＞b b 10．（5分）F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2＝，则C的离心率是（）A．B．2C．D．11．（5分）表面积为60π的球面上有四点S，A，B，C，且△ABC 是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为（）A．B．18C．27D．12．（5分）已知f（x）＝．若f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a ＝0恰有两个实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，2ln2﹣2]C．（﹣∞，2﹣2ln2]D．（﹣∞，2ln2﹣2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．14．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）＝﹣2cosx﹣sinx，则f（x）在点处的切线方程为．15．（5分）若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为．16．（5分）已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则d（P）＝；设点P（﹣1，t）（t＞0），则2d（P）﹣|PF|的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，已知在△ABC中，D为BC上一点，AB＝2AC，．（Ⅰ）若BD＝AD，求的值；（Ⅱ）若AD为∠BAC的角平分线，且，求△ADC的面积．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E ⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．19．（12分）检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，即将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，再对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（Ⅱ）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点ξ2．当时，根据ξ1和ξ2的期望值大小，讨论当k取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.09．）20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）ln（ax）（a＞0且a≠1）的零点是x1，x2．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在零点处的切线斜率分别为k1，k2，判断k1+k2的单调性；（Ⅱ）设x0是f（x）的极值点，求证：x1+x2＞2x0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．（10分）已知椭圆C1的普通方程为：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝4，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D逆时针依次排列，点A的极坐标为．（Ⅰ）写出曲线C1的参数方程，及点B、C、D的直角坐标；（Ⅱ）设P为椭圆C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤6；（Ⅱ）已知g（x）＝|x﹣1|+2，若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：A．2．【分析】由已知求得z的坐标，再由三角函数的象限符号得答案．【解答】解：复数z＝cosα+isinα在复平面内对应的点的坐标为（cosα，sinα），∵，∴cosα＜0，sinα＞0，则复数z在复平面内对应的点在第二象限．故选：B．3．【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．4．【分析】直接把已知条件代入数量积计算即可．【解答】解：因为，，向量的夹角为，则＝+＝12+1×2×cos＝2；故选：C．5．【分析】本题根据题意可应用公式a n＝进行计算即可判断出数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式计算出S6的值．【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝﹣2a1+1，解得a1＝，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣2a n+1+2a n﹣1﹣1，整理，得a n＝a n﹣1，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴S6＝＝．故选：A．6．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝1，高h＝，再由圆锥的表面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝1，高h＝，则母线长l＝2．则圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×2＝3π．故选：C．7．【分析】先利用余弦的二倍角公式、辅助角公式将函数化简成f（x）＝，再结合正弦函数的周期性、单调性、对称性和平移变换逐一判断每个选项即可．【解答】解：f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝，①最小正周期，即①正确；②令，则，这是函数f（x）的减区间，即②正确；③令，则，这是函数f（x）的对称轴，当k＝﹣1时，，即③正确；④的图象向左平移个单位得到，即④错误．∴正确的有①②③，故选：C．8．【分析】满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5＝15的等差数列，求其通项公式，由x∈[150，300]且x 是整数求得n值，再由等差数列的前n项和求解．【解答】解：满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5＝15的等差数列，记数列{a n}．则a n＝13+15（n﹣1）＝15n﹣2，∵x∈[150，300]，∴150≤15n﹣2≤300，解得≤n≤．故n从11开始，到20结束，∴a11＝163，a20＝298，∴该数列各项之和为＝＝2305，故选：B．9．【分析】0＜a＜b＜1，可得lna＜lnb＜0，进而判断出A，B，C 的正误．令y＝x x（1＞x＞0），lny＝xlnx，可得y′＝x x（lnx+1），利用单调性即可判断出D的正误．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴lna＜lnb＜0，可得：0＞＞，∴＞＞，即＞；＞1；alna＞blnb；令y＝x x（1＞x＞0），则lny＝xlnx，∴y′＝x x（lnx+1），可得：函数y＝x x在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴x＝时函数取得最大值．∴a a与b b的大小关系不确定．综上可得：只有A正确．故选：A．10．【分析】设一渐近线OA的方程为y＝x，设A（m，m），B （n，﹣），由2＝，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2＝3b2，代入e＝＝进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2＝，∴2（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）＝n﹣c，﹣＝﹣，∴m＝c，n＝，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•＝﹣1，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．故选：C．11．【分析】由已知求得棱锥外接球的半径，进一步求得棱锥S﹣ABC 的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．【解答】解：设球的半径为r，由球的表面积为60π，得4πr2＝60π，即r＝，设△ABC的中心为D，则OD＝，∴AD＝2，则AB＝6，棱锥S﹣ABC的底面积S＝，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO＝，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为3，∴V＝×9×3＝27．故选：C．12．【分析】根据f（x）的图象判断a的范围，用a表示出x1，x2，得出x1+x2关于a的函数，从而可得出x1+x2的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，方程f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a＝0可化为[f（x）+1][f（x）﹣a]＝0，即有f（x）＝﹣1，f（x）＝a，由图可知f（x）＝﹣1无解，故条件等价于f（x）＝a（a＞1）有两个实数根x1，x2，不妨令x1＜x2，即有x12＝＝a，所以x1＝﹣，x2＝lna，则x1+x2＝﹣+lna，令g（x）＝﹣+lnx（x＞1），则g′（x）＝，∴当1＜x＜4时，g′（x）＞0，当x＞4时，g′（x）＜0，∴当x＝4时，g（x）取得最大值g（4）＝ln4﹣2＝2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得＝．由6﹣3r＝0，得r＝2．∴常数项等于．故答案为：240．14．【分析】根据奇函数的性质，求出切点坐标，然后根据奇函数图象关于原点对称，则在关于原点对称的两点处的切线互相平行，求出切线的斜率．问题可解．【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以，∵f′（x）＝2sinx﹣cosx，（x＜0），∴＝﹣2，∴．故切线方程，即：2x+y﹣π+1＝0．故答案为：2x+y﹣π+1＝0．15．【分析】利用条件概率公式，可得答案．【解答】解：设事件C＝“有一件不是废品”，事件D＝“另一件是废品”，则P（C）＝1﹣＝，P（C∩D）＝＝，∴P（D|C）＝＝＝，故答案为：16．【分析】（1）先根据P、F两点的坐标求出线段|PF|的长和直线PF的方程，再联立直线PF与抛物线的方程，解之可得点Q的坐标，然后结合抛物线的定义求得线段|FQ|的长，进而得解；（2）设直线PF的方程为x＝my+1（m＜0），代入点P的坐标，可得到m与t的关系，然后联立直线PF与抛物线的方程，求得y Q，同样地，根据P、F两点的坐标求出线段|PF|的长，并将其转化为关于m的代数式，最后，2d（P）﹣|PF|＝，将得到的结论均代入，化简整理后即可得解．【解答】解：（1）∵y2＝4x，∴焦点F的坐标为（1，0），∵点，∴|PF|＝，直线PF的方程为，联立，解得或2，∵Q为线段PF与抛物线的交点，∴，由抛物线的定义可知，|FQ|＝x+＝，∴＝．（2）设直线PF的方程为x＝my+1（m＜0），则﹣1＝mt+1，∴mt＝﹣2，联立得y2﹣4my﹣4＝0，解得，∵P（﹣1，t），F（1，0），∴|PF|＝＝，∴2d（P）﹣|PF|＝＝＝2．故答案为：4，2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由正弦定理可得，结合BD＝AD，可得∠ADC＝2∠B，进而利用二倍角公式，正弦定理即可求解的值；（Ⅱ）设AC＝t，则AB＝2t，由余弦定理可得，解得或，又BD＝2DC，可求，又由（1）可求，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵，可得：，∵，AB＝2AC，∴，∵BD＝AD，可得∠ADC＝2∠B，∴sin∠ADC＝sin2B＝2sinBcosB，∴在△ADC中，可得．（Ⅱ）设AC＝t，则AB＝2t，在△ABC中由余弦定理可得：，解得或，因为BD＝2DC，所以，又由（1）知，所以，由（1）知当时，当时，综上△ACD的面积为或．18．【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得可得∠AOD＝90°，则AE⊥BD，由已知求得OD'⊥AE，利用线面垂直的判定可得AE⊥平面OBD'．从而得到AE⊥BD'；（Ⅱ）由平面AD'E⊥平面ABCE，且由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求解三角形可得OD′，OA，OE，得到A，B，D′的坐标，分别求得平面ABD'与平面ABE的法向量，然后由两法向量所成角的余弦值可得二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AE于点O，依题意得，Rt△ABD～Rt△DAE，∴∠DAE＝∠ABD，得∠AOD＝90°，则AE⊥BD，即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′＝O，OB，OD'⊂平面OBD'．∴AE⊥平面OBD'．又BD1⊂平面OBD'，∴AE⊥BD'；（Ⅱ）解：∵平面AD'E⊥平面ABCE，由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．在Rt△AD'E中，求得，，，∴，，，则，，设平面ABD'的法向量，则，即，解得，令y＝1，得，显然平面ABE的一个法向量为．∴＝，∴二面角D'﹣AB﹣E的余弦值为．19．【分析】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，求解概率．（2）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，求出概率与期望，通过，即．设，利用导数与函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．（2）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，计算，，所以，又，，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，，所以k的取值大于等于9时采用逐份检验方式好．20．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，结合椭圆的几何性质可得bc＝，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，与椭圆的方程联立可得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，结合根与系数的关系分析可得即，解可得m的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则，设P（x，y），则，∵．解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．又令，∴∴又．21．【分析】（Ⅰ）令f（x）＝0可得，x2＝a，进而可得k1，k2，进一步得到，构造g（x）＝2lnx﹣x2+1，利用导数研究其单调性即可；（Ⅱ）法一：令，作差后，构造，利用导数可知h （x）≥h（1）＝0，再结合f'（x）在（0，+∞）的单调性，即可得证；法二：可知x0是f（x）的极小值点，构造F（x）＝f（x0+x）﹣f （x0﹣x），求导研究可知F（x）在（0，x0）单调递减，故F（x）＜F（0）＝0，进而得到（x0+x）＜f（x0﹣x），设0＜x1＜x0＜x2，则f（x2）＝f（x1）＝f（x0﹣（x0﹣x1））＞f（2x0﹣x1），由此得到f（x2）＞f（2x0﹣x1），再结合f（x）的单调性即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由（x﹣a）ln（ax）＝0，得，x2＝a．则，k2＝f'（x2）＝f'（a）＝2lna，所以，令F（x）＝2lnx﹣x2+1，则，所以当0＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0，故F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）递减，即k1+k2在（0，1）单调递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）证明：法一、令，则，故f'（x）在（0，+∞）上单调递增．＝．令，则．所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时h'（x），h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝0，当且仅当x＝1时等号成立．又因为且，所以因此．即．因为f'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以．即x1+x2＞2x0．法二、，在x＞0，f''（x）＞0恒成立，由题知x0为f（x）的极值点，所以且f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故x＝x0为f（x）的极小值点．令F（x）＝f（x0+x）﹣f（x0﹣x），则F'（x）＝f'（x0+x）+f'（x0﹣x）＝，故，因为0＜x＜x0，所以F''（x）＜0，所以F'（x）在（0，x0）单调递减，所以，所以F（x）在（0，x0）单调递减，所以F（x）＜F（0）＝0，所以（x0+x）＜f（x0﹣x），不妨设0＜x1＜x0＜x2，f（x2）＝f（x1）＝f（x1﹣x0+x0）＝f（x0﹣（x0﹣x1））＞f（x0+（x0﹣x1））＝f（2x0﹣x1），所以f（x2）＞f（2x0﹣x1），又f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以x2＞2x0﹣x1，即x1+x2＞2x0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（1）椭圆C1的普通方程为：，转换为参数方程为（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为：ρ＝4，点A，B，C，D的极坐标分别为，，，点A，B，C，D的直角坐标分别为，，，；（2）设P（x0，y0）：则（θ为参数），．故当且仅当点P坐标为（0，3）或（0，﹣3）时|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值为100．23．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入函数解析式，对x分类去绝对值，转化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；（Ⅱ）把问题转化为{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，即f（x）＝．当x＜﹣1时，﹣4x﹣1≤6，得﹣≤x＜﹣1；当﹣1时，f（x）≤6成立；当x＞时，4x+1≤6，解得．则f（x）≤6的解集为：；（Ⅱ）∵对任意x1∈R，都存在x2∈R使得f（x1）＝g（x2）成立，∴{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}．又f（x）＝|2x﹣a|+2|x+1|≥|2x﹣a﹣（2x+2）|＝|a+2|，（当且仅当（2x﹣a）（x+1）≤0时取等号）．g（x）＝|x﹣1|+2≥2．∴|a+2|≥2，解得a≤﹣4或a≥0，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．。
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−3<x<1}，B={x|x<−1或x>2}，则A∩B=()A. {x|−3<x<−1}B. {x|−3<x<2}C. {x|−1<x<1}D. {x|1<x<2}2.若复数z满足(1−i)z=3+i，则|z|=()A. 5B. √5C. 2D. √33.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βD. m、n是两异面直线，若m//α，m//β，且n//α，n//β，则α//β5.图1为某省2018年1∼4月快递业务量统计图，图2为该省2018年1∼4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1∼4月快递业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月快递业务量同比增长率均超过50%，其中3月最高C. 2018年1∼4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从2018年1∼4月来看，该省快递业务收入同比增长率逐月增大6.若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=3，a4=2，则a5等于()A. 5B. 6C. 7D. 87. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( )A. 6425B. 4825C. 1D. 16258. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( )A. 3B. 52C. 72D. 329. 我国古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 1510. 函数f (x)=ln|x|+x 2−x 的图象大致为( )A.B.C.D.11. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F(−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. √5B. √52C. √5+1D. √5+1212. 已知函数f(x)={(12)x−1 , x ≤1log 3(x +1) , x >1，不等式f(x +1)−1>0的解集是( )A. {x|x <0或x >1}B. {x|x <1或x >2}C. {x|x <2或x >3}D. {x|x <0或x >3}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某种牛肉干每袋的质量m(kg)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N(2,σ2)，P(1.9≤m ≤2.1)=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是 袋．14. 已知函数f (x )=ax −log 2(2x +1)+cosx (a ∈R )为偶函数，则a =________．15. 三棱锥P −ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ΔABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA =2AB =6，则该球的表面积为______ ．16. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，(a ⃗ −2b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2a ⃗⃗⃗⃗ +b ⃗ )=−1，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有20人，不超过100km/ℎ的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有5人，不超过100km/ℎ的有15人．(Ⅰ)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/ℎ的人与性别有关；(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/ℎ的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．19.在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长．20.已知动点M到定点F1(−2,0)、F2(2,0)的距离之和为2√6．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过x轴正．半．轴．上一点(m,0)，且倾斜角为150∘的直线l交曲线C于A、B两点.问：是否存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好经过点F2(2,0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数g(x)=e x−2ax−b，a，b∈R．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线C 1：{x =t +1ty =2(t −1t )(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ−3cosθ． (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标下普通方程；(2)已知点Q 在曲线C 2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P 点坐标．23. 已知函数f(x)=|x|+|x +1|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R +，函数f(x)的最小值为m ，若a +b +c =m ，求证：ab +bc +ac ≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={x|−3<x<1}，B={x|x<−1或x>2}，则A∩B={x|−3<x<−1}．故选：A．根据交集的定义计算A∩B．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．解：由(1−i)z=3+i，得z=3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i，∴|z|=√12+22=√5．故选B．3.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．4.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β平行或相交；在C中，α与β平行或相交；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．解：由m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，知：在A中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，当m//n时，则α与β有可能相交，故B错误；在C中，若m⊂α，n⊂β，m//n，则α与β平行或相交，故C错误；在D中，m、n是两异面直线，若m//α，m//β，且n//α，n//β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．5.答案：D解析：本题主要考查频率分布折线图以及合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键，属于基础题．根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可．解：由统计图可以看出选项A,B显然正确；对于选项C，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误，故选D．6.答案：A解析：。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (解析版)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x+2>0}，B={−3,−2,−1,0}，则(∁R A)∩B=()A. {−3,−2}B. {−3}C. {−2,−1,0}D. {−1,0}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A. 23B. 12C. 15D. 254.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(3)+f(4)+f(5)=()A. 2B. 0C. −2D. 45.在2010∼2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及新一代智能手机的规格升级，电动汽车及物联网等迎来新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为()①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013∼2014年；③这8年的增长率约为；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳．A. 1B. 2C. 3D. 46.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<17.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则C的焦点到准线的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 88.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，点M，N是双曲线C上异于顶点的关于原点对称的两点，P是双曲线C上任意一点，PM，PN的斜率都存在，则k PM⋅k PN的值为()A. a2b2B. b2a2C. b2c2D. 以上答案都不对9.将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N∗)，例如a32=10.若a ij=2020，则i−j=()A. 25B. 22C. 23D. 2110. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=−5，S 9=−27，{b n }为等比数列，且b 3=a 3，b 5=a 5，则b 9的值为( )A. −9B. 9C. −27D. 2711. 设函数f (x )=x −e −x ，直线y =mx +n 是曲线y =f (x )的切线，则m +n 的最小值是( )A. −1eB. 1C. 1−1eD. 1+1e 3 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AD =2，BD =4，点M 、N 分别为BD 、BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD ⊥平面BCD ，P 为QC 的中点．则点D 到平面QMN 的距离为( )．A. √63B. 2√33C. √32D. √64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5=8，a 7=8，则a 1的值是______．15. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为____．16. 函数y =x +2sinx 在区间(0,2π)内的极大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c.已知sinAsinC =34，b 2=ac ．(1)求角B 的值；(2)若b =√3，求△ABC 的周长．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3√3．(Ⅰ)若PC的中点为E，求证：DE//平面PAB；(Ⅱ)若∠PAB=60°，求直线DC与平面PAB所成角的余弦值．19.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则X=3．(1)求三只黑猫挨在一起出笼的概率；(2)求X的分布列和数学期望．20.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−2，g(x)=|2x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若f(x)≥g(x)在[6,8]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x>−2}；∴∁R A={x|x≤−2}；∴(∁R A)∩B={−3,−2}．故选：A．解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题．从5种物质中任取2种，共有10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，即可得出结果．解：依题意，从5种物质中任取2种，设五种物质分别为A，B，C，D，E，则所有选法为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，故取出的两种物质恰好是相克关系的概率为510=12，。