差分方程模型习题+答案

1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活

费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到

80 岁，问

60 岁时应存入多少钱？

分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，

根据题意，建立如下的差分方程：

A

k 1

aA k b ，其中 a = 1 + r

每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出

A k 的值。

(2) 多少岁时将基金用完，何时

A k 0 由（ 1）可得：

A

A a k

b a k

1

k 0

r

n

若 A n

0 ，

b

A 0 ra

n

a1

(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240

0 ，

b

A 0 ra

240

(1)

240

利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc

x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';

y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])

function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n

x(k+1)=a*x(k)-b; end

(2) 用 MATLAB 计算：

A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240

a

1

思考与深入：

(2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完

(3)A0 = 1.5409e+005

结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。

2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立

10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要

少？

分析：记第k 个月末他欠银行的钱为

x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为

x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2⋯

在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。

编写M文件如下:

function x=exf11(x0,n,r,b)

a=1+r;

x=x0;

for k=1:n

x(k+1)=a*x(k)+b;

end

MATLAB 计算并作图 :

k=(1:140)';

y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);

所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。

如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为：

r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]

用MATLAB 计算如下：

>>x0=100000;

>>r=0.005;

>>n=120;

>>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]

b= 1.1102e+003

所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。

3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为

r2；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为 a 2。建立差

50 年的变化过分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出

程。

0.002,开始时有100 只田鼠和50 只猫头

(1) 设r10.2, r 20.3, a10.001,

a2

鹰。

（2）r1 , r2, a1 , a2同上，开始时有100 只田鼠和200 只猫头鹰。

（3）适当改变参数a1, a2（初始值同上）

（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？

分析：记第 k 代田鼠数量为x k，第k代猫头鹰数量为y k，则可列出下列方程：

x

k 1x k( r1a1 y k ) x k

y

k 1y k( r 2 a 2 x k ) y k

运用 matlab 计算，程序如下：

function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)

x=x0;y=y0;

for k=1:49

x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);

y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);

end

z=[x',y'];

(1)

z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)

plot(1:50,z(:,1));

hold on;

plot(1:50,z(:,2),'r')

(2)

z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)

plot(1:50,z(:,1));

hold on;

plot(1:50,z(:,2),'r')

(3)

当 a1,a2 分别取 0.002,0.002 时，得到如下图像：