最优化控制 线性二次型最优控制问题
P&(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) Q(t)
（5.2.4） 矩阵黎卡提(Riccati)微分方程
由于终端状态X(tf)是自由的，故相应的协态变量的
终端值为 又考虑
(t
f
)
[ X (t f ), X (t f )
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程 的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。 对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
第五讲 线性二次型 最优控制问题
1
主要内容
5.1 线性二次型性能指标 5.2 状态调节器问题
有限时间状态调节器问题 无限时间状态调节器问题
5.3 输出调节器问题 5.4 跟踪问题
2
5.1 线性二次型性能指标
线性二次型最优控制问题：线性系统具有二次型性 能指标的最优控制问题，具有以下特性：
➢ 性能指标具有鲜明的物理意义。 ➢ 最优解可以写成统一的解析表达式。 ➢ 所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算
10
说明：
（1）二次型性能指标是一种综合型性能指标，它 可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、 系统运行的安全性及节能性各方面因素。
（2）线性二次型最优控制问题的实质是：用不大 的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到 控制能量和误差综合最优的目的。
（3）控制时间的起点t0及终点tf，可能是由实际问题 决定的客观参数，也可能是由设计者决定的主观参
➢ 将S阵取为半正定，以便保证终端代价的非负性， 但容许不考虑与之相应的终端误差。
➢ Q(t) 取半正定，以便保证暂态误差总和的非负 性，但容许不考虑与之相应的暂态误差。
➢ R(t)必须取正定，因为控制代价实际上反映控制 过程的能量消耗。只要U(t) 不为零，控制过程 中能量消耗当然不应等于零。
14
内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实
现对U(t)的限制。J
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。
实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反
（3）由于终端代价只表示终端时刻tf时的性能，因此， S应为常数阵。至于Q(t)及R(t)，可能取为常数阵，也 可能取为时变阵——为了适应控制过程的特殊需要。
➢ 在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所 致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视 这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击；控 制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够 的重视。只有把Q(t)和R(t)取为时变阵，才能适应控制过程 的这类时变需求。
映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明
期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
16
5.2 状态调节器问题
一、有限时间状态调节器问题
问题5.2.1 给定线性时变系统的状态方程和初始条件
X&(t) A(t) X (t) B(t)U (t)
X
( )
和工程实现。 ➢ 可以兼顾系统性能指标的多方面因素：快速性、能量消耗、
终端准确性、灵敏度和稳定性等。 ➢ 许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。
线性二次型最优控制问题在实践上得到了广泛而成功的应用！ 3
问题5.1.1
给定线性时变系统的状态方程和输出方程
X&(t) A(t) X (t) B(t)U (t) Y (t) C(t) X (t)
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值 附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J
1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
12
J
1 2
X T (t f
)SX (t f
)
1 2
tf [ X T (t)Q(t) X (t) U T (t)R(t)U (t)]dt
t0
性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)
（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系， 将直接影响系统的工作品质。
➢ 提高S阵中某一元素的比重，说明更加重视与该元素对应的状 态分量的终端准确性；
➢ 为了防止模型的失调，也需要Q(t)及R(t)具有时变性质。
15
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制
作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对
U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值
比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之
tf t0
[Yr (t) Y (t)]T Q(t)[Yr (t) Y (t)] U T (t)R(t)U (t)
dt
这时问题转化为：
用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧紧跟随Yr(t) 的变化——跟踪问题。
8
J
1 2
eT
(t
f
)Se(t f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
数——设计者必须把希望达到的目标和t0 、 tf的选择
联系起来。
11
（4）不同目标之间，往往存在着一定矛盾。 为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的 控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅 值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准 确性——合理折衷。
（5）无论容许控制如何选择，性能指标中各项的数 值始终具有相同的符号。以极小值作为最优标准， 结合问题的物理性质，各项符号均取正值。
6
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若C(t)=I（单位矩阵），Yr(t)=0，则
Y (t) X (t) e(t)
于是性能指标变为
J
1 2
X T (t f
)SX (t f
)
1 2
tf [ X T (t)Q(t) X (t) U T (t)R(t)U (t)]dt
t0
问题归结为：
➢性能指标中的第三部分
1 tf U T (t)R(t)U (t)
2 t0
称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平 滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控 制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保 证系统具有适当的节能性。
整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗， 以及控制结束时的系统稳态误差——综合最优.
X0
（5.2.1）
其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A (t)
是nn时变矩阵，B (t)是nm时变矩阵。性能指标是
J
1 2
X T (t f
)SX (t f
)
1 2
tf [ X T (t)Q(t) X (t) U T (t)R(t)U (t)]dt （5.2.2）
t0
其中，Q (t)是nn非负定对称的时变矩阵，R (t)是 mm正定对称的时变矩阵，tf是给定的有限终端时刻，
若Q(t)是半正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是半正定矩阵；
若Q(t)是正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是正定矩阵。
证明附后
22
对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)
证明：将矩阵Riccati微分方程(5.2.4)两边转置，得：
且边界条件为：
P&T (t) PT (t) A AT PT (t) PT (t)BR1BT PT (t) Q PT (t f ) 0
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0
5
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr=0，则
Y (t) e(t)
于是性能指标变为
J
1YT 2
(t f
)SY (t f
)
1 2
tf [Y T (t)Q(t)Y (t) U T (t)R(t)U (t)]dt
合集下载
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析
2018/10/31
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
线性二次型
a 2 b p 1
*
1 a 2
最优控制为：
u (t )* R 1 B T Px (t ) x1 (t ) a 2 x2 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优状态调节器系统结构图
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
物理意义
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用极小值原理求u(t)的表达式
(1)
(2) R(t)正定，保证其逆阵的存在
规范方程组：
写成矩阵形式：
x Ax BR 1BT Ax S H Qx AT x S x x A (4) Q AT
利用矩阵P正定的性质
2 p11 p22 p12 0 (a 2) b a 2 1 0 0 (a 1) b a 2 (a 1) 2 1 2 平方 b a a a2 a2
线性二次型(LQ)最优控制问题
* 与给定条件 a b 2 0矛盾，故假设 p12 1不成立
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响---r变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
性能指标中的参数的影响--- tf 变化的影响
线性二次型(LQ)最优控制问题
状态调节器—无限时间状态调节器 终端时间 t , 无限时间问题
设线性定常系统的状态方程为
(15)
（13）对时间求导
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR 1BT P]x
（15）与（16）相等，可得
最优控制问题的线性系统方法
最优控制问题的线性系统方法最优控制是应用数学和控制理论中的一个重要分支，旨在寻找系统最优行为以满足特定的性能指标。
在线性系统中，最优控制问题可以通过线性规划和线性二次型问题来表示和解决。
本文将探讨基于线性系统的最优控制问题，并介绍常见的线性系统方法。
一、线性系统基础线性系统是指系统的行为遵循线性关系的动态系统。
它可以用线性微分方程来描述，具有以下形式：$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$其中$x(t)$是系统的状态向量，$u(t)$是输入向量，$y(t)$是输出向量，$A$是系统矩阵，$B$是输入矩阵，$C$是输出矩阵，$D$是直接传递矩阵。
线性系统的状态和输出可以通过系统的初始状态$x(0)$、输入$u(t)$和系统矩阵来确定。
二、最优控制问题的目标和约束最优控制问题旨在寻找满足特定性能指标的最优控制策略。
通常，我们定义一个性能指标函数$J$，它量化了系统的性能表现。
最优控制问题的目标是最小化或最大化$J$，同时满足系统动态方程和约束条件。
常见的性能指标函数包括最小化控制误差、最小化能量消耗、最小化响应时间等。
约束条件可以是状态约束、输入约束或输出约束，用于限制系统的操作范围。
三、线性规划方法线性规划是一种常见的最优控制方法，基于线性系统模型和线性约束条件。
最优控制问题可以通过线性规划的方法进行建模和求解。
线性规划问题的一般形式如下：$$\min_{u(t)} J = \int_{t_0}^{t_f} \left( q(t)x^T(t)Qx(t)+r(t)u^T(t)Ru(t) \right) dt$$$$\text{subject to} \quad \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$$$x(t_0)=x_0$$$$x(t_f)=x_f$$其中$Q$和$R$是正定矩阵，$q(t)$和$r(t)$是正权重函数。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
线性二次型讲解
(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
现代控制理论习题之线性二次型最优控制
2ap12 + a 2 p 22 = −1
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
p11 − p12 p 22 = 0
2 µ + 2 p12 − p 22 =0
将这 3 个方程联立，解出 p11 、 p12 、 p 22 ，且要求 P 为正定的，可得
⎡p P = ⎢ 11 ⎣ p12
最优反馈增益矩阵 K 为：
p12 ⎤ ⎡ µ + 2 =⎢ p 22 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣
1 ⎤ ⎥ µ + 2⎦ ⎥
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
所导出的闭环系统为：
= − 2x x
显然，闭环系统是渐近稳定的。 7.2 研究如题 7.2 图 1 所示的系统。假设控制信号为： u (t ) = − Kx(t ) 确定最优反馈增益矩阵 K ，使得下列性能指标达到极小：
第七章
线性二次型最优控制
第七章
线性二次型最优控制
7.1 考虑一阶系统
=x+u x
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
p11 − p12 p 22 = 0
2 µ + 2 p12 − p 22 =0
将这 3 个方程联立，解出 p11 、 p12 、 p 22 ，且要求 P 为正定的，可得
⎡p P = ⎢ 11 ⎣ p12
最优反馈增益矩阵 K 为：
p12 ⎤ ⎡ µ + 2 =⎢ p 22 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣
1 ⎤ ⎥ µ + 2⎦ ⎥
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
所导出的闭环系统为：
= − 2x x
显然，闭环系统是渐近稳定的。 7.2 研究如题 7.2 图 1 所示的系统。假设控制信号为： u (t ) = − Kx(t ) 确定最优反馈增益矩阵 K ，使得下列性能指标达到极小：
第七章
线性二次型最优控制
第七章
线性二次型最优控制
7.1 考虑一阶系统
=x+u x