线性二次型最优控制
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线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制器设计
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
1 要寻求控制向量 (t ) 使得二次型目标函数 J u
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
2 0
( x Qx u Ru )dt
T T
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u
R
1
B Px Kx
T
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 T 1 P PB BP Q 0 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA
A
R
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),(k 0,1, , N 1)
要寻求控制向量u (k )使得二次型目标函数
1 T T J [ x (k )Qx(k ) u (k ) Ru (k )] 2 k 0
E[ (t ) (t )] 0 E[ (t ) (t )] 0
T
式中，E〔x〕为向量x的均值。E〔xxT〕为零均值的Gauss信号x的协方差。 进一步假设ω (t)和ν (t)为相互独立的随机变量，使得E〔 ω (t)ν T(t) 〕=0。定义最 优控制的目标函数为： T T
x(k 1) 2 x(k ) u (k ) y (k ) x(k )
试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
第五章 章 线性系统二次型指标的最优控制
因为状态方程只能是对飞行器实际动力学特性 的近似描绘，这里存在着模型误差，把U 0 (t ) 加到飞 行器上去，所产生的实际状态 X (t ) 将不同于 X 0 (t ) （这 里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作用）。 （这里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作 用）。
令状态误差为 X (t ) X (t ) X 0 (t ) ，我们要使X (t ) 愈小愈好，为此，可根据 X (t )构成一个最优反馈控 制 U (t )，作为校正信号加到 U 0 (t ) 上去，得到的实际 控制信号U (t ) U 0 (t ) U (t ) 将使飞行器尽可能沿着 X 0 (t ) 飞行。
因此可从 t f 到 t 0 逆时间积分黎卡提微分方程， 求出 K (t ) 。由(5-9)和(5-11)就可构成最优反馈控制
U (t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) X (t ) G(t ) X (t )
(5-16)
G(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) 又称为最优反馈增益矩阵。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Pe (t f ) e (t )Q(t )e(t ) U T (t ) R(t )U (t ) dt （5-4） 2 2 t0
P 其中， 是 l l 对称半正定常数阵，Q(t ) 是 l l 对 称半正定阵, R(t ) 是 m m对称正定阵。 一般 Q R 将 P 、 (t ) 、 (t ) 取成对角阵。
U (t )
实际系统 （飞行器）
X (t )
U(t)
线性二次最优反馈控制
X (t )
图5-1 线性二次最优反馈控制的应用
(优选)线性二次型最优控制器设计
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
现代控制理论线性二次型最优控制
0 ∞
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
线性二次型的最优控制
(5 11)
（5-13）-（5-12）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
(5 14)
第5章 线性二次型的最优控制
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
本章主要内容：
5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器
5.3 输出调节器
5.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好 坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第5章 线性二次型的最优控制
线性二次型问题的本质：
f=0; %initial value
sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100);
y = deval(sol,x);
plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100)
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab进行
第5章 线性二次型的最优控制
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3) 若z(t)≠0,则e(t)=z(t)-y(t)。 这时 , 线性二次型问题为 : 用不大的控制能量 , 使输出 y(t)跟踪期望信号z(t)的变化(e(t)保持在零值附近 ),称 为输出跟踪问题。 下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的 求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为： 时变状态调节器 定常状态调节器
该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使输出值y(t)保持在零值 附近,称为输出调节器问题。
1 1 tf J [u()] e τ (t f ) Fe(t f ) [e τ (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
线性二次型最优控制(12/12)
1 τ 1 tf τ J [u(t )] x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
式中, F和Q(t)为非负定矩阵;
R(t)为正定矩阵; 末态时刻tf是固定的。
J [u(t )]
1 τ 1 tf x (t f ) Fx(t f ) [ x τ (t )Q(t ) x(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
时变状态调节器(3/3)
由于所讨论的系统为线性系统,给定的性能指标泛函J 对状态变 量x(t)和控制量u(t)均连续可微 ,因此,状态调节器问题可用变分 法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。 本节采用变分法 给出最优控制解存在的充分必要条件及 最优控制问题解的表达式,讨论最优控制解的存在性、唯一 性等性质及解的计算方法。
该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使状态x(t)保持在 零值附近,称为状态调节器问题。 2) 若令 z(t)=0, 则 y(t)=-e(t) 。这时 ,线性二次型问题的性能指 标泛函变为
1 τ 1 tf τ J [u()] y (t f ) Fy(t f ) [ y (t )Q(t ) y(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
线性二次型最优控制(8/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
非负定的时变矩阵Q(t) 为加权矩阵 ,其各行各列元素 的值的不同 , 体现了对相应的误差向量 e(t) 的分量在 各时刻的要求不同、重要性不同。
线性二次型最优控制(7/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
2) 性 能 指 标 泛 函 J[u(· )] 中 的 第 2 项 被 积 函 数 中 的 第 1 项 e(t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差向量e(t)的 要求和限制。 由于时变的加权矩阵 Q(t) 为非负定的 , 故该项函数值 总是为非负的。 一般情况下 ,e(t) 越大 ,该项函数值越大 ,其在整个 性能指标泛函所占的份量就越大。 因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向 量e(t)的大小的约束和限制。 在e(t)为标量函数时,该项可取为e2(t),于是该项与 经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分 指标一致。
(t ) A(t ) x (t ) B (t )u(t ), x y (t ) C (t ) x (t ) x (t0 ) x0
式中, x(t)是n维状态向量,u(t)是r维输入控制向量,y(t)是m维实际的 输出向量。 A(t)、B(t)和C(t)分别是n×n、n×r和m×n维的分段连续的 时变矩阵。 假定系统的维数满足0<mrn,且u(t)不受约束。 用z(t) 表示预期的输出 , 它为 m维向量 , 则定义输出误差向量 如下 e(t)=z(t)-y(t)
Ch.7 最优控制原理
目录(1/1)
目
录
7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
线性二次型最优控制(1/12)
7.5 线性二次型最优控制
的解,而最优性能值为
内容为：
最优控制的充分必要条件 矩阵P(t)的若干性质 最优控制的存在性与唯一性
J [u(t )]
1 τ 1 tf (1/10)—定理7-14 x (t f ) Fx(t f ) [ x τ (t )Q(t ) x(t ) 最优控制的充分必要条件 uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
时变矩阵 R(t) 的不同选择 , 对闭环最优控制系统的性能 的影响较大。 综上所述, 可见线性系统的二次型性能指标泛函的 最优控制问题的实质在于用不大的控制量u,来保持 较小的控制误差e,以达到所耗费的能量和控制误差 的综合最优。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
1. 最优控制的充分必要条件 定理7-14(有限时间LQ调节器) 对于有限时间LQ调节器问题,为 其最优控制的充分必要条件是
u* (t ) Kx* (t ), K (t ) R1 (t ) Bτ (t ) P(t )
最优轨线为下述状态方程
* (t ) A(t ) x* (t ) B(t )u* (t ), x* (t0 ) x0 , t [t0 , t f ] x
时变状态调节器(2/3)
C(t)=I,z(t)=0,则y(t)=x(t)=-e(t)
有限时间LQ调节器问题 设线性时变系统的状态方程和初始 条件为
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), x x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
式中,控制量u(t)不受约束。 寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最 小
线性二次型最优控制(11/12)
现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。 1) 若令C(t)=I,z(t)=0,则y(t)=x(t)=-e(t)。这时,线性二次型问题 的性能指标泛函变为
1 τ 1 tf τ J [u()] x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u τ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
式中, R(t), Q(t)和F都为对称矩阵 对称
F为m×m维非负定的常数矩阵;
≥0
Q(t)为m×m维时变的分段连续的非负定矩阵; ≥0 R(t) 为 r×r 维时变的分段连续的正定矩阵 , 且其逆矩 阵存在并有界; ＞0 末态时刻tf是固定的。 固定
线性二次型最优控制(6/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函 J[u(· )] 中的第 1 项 e(tf)Fe(tf), 是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的 , 称为末端 代价函数。 非负定的常数矩阵 F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。该项函数值总是为非负 的。 若矩阵 F 的第 i 行第 i 列元素值较大 , 代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
时变矩阵 Q(t) 的不同选择 , 对闭环最优控制系统 的性能的影响较大。
线性二次型最优控制(9/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
3) 性 能 指 标 泛 函 J[u(· )] 中 第 2 项 的 被 积 函 数 的 第 2 项 u(t)R(t)u(t), 表示在系统工作过程中对控制向量 u(t) 的大 小的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 R(t) 为正定的 , 故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正的。 而且 u(t) 越大 , 该项函数值越大 , 其在整个性能指 标泛函所占的分量就越大。 因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向 量u(t)的大小的约束和限制。 如u(t)为与电压或电流成正比的标量函数时,该项 为 u2(t), 并与功率成正比 , 而 u2(t)dt 则与在 [t0,tf] 区 间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。
对于最优控制问题,极大值原理很好地描述了动态系统的最 优控制解的存在性。 但对于复杂的控制问题,如非线性系统的控制问题、系 统模型与性能指标函数对控制量u(t)不为连续可微的控 制问题,在确定最优控制规律时存在不少困难,如 非线性常微分方程求解、 最优控制的非平凡性问题,
而且带来闭环控制系统工程实现时困难性,难以得到统 一、简洁的最优控制规律的表达式。
线性二次型最优控制(2/12)
对于线性系统,若取状态变量x(t)和控制变量u(t)的二次型函 数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题 称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称 为线性二次型问题。
该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表 达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。 因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工 作者和工程技术人员都具有很大吸引力。 近40年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、 性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成 功的应用。