A弯曲剪力图与弯矩图
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工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
剪力图和弯矩图几种作法的异同
鼗i塑、曼凰
剪力 图和弯矩 图几种 作法的异 同
赵萍 ( 无锡旅游商贸高等职业技术学校，江苏无锡214000)
脯要】建筑力学中的剪力图和弯矩图绘制使许多人感到不易掌握，本文对剪力图和弯矩图的三种作法—函数法、微积分关系法、叠加法 作了进一步详细的阐述，使人们从整体E对剪力图和弯矩图的绘制有一个新的认识，从而达到掌握的目的。 巨键词1剪力图和弯矩图绘制；函数法；微积分关系法；叠加法
时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形的弯矩图。 ‘ 用叠 加法画 剪力图 和弯 矩图的 步骤为 ： 1)荷载分解 ；2) 作分解荷载的剪 力图和弯矩图；3)叠 加作荷载
共同 作用下 的剪 力图和 弯矩图 。 注意：剪力图和弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是
对应 点处纵坐 标的相加 。 仍以例1为例，用叠加法绘制剪力图和弯矩图( 见图4) ：
这种方法是从本质入手，以数学函数的形式来描述剪力与弯矩的 情况，又以函数图形体现剪力与弯矩的分布，从而找到梁内剪力和弯矩 的最大值以及它们所在的截面位置，为解决梁的强度和刚度问题打下了 基础 。
2微积分关系法
对于多种复杂荷载的梁，用函数法计算显得较为复杂，绘图有诸多 不便。在这种情况下，可以采用微 积分关系法，利用q、Q、M三者间 的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确，其绘图速度更是其它方 法不能比拟的。故我在这一段的教学中重点推荐此法，在讲清概念后，
在这种情况下可以采用微积分关系法利用三者间的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确其绘图速度更是其它方又般绘图形象化其速度又可进一步提高试用后颇受学生欢遇到均布荷算点再连线弯矩图图的绘制口诀是遇着外力偶顺正逆负变算点连成线方直斜曲分口诀中的算点就是利用以下的基本计算公式右左二截面间的面积例图中神邓截面间的面积右枷廿二截面间的面积正面积为正反之为负例图中截面问的面积梁梁式桥的主梁等都是以弯曲变形为主的构件
剪力 图和弯矩 图几种 作法的异 同
赵萍 ( 无锡旅游商贸高等职业技术学校，江苏无锡214000)
脯要】建筑力学中的剪力图和弯矩图绘制使许多人感到不易掌握，本文对剪力图和弯矩图的三种作法—函数法、微积分关系法、叠加法 作了进一步详细的阐述，使人们从整体E对剪力图和弯矩图的绘制有一个新的认识，从而达到掌握的目的。 巨键词1剪力图和弯矩图绘制；函数法；微积分关系法；叠加法
时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形的弯矩图。 ‘ 用叠 加法画 剪力图 和弯 矩图的 步骤为 ： 1)荷载分解 ；2) 作分解荷载的剪 力图和弯矩图；3)叠 加作荷载
共同 作用下 的剪 力图和 弯矩图 。 注意：剪力图和弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是
对应 点处纵坐 标的相加 。 仍以例1为例，用叠加法绘制剪力图和弯矩图( 见图4) ：
这种方法是从本质入手，以数学函数的形式来描述剪力与弯矩的 情况，又以函数图形体现剪力与弯矩的分布，从而找到梁内剪力和弯矩 的最大值以及它们所在的截面位置，为解决梁的强度和刚度问题打下了 基础 。
2微积分关系法
对于多种复杂荷载的梁，用函数法计算显得较为复杂，绘图有诸多 不便。在这种情况下，可以采用微 积分关系法，利用q、Q、M三者间 的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确，其绘图速度更是其它方 法不能比拟的。故我在这一段的教学中重点推荐此法，在讲清概念后，
在这种情况下可以采用微积分关系法利用三者间的微分关系绘制内力图的突出优点是快而正确其绘图速度更是其它方又般绘图形象化其速度又可进一步提高试用后颇受学生欢遇到均布荷算点再连线弯矩图图的绘制口诀是遇着外力偶顺正逆负变算点连成线方直斜曲分口诀中的算点就是利用以下的基本计算公式右左二截面间的面积例图中神邓截面间的面积右枷廿二截面间的面积正面积为正反之为负例图中截面问的面积梁梁式桥的主梁等都是以弯曲变形为主的构件
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图是结构力学中常用的分析工具，用于分析和设计结构的受力情况。
以下是剪力图和弯矩图的制作方法：
剪力图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定剪力方向：根据结构受力情况，确定每个截面上的剪力方向，通常用箭头表示。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的剪力大小。
4. 画出剪力图：根据确定的剪力方向和大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的剪力图。
弯矩图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定截面位置：根据需要绘制弯矩图的位置，确定绘制弯矩图的截面位置。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的截面剪力大小。
4. 确定截面抵抗矩：根据截面形状，计算每个截面上的截面抵抗矩。
5. 计算弯矩：根据截面抵抗矩和截面剪力大小，计算每个截面上的弯矩大小。
6. 画出弯矩图：根据计算得到的弯矩大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的弯矩图。
在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑结构的几何形状、支座条件、荷载情况等因
素，同时应满足受力平衡条件和连续性要求。
这些图形分析的结果可以帮助工程师评估结构的受力情况，进行结构设计和优化。
剪力以及弯矩剪力图以及弯矩图
剪力图和弯矩图在工程管理中的应用
结构设计：用于计 算结构受力确定结 构尺寸和材料
施工管理：用于 指导施工确保施 工质量和安全
维护管理：用于 评估结构状态制 定维护计划
优化设计：用于 优化结构设计降 低成本和能耗
剪力图和弯矩图的注意 事项
绘制剪力图和弯矩图时应注意的事项
确保数据准确无误 注意单位换算确保单位一致 绘制过程中注意比例尺和坐标轴的设置 绘制完成后检查图例、标题、标注等是否清晰明确
添加副标题
剪力和弯矩剪力图以及弯矩 图
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 剪力和弯矩的基本 概念
03 剪力图和弯矩图的 绘制
04 剪力图和弯矩图的 解读
05 剪力图和弯矩图的 应用
06 剪力图和弯矩图的 注意事项
添加章节标题
剪力和弯矩的基本概念
剪力和弯矩的定义
剪力：作用在物体表面上的力使物体发生剪切变形 弯矩：作用在物体表面上的力使物体发生弯曲变形 剪力图：表示剪力在物体表面上的分布情况 弯矩图：表示弯矩在物体表面上的分布情况
剪力和弯矩的计算方法
剪力：作用在物体上的力使物体发生剪切变形 弯矩：作用在物体上的力使物体发生弯曲变形 剪力计算方法：根据力的平衡原理利用剪力公式进行计算 弯矩计算方法：根据力的平衡原理利用弯矩公式进行计算
剪力和弯矩的单位和符号
剪力：单位为牛顿（N） 符号为F
弯矩：单位为牛顿·米 （N·m）符号为M
证结构安全
剪力图和弯矩图在施工中的应用
确定结构受力情况： 通过剪力图和弯矩图 可以了解结构的受力 情况为施工提供依据。
优化施工方案：根据 剪力图和弯矩图可以 优化施工方案提高施 工效率和质量。
剪力图和弯矩图
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
剪力图和弯矩图(史上最全面)解析
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
剪力图和弯矩图(基础)
轴，。
以表(a)(c)（1）（2） （3）≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。
段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。
根据式（2）、（4）确定三点，， ，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。
例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。
距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fabx M =)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤ (1)0≤＜ (2)段 ≤＜ (3)≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c )。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。
若再将的∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l mF x F A Q ==)(x a xl m x F x M A ==)(x a BC l mF x F A Q ==)(a x l mx l mm x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )(x F Q表达式对取导数，则得到载荷集度。
这里所得到的结果，并不是偶然的。
实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。
现从一般情况出发加以论证。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
CD段：
(0 x 1m)
(1m x 2m) (1m x 2m)
FS3 1 2x (2m x 4m)
M3 x2 x 10 (2m x 4m)
22
DE段：
FS4 2kN (4m x 5m)
M4 2x 10 (4m x 5m)
例：试建立图示梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。
F1=10kN
q=2kN/m
AB FA
C M0=4kN.m
F2=2kN
DE FD
解： (1) 求支反力，
由梁的平衡： FA=7kN
FD=9kN
1m 1m
2m
1m (2) 建立剪力方程和弯矩
方程（由载荷形式将梁分
AB段：
成四个区域）
M1
FA FS1 0 FS1 FA 7kN
F[(4
x)
A
1]
M3 x FS3
0
q
M
FD
3
F2 D
x2
E
x
10
FS3 1 2x (2m x 4m) M3 x2 x 10 (2m x 4m)
郭德伟 6
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
F1=10kN
q
AB FA
1m
C
M0=4kN.m
1m
7
| FS |max 7kN
(kN.m)
| M |max 8kN m
2
郭德伟 8
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的
解析表达式。
AC段(0<x1<a)：
(0 x 1m)
(1m x 2m) (1m x 2m)
FS3 1 2x (2m x 4m)
M3 x2 x 10 (2m x 4m)
22
DE段：
FS4 2kN (4m x 5m)
M4 2x 10 (4m x 5m)
例：试建立图示梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。
F1=10kN
q=2kN/m
AB FA
C M0=4kN.m
F2=2kN
DE FD
解： (1) 求支反力，
由梁的平衡： FA=7kN
FD=9kN
1m 1m
2m
1m (2) 建立剪力方程和弯矩
方程（由载荷形式将梁分
AB段：
成四个区域）
M1
FA FS1 0 FS1 FA 7kN
F[(4
x)
A
1]
M3 x FS3
0
q
M
FD
3
F2 D
x2
E
x
10
FS3 1 2x (2m x 4m) M3 x2 x 10 (2m x 4m)
郭德伟 6
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
F1=10kN
q
AB FA
1m
C
M0=4kN.m
1m
7
| FS |max 7kN
(kN.m)
| M |max 8kN m
2
郭德伟 8
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的
解析表达式。
AC段(0<x1<a)：
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FQC＝FP MC＝FPl
所得结果均为正值，这表明所 假设的C截面上的剪力和弯矩 的正方向是正确的。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
l
D
l
解： 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
用假想截面将梁D截面处截 开，以左边部分为平衡对象。
应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯 矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁 截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力， 由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
例题1
MO=2FPl
AC l
FP
DB
l
一端固定另一端自由的 梁 ， 称 为 悬 臂 梁 (cantilever beam)。梁承受集中力FP及集 中力偶MO的作用。
平衡包括：整体平衡和局部平衡。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
试确定:截面C及截面D上 的剪力和弯矩。C、D截面与 加力点无限接近。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FPlMA＝0AFPC l
F
P
D B
l
解：1. 应用静力学平衡方 程确定固定端的约束力。
2. 应用截面法确定C截面上 的内力分量
用假想截面将梁C截面处 截开，以左边部分为平衡对象 。 因为外力与梁轴线都在同 一平面内，而且没有沿杆件轴 线方向的外力作用，所以横截 面上没有轴力和扭矩，只有剪 力和弯矩两种内力分量。
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩 变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外 力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段 梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方 程或者同一图线描述。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
梁的内力及其与外力的相互关系
剪力与弯矩的正负号规则
弯矩M的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯 矩为正；反之为负。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
FQ
FQ
剪力FQ的确定：使截开部分杆件 产生顺时针方向转动者为正；逆时 针方向转动者为负。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
返回
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
F
P
D B
l
MA＝0
FQC
A
FP
C MC
l
解： 2. 应用截面法确定C 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
Fy＝0， FP－FQC＝0
MC＝0， MC＋M A－FP l＝0
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部 分
考察其中任意一部分 的平衡
由平衡方程求得横截
FQ
面的内力分量
M
Fy＝0，
MC＝0，
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
返回
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
指定横截面上弯矩和剪力的确定 剪力方程和弯矩方程的建立
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
指定横截面上弯矩和剪力的确定
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
工程力学（静力学与材料力学）
第二篇 材料力学
第7章 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
返回总目录
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件 弯曲时截面的剪力和弯矩
剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图 结论与讨论
返回总目录
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
描述内力变化规律有两种方法： 1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 图形——剪力图与弯矩图。
两种描述方法都要： 1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规 律 变 化 ， 这一 段 杆 的 两个 端 截 面称为 控 制 面 （ control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
弯曲时截面的剪力和弯矩
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上 任意横截面上的内力——剪力和弯矩，而且可以确 定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
所得结果均为正值，这表明所 假设的C截面上的剪力和弯矩 的正方向是正确的。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
l
D
l
解： 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
用假想截面将梁D截面处截 开，以左边部分为平衡对象。
应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯 矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁 截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力， 由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
例题1
MO=2FPl
AC l
FP
DB
l
一端固定另一端自由的 梁 ， 称 为 悬 臂 梁 (cantilever beam)。梁承受集中力FP及集 中力偶MO的作用。
平衡包括：整体平衡和局部平衡。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
试确定:截面C及截面D上 的剪力和弯矩。C、D截面与 加力点无限接近。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FPlMA＝0AFPC l
F
P
D B
l
解：1. 应用静力学平衡方 程确定固定端的约束力。
2. 应用截面法确定C截面上 的内力分量
用假想截面将梁C截面处 截开，以左边部分为平衡对象 。 因为外力与梁轴线都在同 一平面内，而且没有沿杆件轴 线方向的外力作用，所以横截 面上没有轴力和扭矩，只有剪 力和弯矩两种内力分量。
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩 变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外 力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段 梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方 程或者同一图线描述。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
梁的内力及其与外力的相互关系
剪力与弯矩的正负号规则
弯矩M的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯 矩为正；反之为负。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
FQ
FQ
剪力FQ的确定：使截开部分杆件 产生顺时针方向转动者为正；逆时 针方向转动者为负。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
F
P
D B
l
MA＝0
FQC
A
FP
C MC
l
解： 2. 应用截面法确定C 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
Fy＝0， FP－FQC＝0
MC＝0， MC＋M A－FP l＝0
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部 分
考察其中任意一部分 的平衡
由平衡方程求得横截
FQ
面的内力分量
M
Fy＝0，
MC＝0，
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
指定横截面上弯矩和剪力的确定 剪力方程和弯矩方程的建立
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
指定横截面上弯矩和剪力的确定
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
工程力学（静力学与材料力学）
第二篇 材料力学
第7章 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件 弯曲时截面的剪力和弯矩
剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图 结论与讨论
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
描述内力变化规律有两种方法： 1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 图形——剪力图与弯矩图。
两种描述方法都要： 1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规 律 变 化 ， 这一 段 杆 的 两个 端 截 面称为 控 制 面 （ control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
弯曲时截面的剪力和弯矩
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上 任意横截面上的内力——剪力和弯矩，而且可以确 定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图