第三章 确定性信号的矩谱

H(z) = B(z)/ A(z)
（3.80）
q
p
∑ ∑ 其中， B ( z ) = bi z−i ， A( z ) = ai z−i ，并假设没有零极点对消。
n−1
)
P3 矩是其自变量的对称函数，例如
mnx (τ1,τ 2 ,",τ n−1) = mnx (τ 2 ,τ1,",τ n−1) = mnx (τ n−1,τ 2,",τ1) 等。
P4 如果{x(k)}为偶，即 x(k ) = x(−k) ，则其 n 阶矩满足对称条件
mnx (τ1,τ 2,",τ n−1) = mnx (−τ1, −τ 2,", −τ n−1) n > 2 ，即为“时间可反转”。 3.2.3 特例
( ) M
x n
ω1 ,ω2 ,",ωn−1
= X (ω1 ) X (ω2 ) " X (ωn−1 ) X * (ω1 + ω2 + " + ωn−1 )
和
Ψnx (ω1 + " + ωn−1 ) = φx (ω1 ) + φx (ω2 ) + " + φx (ωn−1 ) − φx (ω1 + " + ωn−1 )
−1
)
=
Y
(ω1
)Y
(ω2
)"Y
∗
(ω1
+
"
+
ωn−1
)
M
y n
(ω1 ," , ωn −1 )
=
M
h n
(ω1 ," , ωn −1 ) M
x n
(ω1 ," , ωn −1 )
其中，
M
h n
(ω1
,"
,
ωn
−1
)
=
H
(ω1)" H
(ωn −1 ) H
∗ (ω1
+"
+
ωn −1 )
系统输入和输出信号的 n 阶矩之间的关系为
授课教师：姬红兵教授 hbji@
49
(偶)
（3.7）
更新日期 2011 年 4 月 1 日
研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学
X I (ω) = − X I (−ω)
(奇)
（3.8）
或
X (ω) = X (−ω)
∫ x(k) = 1 +π X (ω )e jωk dω
2π −π X (ω) = X R (ω) + jX I (ω)
或
X (ω) = X (ω) exp{jφx (ω)}
如果{x(k)}为实，则有 X (ω) = X * (−ω) 共轭对称性，有
（3.3）
（3.4） （3.5） （3.6）
X R (ω) = X R (−ω)
k =−∞
3.2.2 性质
P1
如果
x(k
)
=
ax1(k
)
,且
a
为常数，则有mnx(1,",τn−1 )
=
a
m n x1 n
(τ1,",τ
n−1 )
P2 如果 x(k) = x1(k) + x2 (k) ，则一般有
mnx
(τ1,",τ
n−1
)
≠
m x1 n
(τ1,",τ
n −1
)
+
m x2 n
(τ1,",τ
= lim 1
M ~x (k ) 2 = 1 J +N −1 ~x k
M →∞ 2M + 1 k=−M
N k=J
2
或
~x =< ~x (k ) 2 > N
其中 J 是求和起点， < ⋅ > N 是周期序列时间平均运算。所以有
~x (k) =< X~(λ)e j(2π N )kλ > N
X~(λ) = X~(λ) exp{jφ~x (λ)}， λ = 0,1,", N − 1
=
k
∞ =−∞
x(k
)⎜⎜⎝⎛
τ1
∞
x
=−∞
k
+τ1
e − jω1τ1
⎟⎟⎠⎞
"⎜⎜⎝⎛
τ
n
∞ −1 =
x
−∞
k
+ τ n−1
e − jωn−1τ n−1
⎟⎟⎠⎞
∞
∑ =
x(k )e j(ω1+ω2 +"+ωn−1)k X (ω1 ) X (ω2 )" X (ωn−1 )
k =−∞
= X (ω1 ) X (ω2 )" X (ωn−1 ) X * (ω1 + ω2 + " + ωn−1 )
m2x (τ1) = m2x (−τ1)
可看成为{x(k)}和{x(− k)} 的线性卷积
3 阶矩：
∞
∑ m3x (τ1,τ 2 ) = x(k )x(k + τ1)x(k + τ 2 ) （三重相关） k =−∞
3.3 能量信号的矩谱
设{x(k)}， k=0, ± 1, ±2" 为一实能量信号，具有 n 阶矩 mnx (τ1,",τ n−1 )
(偶)
（3.9）
φx (ω) = −φx (−ω)
(奇)
（3.10）
如果 {x(k )}（实或复）为偶，即 x(k) = x∗(−k) ，则有 X (ω) = X * (ω) ，即其 Fourier
变换为实函数。 Parseval 定理：
∑ ∫ Ex
+∞
= x(k) 2
k =−∞
=
1 2π
+π X (ω) 2 dω
能量信号的矩谱是频率ωi 的连续函数， n > 2 时,为周期函数，周期为 2π 。
通常
{ } M
x n
(ω1
,
ω
2
,"
,
ω
n
−1
)
=
M
x n
(ω1
,
ω
2
,"
,
ω
n−1
)
exp
jΨnx (ω1,ω2 ,",ωn−1 )
3.3.2 另一种定义
( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( ) M
x n
ω1,ω2 ,",ωn−1
（3.12）
∑ X~ (λ) = 1 N −1 ~x (k )e− j(2π N )kλ ， λ = 0,1,", N − 1 N λ=0
{ } 显然， X~(λ) 一般是复数且周期为 N ,即 X~(λ) = X~(λ + N ) 。
周期序列 {~x (k )}的平均功率为
（3.13）
∑ ∑ ( ) P~x
dω1dω2dω3
“峰态”
3.3.5 矩谱和 LTI 系统的关系
设{h(k)}为稳定的 LTI 系统的冲击响应，其频率传递函数为 H (ω)
+∞
H (ω) = ∑ h(k) exp{− jωk} k =−∞
设 {x(k )}为输入， {y(k )} 为输出，即
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第三章 确定性信号的矩谱分析
3.1 引言
信号处理应用中有许多情况下信号在每一时刻的值是知道的，如有限时间信号，这 类信号称为确定性信号。相反，随机信号的取值在每个时刻是不确知的。第二章中已 经讨论了随机信号的矩、累积量和累积量谱的定义和性质。本章介绍确定性信号的高 阶矩和高阶矩谱的定义和性质，讨论能量和功率确定性信号的矩和矩谱。由于累积量 对分析确定性信号没有明显的益处，所以讨论中仅考虑矩。
（3.32）
1 阶矩：
∞
∑ m1x = x(k) k =−∞
2 阶矩：
∞
∑ m2x (τ1 ) = x(k)x(k + τ1 ) k =−∞
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51
(均值)
（3.33）
（自相关序列）
（3.34）
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Ψ2x (ω) = 0 能量谱为实、非负偶函数，抑制了相位信息。从能量谱仅能唯一地恢复最小相位 和最大相位信号。
双谱：n=3
( M
x 3
ω1 ,ω2
)
=
X
(ω1 )X
(ω2
)X
* (ω1
+
周期序列的 Parseval 定理为
∑ ∑ N −1 ~x (k ) 2 = 1 N −1 X~ (λ) 2
k =0
N λ=0
P~x
=<
~x (k) 2
>N =
1 N
<
X~ (λ) 2
>N
3.2 能量信号的矩
（3.19） （3.20）
3.2.1 定义
设{x(k )}，k=0, ± 1, ±2" 为一实能量有限信号，且假设其矩存在，则 n 阶矩为一 n −1