数学必修三概率的知识点及练习(2)

第三章 概率

3.1随机事件的概率

1．随机事件的概念——在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2. 频数与频率，概率：事件A 的概率 ——在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率n

m

总接近于某个常数，

在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。——由定义可知0≤P

（A ）≤1

3．事件间的关系

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；

4．事件间的运算

（1）并事件()P A B ?或)(P B A +（和事件）若某事件发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。——P （A+B ）=P （A ）+P （B ）（A.B 互斥）；且有P （A+A ）=P （A ）+P （A =1。

交事件)()(AB P B A P 或I （积事件）若某事件发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。

【典型例题】

1、指出下列事件是必然事件，不可能时间，还是随机事件：

（1）“天上有云朵，下雨”；

（2）“在标准大气压下且温度高于0οC 时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，不中靶”；

（4）“如果b a >，那么0>-b a ”；

2、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理。

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生

3、给出下列命题，判断对错：

（1）互斥事件一定对立；（2）对立事件一定互斥；（3）互斥事件不一定对立。

4、（1）抛掷一个骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现 1点”，B 为“出现2点”。已知6

1P(B)P(A)=

=,求出现1点或2点的概率。

（2）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取三只球，设事件A 表示“三只球只有一只红球，2只白球”，B 表示“三只球中只有2只红球，1只白球”。已知21P(B),103P(A)==,求这三只球中既有红球又有白球的概率。

【练习】

1、下面事件：①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾；②抛掷一枚硬币,出现反面；③实数的绝对值不小于零；其中是不可能事件的是 ( )

A. ②

B. ①

C. ① ②

D. ③

2、有下面的试验：①如果 ,a b R ∈,那么 a b b a ?=? ；②某人买彩票中奖；③实系数一次方程必有一个实根；④在地球上,苹果抓不住必然往下掉；其中必然现象有 ( )

A. ①

B. ④

C. ①③

D. ①④

3、从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中,任意取3个的必然事件是（ ）

A.3个都是正品

B.至少有1个是次品

C.3个都是次品

D.至少有1个是正品

4、下列事件是随机事件的有( )

A.若a 、b 、c 都是实数,则()()a b c a b c ??=??

B.没有空气和水,人也可以生存下去。

C.抛掷一枚硬币,出现反面。

D.在标准大气压下,水的温度达到90℃时沸腾。

5、某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上出现了6次,若用A 表示正面朝上这一事件,则A 的频率为( ) A. 23 B. 35 C. 6 D. 接近35

6、从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记

则取到号码为奇数的频率是( )

A. 0.53

B. 0.5

C.0.47

D. 0.37

7、随机事件A 发生的概率的范围是 ( )

A. PA.>0

B.PA.<1

C. 0

D. 0≤PA.≤1

8、气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,以下理解正确的是 ( )

A.本市明天将有70%的地区降雨；

B.本市明天将有70%的时间降雨;

C.明天出行不带雨具肯定淋雨;

D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大.

9、某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为_____,事件A 出现的频率为_______。

10、一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给以下四个事件：A.恰有1件次品；B.至少有2件次品；C.至少有1件次品；D.至多有1件次品；并给出以下结论：①A+B=C ；②B+D 是必然事件；③A+C=B ；④A+D=C ；

其中正确的结论为__________(写出序号即可).

11、先后抛掷2枚均匀的硬币.

①一共可能出现多少种不同的结果？

②出现“1枚正面,1枚反面”的结果有多少种？

③出现“1枚正面,1枚反面”的概率是多少？

④有人说：“一共可能出现‘2枚正面’、‘2枚反面’、‘1枚正面,1枚反面’这3种结果,因此出

现‘1枚正面,1枚反面’的概率是13

.”这种说法对不对？ 12、从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件：

①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

其中为互斥事件的是 ( )

A. ①

B.②④

C.③

D.①③

13、一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：

①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品；

③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少有1件次品和全是正品.

是互斥事件的组数有 ( )

A. 1组

B. 2组

C. 3组

D. 4组

14、某人射击一次,设事件A ：“中靶”；事件B ：“击中环数大于5”；事件C ：“击中环数大于1且小于6”；事件D ：“击中环数大于0且小于6”,则正确的关系是 ( )

A. B 与C 为互斥事件

B. B 与C 为对立事件

C. A 与D 为互斥事件

D. A 与D 为对立事件

15、从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A. 至少有1个白球,都是白球.

B.至少有1个白球,至少有1个红球.

C. 恰有1个白球,恰有2个白球.

D.至少有1个白球,都是红球.

16、在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下表：

⑴. [)10,16()m ； ⑵.[)8,12()m ； ⑶. [)14,18()m ；

17、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,求：

⑴他乘火车或乘飞机去的概率.

⑵他不乘轮船去的概率.

⑶如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的？

3.2古典概型

（1）基本事件：一次实验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

备注：①基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他时间可以用它们来表示； ②所以的基本事件都是有限个；

③每个基本事件的发生都是等可能的。

（2）基本事件的特点：①任何两个基本事件都是互斥的。一次实验中，只可能出现一种结果，即产生一

个基本事件。

②任何事件都可以表示成基本事件的和。

（3）古典概型：满足①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等 的概率模型称为古典概型

（4）概率的古典意义 对于古典概型，任何事件的概率为总的基本事件个数包含的基本事件个数

A P(A)

（5）基本事件数的探求方法

列举法；②树状图法；

【典型例题】

1、连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面

（1）写出这个实验的基本事件空间；

（2）求这个实验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面朝上”这个事件包含哪几个基本事件。

2、把一枚骰子抛6次，设正面向上的点数为X ，

（1）求出X 的可能取值情况（即全体基本事件）；

(2)下列事件有哪些基本事件组成（用X 的取值回答）？

①X 的取值为2的倍数（记为事件A ）；

②X 的取值大于3（记为事件B ）；

③X 的取值不超过2（记为事件C ）；

④X 的取值是质数（记为事件D ）。

判断上述事件是否为古典概型，并求其概率。

3、连续掷三枚硬币观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面，（1）写出这个实验的基本事件；（2）求这个实验的基本事件总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含了哪几个基本事件？

4、复杂）在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？

5、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少；（2）甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？

【练习】

1、在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.56

2、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）

A. 60%

B. 30%

C. 10%

D. 50%

3、根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为（）

A. 0.65

B. 0.55

C. 0.35

D. 0.75

4、某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A.B.C.D中,互斥事件有 ( )

A. 1对

B. 2对

C. 3对

D.4对

5、产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品；

②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( )

A. 1组

B. 2组

C. 3组

D. 4组

6、某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )

A.至多有一次中靶

B. 两次都中靶

C.两次都不中靶

D.只有一次中靶

7、对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事__________________；互为对立事件的是_________。

8、从甲口袋中摸出1个白球的概率是1

2

,从乙口袋中摸出一个白球的概率是

1

3

,那么从两个

口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。

9、袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有____个

10、随意安排甲、乙、丙三人在三天节日里值班,每人值一天,请计算：

①这三人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？

②甲在乙之前的排法有多少种？

③甲排在乙之前的概率是多少？……

11、假如小猫在如图所示的地板上自由的走来走去,并随意停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？(图中每一块方砖除了颜色外完全相同)

12、从一个装有2黄2绿的袋子里有放回的两次摸球,两次摸到的都是绿球的概率是多少？

13、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

14、抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率_______________。

15、从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ .

16、有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）

A ．101

B ．103

C ．21

D ．10

7 17、从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________

18、现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .

19、一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为 （ ）

.A 132 .B 164 .C 332 .D 364

3.3几何概型

（1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。

备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。

（2）几何概型的概率计算公式 积）

的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )(=A P 【典型例题】

1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

2、在边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值。

3、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：

(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？

(3)投中大圆之外的概率是多少？

【练习】

图1 1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ）

A ．14

B ．18

C ．110

D ．1

12

2、如图1，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A.24π- B.22-π C.44π- D.42

-π

3、设,(0,1)a b ∈，则关于220x x ax b ++=的方程在(,)-∞∞上有两个不同的零点的概率为___________

4、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________。

5、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿.

6、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.

7、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米)

8、已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标 ,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( ) A. 1

3 B. 1

4 C. 1

5 D. 2

5

9、取一根长度为３m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m 的概率有多大？

10、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.