λαβBezier曲线与3次B6zier曲线的拼接条件
三次有理Bézier曲线的形状调整方法
三次有理Bézier曲线的形状调整方法
韩旭里;肖鸣宇
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2005(041)015
【摘要】给出了两类调整三次有理Bézier曲线形状的方法.一类方法是使曲线通过给定的插值点,从而实现曲线的形状调整.另一类方法是将曲线上的点作为控制多边形两边连线段上的分点,通过调整分线段的比例,实现对曲线的形状调整.针对不同情况,分别给出了权因子的计算公式.计算方法简单,使用方便,并使三次有理Bézier曲线的形状调整更加具体和明确.同时,由计算结果得到了任意三次有理Bézier曲线不相交的充分必要条件.
【总页数】4页(P70-72,119)
【作者】韩旭里;肖鸣宇
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.拟三次Bézier曲线的形状调整 [J], 韩西安;马逸尘;黄希利
2.四次有理Bézier曲线的形状调整 [J], 朱承学;李崧
3.空间有理三次Bēzier曲线参数化方法 [J], 卢红建
4.局部形状可调整的三次有理B样条插值曲线 [J], 韩旭里;李明珠;任叶庆
5.带一个形状参数的有理三次三角Bézier曲线 [J], 樊文;洪玲;邢燕
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试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
★★★★★
1、试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
答：
1）如图所示，设首段Bezier曲线由P0P1P2P3组成，第二段由Q0Q1Q2Q3组成
2）则两段曲线方程为：
3）满足零阶连续条件为：
4）满足一阶几何连续（光滑连续）的条件为：
，由此可得：
5）
2、计算由控制点P0（0，0，0）、P1（20，40，0）、P2（60，50，0）、P3（80，0，0）确定的三次Bezier曲线参数t＝0.5时曲线上点的值
答：
= [ 1/8 3/8 3/8 1/8 ] [ A B C D]T
将上式A、B、C、D以题目中P0、P1、P2、P3坐标代入，
得：[ x y z ] = [ 0，30，15 ]
3、如图所示形体，填写Brep表达的边表和环表，给出形体的点、边、环、面数目
注：只填写ABFE面上的边表
注：只填写ABFE 面和CDEF 面上的环表
该形体的顶点数为： ，边数为： ，环数为： ，面数为： 。
答案：
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三次TC-Bézier与H-Bézier曲线曲面的光滑拼接
ｂｔｅｎｔｅ ｕ ｅ ｎ ｕｆ ｅ ａ ｅｅ ｅｔ ｅｙａｐｉ ｎｃｍ ｌ ａ ｄｃｒｅａｄ ｓｒ ｃ ｅｉ ｙａｊｓｎ ｅｓａｅ ｆｔｅ ｅｗ ｅ ｒ ｓａｄｓｒ ｃｓｃ ｂ ｆ ｃｖｌ ｐｌ ｄ ｉ ｏ ｐｉ ｔ ｕｖ ｕ ａｅｄｓ ｎ ｂ ｄｕｔ ｇｔ ｈｐｓｏ ｈ ｈ ｃｖ ａ ｎ ｉ ｅ ｃｅ ｎ ｆ ｇ ｉ ｈ
n次有理Bézier曲线与C-B样条曲线的连续性条件
Ｂ 条曲线和 Ｂ６ ｉ 曲线在计算机 辅助几何设计 和工程设计 中都有着 十分重要 的作 用 ， 样 ｅ ｚｒ 但是他 们都不能精确地表示
二次曲线（ 圆锥 曲线 ）人们随 即又提 出了有理 Ｂ样条曲线和有理 Ｂ６ ｉ 曲线 ， 且很 好的解决 了这个 问题 ， ， ｚ ｒ ｅ 并 大多数 的规则 二次曲线都能够得到精确地表 示 ， 但是有 理 Ｂ 条曲线和有理 Ｂ６ ｉ 曲线不 含有参数 因子 ， 样 ｅ ｚｒ 制约 了调整 曲线 的灵活性 ， 继 而又将 其推广到 Ｎ Ｒ Ｓ Ｕ Ｂ 曲线 ， 然 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 自身带有参数 因子 ， 虽 Ｕ Ｂ 在工 程应 用 中灵活性 比较大 ， 但是 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 的计算 Ｕ Ｂ 量 比较大 ， 因此在计算 机辅助几 何设计 的应用 中受 到 了很 大的限制． 为此张继文 “等用三角基 函数替换 了多项式基 函数 ， 提 出了一条带参 数 的新 曲线——ｃ 曲线 ， 一 这种 曲线解决 了 Ｎ Ｒ Ｓ曲线 的计算量 大的问题 ， Ｕ Ｂ 并且 还具有许 多 良好的性 质 。
但 是 Ｃ Ｂ样 条 曲 线 和 Ｂ样 条 曲 线 有 许 多相 似 的 性 质 ， 如 都 不 能 精 确 表 示 Ｃ ＤＣ Ｍ 中 常用 的 半 圆弧 等 ， 此 刘 飞 等 提 — 例 Ａ ／Ａ 为
出了 ｃ Ｂ样条 曲线和有理 三次 Ｂ６ｚ ｒ — ｉ 曲线 的 Ｇ拼接条件 ， ｅ 。 较好 的解决 了这个 问题 ， 但是在一般 的工程设计 中 ， 不可 能仅用 到有理三次 Ｂ６ｚ ｒ ｉ 曲线 ， ｅ 而是 可以使用任意 次的有理 曲线 ， 于此类情况本 文给 出了Ｃ Ｂ 条 曲线和 Ｉ 鉴 —样 ｔ 次有理 Ｂ６ ｉ 曲 ｚ ｒ ｅ 线 的光 滑拼 接条件， 也即是在文献 ［ ］ ６ 的基础 上做 了推广 ， 这样可 以满足工程上 的一些需要 ．
2条有理三次Bézier曲线的部分重合条件
2条有理三次Bézier曲线的部分重合条件提纲：第一章：绪论介绍Bézier曲线的基本概念及其应用，以及本文将要讨论的问题——如何判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合。
第二章：有理三次Bézier曲线的表示方式介绍有理三次Bézier曲线的数学表达式和几何表达式，并分析其性质和特点。
第三章：判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法介绍几种判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法，包括几何方法和代数方法，并分析它们的优缺点。
第四章：两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件的推导以代数方法为例，推导出两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件，并给出其具体的计算公式。
第五章：实验验证与结论通过实验验证上一章节推导出的两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件，并结合实际应用场景，得出结论和建议。
结论：本文提出了几种判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合的方法，并以代数方法为例，推导出了两条有理三次Bézier曲线的部分重合条件及其计算公式。
这些方法和条件对于计算机图形学、CAD、动画制作等领域具有重要的理论和实际意义。
第一章：绪论在计算机图形学、CAD、动画制作等领域中，Bézier曲线是一种非常重要的数学工具，它可以用来描述二维或三维的几何形状，而且在绘制平滑曲线等领域应用广泛。
其中，有理三次Bézier曲线是最常见的一种曲线，因为它可以用一条线段连接多个控制点，从而方便地描绘复杂形状。
然而，在实际应用中，有时需要判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合，以便进行合并、分割、编辑等操作，这就需要针对有理三次Bézier曲线设计合理的判断方法和条件。
因此，本文将讨论如何判断两条有理三次Bézier曲线的部分是否重合，为后续应用提供基础理论支持。
三次Bezier曲线的实现方法
Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年.由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表.他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发.以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点P0、P1.线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。
TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0走向 P1.并从 P2的方向来到 P3。
一般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和 P1之间的间距.决定了曲线在转而趋进 P3之前.走向 P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：。
现代的成象系统.如PostScript、Asymptote和Metafont.运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线.用来描绘曲线轮廓。
一般化P0、P1、…、P n.其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：用表示由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则用平常话来说. 阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语.有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式.定义 00 = 1。
点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。
多边形以带有线的贝塞尔点连接而成.起始于 P0并以 P n 终止.称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的t 会经过由 P0至P1的 B(t) 所描述的曲线。
例如当t=0.25时.B(t) 即一条由点 P0至 P1路径的四分之一处。
就像由 0 至 1 的连续t.B(t) 描述一条由 P0至 P1的直线。
拟三次Bézier曲线曲面的拼接技术
Ｃｏ ｔ ｕｔ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｕ ｉ Ｑｕ ｓ Ｂ ｚｅ ｕ ｖ ｓａ ｄ Ｓ ｒａ ｅ ｎ ｉ ｉ Ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｆ ｒＣ ｂｃ ａ ｉ ６ ｉｒＣ ｒ ｅ ｎ ｕ ｆｃ ｓ ｎ ｙ ｉ －
ＨＵ ｎ ＱＩ Ｘｉｑａ ｇ ，ＨＡＮ ｎ ，ＤＵＡＮ ａ ｂ ｏ Ｇａ ｇ ， Ｎ ｎ ｉｎ Ｘｉ ａ Ｘｉｎ ａ
ｔ ｎ Ｃ ｃ ｎｉｕｔ ｅｗｅｎｔ ｄａｅ ｔ ｕ ｉ Ｑ Ｂ ｚｅ ｕｖ ｓａｅｐｏ ｏ ｅ ．Ａｎ ｈ ｎ ｔｅ ｙａ ｄＣ ， ｏ ｔ ｉ ｂ ｔ ｅ ｎ ｙ ｗｏａ ｊｃｎ ｂｃ － ｆｉ ｃ ｒ ｅ ｒ ｒｐ ｓｄ ｃ ｒ ｄｔｅ ， ｈ
ｇ ｏ ｔｉ ｄ ｌ ｆｔ ｅ ｃ ｂｃＱ－ ６ ｉｒ ｓ ｒａ ｅ ｓｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ａ ｄ ｔ ｅｃ ｎ ｉ ｏ ｆＧ ｃ ｎ ｉｕ ｔ ｅ ｍｅｒｃｍｏ ｅ ｈ ｕ ｉ Ｂ ｚｅ ｕ ｆｃ ｓｉ ｏ ｓｒ ｃｅ ｎ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｏ ｉ ｏ ｔｎ ｉ ｙ
Ｘ ｎＪａ ｔ ｎ ｉ ｒｉ ， ｎ ７ ０ ４ ， ｈ ｎ ） ｉ ｉ ｏ ｇＵｎ ｖ ｓ ｙ Ｘｉ １ ０ ９ Ｃ ｉａ ａ ｏ ｅ ｔ ａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｆｏ ｕ ｉ ｇ ｏ ｈ ａ ｔ ｔ ａ ｈ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｏ ｌ ｘ ｃ ｒ ｅ ｒ ｓ ｒ ａ ｅ ａ ｏ ｅ ｄቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－ ｓｒ ｃ ￣ ｃ ｓｎ ｎ ｔ ｅ ｆ ｃ ｈ ｔ ｔ ｅ ｅ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｃ ｍｐ ｅ ｕ ｖ ｓ ｏ ｕ ｆ ｃ ｓ ｃ ｎ ｎ ｔ ｂ ｅ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆＳｃｅ ｅ １ Ｓ ｈ ｏ ｉｎｃ ，Ｘｉａ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ，Ｘｉａ ０ ４ ｏ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ７１ ０ ８．Ｃｈ ｎ ；２ Ｓ ｈ ｏ ｆＳ ｉ ｎ ｅ ｉ ａ ． ｃ ｏ ｌｏ ｃｅ ｃ ｓ
二次Bezier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接
化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
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，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
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这里 有
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（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
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性 质
设 Ｕ∈ ０１ ， ∈ ０１，称 如下 的关于 的 多项 【， ， 【， 】 ］ 式组 为 带 ３ 形状 参数 的基 函数 ： 个 设 给定控 制顶 点 Ｏ 、 、 ２ Ｑ３ ０ Ｑｌ ０ 、 ，则 ３次 Ｂ ｚｅ ６ｉ ｒ 曲线 为
３
Ｂ ∑Ｂｆ ＝ １） ３ （＝ ，
第 ３ 卷 第 ６期 ５
２１ 年 １ 月 ０１ １
江西师 范大 学学 报（ 自然科学 版）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ Ａ Ｇ Ｉ Ｒ ＬＵ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｉ Ｎ
Ｖｂ１３５Ｎｏ． ． ６
摘要 ：利用 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 样条曲线光滑拼接的方法， ｅ 研究了带形状参数的 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线与 Ｂ ｚ ｒ ｅ ６ｉ 曲线的拼接问题， ｅ 得
出 了 Ｂ６ｉｒ曲线与 ｚｅ Ｂ ｚ ｒ Ｇ 、Ｇ 、Ｇ 光 滑拼 接条 件，￣ ｆ Ｔ２ ｆ Ｂ ｚｅ ６ｉ 的 Ｏ ｅ ｔ－ ａ －６ｉ ｉ ｌ ｒ曲线 的应 用．
数 的 曲 线 的 讨 论 ［．本 文 给 出 了 Ｂ ｚｅ 曲 线 与 ９ 】 ６ｉ ｒ Ａ ｆＢ ｚ ｒ ａ － ６ｉ 曲线 的 Ｇ 、Ｇ 、Ｇ 光 滑拼 接条 件． ｌ ｅ 。
（） ４
３ Ａ一２６＋２２ ＋ ２＋１ ２ ） （ｆ ３ ） ． ｌ Ｐ
６ｉ ｒ曲线 的构 造和 简 单 几何 性 质 １ Ａ ｆＢ ｚｅ ａ － ６ｉｒ曲线 的定义和简单几何 ２ Ｂ ｚｅ ｌ
关键词 ： ａ － ６ｉ 曲线； ６ｉ 曲线； Ａ ｆＢ ｚ ｒ ｌ ｅ Ｂ ｚｅ ｒ Ｇ 光滑拼接 中图分类 号： Ｐ ９ Ｔ １ ３ 文 献标识码 ： Ａ ’
Ｂ ｚｅ ６ｉ ｒ曲线 具有 良好 的几何 性 质 ，因此 在代 数 曲线 的近 似表 示 中有 广 泛地应 用 ［ 】 １ ．文献 【—］ 曲 。 ４５对
３ 一 １ １ ｆ ， ２Ｐ ＋２ － ）２ ） （ １Ｐ Ｂ （ ２１ １ （ ） ２ａ （ 一 ）０ 一 一 尸＋ ＋ ２
＝ 一
一
滑 拼 接 就成 为 了表 示 复杂 组合 曲线 的关 键所 在 ．但 在 曲线 光滑 拼 接 的研究 中，往 往 都是 对不 带 形状 参
１
Ｑ ３
其 中 Ｂ ． ）卢０１ ， 为 Ｂ ｒｓ ｉ 函数 ，该 ３次 ３ （ ，， ３ ２） ｅｎｔ ｎ基 ｅ
收 稿 日期 ：２ １ ．０１ ０ １１ ．５
基金 项 目：甘肃 省 自然 科学 基金 （８ ３ Ｊ Ａ１ ９和甘 肃省科 技攻 关（Ｇ ０ ５Ａ ５ － ｌ） ０ ０Ｒ Ｚ ０ ） ２ Ｓ ３ － ０ ２Ｏ １ 资助 项 目． 作者 简介 ：张贵 仓（９ ４ ） 男 ， 肃天水 人，教授 ， 士 ， １６ ． ， 甘 博 主要 从事计 算机 辅助 几何设 计 、图形 学 、数 字水 印等方 面 的研 究
基 函数 的扩展 ，它不 仅保 留 了 Ｂ ｚｅ ６ｉ ｒ曲线 的一些 实
）∑ ， ） ＝ ２ ，
称 上式 所 定义 的 曲线 为带 有 形状 参 数 、 、 的 ２
次 Ｂ ｚｅ 曲线 ，简称 为Ａ ｆＢ 曲线 ． ６ｉｒ ａ－ ｌ 该 Ａ ｆＢ 曲线 端点及 端点 切矢 为 ａ－ ｌ
ｊ（＝Ｐ０ （一 ， Ｉ０ Ｐ （２一） １ ＝ 十 ｏ ） 十Ｐ ） ２ Ｐ
０ ＝（ ＋ ＋ ） ０ ） ） ３ ２（ 一 ， 尸
（ ２ １ 、
（） ３
Ｉ １＝ ３ ＋ ２（ 一 ， （ （Ａ ＋ ） ） ）
Ｂ （） （Ａ＋ ａ＋１ ＋２２ 一 ０ ＝２３ ２ ） （ｆ ｌ
形 状参 数，所 以称 它为 ２次２ ｆ Ｂ基 函数 ． ａ－ ｌ
给定 ３个 控 制顶点 Ｐ（ ０１ ） Ｕ ０１定义 ｆ＝ ，， ，对 ∈［， ｆ ２ ］
曲线 为
面 问 题 做 了 相 关 研 究 ．文 献 【】 造 出 了 一 种 ６构 ２ ｆＢ ｚ ｒ曲线 ． ａ － ６ｉ ａ －６ｉ ｌ ｅ ２ ｆ Ｂ ｚｅ ｌ ｒ曲线 是 ２次 Ｂｅ ｓ ｉ ｒ ｔｎ ｎｅ
Ｎ ＯＶ．２ ０１１
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ０ —６ １０ １ ０ －８２２ １）６０ ２ —３ １
Ａ ￣Ｂ ｚ ｒ曲线 与 ３次 Ｂ ｚｅ ａ － ６ｉ ｅ ６ｉ ｒ曲线 的拼接条 件
杨林 英，张贵仓
ｆ 北 师 范 大 学 数 学 与 信 息科 学学 院，甘 肃 兰 州 ７ ０ ７ ） 西 ３ ００
ｉ０ ＝
—
２ ） １ ）＋１ ） １ ａ ） １， ＝ （ （ 一 ｕ （ 一 １
，
Ｊ２）（ （ （＝ 一） １ ） ， 一＋
ｌ
（２＋２ ａ ｕ１ ｕ 一 ３ ＋ ）（－ ） ，
（ １ ）
用 的几何 性质 ，而且 在形状 参 数 、 、 的允 许取值
范 围 内 ，选 择 不 同 的参 数值 ，可生 成 逼 近统 一 控 制
多 边形 的不 同 曲线 ，从 而更 精确 方 便地 设 计所 需 要
的曲线 ．文献 ［］ ７研究 了 ３ Ｔ ． ６ｉｒ 次 Ｃ Ｂ ｚｅ 曲线 的一种 新 的扩展 ．文献 ［］ ８研究 了 ｃ Ｂ样 条 曲线 的分 割 和拼接 ． — 满 足 一 定 连 续 条 件 拼 接 而 成 的 复 杂 曲 线 在 Ｃ Ｄ 中应用 更 加广 泛 ．因此，如何 对 曲线 进行 光 ＡＧ