公选课(3)-空间直线及其方程-点向式方程、和参数方程

第五节空间直线及方程

与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多个。

有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条已知直线的直线。下面我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。

设直线L 过点(){}0000,,, ,n ,p M x y z s m =是直线L 的方向向量（图8-23）。设()

,y ,z M x 是直线L 上任意一点，则{}0000,,M M x x y y z z =--- ，且0//M M s

。由两向量平行的充

要条件可知

x x y y z z m

---== （8.5.1）

方程组（8.5.1）称为直线的点向式方程或标准方程（当m 、n 、p 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）。若直线L 的方程为

x x y y z z m

---==

平面π的方程为

0Ax By Cz D +++=

则直线L 与平面π 平行的充要条件是0mA nB pC ++=；直线L 与平面π 垂直得充要条件是

m n p A B C

在直线方程（8.5.1）中，记其比值为t ，则有

000x x m t

y y nt z z pt

=+??

=+??=+?

（8.5.2）这样，空间直线上动点M 的坐标 x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实数值时，由（8.5.2）所确定的点() , ,M x y z 就描出来直线。形如（8.5.2）的方程称为直线的参数方程，t 为参数。

例1 求过点()2 ,0 ,3M 且垂直于平面π450x y z +-+=的直线方程。解设所求直线方程为

23x y z m

n p

--==

由于直线垂直于平面π，所求可取平面π 的法向量{}4 ,1 ,-1n = 为直线的方向向量s ，

即

{}{} ,n ,p 4 ,1 ,-1s m ==

故所求的直线方程为

234

x y z --==-

例2 求过点()()11112222 ,y ,z ,y ,z M x M x 的直线方程。解设所求直线方程为

x x y y z z m

---==

由于直线过12 M M ，所以可取向量{}12212121 , ,z M M x x y y z =---

为直线的方向向量。

故所求直线方程为

11121

21x x y y z z x x y y z z ---==

---

例3 求过点()1 ,-3 ,2 且平行于两平面234

x y z --==

- 的直线方程。

解设所求直线方程为

132x y z m

-+-=

因为所求直线平行于两平面，故直线的方向向量s 垂直于两平面的法向量

{}{}123 , -1 ,5 1 ,2 ,-3n n ==及，所以可取

{}12 j k

,n ,p 3 -1 51 2 -3

i s m n n ==?=

7147i j k

=-++

因此所求直线方程为

1327

147x y z -+-==-

即

1321

x y z -+-=

例4

求直线1232x t

y t z t =-??

=+??=-?

与平面250x y z +--= 的交点。

解设所求交点为()x ,y ,z P ，显然P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程.解方程组

1232250

x t

y t

z t x y z =-??

=+??

=-??+--=? 得t=4 ，带入参数方程得3,6,5x y z =-==- 。即交点P 的坐标为()3,6,5-- 。例5 求点()1 ,1 ,4P 到直线L ：

2341

x y z ---== 的距离。

解：先求过点()1 ,1 ,4P 且垂直于直线L 的平面π的方程，显然，平面π的法向量为{}1 ,1 ,2n = ，则平面方程为 ()()()1124

0x y z -+-+-=

(1) 即 2100

x y z ++-= 再求平面与直线L 的交点Q.由于L 的参数方程为

2342x t

y t z t =+??

=+??=+?

(2) 将（2）代入（1），得 630t += 即 12

t =-

（3）

将（3）代入（2）得点Q 的坐标为35,,3

x y z =

= .所以点P 到L 的距离

d PD ==

=。

习题 8-5

将63—66题中的直线方程化为参数方程及一般方程。 63.

2312

x z y -+=+=

64. 2134x y z -=-= 65. 521102x y z ++-==

66.

120

x y z -+==

将67—70题中直线的一般方程化为点向式方程及参数方程。

67. 50584360

x y z x y z -++=??

-++=?

68．521025x y z z y -+-=??=+?

69. 1232

z x y =??

+=?

70.

250670

x y y z -+=??

--=?

71. 求过点 ()()122 3 1 1 ,2 ,0M M -，，和的直线方程。 72. 一直线通过点()2 ,2 ,-1 且与直线

312

x z y --==

平行，求此直线方程。

73. 一直线通过点 ()3 ,4 ,-1且与直线

312x t

y t

z t =+??

=??=-?

平行，求此直线方程。

74. 一直线通过点 ()2 ,-2 ,0，且与直线210

3210x y y z -+=??-+=?

平行，求此直线方程。

75. 求过点()0 ,-3 ,2 且与另两点()()3 ,4 ,-7 2 ,7 ,-6、联线平行的直线方程。 76. 求过点()2 ,-3 ,4 且垂直于平面324x y z -+= 的直线方程。 77. 求过直线 11131501

x y z x y z -+-==+-+=-与平面的交点，且垂直于该平

面的直线方程。

78. 求过点()2 ,0 ,1 与直线1212350::3235024x t

x y L L y t y z z t

=-+?+-=??

=--??-+=??=+?

都垂直的直线方程。

79. 求直线 1321:4

x y z L --+=

-和直线212:

x y x L -+=

-- 的夹角。

80. 求直线 3206322

x y z x y z -+=??

-+=?的方向余弦（即方向向量的方向余弦）。

81. 求过点（3 ，4 ，-2），方向角（即方向向量的方向角）为 60°， 45°，

120°，的直线方程。

确定82—84题中直线与直线的位置关系。 82．

2240

230112x y z x

z x y z -+-=?+==?-+-=--?与。

83． 1931421

133151

153x t x y z y t

z t

=-??++===-???=--?

与。 84．

340

610

290290x z x y y z y z +-=-+=???

+-=+-=??

与。确定85—87题中直线与平面的位置关系。 85.

342

77x y z ++==-- 与42230x y z ---=。 86. 11327

x y z -+==- 与32780x y z -+-= 。

87.

234314

x y z +--==

- 与50x y z ++-= 。

求88—90题各平面的位置关系。 88．过点()2 ,0 ,-3 且与直线 1251

y z x ++-=

-垂直。

89. 过点()1 ,2 ,1 且与直线12213x t y t z t =+??=-??=--? 及312x y t z t =??

=-??=-?

平行。

90. 过点()3 ,1 ,-2 及直线

435

x y z -+=

。

91. B 和D 为何值时，直线20

36270

x B y z D x y z +-+=??

+--=? ，过点()0 ,13 ,2 且垂直于x 轴。

92. A 为何值时，平面 3420Ax y z +-+=与直线1231

x y z +--== 平行。

93. 求点()0 ,-1 ,1A 到直线10270

y x z +=??

+-=? 的距离。

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注：极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

空间直线及其方程

第六节空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两直线的位置关系,并会建立直线方程. 课题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程教学难点: 空间直线方程的求解教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程教学内容: 一、直线的标准方程如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =--- ,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p ---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 {2,3,5}=-s 由式(1)可得直线方程为 123235x y z --+==- 【例2】设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解取12{3,6,9}M M = 为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 123369 x y z -++== 即 123123x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 111212121 x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x

高中数学选修4-4知识点清单

高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：

二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示

2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

极坐标与参数方程知识点总结大全72285

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是 (),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线 (1) (2) 过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线

直线的参数方程教案

直线的参数方程教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．

空间直线与平面的方程及其位置关系

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空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295 数学科学学院数学与应用数学专业１0级汉二班指导教师李树霞摘要解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。关键词空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１直线的对称式（点向式)方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1）叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么（１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。

直线的参数方程

直线的参数方程广东信宜中学杨凡军一、知识的引入：我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家来考虑直线是否还有其他形式的方程吗？二、练习三、探究： (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？四、例题讲解：例1、已知直线l :x + y -1=0与抛物线y = x 2 交于A, B 两点,求线段AB 的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积思考：①例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？②把“中点”改为“三等分点” 直线 l 的方程怎样求？③n 等分点呢五、课堂训练： ① 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,求│PA │·│PB │的值为最小时的直线l 的方程 ? ,0的几何意义吗参数你能得到由e t M M =t =的距离到定点点对应的表示参数即0M M t t 义 . ,,M ) ()(sin cos 2 1210 0t t ，M x f y t t y y t x x 对应的参数分别为两点交于与曲线为参数直线=???α+=α+=2 121t t M M -=22 1t t t += .,,,1416(2,1).22 2的方程求直线的中点为线段恰好如果点两点于交椭圆作直线经过点例l AB M B A y x l M =+),MB 2AM ：(=例如

解:设过点M 的参数方程为: 所以直线的普通方程为:x+y-5=0 ② 直线l 过P （2，1），倾斜角为θ，它和曲线C ：4x 2＋9y 2＝36，交于A,B 两点，θ为何值时，|PA||PB|有最大值和最小值？并求出相应的最值六、直线参数方程（标准形式）：（常解决问题类型） (1)利用参数求弦长 (2)利用参数求直线方程(即求斜率) 直线参数方程（一般形式）：一般形式与标准形式的互化：七、例题与练习：例3、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围, 那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受到侵袭的时间有多久? 八、小结九、作业布置十、优点，不足及建议这是卢耀才老师成功的一节课，虽然学生对直线的参数方程的知识感到有点难度，但是经过卢老师的详细分析，讲解细仔，让难点和重点突出，层层加深，突破难点，讲得通俗易懂，作到化难为易，非常成功。从教案的布置，知识点之间的联系和课堂气氛来看，都非常好，再加上学生的知识底子较好，达到因材施教，黑板书写条理清晰，把重点一一列出，难点反复练习，加深理解，对于容易出错的地方，肯定地提出并要学生记写和让学生做相应的一些练习。参数方程是一个重点，直线的参数方程又是一大难点，它为我们学习过程中提供了另外的一种方法，在许多的情况下，使用参数方程去解决实际问题显得更加容易，所以让学生认真学习好参数方程。 { ) (sin 2cos 3为参数t t y t x α+=α+=)t (2 2 2223为参数??? ? ?+=-=t y t x 9 11 24110时有最小值＝，时有最大值＝当πθθ)(sin cos 0 0是参数t t y y t x x ?? ?α +=α +=)(t 0 为参数? ??+=+=bt y y at x x |||,|.,,,(y x (2 10212 10 00 00P P P P t t t P P P t bt y y at x x P 求，数值为分别为参是直线上的点，对应的是参数））的直线参数方程为，过???+=+=||||2 20 t b a P P +=||||2 12 221t t b a P P -+={ .41035.式化为参数方程的标准形把直线的参数方程练习：t y t x -=+=)(5 410)53(5为参数t t y t x '?????'+=' -+=

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.

高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为（） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

(完整)高中数学参数方程大题(带答案)

参数方程极坐标系解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，

平面空间直线及其方程

平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)

二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。

3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

专题复习之坐标系与参数方程

专题复习之极坐标系与参数方程一、知识精讲（一）、极坐标知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>? 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 知识点二、极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 知识点三、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 :

直线的参数方程

01||||2PMQN PF FQ MF FN PQ MN PF MF S PQ MN ?? ?⊥???=??=?u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r 与共线与共线直线的参数方程一、源于教材课本第二册（上）P 55. 设直线l 经过点000(,)P x y ，(,)v a b =v 是直线l 的一个方向向量（如图）。(,)P x y 是l 上的任一点，Q 向量0P P u u u r 与v r 共线，0 P P tv ∴=u u u r r 即00(,)(,)x x y y t a b --= 00()x x ta t y y tb =+?∴?=+?为参数这就是直线的参数方程。二、高于教材参数方程00()x x at t y y bt =+?? =+?为参数中的t 的几何意义不代表有向距离，用处不大。如果直线的方向向量(cos ,sin )v θθ=r 来确定，则参数方程为00cos ()sin x x t t y y t θ θ=+?? =+?为参数，这时00（x ,y ）表示定点，t 表示定点到动点的有向距离，（即有方向又有大小）。t 的意义用处就大了。三、直线参数方程在高考中的应用 1、（05全国Ⅱ21）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 2212 y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u u r 共线，且0PF MF ?=u u u r u u u r ，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。（命题组给出的参考答案）解：如图，由条件知MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ MN ⊥，直线PQ ，MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点 F(0,1)，故PQ 方程为1y kx =+。将此式代入椭圆方程得 22(2)210k x kx ++-=。设P 、Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则 22122222 k k k k x x --+-++= 从而：亦即2 22(1)||k PQ += （1）当0k ≠时，MN 的斜率为1 k -，同上可推得，故四边形面积 22221 4(1)(1) 1||||12(2)(2)k k S PQ MN k k ++== ++g 2222 14(2)2 52k k k k ++= ++ 令22 1 u k k =+ 得4(2)12(1)5252u S u u +==-++。因为2 21u k k =+，当1k =±时，162,9 u S ==。且S 是以u 为自变量的增函数。所以16 29 S ≤<。（2）当0k =时，MN 为椭圆长轴， ||22,||2MN PQ == 1|||| 2.2S PQ MN =?= 综合（1）、（2）知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为169 。解2：今设PQ 方程：0cos 1sin x t y t θθ =+?? =+?（t 为参数），代入椭圆，整理得： 2212122 2(1cos )2sin 10 2sin 1 ,1cos 1cos t t t t t t θθθθθ++-=--?+=?=++ 212222sin 422||||()1cos 1cos PQ t t θθθθ-∴=-+++ 同理：22||MN 2122222412sin 24PMQN S θθθ ∴=??= + 答：…… 22 2 2 2 12228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+22122(1())||12()k MN k +-=+-2160sin 21,29 S θ≤≤∴≤≤Q

极坐标与参数方程知识点

参数方程和极坐标系极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． 3.在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一． (ρ,θ＋πk 2)表示同一个点 4. 极点的极径为0，而极角任意取． 5、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ? θ= θ ρcos a = O θ ρcos a - = θ ρsin a = 图4 θ ρsin a - =图5 ) cos(?θρ-= a

6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2?θρ-=a 7、极坐标与直角坐标互化公式： x ? （直极互化图） θ ρcos 2a = 图2 θ ρsin 2a =图4 θ ρsin 2a -=M 图5 θ ρcos 2a -=a =ρ图1 ) cos(2?θρ-=a 图6

参数方程（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α α sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝ B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θ θ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θ θ sin cos a y b x ==）

2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案

三直线的参数方程 [对应学生用书P27] 1．直线的参数方程 (1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为??? ? ? x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数) (2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0. [对应学生用书P27] 直线的参数方程 [例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程． [解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为3 4，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝4 5. 又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为????? x ＝1＋4 5 t ，y ＝1＋3 5 t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．

由1 ＋4 5 t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5. 理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键． 1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为 5π 6 ，则直线l的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为 ?? ? ??x＝2＋t cos 5π6， y＝－4＋t sin 5π 6 (t为参数)，即?? ? ??x＝2－32t， y＝－4＋ 1 2 t (t为参数)．答案： ?? ? ??x＝2－32t， y＝－4＋ 1 2 t (t为参数) 2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝ π 4 ，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为 ?? ? ??x＝3＋22t， y＝4＋ 2 2 t，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3(3＋ 2 2 t)＋2(4＋ 2 2 t)＝6. 解得t＝－ 112 5 ，

公选课(3)-空间直线及其方程-点向式方程、和参数方程.doc

(8.5. 2) 第五节空间直线及方程与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多个。有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条己知直线的直线。下面我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。设直线2过点M 0(x 0,y 0,z 0),^ = (m ,n ,p ｝是直线L 的方向向量(图8.23)。设M (x ,y ,z) 是直线L 上任意一点，则M 0M ={x-x 0,y-y 0,z-z 0},且M 0M Ils o 由两向量平行的充要条件可知土迪=虹业=二 (8.5.1) m n p 方程组(8.5.1)称为直线的点向式方程或标准方程(当m 、n 、p 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零)。若直线L 的方程为尤 _*o = y —y 。= z —z° m n p 平面〃的方程为 Ar + + Cz + Z) = 0 则直线L 与平面勿平行的充要条件是mA + 〃8+pC = 0；直线乙与平面力垂直得充要条件是?=兰=￡ ABC 在直线方程(8.5.1)中，记其比值为L 则有 x = x ()+ mt < y = y ()+m z = z G + pt 这样，空间直线上动点M 的坐标x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实数值时，由(8.5.2)所确定的点M(x,y,z)就描出来直线。形如(8.5.2)的方程称为直线的参数方程，七为参数。例1求过点M (2 ,0 ,3)且垂直于平面勿4x+ y - z + 5 = 0的直线方程。解设所求直线方程为由于直线垂直于平面〃，所求可取平面〃的法向量〃 =｛4,1,?1｝为直线的方向向量