高中数学 1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用课件 新人教A版必修5
1 2
acsinB知，求S的最大值，只要求
ac的最大值，可利用余弦定理及基本不等式可解．
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【解】 由已知及正弦定理得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB① 又A＝π－(B＋C)，故 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.② 由①②得sinCsinB＝cosBsinC. 又0<C<π，sinC≠0，得sinB＝cosB. 又0<B<π，所B＝4π.
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名师讲解 在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理
根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时， 通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通 常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来 求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦 值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值 后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一 个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避 免分类讨论．
【正解】 ③
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随堂训练 1.△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
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【分析】 本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ ABD中，已知两边和一边的对角，用正弦定理可求出另一边的 对角，但得不到其与△BCD的联系．可再考虑用余弦定理求出 BD，其恰是两个三角形的公共边，这样可在△BCD中应用正 弦定理求BC.
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【解】 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
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规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解 决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的 联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必 要时也可以列出方程(组)求解.
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易错探究 对于△ABC，有如下命题： ①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形； ②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形； ③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形． 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的都填 上) 【错解】 ①②③
【分析】 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形 状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b ＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)，进行边角间的 相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断．
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【解】 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理， 得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1＝ 2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°，∴C ＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
第一章 解三角形
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1
§1.1 算法与程序框图
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第三课时 正弦定理、余弦定理的综合应用
课前预习目标
课堂互动探究
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3
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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自学导引 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式． 2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中 的几何计算问题.
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5
课前热身 解三角形问题的几种类型． 在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为 边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
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22
【错因分析】 ①、②丢解，造成错解． ①sin2A＝sin2B， ∴2A＝2B，或2A＋2B＝π. ∴A＝B，或A＋B＝2π. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错． ②sinA＝cosB， ∴A＋B＝2π，或A－B＝π2. ∴△ABC为直角三角形或钝角三角形，故②错．
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23
③sin2A＋sin2B＋cos2C<1， ∴sin2A＋sin2B<1－cos2C. ∴sin2A＋sin2B<sin2C. 由正弦定理，得a2＋b2<c2. ∴△ABC是钝角三角形，故③正确．
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 一 正、余弦定理的综合应用
【例1】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知a＝bcosc＋csinB.
(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
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【分析】 (1)利用正弦定理将已知转化为B三角函数，可
求B；
(2)由△ABC的面积S＝
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规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的 关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角的关系 式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
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三 综合应用 【例3】 如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝
10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
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解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋ c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
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(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝
2 4 ac.
由已知及余弦定理得
△＝a2＋c2－2acຫໍສະໝຸດ osπ4≥2ac－ 2ac.所以ac≤2－4 2＝2 2( 2＋1)．
当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为 2＋1.
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二 判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋ sin2C，试判断△ABC的形状．
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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
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【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
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【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件
人教版A版高中数学必修5
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
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一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
正弦定理(53张PPT)
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.1 1.1.1
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典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
系列丛书
[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
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高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
《正弦定理和余弦定理以及其应用-余弦定理(二)》课件11(28张PPT)(人教A版必修5)共30页
余 弦定理（二）》课件11（28张PPT）
（人教A版必修5）
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
（人教A版必修5）
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
人教A版高中数学必修5《第六节 正弦定理和余弦定理》示范课课件_23
(2013·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，角A，B，C的对边 分别为a，b，c,已知 bcosC＋csinB＝a
(1)求B； (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是1/2， AB＝1，BC＝ √2，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(2016.新课标全国Ⅱ.13)△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1, 则b=________
(2)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝ac，则角B＝________．
跟踪练习:
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知b cosC＋c cosB＝2b，则a / b ＝
________．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
常见求解问题
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形；
考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形 的形状；
考点三：与三角形面积有关的问题.
Part 3 典例剖析 考点突破
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1.(1)(2016.新课标.13)△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a,b,c,若 cosA=4/5,cosC=5/13, a=1, 则b=________
平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(1)求B； (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是1/2， AB＝1，BC＝ √2，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
(2016.新课标全国Ⅱ.13)△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1, 则b=________
(2)在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝ac，则角B＝________．
跟踪练习:
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知b cosC＋c cosB＝2b，则a / b ＝
________．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
常见求解问题
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形；
考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形 的形状；
考点三：与三角形面积有关的问题.
Part 3 典例剖析 考点突破
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1.(1)(2016.新课标.13)△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a,b,c,若 cosA=4/5,cosC=5/13, a=1, 则b=________
平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sinB/sinC； (2)若AD＝1，DC＝√2/2，求BD和AC的长．
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理
当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.