高中数学 1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用课件 新人教A版必修5

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解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋ c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
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第一章 解三角形
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§1.1 算法与程序框图
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第三课时 正弦定理、余弦定理的综合应用
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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自学导引 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式． 2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中 的几何计算问题.
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课前热身 解三角形问题的几种类型． 在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为 边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
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【错因分析】 ①、②丢解，造成错解． ①sin2A＝sin2B， ∴2A＝2B，或2A＋2B＝π. ∴A＝B，或A＋B＝2π. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错． ②sinA＝cosB， ∴A＋B＝2π，或A－B＝π2. ∴△ABC为直角三角形或钝角三角形，故②错．
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③sin2A＋sin2B＋cos2C<1， ∴sin2A＋sin2B<1－cos2C. ∴sin2A＋sin2B<sin2C. 由正弦定理，得a2＋b2<c2. ∴△ABC是钝角三角形，故③正确．
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【分析】 本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ ABD中，已知两边和一边的对角，用正弦定理可求出另一边的 对角，但得不到其与△BCD的联系．可再考虑用余弦定理求出 BD，其恰是两个三角形的公共边，这样可在△BCD中应用正 弦定理求BC.
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【解】 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
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(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝
2 4 ac.
由已知及余弦定理得
△＝a2＋c2－2accosπ4≥2ac－ 2ac.
所以ac≤2－4 2＝2 2( 2＋1)．
当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为 2＋1.
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二 判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋ sin2C，试判断△ABC的形状．
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规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解 决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的 联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必 要时也可以列出方程(组)求解.
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易错探究 对于△ABC，有如下命题： ①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形； ②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形； ③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形． 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的都填 上) 【错解】 ①②③
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acsinB知，求S的最大值，只要求
ac的最大值，可利用余弦定理及基本不等式可解．
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【解】 由已知及正弦定理得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB① 又A＝π－(B＋C)，故 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.② 由①②得sinCsinB＝cosBsinC. 又0<C<π，sinC≠0，得sinB＝cosB. 又0<B<π，所B＝4π.
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规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的 关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角的关系 式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
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三 综合应用 【例3】 如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝
10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
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名师讲解 在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理
根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时， 通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通 常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来 求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦 值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值 后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一 个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避 免分类讨论．
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 一 正、余弦定理的综合应用
【例1】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知a＝bcosc＋csinB.
(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
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【分析】 (1)利用正弦定理将已知转化为B三角函数，可
求B；
(2)由△ABC的面积S＝
【正解】 ③
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随堂训练 1.△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【分析】 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形 状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b ＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)，进行边角间的 相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断．
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【解】 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理， 得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1＝ 2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°，∴C ＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．