(完整版)平方差公式、完全平方公式综合练习题
乘法公式
1、平方差公式
一、填空题
⑴ (b + a)(b －a) = _______________, (x －2) (x + 2) = _________________；
⑵ (3a + b) (3a －b) =________________, (2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________；
⑶ 2294)3)(______3(______________,__________)2
132)(2132
(b a b b a a -=-+=-+ ⑷ (x + y) (－x + y) = ______________, (－7m －11n) (11n －7m) = ____________________； ⑸ _____________________)2)(4)(2(___,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ；
2、计算题
)5)(5(33m n n m -+ )2.02)(22.0(x y y x -+
)1)(1(---xy xy )132)(132(++--y x y x
3、⑴下列可以用平方差公式计算的是( )
A 、(x －y) (x + y)
B 、(x －y) (y －x)
C 、(x －y)(－y + x)
D 、(x －y)(－x + y)
⑵下列各式中，运算结果是2
2169b a -的是( )
A 、)43)(43(b a b a --+-
B 、)34)(34(a b a b --+-
C 、)34)(34(a b a b -+
D 、)83)(23(b a b a -+
⑶若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )
A 、y x 572+
B 、y x 572--
C 、y x 572+-
D 、y x 572- ⑷22)213()213(-+a a 等于( )
A 、4192-a
B 、161814-a
C 、161298124+-a a
D 、16
1298124++a a 4、计算题
⑴ x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1) ⑵ (a + b －c) (a －b + c)
⑶)49)(23)(23(2
2b a b a b a ++- ⑷ (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)
4、解不等式1)3)(3()2(2<-+-+y y y
2、完全平方公式
一、填空题
⑴ (x + y)2=_________________，(x －y)2=______________________；
⑵______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a ⑶4
1________)21
(22+=-x x ⑷ (3x + ________)2=__________+ 12x + ____________； ⑸ _________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ；
⑹ (x 2－2)2－(x 2 + 2)2 = _________________________；
二、计算题 ⑴2)2
332(y x -
⑵22)2()2(a b b a -++
⑶)1)(1)(1(2--+m m m ⑷ 22)2()2(n m n m -+
⑸22)23()32(+-+x x ⑹2)32(z y x +-
7、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ，x 2 + y 2 ，x 2－xy + y 2的值
8、已知3)()1(2
-=+-+y x x x ，求xy y x -+22
2的值 一、判断题
⑴222964)32(y xy x y x +-=- ( ) ⑵ (3a 2 + 2b )2 = 9a 4 + 4b 2 ( ) ⑶2234226.004.0)2.0(n m n m m mn m ++=-- ( )
⑷ (－a + b) (a －b) = －(a －b) (a －b) = －a 2－2ab + b 2 ( )
二、选择题
⑴2)2(n m +-的运算结果是 ( )
A 、2244n mn m ++
B 、2244n mn m +--
C 、2244n mn m +-
D 、2242n mn m +- ⑵运算结果为4
2421x x +-的是 ( )
A 、22)1(x +-
B 、22)1(x +
C 、22)1(x --
D 、2)1(x -
⑶已知2
264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )
A 、8
B 、±8
C 、±16
D 、±32
⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )
A 、 2xy
B 、－2xy
C 、4xy
D 、－4xy
三、计算题
⑴ 22)()(y x y x +- ⑵22)35()35(y x y x ++-
⑶ ))((c b a c b a +--+ ⑷ 2222)2()4()2(++-t t t
5、已知(a + b) 2 =3，(a －b) 2 =2 ，分别求a 2 + b 2， ab 的值
提高拓展
1、已知a+b=4，a 2－b 2=20，则a －b= 。若x+y=6，x 2－y 2=24，则x －y= ；
2、若（x+y ）2=9，（x －y ）2=5，则xy= 。若（3x+2y ）2=（3x －2y ）2+A ，则A= 。
3、已知：x+y=10，xy=13，则x 2+y 2= 。若x+y=5，xy=4，则x －y= 。
4、已知，4x 2+M+9y 2是一个完全平方式，则M= 。
5、观察下列各式：1×3=22－1，3×5=42－1，5×7=62－1，7×9=82－1，…请你把发现的规律用含n （n 为正整数）的等式表示为 。
6、如果x 2+ax+81是一个完全平方式，那么a 的值是( ).
A.9
B.－9
C.9或－9
D.18或－18
7、若4x 2+axy+9y 2是一个完全平方式,则a=( ) A 、±12 B 、12 C 、－12 D 、±6
8、若4x 2－20x+m 2是一个完全平方式，则m=（ ）A 、5 B 、－5 C 、±5 D 、25 9、证明：不论x 、y 为何值，x 2+y 2－2x ＋4y ＋5总为非负数。
10、△（1）已知：x 2+2x －1=0，求 。（2）已知：x 2－3x+1=0，求 的值。
已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
11、若))(123(2b x x x ++-中不含2x 项，求b 的值。
12、化简求值：22)2()2()2)(12(+---+-x x x x ，其中2
11-=x 441x x +21()x x +
完全平方公式经典题型 (1)
完全平方（和、差）公式： 1． 公式：()2222a b a ab b ±=±+ 逆用：()2 222a ab b a b ±+=± 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍． 口诀：首平方加尾平方，乘积二倍在中央。 其中,a b 可以是数字、单项式和多项式。其中22,a b 称为二次项，均为正项；2ab 为中间项，符号由括号里的符号确定。 扩展：()222222ax by a x abxy b y ±=±+ a,b 为x 、y 系数，那么展开式的中间项系数为2ab 。 例：1.229124a ab b -+= 2. 2244a ab b -+= 3. 2(23)x -= 4. 221()32x y -= 4. 2102= 6. 299= 题型解析： 一、添括号运用乘法公式计算： （1）2)(b a -- (2)2)(c b a ++ （4） ()()22 225x 4y 5x 4y --+ （5）2)12(-+b a （6）2)12(--y x 二、展开式系数的判断：公式逆用 1、要使k x x +-62是完全平方式，则k=________ 2、要使42++my y 成为完全平方式，那么m=________ 3、将多项式92+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，这个整式可以是_______________ 4、多项式()2249a ab b -+是完全平方差公式，则括号里应填 。 5、将下列式子补充完整: （1）24x - xy +216y =( ) 2 （2）225a +10ab + =( )2 （3） -4ab + =(a - )2 （4）216a + + =( +)22b （5）2916x - + =( 223y ?-?? 三、利用公式加减变形 例.已知5=+b a 3ab =，求22b a +和 2)(b a -的值 1. 若a+b=0，ab=11，求a 2﹣ab+b 2的值。 2.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 3. 已知，（x+y ）2=16，（x ﹣y ）2=8，那么xy 的值是多少？ 4. 如果，求和1a-a 的值。 5. 已知x 2+y 2=13，xy=6，则x+y 的值是多少？
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题） 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？ 2. 阅读理解题：
完全平方公式 典型应用
完全平方公式的典型应用 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－ 41y 2等于－（ ）2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角
完全平方公式经典习题
完全平方公式一 1．（a ＋2b ）2＝a 2＋_______＋4b 2；（3a －5）2＝9a 2＋25－_______． 2．（2x －_____）2＝____－4xy ＋y 2；（3m 2＋_____）2＝______＋12m 2n ＋______． 3．x 2－xy ＋______＝（x －______）2；49a 2－______＋81b 2＝（______＋9b ）2． 4．（－2m －3n ）2＝_________；（41s ＋3 1t 2）2＝_________． 5．4a 2＋4a ＋3＝（2a ＋1）2＋_______． （a －b ）2＝（a ＋b ）2－________． 6．a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2－__________． 7．（a －b ＋c ）2＝________________________． 8．（a 2－1）2－（a 2＋1）2＝[（a 2－1）＋（a 2＋1）][（a 2－1）－（______）]＝__________． 9．代数式xy －x 2－41y 2等于……………………（ ） （A ）（x －21y ）2（B ）（－x －21y ）2（C ）（21y －x ）2（D ）－（x －21y ）2 10．已知x 2（x 2－16）＋a ＝（x 2－8）2，则a 的值是…………………………（ ） （A ）8（B ）16（C ）32（D ）64 11．如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N 等于……………………… （ ） （A ）18（B ）±18（C ）±36（D ）±64 12．若（a ＋b ）2＝5，（a －b ）2＝3，则a 2＋b 2与ab 的值分别是………………（ ） （A ）8与21（B ）4与21（C ）1与4 （D ）4与1 13．计算：（1）（－2a ＋5b ）2； （2）（－21ab 2－3 2c ）2； （3）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；（4）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （5）（2a ＋3）2＋（3a －2）2； （6）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （7）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； （8）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 14. 用简便方法计算：（1）972； （2）992－98×100； 15．求值：（1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．
初中数学完全平方公式题型总结
一、简单型 1、计算472﹣94×27+272． 2、1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________。 3、已知x2-2(m-3)x+9是一个多项式的平方，则m=_______。 二、x+y= xy= （x2+y2=）型（等式两边平方型） 1、已知x+y=3，xy=2，求x2+y2的值． 2、已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值． 3、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y=________。 4、设a﹣b=﹣2，求的值．
三、观察特点，找出隐含条件。 1、已知a-b=b-c=53，a 2+b 2+c 2=1，则ab+bc+ca=___________。 2、已知x= b a b a -+，y=b a b a +- （b a ±≠），且19x 2+143xy+19y 2=2005，则x+y=_____。 3、若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，则（2005-n ）×（n-2004）= （ ） 4、已知a= 201x+20，b=201x+19，c=201x+21，则代数式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值是（ ） 四、先变形再代入型 1、若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x 2+xy+y 2的值 2、已知ax+by=3，a y －bx=5，则(a 2+b 2)(x 2+y 2)=________。 3、已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值． 4、已知a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+2016的值
完全平方公式综合应用.doc
精品文档“完全平方公式变形的应用”培优题姓名： 完全平方式常见的变形有: （ 1）a2 b2 (a b)2 2ab （ 2）a2 b2 (a b)2 2ab （ 3）a b 2 ( a b) 2 4ab （ 4）a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 2ab 2ac 2bc （） 2 2 1、已知 m+n -6m+10n+34=0，求 m+n的值 2、已知x2y 24x 6 y 130 ，x、y都是有理数，求 x y的值。 练一练 A 组： 1 ．已知(a b) 5, ab 3 求 (a b)2与 3(a2b 2 ) 的值。 2 ．已知a b 6, a b 4 求ab与 a2b2的值。 3、已知a b 4, a2b2 4 求 a2b2与 (a b) 2的值。 4、已知 ( a+b)2 =60，( a-b) 2 =80，求 a2 +b2及 ab 的值
精品文档B组： 5．已知a b 6, ab 4 ，求 a2b 3a2b2ab 2的值。 6．已知x2 y2 2x 4y 5 0 ，求1 (x 1)2 xy 的值。2 7．已知x 1 6 ，求 x2 1 2的值。 x x 8、 x 2 3 x 1 0 ，求（） x 21 （） x 41 1 x 2 2 x 4 C 组: 10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式 3(a2b2c2 ) (a b c)2，请说明该三角形是什么三角形？
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 (B 卷) 综合运用题 姓名： 一、请准确填空 则 a 2004 b 2005 、若 a 2 b 2 － a b 1 + 2 +2 +2=0, + =________. 、一个长方形的长为 (2 a b 宽为 (2 a － b ), 则长方形的面积为 ________. 2 a －b +3 ), 3 3、5－( 2 的最大值是 － a － b 2 取最大值时， a 与 b 的关系 ) ________，当 5 ( ) 是________. 4. 要使式子 0.36 x 2 + 1 y 2 成为一个完全平方式，则应加上 ________. 4 5.(4 a m+1 －6a m ) ÷ 2a m － 1 =________. 2 6.29 × 31×(30 +1)=________. 7. 已知 x 2－5x+1=0, 则 x 2+ 1 =________. x 2 8. 已知 (2005 －a)(2003 －a)=1000, 请你猜想 (2005 －a) 2+(2003－a) 2 =________. 二、相信你的选择 － m x 且 x ≠ 则 m 等于 9. 若 x 2－x －m x +1) 0, =( )( A. －1 B.0 C.1 D.2 10.( x+a) 与( x+ 1 ) 的积不含 x 的一次项，猜测 a 应是 5 A.5 B. 1 C. － 1 D.－5 5 5 11. 下列四个算式 x 2y 4 ÷ 1 xy xy 3 ② a 6 b 4 c ÷ a 3b 2 a 2b 2c ③ x 8 y 2÷ : ① 4 4 = ; 16 8 =2; 9 3 y 5 3 2 m m 2 m － ÷ － － ，其中正确的有 x x y ; ④(12 m m ( m 3 =3 +8 4 ) 2 )= 6 +4 +2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12. 设( x m －1 n+2 5m －2 5 3 , n y ) ·( x y )= x y 则 m 的值为 A.1 B. －1 C.3 D. －3 13. 计算［ ( a 2－b 2)( a 2+b 2) ］2 等于 A. a 4－2a 2b 2+b 4 B. a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4 b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14. 已知 ( a+b) 2 =11, ab=2, 则( a － b) 2 的值是 A.11 B.3 M 是 C.5 D.19 15. 若 x 2－ xy M 是一个完全平方式，那么 7 + A. 7 y 2 B. 49 y 2 C. 49 y 2 D.49y 2 2 2 4 16. 若 x, y 互为不等于 0 的相反数， n 为正整数 , 你认为正确的是 A. x n 、y n 一定是互为相反数 B.( 1 ) n 、( 1 ) n 一定是互为相反数 x y
数学教案的运用完全平方公式法
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例 完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用 根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用 将公式逆向使用，即由右向左套用. 例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+
完全平方公式练习50题
完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
完全平方公式经典习题
完全平方公式练习题 一、点击公式 1、2 a b = ，2 a b = ，a b b a = . 2、222a b a b + =2a b + . 3、22a b a b = . 二、公式运用 1、计算化简 （1）2222x y x y x y （2）2)())((y x y x y x (3)2 )21(1x （4）z y x z y x 3232（5）2121 a b a b 2、简便计算： （1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272 3、公式变形应用： 在公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2中，如果我们把a+b ，a-b ，a 2+b 2，ab 分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b =2，代数式a 2-b 2+2a+8b+5的值为，已知11 25 ,,7522x y 代数式 （x+y ）2-（x-y ）2的值为，已知2x-y-3=0，求代数式12x 2-12xy+3y 2的值是，已知x=y +4，求代数式2x 2-4xy+2y 2-25的值是. （2）已知3b a ，1ab ，则22b a ＝，44a b = ；若5a b ，4ab ，则2 2b a 的值为______；28a b ，2 2a b ，则ab=_______. （3）已知：x+y =-6，xy=2，求代数式（x-y ）2的值．
（4）已知x+y =-4，x-y=8，求代数式x 2-y 2的值．（5已知a+b =3，a 2+b 2 =5，求ab 的值. （6）若222315x x ，求23x x 的值. （7）已知x-y=8，xy=-15，求的值. （8）已知：a 2+b 2=2，ab=-2，求：（a-b ）2 的值．4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用） （1）如果 522x x y ，当x 为任意的有理数，则y 的值为（）A 、有理数 B 、可能是正数，也可能是负数 C 、正数 D 、负数（2）多项式192x 加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式是 ．(填上所有你认为是正确的答案)（3）试证明：不论 x 取何值，代数x 2+4x+92的值总大于0．（4）若2x 2-8x+14=k ，求k 的最小值．
完全平方公式的综合应用(讲义及答案)
完全平方公式的综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 请利用完全平方公式计算下列各式： （1）(a +b )2-(a -b )2=_________； （2）(a +b )2-(a 2+b 2)=_________； （3）a 2+b 2-(a -b )2=__________． 2. 如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小 长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形． 图1 图2 m n n m m n n m （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积； （2）观察图2，你能写出三个代数式2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？ ? 知识点睛 1. 知二求二：
2()a b +，2()a b -，22a b +，ab 有如下关系： )2 ( 因此，已知其中两个量的值，可根据他们之间的关系求解其余两个量的值． 2. 公式逆用： （1）观察是否符合公式的结构． （2）两边已知，中间未知，____________；两边未知，中间已知，______________． 3. 最值问题： 若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知__________，因此此多项式有最小值____；若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知___________，因此此多项式有最大值____． ? 精讲精练 1. 若2()3a b -=，2()19a b +=，则ab =______，22a b +=______． 2. 若24x y +=，1xy =，则224x y +=______，2(2)x y -=______． 3. 若a +b =4，228a b -=，则22a b +的值是__________． 4. 已知常数a ，b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． 5. 已知a +b =3，ab =1，求22a b +，44a b +的值．
完全平方公式所有题型分类超全
板块一：配方思想 【例1】 填空：222_____4(2)x y x y ++=+； 【例2】 填空：2229_____121(3___)a b a -+=-； 【例3】 填空：2244____(2___)m mn m ++=+； 【例4】 填空：2_____6______(3)xy x y ++=+. 【例5】 如果多项式219 x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 【例6】 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值. 【例7】 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值． 【例8】 甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1 万千克，乙公司每次用1万元购粮，则两次平均价格较低的是 公司． 例题精讲 配方思想及竞赛中简单公式的应用
【例10】 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ． 【例11】 求224243a b a b +--+的最值． 【例12】 求下列式子的最值：当x 为何值时，2615x x -+-有最大值. 【例13】 设225P a b =+，224Q ab a a =--，若P Q >，则实数a ，b 满足的条件是 ． 板块二：立方公式 立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+； 立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-； 和的完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++； 差的完全立方公式：33223()33a b a a b ab c -=-+-. 【例14】 计算：2224(2)(42)m n m mn n +-+ 【例15】 计算：2422(32)(964)x y x x y y -++； 【例16】 计算：22()()m n m mn n x x x x x +-+； 【例17】 计算：2222(2)(24)x y x xy y +?-+；
《完全平方公式》典型例题.
（1） (2 - 3x )2 ；（2） (2ab + 4a )2 ；（3） ( am - 2b ) 2 ． （1） ( x - 3) 2 - x 2 ；（2） (2a - b - )(2a - b + ) ；（3） ( x + y )2 - ( x - y )2 ． 例 6 利用完全平方公式进行计算：（1） 201 2 ； （2） 99 2 ； （3） (30 ) 2 《完全平方公式》典型例题 例 1 利用完全平方公式计算： 1 2 例 2 计算： （1） (3a - 1)2 ；（2） (-2 x + 3 y )2 ；（3） (-3x - y )2 ． 例 3 用完全平方公式计算： （1） (-3 y + 2 3 x ) 2 ； （2） (-a - b )2 ； （3） (3a + 4b - 5c )2 ． 例 4 运用乘法公式计算： （1） ( x - a )( x + a )( x 2 - a 2 ) ； （2） (a + b - c )(a - b - c ) ； （3） ( x + 1)2 ( x - 1)2 ( x 2 + 1)2 ． 例 5 计算： 1 1 1 1 2 4 2 2 1 3 例 7 已知 a + b = 3, ab = -12 ，求下列各式的值． （1） a 2 + b 2 ；（2） a 2 - ab + b 2 ；（3） (a - b )2 ． 例 8 若 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c )2 ，求证： a = b = c ．
（3） ( am - 2b )2 = a 2m 2 - 2amb + 4b 2 ． 参考答案 例 1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进 行计算． 解：（1） (2 - 3x )2 = 22 - 2 ? 2 ? 3x + (3x )2 = 4 - 12x + 9 x 2 ； （2） (2ab + 4a )2 = (2ab )2 + 2 ? 2ab ? 4a + (4a )2 = 4a 2b 2 + 16a 2b + 16a 2 ； 1 1 2 4 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该 公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现 (2 - 3x )2 = 4 - 12x + 3x 2 的错误． 例 2 分析：（2）题可看成 [(-2 x ) + 3 y ]2 ，也可看成 (3 y - 2 x )2 ； （3）题可看 成 [-(3x + y )]2 ，也可以看成 [(-3x ) - y ]2 ，变形后都符合完全平方公式． 解：（1） (3a - 1)2 = (3a )2 - 2 ? 3a ?1 + 12 = 9a 2 - 6a + 1 （2）原式 = (-2 x )2 + 2 ? (-2 x ) ? 3 y + (3 y )2 = 4 x 2 - 12xy + 9 y 2 或原式 (3 y - 2 x )2 = (3 y )2 - 2 ? 3 y ? 2 x + (2 x )2 = 9 y 2 - 12xy + 4 x 2 （3）原式 = [-(3x + y )]2 = (3x + y )2 = (3x )2 + 2 ? 3x ? y + y 2 = 9 x 2 + 6 x y + y 2 或原式 = (-3x )2 - 2 ? (-3x ) ? y + y 2
完全平方公式经典习题.doc
2 213.计算:（1） （―2。+5。）2； ⑵（十2_§）2； (3)(工一3y —2)(尤+3y —2)； (4) (x~2y) (x 2—4>,2)(尤+2y)； 完全平方公式一 1. （。+2人）2 =决+ ______ +4人2； （3Q —5） 2=9Q 2+25— _______ 2. (2尤— ___ ) 2= ________ —Axy-^y 1； (3m 2+ ______ .)2 = ______ +12冰〃+ ___ 3. JC —xv+ = (x~ - )2； 49a 2- + 81^2= ( +%) 2 4. ( ~2m —3n) 2 = ； （￡+圮）2 = ? 4 3 5. 4决+4。+3= (2Q +1) 2+ ? (。——人) 2= (Q +Z?) 2— 6.疽 +》2= (Q + 人)2_ =(a~b) 2 — _____ ■ 7. (。—b+c) 2 =. 8. (a 2— 1 ) 2— (Q 2+1)2=[(Q 2— 1)+ (Q 2+])][( Q 2— 1)—() ]= 9. 代数式xy-x 2--y 2等于 .................. ( ) 4 (A) (x~-y) 2 (B) (—x —-y) 2 (C) (-y —x) 2 (D) — (x~-y) 2 2 2 2 2 10. 已知 j (x 2— 16) +。= (X 2—8) 2,则 Q 的值是.................... ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 11. 如果4Q 2—N 泌+8场2是一个完全平方式，则N 等于 ..................... ( ) (A) 18 (B) ±18 (C) ±36 (D) ±64 12. 若(a+b) 2=5, (a-b) 2=3,则 a 2+b 2与沥的值分别是 ...................... ( ) (A) 8 与上 (B) 4-^- (C) 1 与4 (。)4与1
初中数学完全平方公式的综合应用综合测试卷(含答案)
初中数学完全平方公式的综合应用综合测试卷一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知,则ab与的值分别为( ) A.10;29 B.-10;29 C.10;58 D.-10;58 答案：A 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题 2.若,,则值为( ) A.100 B.36 C.6 D.10 答案：B 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题 3.若,,则值为( ) A.252 B.140 C.136 D.152 答案：C 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题 4.若,则与的值分别为( ) A.11;119 B.11;123 C.7;83 D.7;47 答案：A 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题 5.若,则a的值为( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 答案：C 试题难度：三颗星知识点：平方差公式
6.若,则m的值为( ) A.-20 B.20 C.-10 D.±20 答案：A 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 7.若是完全平方式,则m的值为( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 答案：C 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 8.已知是一个完全平方式,则k的值是( ) A.8 B.±8 C.16 D.±16 答案：D 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 9.若,则m与n的值分别为( ) A. B. C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式凑配公式 10.已知,,,则代数式的值为( ) A.12 B.13 C.25 D.26 答案：B 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式凑配公式
完全平方公式典型例题
典型例题 例1利用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）． 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算． 解：（1）； （2）； （3）． 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在 进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误． 例2计算： （1）；（2）；（3）． 分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式． 解：（1） （2）原式 或原式 （3）原式 或原式
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用． 例3用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）． 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可 把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算． 解：（1） = （2） = （3） = 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：， ． 例4运用乘法公式计算： （1）；（2）； （3）． 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方 差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算．解：（1）原式= （2）原式= = （3）原式= =．
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的． 例5 计算： （1）；（2）；（3）． 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式． 解：（1）； （2） ； （3） ． 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．
平方差和完全平方公式经典例题复习过程
典例剖析 专题一：平方差公式 例1：计算下列各整式乘法。 ①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n --- ③数字变化98102? ④系数变化(4)(2)24n n m m +- ⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+ ⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+ ◆变式拓展训练◆ 【变式1】2244()()()() y x x y x y x y ---+++ 【变式2】22 (2)(4)33b b a a --- 【变式3】22222210099989721-+-++-…
专题二：平方差公式的应用 例2：计算 22004200420052003 -?的值为多少？ ◆变式拓展训练◆ 【变式1】22()()x y z x y z -+-+- 【变式2】2301(3021)(3021)?+?+ 【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++ 【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=， （1）求22a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。
专题三：完全平方公式 例3：计算下列各整式乘法。 ①位置变化：22()()x y y x --+ ②符号变化：2(32)a b -- ③数字变化：2197 ④方向变化：2(32)a -+ ⑤项数变化：2(1)x y +- ⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++ ◆变式拓展训练◆ 【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ） A.8 B.16 C.2 D.4 【变式2】已知221() 4.,()_____2 a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ） A.1 B.13 C.17 D.25 【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)二次根式的运算知识点 知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘， 根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非 负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数) (1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. ，即积的算术平方根知识点二、积的算术平方根的性质 等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： （1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质 ③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式 移到根号外 ④被开方数中每个因数指数都要小雨2 （5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、 二次根式的除法法则： 把被开方数相除.
要点诠释：，即两个二次根式相除，根指数不变， (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中 ，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 知识点四、商的算术平方根的性质 ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. （2）步骤①利用商的算术平方根的性质 ② a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化 （3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点五：最简二次根式 1. 定义：当二次根式满足以下两条： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释： (1)最简二次根式中被开方数不含分母； (2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能 为1次. 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：