2017届福建省四地六校高三上学期第二次联考文科数学试题及答案

“四地六校联考”2017学年上学期第二次月考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T = （ ）A. )5,2(B. ]5,2[C. ]5,(-∞D. ),2[+∞2．命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的否命题是（ ）A ．若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线B ．若两条直线没有公共点，则这两条直线不是异面直线C ．若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点D ．若两条直线不是异面直线，则这两条直线有公共点 3．若直线02=++y x 与圆222240x y x y ++--=交于P ，Q 两点，则PQ ＝（ ）A. 7B. 6C. 5D. 44. 设变量,x y 满足约束条件041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．2 B.3 C ．5 D. 65. 若2log 3a =，3log 2b =，sin c e π=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <b <aC. a <c <bD. b <c <ax-A ．B ．C ．D ．7.数列{}n a 的前n 项和为()22n S n n m m R =-+∈，则“0m =”是“数列{}n a 为等差 数列”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A. 若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m B. 若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC. 若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥mD. 若n m ⊥，α//n ，则α⊥m9.某几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ） A. 32πB.C ．32π+D.32π10.若函数()m g x x ax=+的导函数为()21g x x '=+，则数列()()*1n N g n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn - B. 21n n ++ C ．1n n + D.1n n+11.设1x →，2x →，3x →为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足1x →与2x →不共线，1x →⊥3x →，1x →=3x →，则23x x →→的值一定等于（ ）A ．以2x →，3x →为两边的三角形面积 B. 以1x →，2x →为邻边的平行四边形的面积图1C ．以1x →，2x →为两边的三角形面积 D. 以2x →，3x →为邻边的平行四边形的面积12.若函数()h x 在定义域D 上可导，且其导函数()h x '在D 上也可导，则称()h x 在D 上存在二阶导函数，记作()h x ''，即()()()h x h x ''''=，当()0h x ''<在D 上恒成立时，称()h x 在D 上是凸函数.下列函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是．．凸函数的是（ ） A ．()()sin cos f x x x m m R =++∈ B. ()()ln 2015f x x x m m R =-+∈ C ．()3()2020f x x x m m R =-++∈ D. ()()x f x xe m m R =+∈第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置 13．幂函数ay x =的图象过点（2，），则实数a 的值为 . 14．若0x y ±=为双曲线22214x y m-=()0m >的渐近线方程，则m ＝ . 15. 数列{}n a 的通项公式1sin 2nn a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则2014S = .16.已知向量OA、OB不共线，且2OM xOA yOB=+ ，若()MA t AB t R =∈，则点(),x y 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，12a =，公比2q =． （Ｉ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明：22n n S a +=；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是3，1a ，2a ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知函数()f x a b →→= ，()sin ,cos a x x →=， ()cos ,cos b x x →=． （Ⅰ）求()f x 的对称轴； （Ⅱ）若[,]122x ππ∈，求()f x 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =-．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．C 1B 1A 1FE C BA图220.（本小题满分12分）如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11A B BC ⊥，1BC =，12AA AC ==，E 、F分别为11AC 、BC 的中点.（Ⅰ）求证：1//C F 平面EAB ；（Ⅱ）求三棱锥A BCE -的体积.21.（本小题满分12分）等差数列{}n α的前n项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=．（Ⅰ）求数列{}n α的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值； （Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，上顶点()0,b 在直线10x y +-=上. （Ｉ）求椭圆Γ的方程；（II ）过原点的直线与椭圆Γ交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆Γ的顶点）. 点C 在椭圆Γ上，且AC AB ⊥，直线BC 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点.（i ）设直线BC ，AP 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在实数t ，使得12k tk =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（ii ）求OPQ ∆面积的最大值．“四地六校联考”2017-2018学年上学期第二次月考高三数学（文）参考答案18.解：（Ⅰ）∵a b＝2sin cos cos x x x + (2)分11(sin 2cos 2)22x x =++…………4分∴()f x 12242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…………6分由242x k πππ+=+得()28k x k Z ππ=+∈∴()f x 的对称轴为()28k x k Z ππ=+∈………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）()fx 1242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ∵[,]122x ππ∈ ∴552[,]4124x πππ+∈∴sin(2)[42x π+∈-…………11分∴11())[0,]2422f x x π+=++∈.…………12分19.解：（Ⅰ）'21()a f x xx =--……2分∵曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =-∴'(1)11f a =--=，∴2a =-……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln f x x x=--，则'22212()xf x x x x-=-= 令'()0f x =，解得2x =， 又()f x 的定义域为()0,+∞…………6分当()0,2x ∈时，'()0f x > ∴()f x 在()0,2内为增函数…………8分当()2,x ∈+∞时，'()0f x < ∴()f x 在()2,+∞内为减函数…………10分由此知函数()f x 在2x =处取得极大值(2)1ln 2f =-- (12)分20.解：（Ⅰ）法一：取AB 中点G ，连结EG ，FG …………1分GC 1B 1A 1FE CBA∵E ，F 分别是11AC ，BC 的中点∴FG AC ∥，且12FG AC =∵11AC AC ∥，且11AC AC =∴1FG EC ∥，且1FG EC =∴四边形1FGEC 为平行四边形…………4分∴1C F EG ∥又∵EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE∴1C F ∥平面ABE …………6分法二：取AC 中点H ，连结1C H ，FH …………1分则1C E AH ∥且1C E AH =∴四边形1C EAH 为平行四边形∴1C H EA ∥又∵EA ⊂平面ABE，1C H ⊄平面ABE∴1C H ∥平面ABE …………3分∵H 、F 分别为AC 、BC 的中点∴HF AB ∥ 又∵AB ⊂平面ABE，FH ⊄平面ABE∴FH ∥平面ABE …………4分又∵1C H⋂FH H =，1C H ⊂平面1C HF ，FH ⊂平面1C HF∴平面1C HF ∥平面ABE …………5分又∵1C F ⊂平面1C HF ∴1C F ∥平面ABE …………6分（Ⅱ）∵12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥∴AB =…8分∴三棱锥A BCE -的体积为A BCEE ABC VV --=…10分111112332ABC S AA =⋅=⨯⨯⨯=△…12分21. 解：（Ⅰ）当n ＝1时，136a π=…………1分当2n ≥时，()221136361836n n n a S S n n n ππππ-=-=--=- (3)分∵当n ＝1时，1a 适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n a n ππ=-…………5分（Ⅱ）选择②，计算如下：212πβ=…………6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…………8分（Ⅲ）证明: 22sin cos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………9分=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (1)0分=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- (1)1分=2233cos sin 44θθ+＝34…………12分22.（I ）∵上顶点()0,b 在直线10x y +-=上， ∴1b =…………2分由c e a ===得224b a =＝４，…………4分∴椭圆Γ的方程为2214x y += (5)分(II) （i ）存在。