高考数学复习第2讲等差数列及其前n项和

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高考数学第一轮知识点第2课时等差数列及其前n项和课时复习课件理

∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242，得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增；若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数列． 2．等差数列的最值若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0，前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次

高考数学复习等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和最新考纲考向预测1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．命题趋势等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.核心素养数学抽象、逻辑推理1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .常见误区1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( ) A ．32 B ．39 C ．42D ．45解析：选B.设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．故选C.4．(易错题)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，所以{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12.答案：a n ＝12n ＋125．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.答案：25等差数列的基本运算(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】 (1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.(2)因为3S 5－5S 3＝135，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d － 5⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝135，所以15d ＝135，解得d ＝9. 【答案】 (1)A (2)9等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12解析：选 C.设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1，又a 1＝1，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180.解得m ＝5.等差数列的判定与证明已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－12n ＝－12n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．证明：因为S n ＝S n －12S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明方法[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B.由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，依题意得，d ＝a 6－a 26－2＝11－34＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，即a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝a 1＋a 72×7＝1＋132×7＝49.2．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6，所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3.所以a n＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.故选B.等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质(1)在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8a2a14＝()A．－32B．－3C．－6 D．2(2)(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解析】(1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则a8a2a14＝－32，故选A.(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值．从而ABD均正确．【答案】(1)A(2)ABD如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m－n＋a m＋n的值．角度二等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100 B．120C．390 D．540(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a n}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为() A．10 B．20C．30 D．40【解析】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(2)设等差数列{a n}的公差为d，项数为n，前n项和为S n，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝n2d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.【答案】(1)A(2)B等差数列前n项和的性质在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．角度三等差数列的前n项和的最值(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.【答案】 D求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝20，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：选B.依题意a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝20，a 5＝4，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝36.2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.275解析：选D.S 9S 5＝9（a 1＋a 9）25（a 1＋a 5）2＝9（a 1＋a 9）5（a 1＋a 5）＝9a 55a 3＝95×3＝275.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C.因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.[A 级基础练]1．若等差数列{a n }的公差为d ，则数列{a 2n －1}是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为nd 的等差数列 D ．非等差数列解析：选B.数列{a 2n －1}其实就是a 1，a 3，a 5，a 7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d .2．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( ) A ．2 B ．7 C ．14D ．28解析：选C.因为2＋a 5＝a 6＋a 3，所以2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d .解得a 4＝2，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝14.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.4．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0解析：选AC.根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d 2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B.6．已知数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.答案：167．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：8208．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋（n －1）d ]2n＝d 2n 2＋（4d －2d 2）n ＋（d －2）2n ，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，所以d ＝2.所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40.答案：409．在①数列{S n －n 2}是公差为－3的等差数列，②S n ＝n 2＋a n －5n ＋4，③数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 3a 6＝a 24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝－2，{a n }的前n 项和为S n ，且________．求a n .解：若选择①，因为a 1＝－2，所以S 1－12＝a 1－1＝－3.因为{S n－n2}是公差为－3的等差数列，所以S n－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.所以S n＝n2－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2，符合上式．所以a n＝2n－4.若选择②.因为S n＝n2＋a n－5n＋4，所以当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋a n－1－5(n－1)＋4，两式相减，得a n＝n2－(n－1)2＋a n－a n－1－5n＋5(n－1)，即a n－1＝2n－6.所以a n＝2n－4(n∈N*)．若选择③，设等差数列{a n}的公差为d，由a3a6＝a24可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－4.10．若数列{a n}的各项均为正数，对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求a1＋a3a2的值；(2)求证：数列{a n}为等差数列．解：(1)因为对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，令n＝2，得a23＝a2a4＋t.①令n＝1，得a22＝a1a3＋t.②①－②得a23－a22＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，所以a1＋a3a2＝a2＋a4a3＝2.(2)证明：a2n＋1＝a n a n＋2＋t，a2n＋2＝a n＋1a n＋3＋t，两式相减得a n＋1＋a n＋3a n＋2＝a n＋a n＋2a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋a n ＋2a n ＋1为常数列，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a 1＋a 3a 2＝2，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．[B 级综合练]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则( )A ．a 6＞0B ．－247＜d ＜－3C ．当S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项解析：选ABCD.由题意，得S 12＝（a 1＋a 12）2×12＝6(a 6＋a 7)＞0.又a 7＜0，所以a 6＞0，所以A 正确．根据题意得⎩⎨⎧a 7＝a 3＋4d ＝12＋4d ＜0，a 6＝a 3＋3d ＝12＋3d ＞0，a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝24＋7d ＞0，解得－247＜d ＜－3，所以B 正确．因为S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以当S n ＜0时，n 的最小值为13，所以C 正确．由上述分析可知，当n ∈[1，6]时，a n ＞0，当n ∈[7，＋∞)时，a n ＜0，当n ∈[1，12]时，S n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S n ＜0，所以当n ∈[1，6]时，S n a n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S na n ＞0，当n ∈[7，12]时，S na n＜0，且当n ∈[7，12]时，{a n }为单调递减数列(a n ＜0)，S n 为单调递减数列(S n ＞0)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项，所以D 正确．故选ABCD.12．若数列{a n }为等差数列，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，则a 9的值是________．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以（a 1＋a 2n －1）×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n，即2a n ×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n＝12n ＋1a 2n ，又a n ＞0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19.答案：1913．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解：(1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列．由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.所以S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，所以数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．[C级创新练]15．多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……解析：因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为{a n}，其公差为d1，则a4＝18，d1＝4，故a n＝4n＋2，所以a10＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为{b n}，其公差为d2，则b4＝12，d2＝2，故b n＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式为C42H24.答案：C42H2416．已知定义：在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a n}为等方差数列．下列命题正确的是()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列D．若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：选ABD.若{a n}是等方差数列，则a2n－a2n－1＝p，故{a2n}是等差数列，故A正确；a n＝(－1)n时，a2n－a2n－1＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{a n}是等方差数列，则由A 知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k （n －1）＝d ，由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．第2讲等差数列及其前n 项和最新考纲考向预测1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．命题趋势等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.核心素养数学抽象、逻辑推理1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .常见误区1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( ) A ．32 B ．39 C ．42D ．45解析：选B.设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．故选C.4．(易错题)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，所以{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12.答案：a n ＝12n ＋125．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.答案：25等差数列的基本运算(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】 (1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.(2)因为3S 5－5S 3＝135，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d － 5⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝135，所以15d ＝135，解得d ＝9. 【答案】 (1)A (2)9等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12解析：选 C.设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1，又a 1＝1，所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180.解得m ＝5.等差数列的判定与证明已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－12n ＝－12n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．证明：因为S n ＝S n －12S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明方法[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B.由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，依题意得，d ＝a 6－a 26－2＝11－34＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，即a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝a 1＋a 72×7＝1＋132×7＝49.2．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6，所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3.所以a n＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.故选B.等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质(1)在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8a2a14＝()A．－32B．－3C．－6 D．2(2)(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解析】(1)因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则a8a2a14＝－32，故选A.(2)S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值．从而ABD均正确．【答案】(1)A(2)ABD如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m－n＋a m＋n的值．角度二等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{a n}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100 B．120C．390 D．540(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a n}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为() A．10 B．20C．30 D．40【解析】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(2)设等差数列{a n}的公差为d，项数为n，前n项和为S n，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝n2d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.【答案】(1)A(2)B等差数列前n项和的性质在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．角度三等差数列的前n项和的最值(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.【答案】 D求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝20，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：选B.依题意a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝20，a 5＝4，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝36.2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.275解析：选D.S 9S 5＝9（a 1＋a 9）25（a 1＋a 5）2＝9（a 1＋a 9）5（a 1＋a 5）＝9a 55a 3＝95×3＝275.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C.因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.[A 级基础练]1．若等差数列{a n }的公差为d ，则数列{a 2n －1}是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为nd 的等差数列 D ．非等差数列解析：选B.数列{a 2n －1}其实就是a 1，a 3，a 5，a 7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差2d .2．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( ) A ．2 B ．7 C ．14D ．28解析：选C.因为2＋a 5＝a 6＋a 3，所以2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d .解得a 4＝2，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝14.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.4．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0解析：选AC.根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d 2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B.6．已知数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.答案：167．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．解析：设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：8208．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2nn 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．解析：设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋（n －1）d ]2n＝d 2n 2＋（4d －2d 2）n ＋（d －2）2n ，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，所以d ＝2.所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40.答案：409．在①数列{S n －n 2}是公差为－3的等差数列，②S n ＝n 2＋a n －5n ＋4，③数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 3a 6＝a 24这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝－2，{a n }的前n 项和为S n ，且________．求a n .解：若选择①，因为a 1＝－2，所以S 1－12＝a 1－1＝－3.因为{S n－n2}是公差为－3的等差数列，所以S n－n2＝－3－3(n－1)＝－3n.所以S n＝n2－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2，符合上式．所以a n＝2n－4.若选择②.因为S n＝n2＋a n－5n＋4，所以当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋a n－1－5(n－1)＋4，两式相减，得a n＝n2－(n－1)2＋a n－a n－1－5n＋5(n－1)，即a n－1＝2n－6.所以a n＝2n－4(n∈N*)．若选择③，设等差数列{a n}的公差为d，由a3a6＝a24可得(a1＋2d)·(a1＋5d)＝(a1＋3d)2.又a1＝－2，d≠0，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－4.10．若数列{a n}的各项均为正数，对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求a1＋a3a2的值；(2)求证：数列{a n}为等差数列．解：(1)因为对任意n∈N*，a2n＋1＝a n a n＋2＋t，令n＝2，得a23＝a2a4＋t.①令n＝1，得a22＝a1a3＋t.②①－②得a23－a22＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，所以a1＋a3a2＝a2＋a4a3＝2.(2)证明：a2n＋1＝a n a n＋2＋t，a2n＋2＝a n＋1a n＋3＋t，两式相减得a n＋1＋a n＋3a n＋2＝a n＋a n＋2a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋a n ＋2a n ＋1为常数列，所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a 1＋a 3a 2＝2，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．[B 级综合练]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则( )A ．a 6＞0B ．－247＜d ＜－3C ．当S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项解析：选ABCD.由题意，得S 12＝（a 1＋a 12）2×12＝6(a 6＋a 7)＞0.又a 7＜0，所以a 6＞0，所以A 正确．根据题意得⎩⎨⎧a 7＝a 3＋4d ＝12＋4d ＜0，a 6＝a 3＋3d ＝12＋3d ＞0，a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝24＋7d ＞0，解得－247＜d ＜－3，所以B 正确．因为S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以当S n ＜0时，n 的最小值为13，所以C 正确．由上述分析可知，当n ∈[1，6]时，a n ＞0，当n ∈[7，＋∞)时，a n ＜0，当n ∈[1，12]时，S n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S n ＜0，所以当n ∈[1，6]时，S n a n ＞0，当n ∈[13，＋∞)时，S na n ＞0，当n ∈[7，12]时，S na n＜0，且当n ∈[7，12]时，{a n }为单调递减数列(a n ＜0)，S n 为单调递减数列(S n ＞0)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中的最小项为第7项，所以D 正确．故选ABCD.12．若数列{a n }为等差数列，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，则a 9的值是________．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以（a 1＋a 2n －1）×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n，即2a n ×（2n －1）2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n＝12n ＋1a 2n ，又a n ＞0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19.答案：1913．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解：(1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列．由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，。

第二讲：等差数列及其前n项和

第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。

2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

3、等差数列的通项公式及其变形：通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。

通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。

4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。

当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。

当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。

等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列；二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+；等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。

第7章第2节等差数列及其前n项和2021年新高考数学自主复习

第7章数列
第1节数列的概念与简单表示法
目第2节等差数列及其前n项和
录目第3节比数列及其前n项和录
第4节数列的综合应用
专题3 求数列通项公式的方法及数列求和的方法
第2节等差数列及其前n项和
真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破
第2节等差数列及其前n项和
∴S10＝
＝100，S5＝
＝25，∴ ＝4.
【答案】4
＝______.
第2节等差数列及其前n项和
4．[江苏2019·8]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝0，
(3)用函数观点理解通项公式：an是定义在N*或其有限子集{1，2，3，…，n}上的一次函数(d≠0)或常数函数(d＝0)．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y＝px＋q上的离散的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的离散的点．
【答案】0 －10
第2节等差数列及其前n项和
必备知识整合提升
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列_从__第__2_项__起__，__每__一__项__与__它__的__前__一__项__的__差__都__等__于__同__一__个__常__数___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公__差__，通常用字母__d___表示．

等差数列及其前n项和-高考数学复习

等差数列及其前n项和
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
__________,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
同一个常数
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
的_______,通常用字母d表示.定义表达式为____________________
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析设冬至日晷长为a1尺,小寒日晷长为a2尺,以此类推芒种日晷长为a12
尺,
因此a1=13.5,a12=2.5.设相邻两个节气晷长的变化量为d,所以有
2.5=13.5+(12-1)d⇒d=-1.立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5(尺),
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b
(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且
解得
101 + 45 = 40,
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
②由已知得
(1 + )
Sn=
2
=
(13+15-2)

2020版高考数学一轮复习第六章数列第2讲理(含解析)新人教A版

第2讲等差数列及其前n 项和配套课时作业1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.2．(2019·宁德模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C解析因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9＝54－9＝45.故选B.4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 5＋a 62＝45.故选B.5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30B ．45C ．90D ．186答案 C解析因为a 2＝6，a 5＝15，所以a 5－a 2＝3d ，d ＝3，所以{b n }是公差为6的等差数列，其前5项和为5a 2＋10×6＝90.故选C.7．(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.8．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若a b n ＝3n －1，则b 2019＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020答案 D解析由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，知数列{a n }为单调数列，所以结合a b n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.故选D.10．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值答案 C解析因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝m a 1＋a m2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 12．(2019·苏州模拟)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2019a 2017＝( ) A ．4×20192－1 B ．4×20182－1 C ．4×20172－1 D ．4×20172答案 C解析由题意知{a n }为等差比数列，a 2a 1＝1，a 3a 2＝3，a 3a 2－a 2a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＋1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，则a 2019a 2017＝a 2019a 2018×a 2018a 2017＝(2×2018－1)×(2×2017－1)＝4×20172－1.故选C.13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676. 14．(2019·武汉模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.所以－1<d <－78.15．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．答案 10解析 ∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0， ∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.16．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ，且满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值是________．答案 43解析根据等差数列的性质得：a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21a 1＋a 21221b 1＋b 212＝A 21B 21＝148111＝43. 17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·广东惠州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n＋2. 因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝2n －1，所以a n ＝12n －1. (2)由b n ＝a n2n ＋1，得b n ＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以要使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立，则k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.19．(2019·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6，解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋n －16＋4n －22＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式，所以S n ＝2n 2－1.。

高考数学(理)总复习讲义：等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1，所以{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》知识点讲解及重点练习

第2课时　等差数列前n 项和的性质及应用学习目标　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一　等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考　在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案　中间两项，中间项．知识点二　等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案　B解析　∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案　C解析　由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案　BC解析　由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案　2 020解析　由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1　(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案　2解析　由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解　方法一　在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二　在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟　利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1　(1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案　－4解析　设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2　在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解　方法一　因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二　同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三　因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四　设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟　(1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解　(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3　数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解　(1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟　已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3　在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解　(1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升]　(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案　D解析　∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案　A解析　由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案　ABD解析　∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案　6或7解析　∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案　5解析　由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案　B解析　∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案　C解析　∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案　B解析　易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案　AB 解析　∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案　D解析　因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案　99解析　由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案　5解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案　6解析　由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一　a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解　(1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案　C解析　易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案　B解析　设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案　4178解析　因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案　310解析　设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案　11　7解析　设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明　(1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

高考数学总复习第5章第2讲等差数列及其前n项和课件理新人教A版

3 个必知问题 1. 知三求二：已知 a1、d、n、an、Sn 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． 2. Sn＝d2n2＋(a1－d2)n＝An2＋Bn⇒d＝2A.
第五页，共53页。
3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算．设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
第十二页，共53页。
(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n

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第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )．A ．8B ．7C ．6D ．5解析由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a nb n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值，所以S n 的最小值为－293.答案－29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。