3.1.1垂径定理【教案】
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案
课题：垂径定理
教学内容：垂径定理的概念、内容及应用
教学目标：
1.了解垂径定理的概念和内容。
2.掌握垂径定理的应用方法和技巧。
3.通过课堂练习和课后作业，提高学生的解题能力和思维能力。
教学重点和难点：
教学过程：
1.导入（5分钟）
教师首先介绍垂径定理的概念和基本应用，引出本节课的主题，并说明课程的目标和
教学重点及难点。
2.讲解（20分钟）
教师以图像和问题出发，引导学生理解垂径定理的概念和原理，然后逐步讲解垂径定
理的一般结论、特殊结论及不等式定理的推导过程和相关练习和问题。
教师带领学生完成一组课堂练习，然后让学生自己在课本和课堂练习中解决相关问题。
课堂练习中要带领学生培养解题的思路和解题的步骤，提高解题的能力和积极性。
教师邀请学生上台分享课上或课后做的垂径定理相关问题的解答和思路，并指导学生
如何巩固和加强相关知识和应用。
教师引导学生自主学习、思考和实践垂径定理相关问题，鼓励学生自主发现问题点，
深入思考问题的解决方案，并及时对学生的提问进行解答和指导。
教学方法：
1.课堂讲解
2.演示分析
3.课堂练习
4.展示分享
教学工具：
1.黑板
2.笔
3.投影仪
4.计算器
5.纸笔
教学评价：
2.课堂参与
4.家庭作业
5.期末考试
教学反思：
本节课通过注重理论知识的讲解，课程的练习和展示，进一步加深了学生对垂径定理的理解和应用能力。
但是还需要在今后的教学中加强对知识点的理解和掌握以及对学生思维能力的培养和提升。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
《垂径定理》教学设计
垂径定理教学设计教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进展计算和证明；（2）进一步培育学生观看问题、分析问题和解决问题的力气；（3）通过圆的对称性，培育学生对数学的审美观，并激发学生对数学的宠爱．教学重点、难点：重点：垂径定理及其应用于计算和证明；难点：由圆的轴对称性进展垂径定理的探究．教学具体过程：学生已学过圆的根本概念和直角三角形勾股定理，本节的主要内容是圆的轴对称性和垂径定理.在教学活动中，不管那个层次的学生，都通过学生动手试验、观看、理解圆的轴对称性，并进一步组织学生试验、观看、觉察问题，探究和解决问题，完成对垂径定理的学习。
教学内容学生活动教师活动设计目的一、引入课题：引导学生按以以下图在圆形的纸片上折叠C COO 1、学生用折叠的方法探究圆的对称性。
1、教师引导学生觉察圆的轴对称性。
通过“演示试验——观察——感性——理性”引出垂径定理EA B2、在教师的D D 引导下，学生2、教师提问：图中有哪些对折再折叠通过折叠，得到圆的轴对称性：1、是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、猜测：图中有相等的线段和弧：AE=EB，= ，= 观看、分析、觉察和提出问题。
相等的线段和弧？二、垂径定理的证明：1、：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为 E ． 求证：AE=EB ，=， = ．1、学生在教师的引导下进展口头推理论证。
1、教师在学生论证的根底上，进展主要论证步骤的板书。
1、通过对垂径定理的证明，论证了定理的正确性。
C 学生在学习 到了利用圆 O的 轴 对 称E性，用对折AB法进展证明 D证明：连结OA 、OB ，则OA=OB ． 又∵CD ⊥AB ，∴直线CD 是等腰△OAB 的对称轴，又是⊙O 的对称轴． ∴沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和B点重合，AE 和 BE 重合， 、 分别和 、 重合．∴AE=BE ，= ， = ．的方法。
垂径定理教案设计(2024)
课堂练习（10分钟）
布置相关练习题，让学生运用所 学知识解决问题，巩固学习效果 。
课程导入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
总结本节课的知识点和学习成果 ，鼓励学生在日常生活中运用所 学知识。
2024/1/29
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2024/1/29
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基础知识回顾
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圆的性质及定义
2024/1/29
定义与性质讲解
详细解释垂径定理的定义 、性质及其在数学领域的 重要性。
图形演示
通过图形演示，直观地展 示垂径定理的原理和应用 。
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教学目标与要求
知Hale Waihona Puke 与技能目标使学生掌握垂径定理的基本概念、性 质和应用方法，能够运用垂径定理解 决相关问题。
情感态度与价值观目标
激发学生学习数学的兴趣和热情，培 养学生的数学素养和创新精神。
2024/1/29
尝试将垂径定理与其他几何知 识点结合起来，探索新的解题 方法和技巧。
阅读相关数学文献和资料，了 解垂径定理的历史背景、发展 过程和在现代数学中的应用。
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感谢您的观看
THANKS
2024/1/29
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实际应用
垂径定理在实际生活中也有广泛 应用，如建筑设计、机械制造等
领域。
解题技巧
在解题过程中，要善于发现并利 用题目中隐含的垂径定理条件，
从而简化解题过程。
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典型例题解析与讨论
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简单应用题型举例
2024/1/29
01
已知圆的方程和直径，求垂直于 直径的弦的中点轨迹。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
垂径定理优秀教案
垂径定理优秀教案一、创意教学目标1. 知识与技能目标-学生能够准确说出垂径定理的内容，并能用数学语言进行表述。
“同学们，咱得知道啥是垂径定理哈。
就是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这可重要啦，得牢牢记住！”-学会运用垂径定理进行简单的几何计算和证明。
“咱学这个定理可不是光嘴上说说，得会用它做题。
比如说，给你一条弦和一个圆的直径，让你求弦长啥的，咱得会算。
”-能够通过观察、分析图形，发现并运用垂径定理解决实际问题。
“生活中也有很多跟垂径定理有关的事儿呢，咱得有双善于发现的眼睛，用这个定理去解决实际问题。
”2. 过程与方法目标-经历垂径定理的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳能力。
“咱一起好好观察这些图形，看看能发现啥规律。
然后分析分析，最后归纳出垂径定理。
这个过程很重要，能让咱的脑袋瓜越来越灵。
”-通过小组讨论、合作学习，提高学生的交流与合作能力。
“同学们分组讨论讨论，说说自己对垂径定理的理解。
大家一起商量商量怎么用这个定理做题，互相学习，共同进步。
”-运用数学实验法，让学生亲身体验垂径定理的应用，培养学生的实践操作能力和创新思维。
“咱来做个小实验，用圆规和直尺画个圆，再画一条弦，然后用直径去垂直这条弦，看看有啥发现。
这样能让咱更好地理解这个定理。
”3. 情感态度与价值观目标-激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索的精神。
“这个垂径定理可有意思啦！大家好好探索探索，说不定能发现一些新的东西呢。
要有勇于探索的精神，别怕犯错。
”-让学生体会数学的美和实用性，增强学生学习数学的信心。
“看看这些图形，多漂亮啊！而且这个定理在生活中也很有用呢。
学好了数学，咱以后干啥都有底气。
”-培养学生的团队合作意识和竞争意识，提高学生的综合素质。
“小组之间可以比一比，看哪个组对垂径定理理解得更透彻，做题做得又快又好。
这样能让大家更有动力，也能培养咱的团队合作意识和竞争意识。
”二、独特教学重点与难点1. 教学重点-垂径定理的内容及应用。
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入：利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。
提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”2. 自主探究：3. 小组交流：4. 例题讲解：利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：六、板书设计板书垂径定理板书内容：1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案：垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》(北师大)参考教案
《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
垂径定理初中教案
垂径定理初中教案1. 知识与技能：通过观察、实验和证明，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。
2. 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3. 情感态度价值观：培养学生类比分析、猜想探索的能力，通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
二、教学重难点1. 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理。
2. 教学难点：垂径定理的证明。
三、教学过程1. 导入：回顾轴对称图形的概念和性质，引出圆也是轴对称图形，并提问：圆的轴对称性有哪些应用？2. 探索：让学生分组进行实验，观察和记录圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现垂径定理。
3. 证明：引导学生运用已学的三角形全等的知识，证明垂径定理。
在此过程中，教师应给予学生适当的提示和引导，帮助学生完成证明。
4. 应用：让学生运用垂径定理解决一些有关的证明与计算问题，巩固所学知识。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现垂径定理。
2. 利用分组实验，让学生亲身体验和观察圆的轴对称性，增强学生的实践能力。
3. 在证明过程中，引导学生运用已学的三角形全等的知识，培养学生的逻辑思维能力。
4. 设计一些有关的证明与计算问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在探索和证明过程中的表现。
2. 课后作业：布置一些有关的证明与计算问题，检验学生对垂径定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，共同提高。
六、教学反思本节课通过观察、实验和证明，使学生掌握了垂径定理，并能够运用它解决有关的证明与计算问题。
在教学过程中，注重了学生的参与和实践，培养了学生的逻辑思维能力和应用能力。
同时，通过问题驱动的教学方法，激发了学生的学习兴趣和探索精神。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
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潍坊高新区2020-2021学年度第一学期初三数学课时备课设计时间： 2020 年 10 月 10日学校：潍坊歌尔学校年级：初三
序
2.如上图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。
典例
剖析【目标2、目标3】
典例剖析
例1 一桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为30m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为5m ，你能求出此桥主桥拱的半径吗？
变式训练1 已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，OD 垂直于AB ，DC 长2cm ，求⊙O 的半径。
例2 如图，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C 、D ，且AC=BD. 求证：OA ＝OB.
变式训练2 如图，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C 、D ，且OA=OB. 求证：AC=BD.
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB ），点是这段弧的圆心，是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ， AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是_________m ．
学生独立解决，组内合作交流，并统一解题思路
问题预设：对题目不理解，不能抽象出数学模型，计算错误 补救措施：每组2号学生展示，师生共同订正
O C
一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于多少？
1.（潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP : AP=1: 5.则CD的长为（）
A．B．C．D．
2.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．。