2011算法3_动态规划法

算法设计与分析 18
MatrixChain的运行举例
MatrixChain用矩阵m[i][j],2A3A4A5A6，其维数分别 当r=2，执行第(5)句完成了相邻矩阵A[i][i+1]=p[i–1]*p[i]*p[j] 设要计算矩阵连乘积A1A s[i][j]存放子问题A[i: MatrixChain将如下面红色箭头所示的过程逐个计算 当r=3，i=2时，执行第(5)句计算A[2:2][3:4]，m[2][4] = 当r=3，i=1时，执行第(5)句计算A[1:1][2:3]， m[1][3]= j] 当r=3，i=3时，执行第(5)句计算A[3:3][4:5]，m[3][5] = 执行for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0后将对角线元素全 类似的，当r=4、5、6时，可以计算出相应的m[i][j]及其相 由m[1][6]=15125可知这6个矩阵连乘积的最小运算次数为 当r=3，i=4时，执行第(5)句计算A[4:4][5:6]，m[4][6] 的计算，并在s[i][j]中添入了相应的断点。其中的第(7)句因 的最小计算量以及相应的断点。 = 6000 m[3][4] + p[1]*p[2]*p[4] = 26255×10, 10×20, m[2][3] + p[0]*p[1]*p[3] = =1000 +30*35*5 = 7875 20×25, m[4][5] + p[2]*p[3]*p[5] = 750 +35*15*10 = 2500 为35×35, j]： 子问题A[i: 35×15, 15×5, +5*10*25 部置零，即子问题A[i][i] 0。 应的断点s[i][j]，如下图中所示： 15125。由s[1][6] = 3可知A[1: 6]的最优计算次序为A[1: 3] m[5][6] p[3]*p[4]*p[6] 5000 +15*5*20 6250 为j =6]；由s[1][3]=1可知A[1: 3]的最优计算次序为A[1: 执行第(7)句计算A[2:3][4:4]，=5, m[2][3]+m[4][4]+ 6+ 1] 即p =35, p1=35, p2=15, p3 A[4: 0i+1(k=i+1)而被跳过去了，实际并没有执行。 =25。 执行第(7)句计算A[3:4][5:5]， t = m[3][4]+m[5][5]+ 执行第(7)句计算A[4:5][6:6]， = m[4][5]+m[6][6]+ 执行第(7)句计算A[1:2][3:3]， tt = p4=10, p5m[3][3] m[1][2] + =20, p p[1]*p[3]*p[4] = 2625+0+35*5*10 ==3500＜6250，所以 A[2: 3]；由s[4][6]=5可知A[4: 6]的最优计算次序为A[4: p[2]*p[4]*p[5] = 750+0+15*10*20 3750＞2500，所以 p[3]*p[5]*p[6] 1000+0+5*20*25 18375＞7875，所以 p[0]*p[2]*p[3] = 15750+0+35*15*5= 4375＜6000，所以 5] m[2][4]改为4375，断点改为3。 1(A2A3))((A4A5)A6)。 A[6: 6]；因此最优计算次序为：(A m[3][5]仍为2500，断点仍为3。 m[4][6]改为3500，断点改为5。 m[1][3]不变，断点仍为1。
k=1 n–1
= 1 + (n – 1) +∑(T(k) + T(n–k)) = n +∑T(k) + ∑T(n–k) = n + 2∑T(k)
k=1 k=1 n–1 k=1 n–1 k=1 n–1
n–1
可用数学归纳法证明T(n)≥2n–1 = (2n)。 直接递归算法的时间复杂性随n的指数增长。
算法设计与分析 13
i≤k＜j
其中矩阵Ai ，1≤i≤n，的维数为pi–1×pi。 根据此递归式就可以直接用递归程序来实现。
算法设计与分析11ຫໍສະໝຸດ 算法设计与分析12
直接递归的时间复杂性
• 根据前面的递归式不难得出RecurMatrxChain的 时间复杂性为 T(n) ≥ 1 + ∑(T(k) + T(n–k) + 1)
直接递归中有大量重复计算
• 直接递归中有大量重复计算，如A[1: 4]计算中：
1: 4
图中红框标出的 都是重复计算。
3: 4
1: 2 1: 1 2: 4 1:1 2: 3 2: 2 4: 4 3: 3 2: 2
3: 3
4: 4 1: 1 2: 2 2: 3 3: 3
1: 3
4: 4
2: 2 3: 3
算法设计与分析
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不同计算顺序的差别
• 设矩阵A1, A2和A3分别为10×100, 100×5和 5×50的矩阵，现要计算A1A2A3 。 • 若按((A1A2)A3)来计算，则需要的数乘次数为 10 100 5 10 5 50 10×100×5 + 10×5×50 = 7500 • 若按(A1(A2 A3))来计算，则需要的数乘次数为 100 ×5 ×50+ 10×100×50 = 75000 • 后一种计算顺序的计算量竟是前者的10倍！ • 所以，求多个矩阵的连乘积时，计算的结合 顺序是十分重要的。
• 直观的方法是用回溯法搜索。时间复杂 度为指数级。 • 低效的原因：没有充分利用重叠子问题 的性质。
算法设计与分析
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多阶段图最短路问题(3)
• 此图有明显的次序，可以划分为5阶段。故此问题的要求是：在 各个阶段选取一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序 列所决定的一条路线，其总路程最短。 • 由目标状态E向前推，可以分成四个阶段，即四个子问题。每个 阶段到E的最省费用为本阶段的决策路径。
C1 B1 A B2 C3 D3 C4 阶段0 阶段1 阶段2 阶段3 阶段4
4
C2
D1 D2 E
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多阶段图最短路问题(4)
• 设 Dis[k][x] 为第k阶段城市x到城市E的最短路 径长度。 map[ i ][ j ]为i，j两个城市间的距离。 • 递归方程为 Dis[k][x] = min { Dis[k+1][y]+map[x,y] } • 此问题时间复杂度降为O(n2).
算法设计与分析 15
自底向上的计算
• 例如对于A1A2A3A4，依据递归式以自底向上的 方式计算出各个子问题，其过程如下： 其中 例如： m[1][3] = m[1][1]+m[2][3]+p0p1p3 m[i][j] = mini≤k＜j min m[1][3] m[2][4] m[1][2]+m[3][3]+p0p2p3 {m[i][k]+m[k+1][j]+pi–1pkpj}
3: 4 4: 4
1: 2 1: 1
3: 3 2: 2
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算法设计与分析
消除重复的计算
• 要消除重复计算，可在在计算过程中保存已解 决的子问题的答案。这样，每个子问题只计算 一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而 避免重复计算。 • 计算方式可依据递归式自底向上地进行。 • 注意到在此问题中，不同的有序对 (i, j)就对应 不同的子问题，因此不同的子问题个数个数最 多只有Cn2+ n = θ(n2)个。 • 这样便可以得到多项式时间的算法。
动态规划
算法设计与分析 1
多阶段图最短路问题
• 下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字 表示费用，单向通行由A->E。求A->E的最省 费用。
8 2 A 5 B1 11 6 3 C2 C3 C4 7 5 3 C1 2 8 4 D1 D2 D3 1 3 E 5
B2 2
算法设计与分析
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多阶段图最短路问题(2)
算法设计与分析 10
建立递归关系
• 令m[i][j] , 1≤i, j≤n，为计算A[i, j] 的最少数乘 次数，则原问题为m[1][n]。 • 当i = j时，A[i, j]为单一矩阵， m[i][j] = 0； • 当i＜j时，利用最优子结构性质有： m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi–1pkpj}
算法设计与分析
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消除重复的矩阵连乘算法
• • • • • • • • • • • • • • • Void MatrixChain(int p, int n, int **m, int **s) {//将对角线元素赋值为零，即单个矩阵计算量为0 for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0; for (int r = 2; r <= n; r++) for (int i = 1; i <= n – r +1; i++) { int j = i + r – 1; //计算A[i, j] = A[i: i] A[i+1: j] (5) m[i][j] = m[i+1][j] + p[i–1]*p[i]*p[j]; 能。此处分开是为 第(5)步与第(7)步 s[i][j] = i; //记下断点i 了给m[i][j]赋初值。 (7) for (int k = i + 1; k < j; k++) { 能否合在一起? int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i–1]*p[k]*p[j]; //对i<k<j, 逐个计算A[i, j] = A[i: k] A[k+1: j] if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t; s[i][j] = k;} //记下较小的m[i][j]及相应的断点k }}}