高考数学一轮复习阶段滚动检测(五)(含解析)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷五数列北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷五 数列(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖南永州高三月考)“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021福建宁德高三三模)在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,若S 1=S 25,a 3+a 8=32,则S 16=( ) A.80B.160C.176D.1983.(2021湖北武汉高三月考)“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的振动数之比完全相等,亦称“十二等程律”,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为f ,则频率为√842f 的音是( ) A.第3个音 B.第4个音C.第5个音D.第6个音4.(2021河北邯郸高三期末)在等差数列{a n }中,a 2+2a 5=15,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 7=( ) A.30B.35C.40D.455.(2021湖北武昌高三一模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m=9,a2m a m=5m+1m -1,则数列{a n }的公比为( )A.-2B.2C.-3D.36.(2021浙江金华高三月考)已知数列n a n是等差数列,则( )A.a 3+a 6=2a 4B.a 3+a 6=a 4+a 5C.1a 3+1a 6=2a 4D.1a 3+1a 6=1a 4+1a 57.(2021北京朝阳高三二模)记S n为等比数列{a n}的前n项和,已知a1=8,a4=-1,则数列{S n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项,其中f(n)为最接近√n的整数,若数列{a n}的8.(2021湖南长郡中学高三二模)在数列{a n}中,a n=1f(n)前m项和为20,则m=()A.15B.30C.60D.1109.在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1-a n-1+1=0(n≥2,n∈N*),S n是其前n项和,则下列说法错误的是()2A.a6=2B.S12=6C.a112=a10a12D.2S11=S10+S1210.已知数列{a n}是等比数列,公比为q,前n项和为S n,下列说法正确的有()A.数列1为等比数列a nB.数列log2a n为等差数列C.数列{a n+a n+1}为等比数列D.若S n=3n-1+r,则r=1311.若直线3x+4y+n=0(n∈N*)与圆C:(x-2)2+y2=a n2(a n>0)相切,则下列说法错误的是()A.a1=65B.数列{a n}为等差数列C.圆C可能过坐标原点D.数列{a n}的前10项和为2312.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可循的,一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形,如图1,在长度为1的线段AB上取两个点C,D,AB,以线段CD为边在线段AB的上方作一个正方形,然后擦掉线段CD,就得到图2;对图使得AC=DB=142中的最上方的线段EF作同样的操作,得到图3;依次类推,我们就得到以下的一系列图形.设图1,图2,图3,……,图n,各图中的线段长度和为a n,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.数列{a n}是等比数列B.S10=1256C.a n<3恒成立D.存在正数m,使得S n<m恒成立二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通高三三模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,若S2n=2S n+n2,则d=.14.(2021福建三明高三二模)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,a n a n+1=22n+1,则S n=.15.(2021江西南昌高三开学考试)在数列{a n}中,a n+a n+2=n(n∈N*),则数列{a n}的前20项和S20=.16.(2021北京昌平高三模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n=ln n,若存在p∈R,使得a n≤pn对任意n∈N*都成立,则p的取值范围为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广西南宁高三月考)已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1=3n+5.(1)求数列{a n}的通项公式;的前n项和为S n.若∀n∈N*,S n<-λ2+4λ(λ为偶数),求实数λ的值.(2)记数列1a n a n+118.(12分)(2021山东泰安高三模拟)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,若a3=2,且4a1,3S2,2S3是等差数列{b n}的前三项.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)求数列{b n }的通项公式,并求使得a n >b n 的n 的取值范围.19.(12分)(2021重庆巴蜀中学高三月考)已知数列{a n }满足a n >0,数列{a n }的前n 项和为S n ,若 ,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n ·3n (n ∈N *); ②数列{c n }满足:c n =1a n+1−1a n,a 1=3,且{c n }的前n 项和为12n+3−13;③S n =(a n +1)24-1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }是首项和公比均为2的等比数列,求数列{a b n }中有多少个小于2 021的项. 20.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:tS n+1-S n =t (a n+1+a n -1),t ∈R 且t (t-1)≠0,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知数列{b n }是等差数列,且b 1=3a 1,b 2=2a 2,b 3=a 3,求数列{a n b n }的前n 项和T n .21.(12分)(2021福建龙岩高三期中)已知各项均为正数的无穷数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,nS n+1=(n+1)S n +n (n+1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.99]=0,[3.01]=3.令b n =[√a n ],求数列{b n }的前51项和T 51.22.(12分)(2021天津和平高三模拟)已知函数f (x )=x 2+m ,其中m ∈R ,定义数列{a n }如下:a 1=0,a n+1=f (a n ),n ∈N *. (1)当m=1时,求a 2,a 3,a 4的值;(2)是否存在实数m ,使a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列?若存在,请求出实数m 的值;若不存在,请说明理由;(3)求证:当m>14时,总能找到k ∈N *,使得a k >2 021.单元质检卷五 数列1.A 解析:若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac ,此时a 2c 2=(ac )2=b 4,则a 2,b 2,c 2成等比数列,即充分性成立.反之当a=1,b=1,c=-1时满足a 2,b 2,c 2成等比数列,但a ,b ,c 不成等比数列,即必要性不成立,即“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的充分不必要条件.故选A . 2.B 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可知,{a 1=25a 1+12×25×24×d,a 1+2d +a 1+7d =32,即{2a 1+25d =0,2a 1+9d =32,解得{a 1=25,d =−2,故S 16=16×25+12×16×15×(-2)=160.故选B .3.C 解析:由题意知,这13个音的频率成等比数列,设这13个音的频率分别是a 1,a 2,…,a 13,公比为q (q>0),则a13a 1=q 12=2,得q=√212,所以a n =a 8q n-8=(√212)n-8f=2n -812f.令2n -812f=√842f=2-14f ,解得n=5.故选C .4.B 解析:由a 2+2a 5=15得a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,因此a 4=5,于是S 7=7a 4=7×5=35.故选B .5.B 解析:设数列{a n }的公比为q.若q=1,则S 2m S m=2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S2m S m=a 1(1-q 2m )1−q a 1(1-q m )1−q=q m +1=9,∴q m =8.∵a2m a m=a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m+1m -1,∴m=3,∴q 3=8,∴q=2.故选B .6.C 解析:设数列n a n 的公差为d ,则4a 4=3a 3+d ,5a 5=3a 3+2d ,6a 6=3a 3+3d ,因此1a 3+1a 6=1a 3+163a 3+3d =123a 3+d =12×4a 4=2a 4,故选项C 正确;a 6=2a 3da3+1,a 4=4a 3da3+3,不满足a 3+a 6=2a 4,故选项A 错误;a 5=5a32da 3+3,a 3+a 6≠a 4+a 5,故选项B 错误;1a 3+1a 6=32a 3+12d ,1a 4+1a 5=2720a 3+1320d ,则1a 3+1a 6≠1a 4+1a 5,故选项D 错误.故选C .7.A 解析:设数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 4a 1=-18,所以q=-12,所以S n =a 1(1-q n )1−q=8[1−(−12) n ]1−(−12)=1631--12n.当n 为偶数时,S n =1631-12n ,即S 2<S 4<S 6<…<163;当n 为奇数时,S n =163(1+12n ),即S 1>S 3>S 5>…>163,所以数列{S n }有最大项S 1,最小项S 2,故选A .8.D 解析:由题意知,函数f (n )为最接近√n 的整数.f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=2,f (5)=2,f (6)=2,f (7)=3,f (8)=3,f (9)=3,f (10)=3,f (11)=3,f (12)=3,…,由此可得在最接近√n 的整数f (n )中,有2个1,4个2,6个3,8个4,….又由a n =1f(n),可得a 1=a 2=1,a 3=a 4=a 5=a 6=12,a 7=a 8=…=a 12=13,…,则a 1+a 2=2,a 3+a 4+a 5+a 6=2,a 7+a 8+…+a 12=2,….因为数列{a n }的前m 项和为20,即S m =10×2=20,可得m 为首项为2,公差为2的等差数列的前10项和,所以m=10×2+10×92×2=110.故选D .9.D 解析:当n=2时,有a 2a 1-a 1+1=0,即12a 2-12+1=0,解得a 2=-1,同理可得a 3=2,a 4=12,因此数列{a n }的项以3为周期重复出现,且S 3=a 1+a 2+a 3=12-1+2=32,所以a 6=a 3=2,故选项A 正确;S 12=4S 3=4×32=6,故选项B 正确;因为a 11=a 2=-1,a 10=a 1=12,a 12=a 3=2,所以a 112=a 10a 12,故选项C 正确;因为2S 11=2(S 9+a 10+a 11)=23×32+12-1=8,S 10+S 12=S 9+a 10+S 12=3S 3+4S 3+a 10=7×32+12=11,所以2S 11≠S 10+S 12,故选项D 不正确,故选D.10.A 解析:对于A 选项,设b n =1a n ,则b n+1b n=a n a n+1=1q(n ≥1,n ∈N *),所以数列1a n为等比数列,故A正确;对于B 选项,若a n <0,则log 2a n 没意义,故B 错误;对于C 选项,当q=-1时,a n +a n+1=0,等比数列的任一项都不能为0,故C 错误;对于D 选项,由题意得q ≠1,S n =a 1(1-q n )1−q=a 1qq -1q n-1-a1q -1.由S n =3n-1+r 得,q=3,a 1q q -1=1,即a 1=23,所以r=-a 1q -1=-13,故D 错误.故选A . 11.A 解析:由圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0),则圆心C (2,0),半径为a n .因为直线3x+4y+n=0与圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,所以圆心C (2,0)到直线3x+4y+n=0的距离为a n ,即√9+16=n+65=a n ,则a 1=75,故选项A 错误;由a n =n+65,可得a n+1-a n =15,所以数列{a n }是以15为公差的等差数列,故选项B 正确;将(0,0)代入C :(x-2)2+y 2=a n 2,解得a n =2.由n+65=2,解得n=4,所以当n=4时,圆C 过坐标原点,故选项C 正确;设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(75+n+65)2=n(n+13)10,所以S 10=10×(10+13)10=23,故选项D 正确.故选A.12.C 解析:由题意可得a 1=1,a 2=a 1+2×12,a 3=a 2+2×122,以此类推可得a n+1=a n +2×12n ,则a n+1-a n =22n ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+221+222+…+22n -1=1+1−12n -11−12=3-12n -2,所以数列{a n }不是等比数列,故A 错误;对于B 选项,S 10=3×10-2(1−1210)1−12=26+128=6657256,故B 错误;对于C 选项,a n =3-12n -2<3恒成立,故C 正确;对于D 选项,因为a n =3-12n -2>0恒成立,且a n+1-a n =3-12n -1-3+12n -2=12n -1>0,则数列{S n }为递增数列,所以数列{S n }无最大值,因此不存在正数m ,使得S n <m ,故D 错误.故选C .13.1 解析:因为数列{a n }为公差为d 的等差数列,所以S 2n =2n(a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n ),S n =n(a 1+a n )2.又S 2n =2S n +n 2,所以n (a 1+a 2n )=2×n(a 1+a n )2+n 2,即a 1+a 2n =a 1+a n +n ,所以a 2n -a n =nd=n ,解得d=1.14.2n+1-2 解析:设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q (q>0),首项为a 1(a 1>0). 因为a n a n+1=22n+1,所以a n+1a n+2=22n+3,因此a n+1a n+2a n a n+1=22n+322n+1=4,即q 2=4,所以q=2.而a 1a 2=8,即a 12q=8,所以a 1=2,所以S n =2(1−2n )1−2=2n+1-2.15.95 解析:因为a n +a n+2=n (n ∈N *),所以a n+1+a n+3=n+1(n ∈N *),所以a n +a n+1+a n+2+a n+3=2n+1(n ∈N *),所以S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4)+…+(a 17+a 18+a 19+a 20)=2×1+1+2×5+1+2×9+1+2×13+1+2×17+1=2×(1+5+9+13+17)+5=2×(1+17)×52+5=95.16.ln33,+∞ 解析:若存在p ∈R ,使得a n ≤pn 对任意的n ∈N *都成立,则p ≥lnn nmax.设f (x )=lnx x(x ∈N *),则f'(x )=1x·x -lnx x 2.令f'(x )=1−lnx x 2=0,解得x=e,所以函数f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数在x=e 时取最大值.因为n ∈N *,所以当n=3时函数最大值为ln33,所以p 的取值范围是ln33,+∞.17.解(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a n +2a n+1=3n+5,所以{a 1+2a 2=8,a 2+2a 3=11即{3a 1+2d =8,3a 1+5d =11,解得{a 1=2,d =1,所以a n =2+(n-1)=n+1.经检验,a n =n+1符合题设,所以数列{a n }的通项公式为a n =n+1. (2)由(1)得,1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,所以S n =12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2.因为n ∈N *,所以S n <12.又因为∀n ∈N *,S n <-λ2+4λ, 所以-λ2+4λ≥12,即(λ-2)2≤72.因为λ为偶数,所以实数λ的值为2. 18.解(1)设等比数列{a n }的公比为q.由4a 1,3S 2,2S 3是等差数列{b n }的前三项,得6S 2=4a 1+2S 3,即3S 2=2a 1+S 3, 所以3(a 1+a 1q )=2a 1+a 1+a 1q+a 1q 2,整理得q 2=2q ,解得q=2. 由a 3=2,得a 1×22=2,所以a 1=12, 所以S n =12(1-2n )1−2=2n -12.(2)由(1)得a n =2n-2,所以4a 1=2,3S 2=92,2S 3=7, 即等差数列{b n }的前三项为2,92,7,所以b n =2+(n-1)92-2=12(5n-1). 由a n >b n ,得12×2n-1>12×(5n-1),即2n-1>5n-1. 令c n =2n-1-5n+1,则有c n+1-c n =2n-1-5. 当1≤n ≤3时,c n+1-c n <0,即c 1>c 2>c 3>c 4; 当n ≥4时,c n+1-c n >0,即c 4<c 5<…<c n <…. 而c 1=-3,c 5=-8,c 6=3,所以使a n >b n 的n 的取值范围是{n|n ≥6,n ∈N *}. 19.解(1)若选①.因为a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n ·3n (n ∈N *),所以当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=(n-1)·3n-1, 两式相减得3n-1a n =(2n+1)·3n-1,则a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选②. 由于c 1+c 2+…+c n =1a 2−1a1+1a 3−1a2+…+1a n+1−1an=1an+1−1a 1=12n+3−13,又a 1=3,所以a n+1=2n+3,因此当n ≥2时,a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选③.当n=1时,a 1=3. 因为S n =(a n +1)24-1(n ∈N *),所以当n ≥2时,S n-1=(a n -1+1)24-1(n ∈N *),两式相减得a n =S n -S n-1=(a n +1)24−(a n -1+1)24,即4a n =a n 2+2a n +1-a n -12-2a n-1-1,所以(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.又a n >0,所以a n -a n-1=2, 故数列{a n }为等差数列,而a 1=3,d=2, 所以a n =2n+1.(2)由已知得b n =2n ,所以a b n =2b n +1=2n+1+1,易知数列{a b n }为递增数列. 又210=1024<2021,211=2048>2021,所以n+1≤10,n ≤9,n ∈N *,所以数列{a b n }中有9个小于2021的项. 20.解(1)当n=1时,tS 2-S 1=t (a 2+a 1-1),解得a 1=t , 当n ≥2时,tS n+1-S n =t (a n+1+a n -1),tS n -S n-1=t (a n +a n-1-1), 两式相减得ta n+1-a n =t (a n+1-a n-1),即a n =ta n-1. 又因为a 1=t ≠0,所以a n-1≠0,即an a n -1=t ,所以数列{a n }是以t 为首项,t 为公比的等比数列, 故数列{a n }的通项公式为a n =t n ,n ∈N *. (2)由题意可知,2b 2=b 1+b 3,即4a 2=3a 1+a 3,所以4t 2=3t+t 3.因为t ≠0,所以t 2-4t+3=0,解得t=3,t=1. 又因为t ≠1,所以t=3,故a n =3n ,n ∈N *.设数列{b n }的公差为d.由b 1=9,b 2=18,b 3=27,可知d=9, 因此b n =b 1+(n-1)d=9+9(n-1)=9n , 所以a n b n =9n ·3n =n ·3n+2,所以T n =1×33+2×34+3×35+…+n ·3n+2, ① 3T n =1×34+2×35+…+(n-1)·3n+2+n ·3n+3, ②①-②得-2T n =33+34+35+…+3n+2-n ·3n+3=3n+3-272-n ·3n+3,所以T n =(2n -1)3n+3+274.21.解(1)因为nS n+1=(n+1)S n +n (n+1),所以Sn+1n+1=S n n+1.又因为S 1=a 1=1,所以数列S n n是以1为首项,1为公差的等差数列,因此Sn n=n ,即S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,又因为a 1=1符合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).(2)由(1)知b n =[√a n ]=[√2n -1],当n ∈{1,2}时,b n =[√2n -1]=1; 当n ∈{3,4}时,b n =[√2n -1]=2;当n ∈{5,6,7,8}时,b n =[√2n -1]=3;当n ∈{9,10,11,12}时,b n =[√2n -1]=4;当n ∈{13,14,15,16,17,18}时,b n =[√2n -1]=5; 当n ∈{19,20,21,22,23,24}时,b n =[√2n -1]=6;当n ∈{25,26,…,31,32}时,b n =[√2n -1]=7; 当n ∈{33,34,…,37,40}时,b n =[√2n -1]=8;当n ∈{41,42,…,49,50}时,b n =[√2n -1]=9; 当n=51时,b n =[√2n -1]=10, 所以数列{b n }的前51项和T 51=2×1+2×2+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9+1×10=320.22.(1)解因为m=1,所以f (x )=x 2+1.因为a 1=0,所以a 2=f (a 1)=f (0)=1,a 3=f (a 2)=f (1)=2,a 4=f (a 3)=f (2)=5. (2)解存在.(方法1)假设存在实数m ,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列, 则a 2=f (0)=m ,a 3=f (m )=m 2+m ,a 4=f (a 3)=(m 2+m)2+m.因为a 2,a 3,a 4成等差数列,所以2a 3=a 2+a 4,所以2(m 2+m )=m+(m 2+m)2+m ,化简得m 2(m 2+2m-1)=0,解得m=0(舍),m=-1±√2.经检验,此时a 2,a 3,a 4的公差不为0, 所以存在m=-1±√2,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列.(方法2)因为a 2,a 3,a 4成等差数列,所以a 3-a 2=a 4-a 3,即a 22+m-a 2=a 32+m-a 3, 所以(a 32−a 22)-(a 3-a 2)=0,即(a 3-a 2)(a 3+a 2-1)=0.因为公差d ≠0,故a 3-a 2≠0,所以a 3+a 2-1=0,解得m=-1±√2. 经检验,此时a 2,a 3,a 4的公差不为0,11 所以存在m=-1±√2,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列.(3)证明因为a n+1-a n =a n 2+m-a n =a n -122+m-14≥m-14,且m>14,所以令t=m-14>0, 得a n -a n-1≥t ,a n-1-a n-2≥t ,…,a 2-a 1≥t. 将上述不等式全部相加得a n -a 1≥(n-1)t ,即a n ≥(n-1)t , 因此要使a k >2021成立,只需(k-1)t>2021, 因此只要取正整数k>2021t +1,就有a k ≥(k-1)t>2021t ·t=2021.综上,当m>14时,总能找到k ∈N *,使得a k >2021.。
2019版高考数学理一轮全国版单元提分练集全国各地市模
滚动检测五考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·重庆第二外国语学校月考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |1<2x <4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |1<x ≤2} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0≤x <2}2．(2017·沈阳模拟)向量a ＝(m,1)，b ＝(n,1)，则m n ＝1是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<04．(2018届江西省红色七校联考)已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mB ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥αC ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mD ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α5．(2017·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝26，sin 2A ＝sin B ，则c 的长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．2或46．曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C.π2D.3π47．(2017·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6π8．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．(2017·南昌三模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．72B ．48C ．24D ．1610．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．(2017·福建泉州市适应性考试)如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．[－21，21]C ．[－5,5]D ．[－6,6]12．(2018届洛阳联考)已知函数f (x )＝(ax ＋ln x )(x －ln x )－x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3的值为( ) A ．1－a B ．a －1 C ．－1D ．1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，T ＝{x |mx ＋1＝0}，且T ⊆P ，则实数m 的可能值组成的集合是________．14．关于函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，有以下命题：①函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称；④函数f (x )的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 其中正确命题的序号为________．15．(2017·安徽黄山期末)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝90°，若直线AB 1与直线A 1C 的夹角的余弦值是105，则棱AB 的长是________． 16．(2018届衡水联考)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M －ABC 中，MA ⊥平面ABC ，MA ＝AB ＝BC ＝2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届湖南益阳、湘潭调研)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C .(1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．18.(12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥BC，AB1⊥平面ABC，且AB＝BC＝AB1＝2.(1)证明：平面C1CBB1⊥平面A1ABB1；(2)若点P为A1C1的中点，求直线BP与平面A1ACC1所成角的正弦值．19．(12分)在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝4a n－3n＋1.(1)证明：数列{a n－n}是等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.20．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF；(3)设AB＝a，求三棱锥D－AEF的体积．21.(12分) (2018届贵州贵阳适应性月考)如图，在三棱锥K －ABC 中，D ，E ，F 分别是KA ，KB ，KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，△KBC 是边长为2的正三角形，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面KAC ； (2)求二面角F —BD —E 的余弦值．22．(12分)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝2m ln x －x ，g (x )＝3e x －3x 2(m ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f (x )的极值情况；(2)证明：当m >1且x >0时，总有g (x )＋3f ′(x )>0.答案精析1．C [由题意可得A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |1≤x <2}．] 2．A [若mn ＝1，则m ＝n ，则由向量相等的定义显然有a ＝b ；若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出mn＝1，故选A.]3．A [因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.]4．C [对于A ，若l ∥α，m ∥α，则l 与m 的位置关系可能为平行、相交或者异面，故A 错误；对于B ，若l ⊥m ，m ∥α，则l 与α平行或者相交或l 在平面α内，故B 错误； 对于C ，若l ⊥α，m ⊥α，利用线面垂直的性质可得l ∥m ，故C 正确； 对于D ，若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α或者m ⊂α，故D 错误，故选C.] 5．D [由sin 2A ＝sin B ，得2sin A cos A ＝sin B ， 由正弦定理得2×4cos A ＝26，所以cos A ＝64， 再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得c ＝2或c ＝4，故选D.]6．B [因为y ＝f (x )＝2x －e x ，所以f ′(x )＝2－e x ，曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的斜率为f ′(0)＝1，曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的倾斜角为π4，故选B.]7．D [根据三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱，如图所示：则该几何体的表面积为14×2π×2×4＋2×2×4＋2×4×4＋⎝⎛⎭⎫14π×22＋4×4－2×2×2＝6π＋72.故选D.]8．C [由导函数的图象可知，函数y ＝f (x )先减再增，可排除选项A ，B ，又知f ′(x )＝0的根为正，即y ＝f (x )的极值点为正，所以可排除D ，故选C.]9．C [由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为2,4、高是6的直角梯形，棱锥的高是4，则该几何体的体积V ＝13×12×(2＋4)×6×4＝24.故选C.]10．B [原式可化为(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.]11．C [如图建立平面直角坐标系，令正三角形的边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同时在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5. 故选C.]12．D [令f (x )＝0，分离变量可得a ＝x x －ln x －ln xx， 令g (x )＝x x －ln x －ln xx(x >0)，由g ′(x )＝ln x (1－ln x )(2x －ln x )x 2(x －ln x )2＝0，得x ＝1或x ＝e.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，e)时，g ′(x )>0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0.即g (x )在(0,1)，(e ，＋∞)上为减函数，在(1，e)上为增函数， ∴0<x 1<1<x 2<e<x 3，a ＝x x －ln x －ln x x＝11－ln x x －ln x x ，令μ＝ln x x，则a ＝11－μ－μ，即μ2＋(a －1)μ＋1－a ＝0， μ1＋μ2＝1－a ，μ1μ2＝1－a ， 对于μ＝ln xx ，μ′＝1－ln x x 2，则当0<x <e 时，μ′>0；当x >e 时，μ′<0. 而当x >e 时，μ恒大于0.画其简图，如图所示．不妨设μ1<μ2，则μ1＝ln x 1x 1，μ2＝ln x 2x 2＝ln x 3x 3＝μ3，∴⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3 ＝(1－μ1)2(1－μ2)(1－μ3)＝[(1－μ1)(1－μ2)]2＝[1－(1－a )＋(1－a )]2＝1. 故选D.]13.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，13，0解析 由题意得P ＝{2，－3}，由T ⊆P 易知， 当T ＝∅时，m ＝0； 当T ＝{2}时，m ＝－12；当T ＝{－3}时，m ＝13，则实数m 的可能值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，13，0.14．①③解析 对于①，由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，有x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以①是正确的；对于②，由于函数f (x )的定义域不关于原点对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数，②错误；对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫π8＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称；对于④，令k π－π2<2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－π8<x <k π2＋3π8，k ∈Z ， 故单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8， k ∈Z ，所以④是错误的．本题答案为①③. 15．2解析 以A 点为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝x ，则A (0,0,0)，B 1(x,0,2)， A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，∴AB 1→＝(x,0,2)，A 1C →＝(0,1，－2)， ∵直线AB 1与直线A 1C 的夹角的余弦值是105， ∴|－4|x 2＋4·5＝105，∴x ＝2. 16．24π－82π解析 设MC 的中点为O ，如图，由AB ＝BC ＝2，且△ABC 为直角三角形，得∠ABC ＝90°.由MA ⊥平面ABC ，知MA ⊥AC ，MA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，MA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面MAB ，所以BC ⊥MB ，可知MC 为Rt △MAC 和Rt △MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设该鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为R ，r ，则由MA 2＋AB 2＋BC 2＝(2R )2， 得4＋4＋4＝4R 2，解得R ＝ 3. 由等体积法，知13(S △ABC ＋S △MAC ＋S △MAB ＋S △MBC )r ＝13S △ABC ·MA ， 即13×12(2×2×2＋2×22×2)r ＝13×12×2×2×2， 解得r ＝2－1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为4π(R 2＋r 2)＝4π(3＋3－22)＝24π－82π. 17．解 (1)由2a －b c ＝cos Bcos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C ＝π3. (2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2，∴π6<A <π2，∴π3<A ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴y ∈⎝⎛⎦⎤32，3. 即函数y ＝sin A ＋sin B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，3. 18．(1)证明 ∵B 1A ⊥平面ABC ，∴B 1A ⊥BC ， 又AB ⊥BC ，AB ∩B 1A ＝A ，AB ⊂平面A 1ABB 1，B 1A ⊂平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥平面A 1ABB 1， 又∵BC ⊂平面C 1CBB 1， ∴平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1. (2)解 过B 点作BM ⊥平面ABC ，则BM ⊥BA ，BM ⊥BC ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BM 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，B 1(0,2,2)，∵AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝(0,2,2)， ∴A 1(0,4,2)，C 1(2,2,2)，P (1,3,2)， ∴AC →＝(2，－2,0)，BP →＝(1,3,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1ACC 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y ＋2z ＝0，取x ＝1可得n ＝(1,1，－1)，故直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值为 |cos 〈n ，BP →〉|＝|1＋3－2|14×3＝4221.19．(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1可得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，a 1－1＝1≠0，所以a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4，为非零常数，所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列． (2)解 由a n －n ＝4n －1，得a n ＝4n －1＋n ，所以S n ＝4n －13＋(n ＋1)n2.20. (1)证明 取AB 的中点O ，连接CO ，DO .∵DO ∥AA 1，DO ＝12AA 1，∴DO ∥CE ，DO ＝CE ， ∴四边形DOCE 为平行四边形，∴DE ∥CO ，又DE ⊄平面ABC ，CO ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC .(2)证明 在等腰直角△ABC 中，F 为斜边的中点，连接AF ，则AF ⊥BC . 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AF ⊂平面ABC ，∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥B 1F ， 设AB ＝AA 1＝1， ∴B 1F ＝62，EF ＝32，B 1E ＝32， ∴B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，∴B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，AF ，EF ⊂平面AEF ， ∴B 1F ⊥平面AEF .(3)解 由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 1到平面AEF 距离的12，B 1F ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， ∴三棱锥D －AEF 的高为64a ，在Rt △AEF 中，EF ＝32a ，AF ＝22a ，∴三棱锥D －AEF 的底面面积为68a 2，故三棱锥D －AEF 的体积为13×68a 2×64a ＝116a 3. 21．(1)证明 如图，以点C 为坐标原点，分别以CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，B (2,0,0)， A (0，－3,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，0，32，建立空间直角坐标系，则K (1,0，3)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，CK →＝(1,0，3)，CA →＝(0，－3,0)， 由BF →·CK →＝0，得BF ⊥CK ， 由BF →·CA →＝0，得BF ⊥CA ，因为CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC .(2)解 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BDE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． D ⎝⎛⎭⎫12，－32，32，E ⎝⎛⎭⎫32，0，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，32，因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧－3x 1－3y 1＋3z 1＝0，－3x 1＋3z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝3，∴m ＝(1,0，3)， 同理可得n ＝(3，－2，3)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝62·4＝34.因为二面角F —BD —E 为锐二面角， 所以二面角F —BD —E 的余弦值为34.22．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2mx －1＝－x －2m x .①当m ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)内单调递减，f (x )无极值； ②当m >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2m ； 令f ′(x )<0，得x >2m .故f (x )在x ＝2m 处取得极大值，且极大值为f (2m )＝2m ln 2m －2m ，f (x )无极小值． (2)证明 方法一 当x >0时，要证g (x )＋3f ′(x )>0， 即证3e x －3x 2＋6mx －3>0，即证3e x －3x 2＋6mx －3>0. 设函数u (x )＝3e x －3x 2＋6mx －3， 则u ′(x )＝3(e x －2x ＋2m )．记v (x )＝e x －2x ＋2m ，则v ′(x )＝e x －2. 当x 变化时，v ′(x )，v (x )的变化情况如下表：由上表可知v (x )≥v (ln 2)， 而v (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2m ＝2－2ln 2＋2m ＝2(m －ln 2＋1)， 由m >1，知m >ln 2－1，所以v (ln 2)>0，所以v (x )>0，即u ′(x )>0.所以u (x )在(0，＋∞)内为单调递增函数． 所以当x >0时，u (x )>u (0)＝0.即当m >1且x >0时，3e x －3x 2＋6mx －3>0. 所以当m >1且x >0时，总有g (x )＋3f ′(x )>0. 方法二 当x >0时，要证g (x )＋3f ′(x )>0， 即证3e x －3x 2＋6mx －3>0，即证3e x －3x 2＋6mx －3>0. 因为m >1且x >0，故只需证e x >x 2－2x ＋1＝(x －1)2. 当0<x <1时，e x >1>(x －1)2成立； 当x ≥1时，由e x >(x －1)2，得e x2>x －1，即证e x2>x －1.令φ(x )＝e x2－x ＋1，则由φ′(x )＝12e x2－1＝0，得x ＝2ln 2.在(1,2ln 2)内，φ′(x )<0； 在(2ln 2，＋∞)内，φ′(x )>0， 所以φ(x )≥φ(2ln 2)＝2－2ln 2＋1>0. 所以e x2>x －1，故当x ≥1时，e x >(x －1)2成立． 综上得原不等式成立．。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
(智慧测评)高考数学大一轮总复习 滚动检测5(含模拟题)理 新人教A版
滚动检测(五)一、选择题(每小题6分，共60分) 1．抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎪⎫132，0D ．(2,0)解析：化为标准方程为x 2＝8y ，故其焦点为(0,2)． 故选B. 答案：B2．(2014山东日照模拟)直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－32解析：由两直线垂直可得(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，解得a ＝±1.故选C.答案：C3．(2014广东潮州市质量检测)若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2,0)，即为抛物线的焦点，则p ＝4.故选D.答案：D4．(2014甘肃兰州一中高考冲刺)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称， 所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直， 且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，即k ＝12，b ＝－4.故选A.答案：A5．(2014广东肇庆教学质量评估)在△ABC 中，已知a ＝6，b ＝4，C ＝120°，则sin B 的值是( )A.217B.5719 C.338D ．－5719解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝62＋42－2×6×4×cos 120° ＝76，∴c ＝76＝219， 由b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin C c ＝4×32219＝5719.故选B.答案：B6．(2013年高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )A ．1 B.32 C ．2D ．3解析：由双曲线：e ＝c a ＝2，得b a＝ 3. 即渐近线方程为y ＝±3x ， 而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，S △AOB ＝12×p2×3p ＝3，则p ＝2.故选C. 答案：C7．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝m (m >0)， 抛物线的准线为x ＝－4， 由|AB |＝43，得|y A |＝23， 把坐标(－4,23)代入双曲线方程得m ＝x 2－y 2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x 2－y 2＝4， 即x 24－y 24＝1，所以a 2＝4，a ＝2， 所以实轴长2a ＝4.故选C. 答案：C8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A.263 B ．433C.463D ．233解析：由题意可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝2，又∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|， ∴|BC →|＝2|AC →|. ∴|OC →|＝|AC →|. 又∵AC →·BC →＝0， ∴AC →⊥BC →，∴|OC →|＝|AC →|＝ 2. 如图所示，作CD ⊥OA ，在Rt △AOC 中， 易求得C (1，－1)， 代入椭圆方程得124＋－2b 2＝1⇒b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83.∴c ＝263，2c ＝463，故选C. 答案：C9．已知菱形ABCD 与椭圆x 24＋y 23＝1相切，则菱形ABCD 面积的最小值为( )A ．8 2B ．2 2C ．2 3D ．8 3解析：设菱形在第一象限的一边所在的直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x a ＋yb ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋34x 2－2b 2a x ＋(b 2－3)＝0，由题意Δ＝0， 整理得4b 2＋3a 2＝a 2b 2， 所以a 2b 2≥212a 2b 2，ab ≥43，当且仅当4b 2＝3a 2且4b 2＋3a 2＝a 2b 2， 即a 2＝8，b 2＝6时取等号，S 菱形＝2ab ≥8 3. 故选D. 答案：D10．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，35 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，35 解析：设椭圆的长半轴长，半焦距分别为a 1，c ，双曲线的实半轴长，半焦距分别为a 2，c ，由题意知|PF 1|＝10，|PF 2|＝2c ，则⎩⎪⎨⎪⎧10＋2c ＝2a 1，10－2c ＝2a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5＋c ，a 2＝5－c ，问题转化为已知1＜c5－c＜2，求c5＋c的取值范围．由1＜c5－c ＜2知12＜5－c c＜1， 即32＜5c＜2， 因此52＜5c ＋1＜3，即52＜5＋c c ＜3， ∴13＜c 5＋c ＜25， 故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)10．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________．解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x12．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 解析：∵在等差数列{a n }中，a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，∴2a m ＝a 2m ，可得a m ＝2. 由S 2m －1＝38，得a 1＋a 2m －1m －2＝(2m －1)a m ＝38，∴m ＝10. 答案：1013．一个三棱柱的三视图如图，则这个几何体的表面积是________．解析：根据三视图可知该三棱柱的底面是边长等于4的正三角形，且侧棱垂直于底面，高等于2，所以其表面积等于2×34×42＋4×2×3＝24＋8 3. 答案：24＋8 314．已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是________．解析：因为|OA |＝|OB |，所以A 、B 两点关于x 轴对称，设A (x 1，y 1)， 则B (x 1，－y 1)(x 1≠0，y 21＝2px 1)，由于垂心是焦点，焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 则由k FA ·k OB ＝－1，得y 1x 1－p 2·－y 1x 1＝－1，即y 21＝x 1⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，结合y 21＝2px 1，解得x 1＝5p 2，即直线AB 的方程为x ＝5p2.答案：x ＝52p三、解答题(共70分) 15．(本小题满分10分)(2011年高考北京卷)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π3∴当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2，当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 中点，作EF ⊥PB 交PB 于F .(1)证明：PB ⊥平面EFD ； (2)求二面角C －PB －D 的正弦值． (1)证明：建立空间直角坐标系，如图，设DC ＝a .依题意得B (a ，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，D (0,0,0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E . 所以PB ⊥平面EFD .(2)解：连接BD 、AC 交于M ， ∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥CM .又∵PD ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD .∴PD ⊥CM . 又∵PD ∩BD ＝D ， ∴CM ⊥平面BDP .∴MC →为平面BDP 的法向量．∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0，C ()0，a ，0， ∴MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，12a ，0.又∵PD ＝DC ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC .又∵DE ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， ∴DE ⊥平面PCB .∴DE →为平面PBC 的法向量， DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12a ，12a ，∴cos 〈MC →，DE →〉＝MC →·DE →|MC →||DE →|＝12.∴二面角C －PB －D 的正弦值为32. 17．(本小题满分12分)已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在过点(0,2)的直线l ，与轨迹C 交于P 、Q 两点，且满足OP →·OQ →＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图所示，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，连接MF ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线， 其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线， 所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x . (2)假设存在满足条件的直线l ，由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k y －，y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋16k ＝0， Δ＝(－8k )2－4×16k >0， 解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ， 由OP →·OQ →＝0， 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0.整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0， 得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0， 即16k ＋4k 2＝0，解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0. 18．(本小题满分12分)(2014北京东城区期末检测)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程； (2)求△AOB 面积的最大值．解：(1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线l 不与y 轴垂直， 所以可设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x 得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2mm 2＋4， y 1y 2＝－3m 2＋4，则|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4m 2＋3m 2＋4，所以S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3设t ＝m 2＋3(t ≥3)，则g (t )＝t ＋1t在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥433.所以S △AOB ≤32(当且仅当m ＝0时取等号)， 即△AOB 面积的最大值为32. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋a x－3ln x . (1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x－3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x2(x >0)， 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－12(舍去)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表，∴当a ＝2(2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －a x 2， 要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在[1，e]内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．令h (x )＝ax 2－3x －a ，∵h (1)＝－3<0，∴h (x )＝ax 2－3x －a ≤0在[1，e]上恒成立，当a ≤0时显然a (x 2－1)－3x <0，当a >0时，由ax 2－3x －a ≤0得1a ≥x 2－13x ， ∴1a ≥x 2－13x在[1，e]上恒成立， 而y ＝x 2－1x ＝x －1x 在[1，e]上是增函数，其最大值为e －1e ＝e 2－1e . ∴1a ≥e 2－13e>0， 则0<a ≤3e e 2－1. 综上可知，当a ≤3e e 2－1时，f (x )在[1，e]上为单调函数． 20．(本小题满分12分) (2014济南3月模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若k AC ·k BD ＝－b 2a2， ①求OA →·OB →的最值；②求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意e ＝c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝n ，代入椭圆方程得2y 2＋n 2－8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝n 2，y 1y 2＝n 2－82，由k AC ·k BD ＝k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 得n 2－82n 2＝－12，得n 2＝4. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0(*)⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2， ∵k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12， ∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m 2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2， ∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k 2， ∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2，∴4k 2＋2＝m 2.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－81＋2k 2－m 2－41＋2k 2 ＝m 2－41＋2k 2 ＝4k 2＋2－41＋2k 2 ＝2－41＋2k 2， ∴－2＝2－4≤OA →·OB →<2.当k ＝0(此时m 2＝2满足(*)式)，即直线AB 平行于x 轴时，OA →·OB →的最小值为－2.当直线AB 的斜率不存在时，OA →·OB →的最大值为2.②当AB 的斜率不存在时，由①知A (2，－2)，B (2，2)， S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，当AB 的斜率存在时，设原点到直线AB 的距离为d ，由①得 S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2 ＝|m |2x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝|m |2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2 ＝|m |264k 2m 2－m 2－m 2 ＝24k 2－m 2＋4＝22，∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝8 2.综上所述四边形ABCD的面积为定值8 2.。
人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值， 故⑤正确．14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示． 则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0， 即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13， 综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1， 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0， 令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13， 所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)． 而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22， 整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
高考数学第一轮复习押题专练(5)含答案
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sinπ＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．【高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得图像对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A. 【高考上海文科】设aR ，[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【高考新课标Ⅲ文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π==-，所以函数sin 3y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【高考新课标1文数】已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= .【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B.【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．． 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+ 050 5- 0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.1．(·天津卷) 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．π D．2π【答案】C【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z)或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z)，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π. 2．(·安徽卷) 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4 C.3π8 D.3π4 【答案】C3．(·重庆卷) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 【答案】22【解析】函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sinx ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z)，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.4．(·北京卷) 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图14所示．图14(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．5．(·福建卷) 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋16．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈ 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1【解析】 f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1. 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 【答案】A11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 12．(·陕西卷) 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C．2π D．4π 【答案】B 【解析】T ＝2π2＝π.134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A. 15. (·四川卷) 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ． 答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12答案 C5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案328．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解得－32<k≤32或k＝－1，所以实数k的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
2021年高三数学一轮复习 滚动测试五 理
2021年高三数学一轮复习滚动测试五理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）．1.已知集合，时，（）A． B． C． D．2．由下列条件解，其中有两解的是（）A. B.C. D.3.等差数列的前n项和为，若为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（）A. B. C. D.4.已知数列满足，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.5.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“若，则，互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“，使得”的否定是：“，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题6.由直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.7.当为第二象限角，且，则的值为（）A.1B.C.D. 以上都不对8．若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.函数的图象可能是下列图象中的（）10、已知满足，且能取到最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C． D.11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①；②；③；④ 其中“互为生成函数”的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④12.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2第II 卷二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.设函数若，则 ．14．有下列各式：，，，……则按此规律可猜想第n 个不等式为： ．15. .如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得CD=30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为。
则塔高AB=__________。
16. 关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数； ③的最小值是； ④在区间、上 是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三. 解答题：（本大题共6小题，共74分） 17. (本小题满分12分)在锐角中，已知内角所对的边分别为，且满足＝。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(五)解析几何(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b= ( )A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的两个点,P是线段AB上的动点,当△AOB的面积最大时,则·-的最大值是( )A.-1B.0C.D.7.(滚动交汇考查)如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,E n(n∈N*)为边AC上的一列点,满足=a n+1-(3a n+2),其中实数列{a n}中a n>0,a1=1,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2·3n-1-1B.a n=2n-1C.a n=3n-2D.a n=3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(-1,1)9.曲线的方程为+=2,若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C.∪[1,+∞)D.∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.y2-=1C.-x2=1D.-=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是.12.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.14.若对任意α∈R,直线l:xcosα+ysinα=2sin+4与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.15.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈且f(α)=,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.点E,H分别为PA,AB的中点.(1)求证:PH⊥AC.(2)求三棱锥P-EHD的体积.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M的另外两点P,Q.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60,且a6为a1与a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和T n.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a= b.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M,N两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上,当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y2=1但x=2且y=-1不成立,即“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b时取等号.所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1,=·=-,求得ω=2.因为题干中图象过点,且|φ|<,所以2×+φ=π,所以φ=,f(x)=sin.故把f(x)=sin的图象向右平移个长度单位,可得y= sin=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=时,S取最大值,此时⊥,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x),所以·-=·(-)=·=(x-1,1-x)·(-x,x-1)=-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x2+3x-1,x∈[0,1],当x=-=时,上式取最大值.7.A 因为=3,所以=+=+=+(+)=-+, 设m=,因为=a n+1-(3a n+2),-+=a n+1-(3a n+2),所以-m=a n+1,m=-(3a n+2),所以a n+1=(3a n+2),所以a n+1+1=3(a n+1),因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.8.B 因为点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,所以F1(-c,0),F2(c,0),A,B,因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,所以<1,整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1,或e<--1(舍),又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1).【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项.9.A 方程+=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC==,k BC==1,直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,即为≤k≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b与a的关系,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF1=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为-x2=1.11.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-x,当直线y=-x过点O时z取得最小值,所以z=x+2y的最小值是0.答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,因为c2=a2+b2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t2-2=[t],作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t2-2=[t].作y=t2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.当1<t<2时,[t]=1,所以t=.故得:x=,x=100,x=1,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R恒成立,即可求得实数m的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα-2sin-4|>1,所以|(2m-2)sin-4|>1,所以(2m-2)sin-4>1或(2m-2)sin-4<-1,所以-<m<.答案:-<m<15.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b可得:||=b,则||=3b,||=a,||=c,cos∠F1OM=cos(π-∠MOF2)=-cos∠MOF2=-,在△MF1O中,由余弦定理可知=-,又因为c2=a2+b2,所以a2=2b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【加固训练】若点P是椭圆+y2=1上的动点,则点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是.【解析】设P(cosθ,sinθ),则点P到直线l:y=x+1的距离为= .所以点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是=.答案:16.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(α)=,所以sin=,所以sin=,因为α∈,所以≤2α+≤,所以cos=-,所以cos2α=cos=cos cos+sin sin=-×+×=-.17.【解题提示】(1)根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,由四边形ABCD 为矩形,得BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而平面PAB⊥平面ABCD,由此能证明PH⊥平面ABCD,从而可得PH⊥AC.(2)由V P-EHD=V D-PEH,利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积.【解析】(1)因为PAB为正三角形,AB=2,所以PB=AB=2,因为BC=,PC=,所以PC2=BC2+PB2,所以根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,因为四边形ABCD为矩形, 所以BC⊥AB,因为PB,AB⊂平面PAB且交于点B,所以BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为点H为AB的中点,△PAB为正三角形,所以PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以PH⊥AC.(2)由(1)知DA⊥平面PEH,DA=BC=,S△PEH=S△PAB=×××2=,所以三棱锥P-EHD的体积V P-EHD=V D-PEH=×DA×S△PEH=××=.18.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.所以+=1,①且=,②由①,②解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线PQ的斜率为定值,证明如下:由题意可得直线MP,MQ的斜率都存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,因为-2,x1是该方程的两根,所以-2x1=,即x1=.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.因为y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),所以k PQ====1,因此直线PQ的斜率为定值.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n及前n 项和S n.(2)由(1)中的a n和S n,根据迭代法得:b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1,结合条件化简后求得b n,再利用裂项法求得,代入前n项和T n再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a n=2n+3,S n==n(n+4).(2)因为b n+1-b n=a n,所以b n-b n-1=a n-1=2n+1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=S n-1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),对b1=3也适合,所以b n=n(n+2)(n∈N*),所以==,则T n===.20.【解析】(1)设直线AB的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为=,=,又因为a=b,解得a=4,b=2,故椭圆的方程为+=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(-2,0),易知直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2,点M(x1,y1),N(x2,y2), 因为四边形MONP为平行四边形,所以,=+=(x1+x2,y1+y2)⇒P(x1+x2,y1+y2).联立⇒(m2+2)y2-4my-8=0,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4,所以x1+x2=,因为点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,所以(x1+x2)2+2(y1+y2)2=16⇒+2=16⇒m=±,那么直线l的方程为x=±y-2.21.【解题提示】(1)代入a的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a的不同取值,讨论f(x)的单调区间.(3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=.令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f′(x)=a--==(x>0),令f′(x)=0,得x=1或x=-,当-1<a<0时,1<-,令f′(x)<0,得0<x<1或x>-,令f′(x)>0,得1<x<-;当a=-1时,f′(x)=-≤0.当a<-1时,0<-<1,令f′(x)<0,得0<x<-或x>1,令f′(x)>0,得-<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),,单调递增区间是;当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是,(1,+∞),单调递增区间是.(3)当a≥0时,f′(x)=(x>0),f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间上有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;a<-1时,f<f(1)=a+1<0,方程f(x)=0仅在区间内有1个解;故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块。
高三数学一轮复习 滚动测试五 理
高三数学复习滚动测试（五）时间：120分钟 满分：150第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）．1.已知集合2{lg(4)}A x y x ==-，{3,0}xB y y x ==>时，A B =I （ ） A ．{02}x x << B ．{12}x x <<C ．{12}x x ≤≤D ．∅ 2．由下列条件解ABC △，其中有两解的是（ ）A.︒===80,45,20C A b oB.ο60,28,30===B c aC.ο45,16,14===A c a D.ο120,15,12===A c a3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17S 为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（ ） A.215a a + B.215a a ⋅ C.2916a a a ++ D.2916a a a ⋅⋅4.已知数列{}{},n n a b 满足*11111,2,N n n n nb a b a a n b ++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为（ ） A.()101413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()94413- 5.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =错误!未找到引用源。
，则0x =错误!未找到引用源。
”的否命题为：“若0xy =错误!未找到引用源。
，则0x ≠错误!未找到引用源。
”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误!未找到引用源。
”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误!未找到引用源。
，使得2210x -<错误!未找到引用源。
”的否定是：“R∈∀x 错误!未找到引用源。
，均有2210x -<错误!未找到引用源。
”D ．命题“若cos cos x y =错误!未找到引用源。
，则x y =错误!未找到引用源。
”的逆否命题为真命题 6.由直线2,,0sin 33x x y y x ππ====与所围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.12C.27.当θ为第二象限角，且1sin()223θπ+=cos sin 22-的值为（ ）A .1B .1-C . 1±D . 以上都不对8．若函数my x+=-|1|)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．1m≤-B．10m-≤<C．1m≥D．01m<≤9.函数,(,0)(0,)sinxy xxππ=∈-U的图象可能是下列图象中的（）10、已知x y，满足()2221x yx yy a x⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y=+能取到最小值，则实数a的取值范围是（）A．1a<-B．2a≥C．12a-<≤ D.12a-<<11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
高考数学一轮复习 滚动检测五(1-8章)(规范卷)文(含解析) 新人教A版-新人教A版高三全册数学试
滚动检测五(1～8章)(规X 卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的某某、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2>x ，x ∈R }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，x ∈R ，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2C.{}x |x ≤1或x ≥2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1答案 C解析 ∵A ＝{}x |x 2>x ，x ∈R ＝{}x |x <0或x >1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，x ∈R ，∴A ∩B ＝{x |1<x <2，x ∈R }， 则∁R (A ∩B )＝{x |x ≤1或x ≥2}．2．若z 1＝(1－i)2，z 2＝1＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 D解析 ∵z 1＝(1－i)2＝－2i ，z 2＝1＋i ，∴(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－2－2i2＝－1－i. 3．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由a ⊥b ⇏x ＝2， 由x ＝2⇒a ⊥b ，故选B.4．实数x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤k ，z ＝x 2＋y 2，若z 的最大值为13，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最大值为13，即|OA |2＝13，而A (k ，k ＋1)，所以k 2＋(k ＋1)2＝13，解得k ＝2或k ＝－3(舍去)．5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是( )A.2732cm 3B.92cm 3C.932cm 3D.272cm 3答案 C解析 如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V ＝13Sh ＝13×12×(2＋4)×3×323＝923(cm 3)．6．设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a 答案 A解析 a ＝20.1>20＝1，b ＝ln 52<lne ＝1，即0<b <1，c ＝log 3910<log 31＝0，∴c <b <a .7．若a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3B ．32－3 C ．3＋13D ．7 答案 D解析 当b ＝1时，代入等式a ＝a ＋2不成立，因而b ≠1， 所以ab －a ＝b ＋1.a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1)≥3＋22b －1×2(b －1)＝3＋2×2＝7，当且仅当b ＝2时，取等号， 即最小值为7.8．设D 为△ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－56AB →＋16AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－16AB →＋12AC →答案 A解析 由平面向量基本定理可得，BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝16(AB →＋AC →)－AB →＝－56AB →＋16AC →，故选A.9.如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为棱AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.36B.32 C.336 D.12答案 A解析 方法一 取AB 中点G ，连接EG ，CG .∵E 为AD 的中点，∴EG ∥BD .∴∠GEC 为CE 与BD 所成的角．设AB ＝1， 则EG ＝12BD ＝12，CE ＝CG ＝32， ∴cos∠GEC ＝EG 2＋EC 2－GC 22×EG ×EC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×12×32＝36. 方法二 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AC →·(AD →－AB →)＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →＝12－12cos60°－cos60°＋cos60°＝14. ∴cos〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36，故选A.10．已知函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，则正数a 的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π12，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π3，5π6≤2a <4π3，解得5π12≤a <2π3.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题错误的是( )A ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值 B ．直线CD 和平面BPC 1平行 C ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 D ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值 答案 D解析 选项A ：∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，易得CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故A 正确；选项B ：直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故B 正确；选项C ：三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而平面DBC 1为固定平面且大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1∥平面BDC 1，∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离，∴三棱锥的体积为定值，故C 正确；选项D ：由线面夹角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时这个角是变化的，故D 错误．12．若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P ()s ，t 处具有公共切线，则实数a 等于( )A ．1B.12C ．－1D ．2答案 A解析 曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 1＝se .曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 2＝a s. 由曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得s e ＝a s ，并且t ＝12e s 2，t ＝a ln s ，即⎩⎪⎨⎪⎧s e ＝a s ，12e s 2＝a ln s ，∴ln s ＝12，∴s 2＝e.可得a ＝s 2e ＝ee＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝__________________.答案π4解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即33 2＝6sin B，所以sin B ＝22， 又因为b <a ，所以B <A ，所以∠B ＝π4.14．完成下面的三段论：大前提：两个共轭复数的乘积是实数．小前提：x ＋y i 与x －y i(x ，y ∈R )互为共轭复数．结论：________________________________________________________________________. 答案 (x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数解析 “三段论”可表示为①大前提：M 是P ；②小前提：S 是M ；③结论：所以S 是P ，故该题结论可表示为(x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数．15．甲乙两地相距500km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知汽车每小时运输成本为⎝⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元，则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝__________________，当汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案 18v ＋180000v(0<v ≤120) 100解析 ∵甲乙两地相距500 km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v小时，又由汽车每小时运输成本为⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元， 则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18v ＋180 000v (0<v ≤120)，由基本不等式得18v ＋180 000v≥218v ·180 000v＝3 600,当且仅当18v ＝180 000v，即v ＝100时等号成立．16．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b . 答案 ②解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b . 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝－x ＋1；当x >1时，f (x )＝log 2x .(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y ＝f (x )在R 上的草图； (2)当x ∈(－∞，－1)时，求满足方程f (x )＋log4(－x )＝6的x 的值； (3)求y ＝f (x )在[0，t ](t >0)上的值域．解 (1)(2)当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＝log 2(－x )，∴f (x )＋log 4(－x )＝log 2(－x )＋log 2(－x )log24＝32log 2(－x )＝6，即log 2(－x )＝4，即－x ＝24，得x ＝－16. (3)当0<t ≤1时，值域为[－t ＋1,1]； 当1<t ≤2时，值域为[0,1]， 当t >2时，值域为[0，log 2t ]．18．(12分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．解 (1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝BDsin∠BAD ，故AB ＝sin βsin α·BD ＝4373314×1＝83，故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.19．(12分)已知数列{an }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝1＋S n 对一切正整数n 恒成立． (1)试求当a 1为何值时，数列{a n }是等比数列，并求出它的通项公式；(2)在(1)的条件下，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和T n 取得最大值？ 解 (1)由a n ＋1＝1＋S n 得，当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ，因为数列{a n }是等比数列，所以a 2＝2a 1， 又因为a 2＝1＋S 1＝1＋a 1，所以a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)由于y ＝2n －1在R 上是一个增函数，可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 4002n －1是一个递减数列，所以lg 40020>lg 40021>lg 40022>…>lg 40028>0>lg 40029>…，由此可知当n ＝9时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和Tn 取最大值．20．(12分)设函数f (x )＝x 2－3x .(1)若不等式f (x )≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，某某数m 的取值X 围；(2)在(1)的条件下，当m 取最大值时，设x >0，y >0且2x ＋4y ＋m ＝0，求1x ＋1y的最小值．解 (1)因为函数f (x )＝x 2－3x 的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以f (x )＝x 2－3x 在x ∈[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－3＝－2， 所以m ≤－2.(2)根据题意，由(1)可得m ＝－2， 即2x ＋4y －2＝0.所以x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，则1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y≥3＋2x y ·2yx＝3＋22， 当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心．(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求三棱锥G —PCD 的体积．(1)证明 方法一 连接AG 并延长交PD 于点H ，连接CH .由梯形ABCD 中AB ∥CD 且AB ＝2DC 知，AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，∴AG GH ＝21.在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC . 又HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ，∴GF ∥平面PDC .方法二 过G 作GN ∥AD 交PD 于N ，过F 作FM ∥AD 交CD 于M ，连接MN ，∵G 为△PAD 的重心，∴GN ED ＝PG PE ＝23， ∴GN ＝23ED ＝233. 又ABCD 为梯形，AB ∥CD ，CD AB ＝12，∴CF AF ＝12， ∴MF AD ＝13，∴MF ＝233，∴GN ＝FM . 又由所作GN ∥AD ，FM ∥AD ，得GN ∥FM ，∴四边形GNMF 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又∵GF ⊄平面PCD ，MN ⊂平面PCD ，∴GF ∥平面PDC .方法三 过G 作GK ∥PD 交AD 于K ，连接KF ，由△PAD 为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，得DK ＝23DE ， ∴DK ＝13AD ， 又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ，知AF FC ＝21，即FC ＝13AC ， ∴在△ADC 中，KF ∥CD ，又∵GK ∩KF ＝K ，PD ∩CD ＝D ，∴平面GKF ∥平面PDC ，又GF ⊂平面GKF ，∴GF ∥平面PDC .(2)解 方法一 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，由(1)知GF ∥平面PDC ，∴—G PCD V 三棱锥＝—F PCD V 三棱锥＝—P CDF V 三棱锥＝13×PE ×CDF S .又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ＝23，知DF ＝13BD ＝233， 又△ABD 为正三角形，得∠CDF ＝∠ABD ＝60°，∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠CDF ＝32， 得—P CDF V 三棱锥＝13×PE ×S △CDF ＝32， ∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 方法二 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知 PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，连接CE ，∵PG ＝23PE ， ∴V 三棱锥G —PCD ＝23V 三棱锥E —PC D ＝23V 三棱锥P —CDE ＝23×13×PE ×S △CDE ， 又△ABD 为正三角形，得∠EDC ＝120°，得S △CDE ＝12×CD ×DE ×sin∠EDC ＝334. ∴V 三棱锥G —PCD ＝23×13×PE ×S △CDE ＝23×13×3×334＝32， ∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1－x ln x 的图象在x ＝1处的切线与直线x －y ＝0平行．(1)求函数f (x )的极值；(2)若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)，某某数m 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝ax ＋1－x ln x 的导数为f ′(x )＝a －1－ln x ，可得f (x )的图象在A (1，f (1))处的切线斜率为a －1，由切线与直线x －y ＝0平行，可得a －1＝1，即a ＝2，f (x )＝2x ＋1－x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ，由f ′(x )>0，可得0<x <e ，由f ′(x )<0，可得x >e ，则f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，可得f (x )在x ＝e 处取得极大值，且为e ＋1，无极小值．(2)可设x 1>x 2，若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)， 可得f (x 1)－f (x 2)>mx 21－mx 22，即有f (x 1)－mx 21>f (x 2)－mx 22恒成立，设g (x )＝f (x )－mx 2在(0，＋∞)为增函数，即有g ′(x )＝1－ln x －2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，可得2m ≤1－ln x x在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝1－ln x x ，则h ′(x )＝ln x －2x 2， 令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2， h (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，即有h (x )在x ＝e 2处取得极小值－1e 2，且为最小值， 可得2m ≤－1e 2， 解得m ≤－12e 2. 则实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12e 2.。
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阶段滚动检测（五）
一、选择题
1.设全集U ＝R ，集合M ＝{x |0<x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )等于( )
A.{x |0≤x <1}
B.{x |0<x ≤1}
C.{x |0≤x ≤1}
D.{x |x <1}
2.(2019·杭州模拟)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f (x )＝2019x ＋log 2019(x 2＋1＋x )－2019－x ＋2，则关于x 的不等式f (3x ＋1)＋
f (x )>4的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 4.在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，则其公差d 等于( )
A.－13
B.13
C.－23
D.23 5.将函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )
A.最小正周期为π
B.图象关于直线x ＝π12
对称 C.图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0对称 D.初相为π3
6.已知单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为( )
A.π6
B.π3
C.π4
D.3π4
7.设l ，m ，n 为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中真命题的个数为( ) ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；
③若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β； ④若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.
A.0B.1C.2D.3
8.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x －2y ≤0，
x ＋2y －2≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值是( ) A.－3B.12C.1D.32 9.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13
BC ，则cos A 等于( ) A.31010 B.1010C.－1010D.－31010
10.设双曲线C ：x 216－y 29
＝1的右焦点为F ，过F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则d
|PF |
的值为( ) A.34B.45C.54
D.无法确定 二、填空题
11.(2019·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_______cm 3，表面积是________cm 2.
12.(2019·宁波十校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，cos A ＝－14
，cos B ＝78
，且b ＝2，则a ＝________；△ABC 的面积为________. 13.(2019·温州模拟)若递增数列{a n }满足：a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2＝2a n ，则实数a 的取值范围为________，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n ＝________.
14.(2019·台州模拟)已知向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，则(c －a )·(c －b )的最大值是__________，最小值是________.
15.已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t ＝________.
16.已知抛物线C ：y 2＝4x ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆E ：(x －5)2＋y 2＝9相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，则弦长|AB |＝________.
17.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立.当。