第三章 复变函数的积分

第三章 复变函数的积分

复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们.

§3.1 复变函数积分的概念

1.复变函数积分的定义

在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -.

定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点：

A =z 0,z 1,…,z n -1,z n =

B ,

图3.1

将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式

1

().n

n k k k S f z ξ==∆∑

其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作

1

()d lim (),n

k

k

k C

f z z f z λ

ξ→==∆∑⎰

f (z )称为被积函数，f (z )d z 称为被积表达式.

若C 为闭曲线，则函数f (z )沿曲线C 的积分记作

()d C

f z z ⎰

.

2.复变函数积分的性质

性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则

()d ()d .C

C f z z f z z -

=-⎰⎰ (3.1)

性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则

(()())d ()d ()d ,C

C

C

f z

g z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)

其中αβ,为任意常数.

性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,

依次首尾相接而成，则

1

2()d ()d ()d ()d .n

C

C C C f z z f z z f z z f z z =+++

⎰⎰⎰

⎰

(3.3)

性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则

()d ()d ,C

C

f z z f z s ML ≤≤⎰⎰

(3.4)

其中d d s z ==

, 为曲线C 的弧微分.

事实上，记k s ∆为z k -1与z k 之间的弧长，有

1

1

1

()()().n

n n

k

k

k k k k k k k f z

f z f s ξξξ===∆≤∆≤∆∑∑∑

令0λ→,两端取极限，得到

()d ()d .C

C

f z z f z s ≤⎰⎰

又由于

1

1

(),n

n

k k k k k f s M s ML ξ==∆≤∆=∑

∑

所以有

()d ()d .C

C

f z z f z s ML ≤≤⎰⎰

3.复变函数积分的基本计算方法

定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且

()d d d d d .C

C

C

f z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)

证明：设11,,,,k k k k k k k k k k k k z x iy i x x x y y y ξζη--=+=+∆=-∆=-则

11111()()

()().

k k k k k k k k k k k k k z z z x iy x iy x x i y y x i y -----∆=-=+-+=-+-=∆∆

从而

1

11

1

()((,)(,))()

((,)(,))

((,)(,)).

n

n

k

k k k k k k k k k n

k k k k k k k n

k k k k k k k f z u iv x i y u x v y i v x u y ξ

ζηζηζηζηζηζη====∆=+∆+∆=∆-∆+∆+∆∑∑∑∑

上式右端的两个和数是两个实函数的第二类曲线积分的积分和.

已知f (z ) 沿C 连续，所以必有u 、v 都沿C 连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在

()d C

f z z ⎰，且

()d d d d d .C

C

C

f z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰

注(3.5)式可以看作是f (z )=u +iv 与d z =d x +i d y 相乘后得到：

()d ()(d d )

d d d d d d d d d .

C

C

C

C

C

f z z u iv x i y u x iv x iu y v y

u x v y i v x u x u y =++=++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰

定理3.1给出的条件仅仅是积分

()d C

f z z ⎰存在的充分条件.该定理告诉我们，复变函数

积分的计算问题可以化为其实部和虚部两个二元实函数第二类曲线积分的计算问题.

下面介绍另一种计算方法--- 参数方程法.

设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为

()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤

参数t =a 时对应曲线C 的起点，t =b 时对应曲线C 的终点.设f (z )沿曲线C 连续，则

(())((),())((),())()().f z t u x t y t iv x t y t u t iv t =+=+

由定理3.1有

()d d d d d (()()()())d (()()()())d ,

C

C

C

b b

a

a

f z z u x v y i v x u y

u t x t v t y t t i u t y t v t x t t =-++''''=-++⎰⎰⎰⎰⎰