六年级【小升初】小学数学专题课程《比和比例问题》(含答案)

16、比和比例问题知识要点梳理一、比例尺应用题在比例尺应用题中，图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是：图上距离∶实际距离＝比例尺，三个相关的量中，知道任意两个量，就可以根据关系式，求出另一个量。

在计算中，要注意各种量的单位要统一。

二、按比例分配的应用题把一个数量按照一定的比分配成几部分。

按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。

关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几，然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。

三、正、反比例应用题正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是：yx＝ｋ（一定）；反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：ｘ·ｙ＝ｋ（一定）。

四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤１．找出题目中两种相关联的量，并分析判断是成正比例，还是成反比例。

２．设未知数为ｘ，并注明单位名称。

３．根据比值（一定）或积（一定）建立比例式，并解比例。

４．检验，写答语。

考点精讲分析典例精讲考点1 按比例分配的应用题【例１】希望小学要种一批树共390棵，按照三个班的人数来分配。

一班有42人，二班有45人，三班有43人，三个班各应植树多少棵？【精析】这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42：45：43进行分配的问题。

要分的总数是390，总份数是42+45+43=130。

其中一班占总数的42130，二班占总数的45130，三班占总数的43130，要求各班应植树的棵数，实际上是分别求390的42130，45130，43130各是多少。

【答案】解法一：按比例分配法42+45+43=130390×42130＝126（棵）390×45130＝135（棵）390×43130＝129（棵）解法二：份数解法390÷（42+45+43）＝3（棵）3×42＝126（棵）3×45＝135（棵）3×43＝129（棵）答：一班应植树126棵，二班应植树135棵，三班应植树129棵。

考点2 比例尺应用题【例２】下面是学校操场的示意图。

求这个操场的实际周长和面积。

【精析】要求出长方形操场的实际周长和面积，必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。

【答案】解法一：用比例做方程解。

设操场的实际长为ｘ厘米，宽为ｙ厘米。

根据题意列比例方程：4.4∶ｘ＝1∶5000 3.2∶ｙ＝1∶5000ｘ＝4.4×5000 ｙ＝3.2×5000ｘ＝22000ｙ＝1600022000厘米＝220米 16000厘米＝160米操场的周长：（220+160）×2＝760（米）操场的面积：220×160＝35200（平方米）解法二：根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。

实际长为：4.4÷15000＝22000（厘米）＝220（米）实际宽为：3.2÷15000＝16000（厘米）＝160（米）操场的周长：（220+160）×2＝760（米）操场的面积：220×160＝35200（平方米）解法三：根据图距，实距之间的倍数关系来解。

（１）图上１厘米相当于实际距离多少米？5000厘米＝50米（２）实际长为几米？50×4.4＝220（米）（３）实际宽为几米？50×3.2＝160（米）（４）操场的周长：（220+160）×２＝760（米）（５）操场的面积：220×160＝35200（平方米）答：操场的周长760米，面积为35200平方米。

【归纳总结】这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。

考点3 正、反比例应用题【例３】同学们３小时制作了165件工艺品，照这样计算，制作220件工艺品需要多少小时？【精析】数量关系是“工艺品件数÷所需时间＝每小时制作的工艺品件数（一定）”。

商一定，所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。

可直接列方程求解。

【答案】设需要ｘ小时。

165∶3＝220∶ｘ 165ｘ＝220×３ｘ＝４答：需要４小时。

【归纳总结】本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量，“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。

【例４】收获机械厂生产一批脱粒机，计划每天生产32台，30天完成，实际每天生产40台，实际需要多少天就可以完成生产任务？【精析】数量关系是“每天生产的台数×天数＝生产的总数（一定）。

”积一定，所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。

可直接列方程求解。

【答案】设实际需要ｘ天就可以完成生产任务。

40ｘ＝32×30 ｘ＝24答：实际需要24天就可以完成生产任务。

【归纳总结】本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量，每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。

考点4 比例应用题【例５】有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比５∶４，其重量比是２∶３，把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，按单价为每千克4.4元出售，若总销售价不变，大小两筐苹果原价各是多少？【精析】知大、小苹果总价比，又知总价100×4.4按比例分配两次。

一次是大、小数量，一次是大、小总价。

此时易求出原单价。

【答案】（５×２）∶（４×３）＝５∶６100×22+3＝40（千克）100－40＝60（千克）100×4.4＝440（元）440×55+6＝200（元）200÷40＝5（元）（440-200）÷60＝４（元）答：大筐苹果单价是５元，小筐苹果单价是４元。

【归纳总结】已知单价比和重量比可求出复比。

名题精析【例１】（西安交大附中入学）一个圆柱和一个圆锥的体积比是３∶４，底面半径比是２∶３，圆柱与圆锥的高之比是（）∶（）。

【精析】本题要求圆柱与圆锥高之比，反用公式体积除以底面积。

本题中没有相关的具体数据，可以将题目中的比当做具体数量来算。

这样圆柱的体积是３，底面半径是２，圆锥的体积是４，底面半径是３，再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。

【答案】［３÷（π×２×２）］∶［３×４÷（π×３×３）］＝９∶16【归纳总结】本题在列式计算时，圆周率取π先不要算，最后在约分，这样可以使计算简便，其实，这实质是活用转化。

圆周率不变，半径的平方比就是面积比。

【例２】（西安高新某中入学）甲、乙、丙三批货物总价值2580万元，甲、乙、丙三批货物的质量比为３∶４∶６，单位质量的价格比为５∶４∶２，问这三批货物各值多少万元？【精析】 甲货价∶乙货价∶丙货价（甲单价×甲物重）∶（乙单价×乙物重）∶（丙单价×丙物重），可求出三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12，按比例分配。

【答案】 三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12 2580×1515+16+12＝900（万元） 2580×1615+16+12＝960（万元） 2580×1215+16+12＝720（万元）答：甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。

【归纳总结】 已知总数为货物总价值，应按货物价值的比例进行分酬。

货物价值＝单价×质量。

毕业升学训练一、填空题１．在一张精密的零件图纸上，量的零件长是40毫米，这个零件的实际长度是８毫米，这幅图纸的比例尺是（ ）。

２．在比例尺是１∶600000的地图上，量得两地的距离是５厘米，这两地的实际距离是（ ）。

３．一个长方形操场，长120米，宽80米，如果把它画在比例尺是１∶2000的图纸上，则长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。

４．甲乙两数的和是72，甲数的32相当于乙数的34，甲数是（ ），乙数是（ ）。

５．一个三角形三个内角度数的比是７∶３∶２，这个三角形是（ ）三角形。

二、选择题１．在地图上量得甲、乙两地长４．５厘米，甲、乙两地实际距离是７２０千米，地图上的比例尺是（ ）。

Ａ．１∶160000 Ｂ．１∶1600000 Ｃ．１∶16000000 Ｄ．１∶160000000２．在比例尺是１∶1000000的地图上，50千米的距离在地图上应画（ ）厘米。

Ａ．0.5 Ｂ．５ Ｃ．10 Ｄ．50３．某小学男生人数与女生人数的比是６∶５，男生比女生多的人数占全校人数的（ ）。

Ａ．611Ｂ．511Ｃ．111４．有一种药水重20.2千克，药和水的重量比是１∶100，其中水重（ ）千克。

Ａ．0.2 Ｂ．３ Ｃ．20 Ｄ．20.2５．把一批图书按照３∶２∶５分配给甲、乙、丙三个班，已知甲班分得15本，这批图书一共有（ ）本。

Ａ．50 Ｂ．60 Ｃ．40 Ｄ．70６．某班学生为失学儿童捐款640元，女生捐的钱与男生捐的钱之比是５∶３，王明根据上面的条件，得到下面四个结论，其中错误的是（ ）。

Ａ．女生比男生多捐款23Ｂ．男生比女生少捐款23Ｃ．男生共捐款240元 Ｄ．男生比女生少捐款25三、解决问题１．在比例尺是１∶12000000的铁路运行图上，量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6ｃｍ，将它画在比例尺１∶4000000地图上，甲、乙两城之间的图上距离是多少？２．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的质量比是２∶５，另一块合金中铜与锌的质量比是１∶３。

现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的质量比。

３．甲、乙两个仓库共存粮1680吨，已知甲仓库存量的13等于乙仓库存粮的14，求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？４．甲种糖每千克３元，乙种糖每千克5.4元。

现在要求混合后的糖价为每千克4.8元，求甲、乙两种糖的质量比。

５．一架飞机所带的燃料最多可以用６小时。

飞机去时顺风，每小时飞行750千米；返回是逆风，每小时飞行600千米。

这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞？６．红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱，两队所积攒的钱数比是９∶５，在献爱心活动中，红队捐了48元，蓝队捐了20元，这时两队的钱数相等，红队原来积攒了多少钱？７．一个等腰三角形底和底边上的高之比是８∶３，把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形后，长方形的面积是48平方厘米，那么长方形的周长是多少厘米？冲刺提升一、填空题１．（成都某一中入学）一个三角形的三个内角的度数比是１∶２∶６，这个三角形是个（ ）三角形。

２．（西安某交大附中入学）如图，线段ＡＢ上有一点Ｃ，且ＡＣ＝６ｃｍ，ＡＣ∶ＣＢ＝４∶３，则ＡＢ长为（ ）ｃｍ。

３．（西安某工大附中分班）一张精密零件图纸的比例尺是５∶１。