区间型不确定多属性决策方法及应用

设 a [a L , aU ] 和 b [bL , bU ] ，且 0 ，则
L L U U （1） a b 当且仅当 a b 和 a b .
L L U U a b [ a b , a b ]. （2）
（3） a [ a L , aU ] ，其中 0 ，特别地，若
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
aU 3,
b L 1,
aU b L P(a b ) min{max( ,0),1} la lb 3 1 min{max( , 0),1} min{1/ 3,1} 1/ 3 1 5
u6
[8.0,9.0] [7.0,8.0] [8.5,9.0]
u7
[2.0,3.0] [9.0,10] [5.0, 6.0]
u8
[1.2,1.3] [1.1,1.2] [1.0,1.3] [8.0,9.0] [6.0, 7.0]
[7.0, 7.5] [8.0,9.0] [8.0,9.0] [5.0, 6.0]
第1节 基于可能度的多属性决策方法
一、区间数比较的可能度公式
记 a [a L , aU ] {x | a L x aU , a L , aU R} 称 a 为
L U 区间数，特别地，当 a a 时， a 退化为一个实数。
先给出区间数的运算法则。 设 a [a L , aU ] 和 b [bL , bU ] ，且 0 ，则
u2
[9.0,9.5] [5.0, 6.0] [8.5,9.1] [5.0, 6.0]
u3
[8.0,9.0] [9.0,9.5] [7.0,8.0] [9.0,10] [8.0,9.0]
u4
[10,12] [4.0,5.0] [8.0,9.0] [6.0, 7.0] [5.0, 6.0]
[2.0, 2.5] [4.0,5.0]
表4.5 决策矩阵 A
u5 x1 x2 x3 x4 x5
[12,13] [4.0,5.0] [8.0,9.0] [6.0, 7.0] [5.0, 6.0]
u6
[8.0,9.0] [7.0,8.0] [8.5,9.0]
u7
[2.0,3.0] [9.0,10] [5.0, 6.0]
u8
[1.2,1.3] [1.1,1.2] [1.0,1.3] [8.0,9.0] [6.0, 7.0]
解：由可能度矩阵
aU b L P(a b ) min{max( ,0),1} la lb
0 0 0.5444 0.5698 0.5 1 0.5 0.9906 1 1 P 1 0.0094 0.5 1 1 0 0 0.5 0.5217 0.4556 0.4302 0 0 0.4783 0.5
为 a b 的可能度。 可以证明以上4个定义是等价的。
bU a L P(a b ) max{1 max( ,0),0} la lb
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
a 2 a L P(a b ) max{1 max( ,0),0} la lb bU a L 62 max{1 max( ,0),0} max{1 max( ,0),0} la lb 1 5 2 1 max{1 , 0} 3 3 所以， a b.
（4）（互补性） P(a b) P(b a) 1 特别地， P(a a) 1/ 2.
（5） P(a b) 1/ 2 当且仅当 aU a L bU bL . 特别地，P(a b) 1/ 2 当且仅当 aU a L bU bL . （6）（传递性）对于3 个区间数 a, b, c, 若
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
la lb
aU 3,
b L 1,
P(a b )
min{la lb , max( aU b L , 0)}
min{1 5, max(3 1, 0)} 1 1 5 3
随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、 不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强．在实际决
决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将
介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数 之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并 且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点 的多属性决策方法．本章对上述方法均进行了实例分析
0.33
根据上述3种定义，可以证明下列结论均成立。
L U b [bL , bU ] ，则 定理4.1 设 a [a , a ] ，
（1） 0 P(a b) 1
U L b a 当且仅当 P ( a b ) 1 （2） U L a b 当且仅当 P ( a b ) 0 （3）
0.4 0.6 0.2 0.5 0.3 0.8 0.7 0.5 0.1 0.2 0.9 0.5
为模糊互补判断矩阵。
定理2.2 设模糊互补判断矩阵 B (bij )nn , 对矩阵B 按行求和得
bi bij
j 1
n
i 1, 2,
,n
则可依据 bi (i 1, 2,
U 2 ( a ij ) i 1 n
n
i 1, 2,
L 2 ( a ij ) i 1
, n, j I1
(4.9)
L U r (1/ a ij ij ) / U L r (1/ a ij ) / ij
L 2 (1/ a ij ) i 1 n
[7.0, 7.5] [8.0,9.0] [8.0,9.0] [5.0, 6.0]
在上述属性中，能源需求量( u1 )、水的需求量( u2 )。工
厂和设备成本( u4 )和作业成本为成本型外，其他均为效 益型．
表4.5 决策矩阵 A
u5 x1 x2 x3 x4 x5
[12,13] [4.0,5.0] [8.0,9.0] [6.0, 7.0] [5.0, 6.0]
ai [aiL , aiU ] (i 1, 2,
, n) 的序关系对区间
, n) 进行排序。
例 比较下列5个区间大小
z1 (w) [0.1888,0.1972], z3 (w) [0.1988,0.2070], z5 (w) [0.1874,0.1962]. z2 (w) [0.2068,0.2198], z4 (w) [0.1874,0.1970],
max{0,1 5 max(6 2, 0)} 1 1 5 3
所以，
ab
0.33
定义4.5 当 a, b 至少有一个为区间数时，且记
la aU a L , lb bU bL ,
则称 （4.5）
bU a L P(a b ) max{1 max( ,0),0} la lb
P(a b) 1/ 2
且 P(b c) 1/ 2 则 P(a c) 1/ 2
定义1.8 设摸糊判断矩阵 B (bij )nn ，若有
bij bji 1, bii 0.5, 则称矩阵B是模糊互补判断矩阵
例
0.5 0.6 B 0.4 0.8
P(a b ) la lb
则称 （4.2）
min{la lb , max( aU b L , 0)}
为 a b 的可能度。
设 P(a b) p ，则记 a, b 的次序关系为
a b
p
P(a b )
min{la lb , max( aU b L , 0)} la lb
u5 —作业成本(百万美元/年)；u6 —有关地区的经济发展(十
分制); u7 —研究开发机会(十分制)；u8 —投资报酬(以1为 基数). 请标准化决策矩阵。
表4.5 决策矩阵 A
u1 x1 x2 x3 x4 x5
[1.5,1.9] [2.7,3.1] [1.8, 2.0] [2.5, 2.8]
max{0, la lb max(bU a L , 0)} la lb
例 设 a [2,3] ，b [1,6] ， 求 P(a b ) 。
解
la 1,
lb 5,
a L 2,
la lb
bU 6,
P (a b )
max{0, la lb max(bU a L , 0)}
本型．设 I1 , I 2 分别表示效益型、成本型的下标集．为 了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公 式将决策矩阵 A 转化为规范化矩阵 R (rij )nn ，其中
rij [rijL , rijU ].
L L r a ij ij / U U r a ij / ij
所以，
ab
0.33
定义4.4 当 a, b 至少有一个为区间数时，且记
la aU a L , lb bU bL ,
P (a b ) la lb
则称 （4.4）
max{0, la lb max(bU a L , 0)}
为 a b 的可能度。
P (a b )
0.9906 1 0.5444 0.5217
第3节 步骤1
决策方法
对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确
知(即为实数)。对于方案 xi ，按属性u j 进行测度，得到
L U xi 关于 u j 的属性值 a ( 这里 aij [aij , a ij ] )．从而构成 ij