计数原理、概率与统计专题复习

计数原理、概率与统计专题复习

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．正态分布密度函数φμ，σ(x)＝12π·σ

·()22

2x e m s --.其中μ<0的图象可能为( )

2．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( ) A ．1 260 B ．120 C ．240 D ．720 3．(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．20

4．中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )

A ．120种

B ．48种

C ．36种

D ．18种

5．(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的项的系数是( ) A ．120 B ．－120 C ．100 D ．－100

6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( ) A ．36 B ．32 C ．28 D ．24

7．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有( )

A ．24种

B ．18种

C ．21种

D ．9种

8.若(1－2x)2 010＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 010x 2 010 (x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 010

2

2 010的值为( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

9．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )

A.929

B.1029

C.1929

D.2029

10．袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( )

A.C 14C 28C 312C 416C 1040

B.C 24C 18C 312C 416C 1040

C.C 24C 38C 112C 416C 1040

D.C 14C 38C 112C 216

C 1040

11．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1

3

，D (ξ)

＝2

9

，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C ．3 D.113

12．设[x ]表示不超过x 的最大整数(如[2]＝2，???

?54＝1)，对于给定的n ∈N *，定义C x n ＝n (n －1)…(n －[x ]＋1)x (x －1)…(x －[x ]＋1)

，x ∈[1，＋∞)，则当x ∈????

32，3时，函数C x 8的值域是( )

A.???

?16

3，28

B.???

?16

3，56 C.????4，283∪[28,56) D.????4，163∪???

?28

3，28

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．一射手射击时其命中率为0.4，则该射手命中的平均次数为2次时，他需射击的次数为________．

14.(1＋x ＋x 2)(x －1

x

)6的展开式中的常数项为________．

15．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n －1x n －

1＋a n x n ，a n －1＝2 009，则a 0

＋a 1＋…＋a n －1＋a n ＝________(表示成β α－λ的形式)．

三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2011·重庆西南师大附中期末)已知(a 2＋1)n 的展开式中各项系数之和等于????165x 2＋1x 5的展开式的常数项，并且(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．

18

(1)(2)若总体服从正态分布，求正态曲线的近似方程．

19．(12分)一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至

少得到1个白球的概率是7

9

.

(1)求白球的个数；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )．

20．(12分)已知(3

x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.

求?

???2x －1

x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．

21．(12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一

次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1

2

；两小时以上且不超过三小时还车的概

率分别为12，1

4

；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．

22．(12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；

当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局．

③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．

假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，1

4

，且各题回答正确

与否相互之间没有影响．

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． 1．A [∵φ(x)图象的对称轴为x ＝μ，且φ(x)图象在x 轴上方，∴由图象知选项A 适合．] 2．D [相当于3个元素排10个位置，共有10×9×8＝720(种)．]

3．B [(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为C 24

＝6.] 4．C [先排最后一个公益宣传广告有C 12种方法，再在前三个位置中选一个排第二个公

益宣传广告有C 13种方法．余下的三个排商业广告有A 33种方法．故共有C 12C 13A 33＝36(种)．]

5．B [(1－2x)5(2＋x)＝2(1－2x)5＋x(1－2x)5

＝…＋2C 35(－2x)3＋x C 25(－2x)2

＋…

＝…＋(4C 25－16C 35)x 3＋…＝…－120x 3＋….]

6．A [分类：①若5在首位或末位，共有2A 12·A 33＝24(个)； ②若5在中间三位，共有A 13·A 22·A 22＝12(个)． 故共有24＋12＝36(个)．]

7．B [先选后排共C 23A 3

3＝3×3×2×1＝18(种)．]

8．C [∵(1－2x)2 010＝1－C 12 0102·x ＋C 22 01022·x 2＋…＋C 2 0102 010

22 010·x 2 010 ∴a 12＋a 222＋…＋a 2 010

22 010＝－C 12 010＋C 22 010＋…＋C 2 010

2 010 ＝(1－1)2 010－C 02 010＝－1.]

9．D [(间接法)P ＝1－P ＝1－C 320C 330－C 310C 330＝20

29

.]

10．A [分层抽样即按红、蓝、白、黄球之比为16∶12∶8∶4来抽取的，即抽取球的个数依次为4,3,2,1，

∴P ＝C 416C 312C 28C 14

C 1040

.]

11．C [由已知得?

??

x 1·23＋x 2·13＝43

，????x 1－432·23＋????x 2－432·13＝29

，

解之得???

x 1＝5

3，x 2

＝2

3，

或?????

x 1＝1，

x 2

＝2. 又x 1

?32，2上单调递减，故C x 8

∈????4，163. 当x ∈[2,3)时，[x]＝2，C x 8＝8×7x (x －1)

在[2,3)上递减，故C x 8∈????283，28.

综上，所求值域为????4，163∪???

?28

3，28.] 13．5

解析 设射手射击n 次的命中次数为ξ，则ξ～B(n ，p)，由题意知E(ξ)＝0.4n ＝2，解之，得n ＝5.

14．－5

解析 (1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3

(－1x )3

＋

C 46x 2(－1x )4＋C 56x(－1x )5＋C 66x 0(－1x

)6] ＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1

x 6)，

所以常数项为1×(－20)＋x 2·15

x

2＝－5.

15．1 080

解析 先将6位志愿者分组，共有C 26·C 24

A 22

种方法；再把各组分到不同场馆，共有A 44种方法．由乘法原理知，不同的分配方案共有C 26·C 24A 22

·A 4

4＝1 080(种)．

16．22 009－2

解析 a n －1＝1＋C n －1

n ＝2 009，得n ＝2 008， 原式中令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 007＋a 2008 ＝2＋22＋…＋22 008＝22 009－2.

17．解 ?

???165x 2＋1

x 5展开式的常数项为：

C 4

5????165x 2???

?1x 4＝16，(4分)

(a 2＋1)n 展开式的系数之和2n ＝16，n ＝4.(6分) ∴(a 2＋1)n 展开式的系数最大的项为 C 24

(a 2)2×12＝6a 4＝54，∴a ＝±3.(10分) 18．解 (1)样本的数学平均成绩x ＝1

60

(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝

6，同样可求出方差s 2＝1.5，所以标准差约为1.22.(4分)

故样本的数学平均成绩为6分，标准差约为1.22.(6分)

(2)由(1)可估计出μ＝6，σ＝1.22.因为总体服从正态分布，所以正态曲线的近似方程为

φ(x)＝

1

1.222π

()2

63x e --.(12分) 19．解 (1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，

则P(A)＝1－C 210－x

C 210＝79

，得到x ＝5(x ＝14>10，不合题意，舍去)．

故白球有5个．(5分)

(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，

其中P(X ＝k)＝C k 5C 3－k 5

C 310

，k ＝0,1,2,3，

于是可得其分布列为

(10分)

X 的数学期望

E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝3

2.

(12分)

20．解 由题意知，22n －2n ＝992，

即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.

(1)由二项式系数的性质知，?

???2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 5

10＝252. ∴T 6＝C 510(2x)5????－1x 5＝－C 510·25

＝－8 064.(4分)

(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，

∵T r ＋1＝C r 10·(2x)10－r ·???

?－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10

－2r ，(6分)

∴?????

C r 10·

210－r ≥C r －110·210－r ＋1C r 10·210－r ≥C r ＋110·

210－r －

1， 得????? C r 10≥2C r －

1102C r 10≥C r ＋110

，即

?????

11－r ≥2r

2(r ＋1)≥10－r ， 解得83≤r ≤11

3

，(10分)

∵r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的是第4项， T 4＝－C 310·

27·x 4＝－15 360x 4.(12分) 21．解 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14

，

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝5

16.(4分)

∴甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5

16

.(6分)

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.(8分)

P (ξ＝0)＝14×12＝1

8

；

P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝5

16

；

P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝5

16；

P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝3

16；

P (ξ＝8)＝14×14＝1

16

.(10分)

∴E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7

2

.(12分)

22．解 (1)设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，A 、B 、C 、D 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：

P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝1

4

，

∴P (A )＝14，P (B )＝12，P (C )＝23，P (D )＝3

4

.

(2分)

(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q .

则Q ＝ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D . ∵每题结果相互独立．

∴P (Q )＝P (ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D )

＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )

＝34×12×13＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝1

4.(7分) (2)由题意知，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4，

则P (ξ＝2)＝P (A B )＝14×12＝1

8

，

P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B C ) ＝34×12×13＋34×12×23＝38

， P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝1

2

.(9分)

因此ξ的分布列为

(10分)

所以E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝27

8.(12分)