高考数学总复习(各种专题训练)

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【新人教】高考数学总复习专题训练集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑【知识网络】【学法点拨】集合与简易逻辑是近代数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具．集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支，有关简易逻辑常识与原理无不贯穿在数学的分析推理、计算与探索之中．复习巩固有关知识，对于提升数学语言素养，增强解决数学问题能力、提高思维能力等都会产生一定的影响，同时也为今后进一步学习高等数学打好基础．解决集合问题时一要注意吃透概念，准确表示，善于推理判断，并留心元素互异性的特征的利用、所给集合能否为空集的讨论、所求特定系数的取舍；二要注意集合与函数、方程、不等式、三角、解几、立几等知识的密切联系与综合应用；三要注意灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合、补集法等思想方法解题．在面临与命题相关的具体问题中，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．为了加深对于逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，可联系集合运算中的“交”、“并”、“补”对应地理解．尤其应注意，对逻辑联结词“或”的理解是难点；在研究四种命题及其相互关系时，应注意逆命题、否命题、逆否命题都是相对于原命题而言的．另应注意区分“否命题”与“命题的否定”的不同含义：前者是同时否定条件和结论，而后者只否定结论；反证法是一种重要的证题方法，其理论基础是互为逆否命题的等价性，证明步骤应分为三步：反设、归谬、结论．具体证题时，应注意书写的规范性、步骤的完整性以及导出矛盾时推理的严密性；判断条件的充要关系时，究竟是充分非必要条件，还是必要非充分条件？还是既充分又必要条件？还是非充分又非必要条件？应当判断到位．在寻求充要条件或证明充要性命题时，应准确运用相关概念，防止误把“充分”当“必要”，或把“必要”当“充分”．第1课集合的概念【考点指津】理解集合、子集、全集、交集、并集、补集等基本概念的内涵，了解属于、包含、相等关系的意义；正确识别与使用集合的有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．【知识在线】１．设集合A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==N m x x m ,21|，若,,21A x A x ∈∈则必有（）A ．A x x ∈+21B ．A x x ∈21C ．A x x ∈-21D ．A x x ∈21２．给出6个关系式：（1）0∈∅，（2）∅∈{∅}，（3）{}0φ，（4）{}φφ≠，（5）φ{}φ，（6）{}0φ≠.其中正确的个数是（）A ．6B ． 5C ． 4D ． 33．设Ｓ为全集，,B A S ⊆⊆则下列结论中不正确的是（）Ａ．S S A B ⊆痧Ｂ．A B B = Ｃ．()S A B =∅ ð Ｄ．()S A B =∅ ð 4．已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是5．满足{1,2}X ⊆ {1,2,3,4,的集合X 的个数为．【讲练平台】例１．（2002年全国高考）设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M ＝N B 。

高考数学二轮总复习专题训练一综合测试题理

专题一综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{1,3}，N ＝{2,3,4}，则(∁U M )∩(∁U N )＝( ) A ．{3} B ．{4,6} C ．{5,6}D ．{3,6}解析：∁U M ＝{2,4,5,6}，∁U N ＝{1,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}，故选C. 答案：C2．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁I N ＝( )A ．[32，2]B ．[322)C ．(32，2]D ．(322)解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；f ′(x )<0，即2x －3<0，即x <32，故N＝(－∞，32)，∁I N ＝[32M ∩∁I N ＝[32，2]．答案：A3．设某种蜡烛所剩长度P 与点燃时间t 的函数关系式是P ＝kt ＋b .若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm ；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm ，则这支蜡烛燃尽的时间为( )A ．21分钟B ．25分钟C ．30分钟D ．35分钟解析：由⎩⎪⎨⎪⎧17.4＝6k ＋b 8.4＝21k ＋b ，解得k ＝－0.6，b ＝21，由0＝－0.6t ＋21，解得t ＝35.答案：D4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，∴a ≤x 2在[1,2]上恒成立，∴a ≤1，∴綈p 为a >1.命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，∴方程有解，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a 2＋a －2≥0，∴a ≥1或a ≤－2.若命题“綈p 且q ”是真命题，则a >1，故选D. 答案：D5．(2011·山东肥城模拟)幂函数f (x )＝x n (n ＝1,2,3，12，－1)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]，则函数f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数解析：由f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]⇒n ＝2，f (x )＝x 2为偶函数，所以选B. 答案：B6．(2011·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤326 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝12－8b ＋c ≥0f ′－1＝3－4b ＋c ≤0f ′1＝3＋4b ＋c ≤0f ′2＝12＋8b ＋c ≥0f (－1)＝2b －c ，当直线过A 时f (－1)取最小值3，当直线过B 时取最大值12，故选C.答案：C7．设集合I 是全集，A ⊆I ，B ⊆I ，则“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的必要不充分条件．答案：B8．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，曲线方程即y ＝a x ，y ′＝－a x 2，故切线斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－a x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点A 的坐标为(2x 0,0)；令x ＝0，得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点B 的坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0||2ax 0|＝2|a |.答案：C9．(2011·天津模拟)定义在R 上的函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≤0，且y ＝f (x ＋1)为偶函数，当|x 1－1|<|x 2－1|时，有( )A ．f (2－x 1)>f (2－x 2)B ．f (2－x 1)＝f (2－x 2)C ．f (2－x 1)<f (2－x 2)D ．f (2－x 1)≤f (2－x 2) 解析：由(x －1)f ′(x )≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≤0，得函数f (x )在区间(－∞，1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数．又由y ＝f (x ＋1)为偶函数，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由|x 1－1|<|x 2－1|⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，x 1＋x 2<2.若⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，则x 2>1.此时，当x 1>1，则f (x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)；当x 1<1⇒2－x 1>1，又x 2>2－x 1⇒f (2－x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)．同理，当⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2x 1＋x 2<2时，也有上述结论．答案：A10．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象的形状大致是()解析：y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧12x ，0≤x ≤1－14x ＋34，1<x ≤2－12x ＋54，2<x ≤2.5)，选A.答案：A11．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <1eB ．0<a ≤eC ．a ≤eD ．a ≥e解析：f ′(x )＝1x·x －ln a ＋ln x x2＝1－ln a ＋ln x x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e，选D.答案：D12．有下列命题： ①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π； ②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(－1,1)对称； ③关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实数根，则实数a ＝－1；④已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1.其中所有真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②④解析：①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)＝12cos2x ，相邻两个对称中心的距离为d ＝T2＝π2，故①不正确；②函数y ＝x ＋3x －1的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x ≤－12x ＋2，－1<x <1，2x－4，x ≥1)则f [f (－2010)]＝________.解析：f [f (－2010)]＝f [f (－2008)]＝f [f (－2006)]＝f [f (－2004)]＝…＝f [f (0)]＝f (2)＝22－4＝0.答案：014．已知函数f (x )＝ln1＋x1－x＋sin x ，则关于a 的不等式 f (a －2)＋f (a 2－4)<0的解集是________．解析：已知f (x )＝ln 1＋x1－x＋sin x 是奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋sin x ＝ln[2－1－x 1－x]＋sin x ＝ln(－2x －1－1)＋sin x ，f (x )在(－1,1)上单调递增，故f (x )是(－1,1)上的增函数．由已知得f (a －2)<－f (a 2－4)，即f (a －2)<f (4－a 2)．故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<4－a 2－1<a －2<1－1<4－a 2<1⇒⎩⎨⎧－3<a <21<a <3－5<a <－3或3<a <5⇒3<a <2.即不等式的解集是(3，2)．答案：(3，2)15．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝mx ＋1x 对一切x >0恒成立，m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.答案：[1，＋∞)16．(2011·扬州模拟)若函数f (x )＝133－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．解析：问题等价于在[0,1]内f (x )max －f (x )min ≤1恒成立．f ′(x )＝x 2－a 2，函数f (x )＝13x 3－a 2x 的极小值点是x ＝|a |，若|a |>1，则函数f (x )在[0,1]上单调递减，故只要f (0)－f (1)≤1即可，即a 2≤43，即1<|a |≤233；若|a |≤1，此时f (x )min ＝f (|a |)＝13|a |3－a 2|a |＝－23a 2|a |，由于f (0)＝0，f (1)＝13－a 2，故当|a |≤33f (x )max ＝f (1)，此时只要13－a 2＋23a 2|a |≤1即可，即a 2(23|a |－1)≤23，由于|a |≤33，故23a |－1≤23×33－1<0，故此时成立；当33a |≤1时，此时f (x )max ＝f (0)，故只要23a 2|a |≤1即可，此式显然成立．故a 的取值范围是[－233，233]．答案：[－233，233] 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2011·广东惠州模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝⎛⎭⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. ∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升． 18．(本小题满分12分)(2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax 22(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.19．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)当1<a ≤3时，求函数f (x )在(0,1]上的最大值g (a )．解：(1)当0<x ≤1时，－1≤－x <0，则f (x )＝－f (－x )＝2x 3－5ax 2＋4a 2x －b . 当x ＝0时，f (0)＝－f (－0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b ，－1≤x <00 x ＝02x 3－5ax 2＋4a 2x －b ， 0<x ≤1.(2)当0<x ≤1时，f ′(x )＝6x 2－10ax ＋4a 2＝2(3x －2a )(x －a )＝6(x －2a3)(x －a )． ①当23<2a 3<1，即1<a <32时，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，2a 3时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎤2a3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，2a 3上单调递增，在⎝⎛⎦⎤2a3，1上单调递减， ∴g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫2a 3＝28273－b .②当1≤2a 3≤2，即32≤a ≤3时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(0,1]上单调递增． ∴g (a )＝f (1)＝4a 2－5a ＋2－b ， ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2827a 3－b ， 1<a <324a 2－5a ＋2－b ，32≤a ≤3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x (a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝8时，求函数f (x )的单调区间及极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)依题意得，当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ，f ′(x )＝2x －4－6x＝2x ＋1x －3x，由f ′(x )>0得(x ＋1)(x －3)>0，解得x >3或x <－1.注意到x >0，所以函数f (x )的单调递增区间是(3，＋∞)．由f ′(x )<0得(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，注意到x >0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0,3)．综上所述，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，这个极小值为f (3)＝－3－6ln3. (2)f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，所以f ′(x )＝2x －4＋2－a x ＝2x 2－4x ＋2－ax.设g (x )＝2x 2－4x ＋2－a .①当a ≤0时，有Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a ≤0，此时g (x )≥0，所以f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a >0，令f ′(x )>0，即2x 2－4x ＋2－a >0，解得x >1＋2a 2或x <1－2a2，令f ′(x )<0，即2x 2－4x ＋2－a <0，解得1－2a 2<x <1＋2a 2. 当0<a <2时，1－2a 2>0，此时函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2；当a ≥2时，1－2a 2≤0，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2.综上可知，当a ≤0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2上单调递减；当a ≥2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2上单调递减． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a x(a ∈R)． (1)若f (x )在x ＝1处的切线垂直于直线x －14y ＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －2ax 2，根据题意f ′(1)＝2－2a ＝－14，解得a ＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y －17＝－14(x －1)，即14x ＋y －31＝0.当a ＝8时，f ′(x )＝2x －16x 2＝2x 3－8x 2，令f ′(x )>0，解得x >2，令f ′(x )<0，解得x <2且x ≠0，故函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．(2)f ′(x )＝2x －2ax 2＝2x 3－a x 2.①若a <1，则f ′(x )>0在区间[1,2]上恒成立，f (x )在区间[1,2]上单调递增，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (2)＝4＋a ；②若1≤a ≤8，则在区间(1，3a )上f ′(x )<0，函数单调递减，在区间(3a ，2)上f ′(x )>0，函数单调递增，故函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (1)，f (2)中的较大者，f (1)－f (2)＝1＋2a －4－a ＝a －3，故当1≤a ≤3时，函数的最大值为f (2)＝4＋a ，当3<a ≤8时，函数的最大值为f (1)＝1＋2a ；③当a >8时，f ′(x )<0在区间[1,2]上恒成立，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝1＋2a .综上可知，在区间[1,2]上，当a ≤3时，函数f (x )max ＝4＋a ，当a >3时，函数f (x )max ＝1＋2a .不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f (x )max ≤a 2－2a ＋4，故当a ≤3时，4＋a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－3a ≥0，解得a ≤0或a ＝3；当a >3时，1＋2a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－4a ＋3≥0，解得a >3.综合知当a ≤0或a ≥3时，不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立．22．(本小题满分14分)(2011·陕西)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系； (3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x， ∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g⎝⎛⎭⎫1x . (3)满足条件的x 0不存在．证明如下：证法一假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x ，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．证法二假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (x )＝1，又g (x )＝ln x ＋1x >ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)，∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)，从而可得一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1，即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．。

高考数学互斥事件专题复习训练(含答案)

2019-2019年高考数学互斥事件专题复习训练（含答案）事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，下面是互斥事件专题复习训练，请考生练习。

一、选择题1.如果事件A与B是互斥事件，则()A.A+B是必然事件B.与一定互斥C.与一定不互斥D.+是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，上面出现点数1与上面出现点数2分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A+B不是必然事件，与也不互斥，A、B选项错误，+是必然事件，还可举例验证C不正确.2.从1,2,3，，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A. B.C. D.[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，中至少有一个是奇数即两个奇数或一奇一偶，而从1～9中任取两数共有3个事件：两个奇数一奇一偶两个偶数，故至少有一个是奇数与两个偶数是对立事件.3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96[答案] D[解析] 设抽得正品为事件A，则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.4.抽查10件产品，设至少抽到2件次品为事件A，则为()A.至多2件次品B.至多2件正品C.至少2件正品D.至多1件次品[答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生.5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M+N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P(Q)=1-P(M+N)=1-P(M)-P(N)=1-0.2-0.5=0.3. 6.如果事件A与B是互斥事件，且事件A+B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为() A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.8[答案] C[解析] 由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8，P(A)=3P(B)，解组成的方程组知P(A)=0.6.互斥事件专题复习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：01数列真题汇编与预赛典型例题

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。

则的所有可能值为___________。

3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。

12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．{}n a ()123,1a t t R t =-∈≠±()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-{}n a 0t >1n a +n a23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题01 集合问题(解析版)

专题01 集合问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)设全集U ＝{1，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则( )A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M1．答案 A 解析由题知M ＝{2，4，5}，对比选项知，A 正确．故选A ．2．(2022·全国乙文)集合M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1<x <6}，则M ∩N ＝( )A ．{2，4}B ．{2，4，6}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6，8，10}2．答案 A 解析因为M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1<x <6}，所以M ∩N ＝{2，4}．故选A ．3．(2022·全国甲理)设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则 ∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}3．答案 D 解析由题意，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，0}．故选D ．4．(2022·全国甲文)设集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |0≤x <52}，则A ∩B ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{－2，－1，0} C ．{0，１} D ．{1，2}4．答案 A 解析因为A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |0≤x <52}，所以A ∩B ＝{0，1，2}．故选A ． 5．(2022·新高考Ⅰ)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x <2}B ．{x |13≤x <2}C ．{x |3≤x <16}D ．{x |13≤x <16} 5．答案 D 解析 M ＝{x |0≤x <16}，N ＝{x |x ≥13}，则M ∩N ＝{x |13≤x <16}．故选D ． 6．(2022·新高考Ⅱ)已知集合A ＝{－1，1，2，4}，B ＝{x ||x －1|≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{－1，4}6．答案 B 解析 B ＝{x |0≤x ≤2}，故A ∩B ＝{1，2}．故选B ．7．(2022·北京)已知全集U ＝{x |－3<x <3}，集合A ＝{x |－2<x ≤1}，则∁U A ＝( )A ．(－2，1]B ．(－3，－2)∪[1，3)C ．[－2，1)D ．(－3，－2]∪(1，3)7．答案 D 解析由补集定义可知，∁U A ＝{x |－3<x ≤－2或1<x <3}，即∁U A ＝(－3，－2]∪(1，3)．故选D ．8．(2022·浙江)设集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，6}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}8．答案 D 解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}．故选D ．【知识总结】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算【同类问题】1．(2021·新高考Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}1．答案 B 解析因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B ．2．(2021·新高考Ⅱ)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}2．答案 B 解析由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}．3．(2021·全国甲)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x ≤5，则M ∩N 等于( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x <4 C ．{x |4≤x <5} D ．{x |0<x ≤5} 3．答案 B 解析因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x ≤5，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4． 4．(2021·全国乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z4．答案 C 解析法一在集合T 中，令n ＝k (k ∈Z )，则t ＝4n ＋1＝2(2k )＋1(k ∈Z )，而集合S 中，s ＝2n ＋1(n ∈Z )，所以必有T ⊆S ，所以S ∩T ＝T ，故选C ．法二 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以S ∩T ＝T ，故选C ．5．(2021·天津)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4}5．答案 C 解析 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，∴A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{0，1，2，4}．6．(2021·北京)已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}6．答案 B 解析由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选B ．7．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．67．答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，且y ≥x }＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．8．设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1}C ．D ．{x |0＜x ＜2}8．答案 B 解析由题意知A ＝{y |0＜y ＜2}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，所以∁R B ＝{x |－1＜x ＜1}，所以A ∩(∁RB )＝{x |0＜x ＜1}，故选B ．9．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N 等于( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(－∞，1]9．答案 A 解析 ∵M ＝{0，1}，N ＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}．10．集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}，B ＝{x |1＜x ＜5}，则集合(∁R A )∪B 等于( )A ．[－1，5)B ．(－1，5)C ．(1，4]D ．(1，4)10．答案 B 解析因为集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，又B ＝{x |1＜x ＜5}，所以∁R A＝(－1，4)，则集合(∁R A )∪B ＝(－1，5)．11．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．答案 C 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2，－1)}．12．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．612．答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，共4个元素．13．若全集U ＝R ，A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |0＜x ≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________．13．答案 {x |0＜x ≤6} 解析由题图知阴影部分所表示的集合为A ∩B ＝{x |0＜x ≤6}．14．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}，N ＝{－4，－2，0，1，5}，则下列Venn 图中阴影部分的集合为________．14．答案 {－1，2，3} 解析集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}＝{x ∈Z |－3<x －1<3}＝{x∈Z |－2<x <4}＝{－1，0，1，2，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合是M ∩(∁R N )＝{－1，2，3}．15．(2021·上海)已知集合A ＝{x |x ＞－1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－x －2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是( )A ．A ⊆B B ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝D ．A ∪B ＝R15．答案 D 解析 ∵A ＝(－1，＋∞)，B ＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)，∴A ∪B ＝R ，D 正确，其余选项均错误．16．(多选)已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}16．答案 BD 解析 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}，A错误；A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；∵∁R B ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，∴A ∪∁R B ＝{x |x ＜－2或x ＞－1}，C 错误；A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}，D 正确．17．(多选)已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是( )A ．P ∪Q ＝RB ．P ∩Q ＝{(1，0)，(0，1)}C ．P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}D ．P ∩Q 的真子集有3个17．答案 BD 解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1，0)，(0，1)}，故B 正确，C 错误；又P ，Q 为点集，∴A 错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集，∴D 正确．18．(多选)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A18．答案 CD 解析令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅， A ∩B ≠B ，故A ，B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝A ∪(∁U A )⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C ，D 均正确．19．(多选)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1，2，3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B 可能为( )A ．{2，3，4}B ．{3，4，5}C ．{4，5，6}D ．{3，5，6}19．答案 BD 解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8，于是得全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，因为∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，则有A ∩B ＝{3}，3∈B ，C 不正确；对于A 选项，若B ＝{2，3，4}，则A ∩B ＝{2，3}，∁U (A ∩B )＝{1，4，5，6，7}，矛盾，A 不正确；对于B 选项，若B ＝{3，4，5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，B 正确；对于D 选项，若B ＝{3，5，6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，D 正确．20．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________．20．答案 {－5，－2，4} 解析 ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B ＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2，4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)，综上，有A ∪B ＝{－5，－2，4}．21．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}，B ＝{x |4x ＞2m }，若A ∩B 中有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]21．答案 C 解析集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |4x ＞2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞m 2，∵A ∩B 中有三个元素，∴1≤m 2＜2，解得2≤m ＜4． 22．集合M ＝{x |2x 2－x －1＜0}，N ＝{x |2x ＋a ＞0}，U ＝R ．若M ∩(∁U N )＝，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]22．答案 B 解析易得M ＝{x |2x 2－x －1＜0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜1．∵N ＝{x |2x ＋a ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－a 2，∴∁U N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2．由M ∩(∁U N )＝，则－a 2≤－12，得a ≥1． 23．已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x 2－8x ＋15)}，B ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若A ∩B ＝，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，4]C ．(3，4)D ．[3，4]23．答案 D 解析易知A ＝{x |x 2－8x ＋15＞0}＝{x |x ＜3或x ＞5}，由A ∩B ＝，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1≤5，所以 3≤a ≤4．24．已知集合A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}，若A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________．24．答案 0 解析 ∵A ∩B ＝(－1，n )，∴m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0．25．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝，则实数m 的取值范围是________．25．答案 [0，＋∞) 解析 ①当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝，符合题意；②当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，所以0≤m ＜13．综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．26．已知集合A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－103或a >12B ．a ≤－103或a ≥12C ．a <－16或a >2D ．a ≤－16或a ≥2 26．答案 B 解析 A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤1，①B ＝∅，2a ≥a ＋3⇒a ≥3，符合题意； ②B ≠∅，⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3≤－13或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a ≥1，解得a ≤－103或12≤a <3．∴a 的取值范围是a ≤－103或a ≥12． 27．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{x |log 2x <1}，且A ∩B 有2个子集，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．(0，1)∪(1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)27．答案 D 解析由题意得，B ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B 有2个子集，∴A ∩B 中的元素个数为1；∵1∈(A ∩B )，∴a ∉(A ∩B )，即a ∉B ，∴a ≤0或a ≥2，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．28．已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤2B ．1<a <2C ．a ≤1或a ≥2D ．a <1或a >228．答案 D 解析 A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}；又A ∩(∁RB )≠∅，所以a －1<0或a ＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2．29．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1<x <2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是________．29．答案 [2，＋∞) 解析由已知可得A ＝(－∞，a )，∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B )∪A ＝R ，∴a ≥2．30．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是________________．30．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B ≠∅时，1<a ≤92，综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92．。

(江苏专用)高考数学总复习专题1.1 集合试题(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。

2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________．答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．答案－74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案－4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝．11．答案 1＋e 解析因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

2023届全国高考数学复习：专题(含参函数的极值、最值讨论)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（含参函数的极值、最值讨论）重点讲解与练习考点一含参函数的极值【例题选讲】[例1] 设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线与直线y ＝－x ＋1垂直，求切线方程．(2)求函数f (x )的极值．[例2] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[例3] 设f (x )＝x ln x －32ax 2＋(3a －1)x ．(1)若g (x )＝f ′(x )在[1，2]上单调，求a 的取值范围；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[例4] (2016ꞏ山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ．(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．[例5] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1－a 6e x ＋1，其中e ＝2.718…为自然对数的底数，常数a >0． (1)求函数f (x )在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)函数F (x )的导数F ′(x )＝()e x－a f (x )，是否存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点？请说明理由．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋a x ．(1)若a ＝4，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有3个极值点，求实数a 的取值范围．4．已知函数f(x)＝ax－x2－ln x(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围．5．(2018ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ꞏln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．考点二含参函数的最值【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．[例2] 已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x .(1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值．[例3] 已知函数f (x )＝ln x x 1．(1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[例4] 已知函数f (x )＝m ln x x ＋n ，g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2(m ，n ，a ∈R )，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数m ，n 的值及函数f (x )的最大值；(2)当a ∈⎝⎛⎭⎫－e ，1e 时，记函数g (x )的最小值为b ，求b 的取值范围．[例5] (2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【对点训练】1．已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．2．已知函数f (x )＝(x －a )e x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．3．已知函数f (x )＝ax －ln x ，F (x )＝e x ＋ax ，其中x >0，a <0．(1)若f (x )和F (x )在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 2，且函数g (x )＝x e ax －1－2ax ＋f (x )的最小值为M ，求M 的最小值．4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．5．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R ．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．考点三含参函数的极值与最值的综合问题【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数，x ＝12是f (x )的一个极值点． (1)求a 的值；(2)当b >12时，求函数f (x )在[b ，＋∞)上的最小值．[例2] 已知函数f (x )＝a ln (x ＋b )－x ．(1)若a ＝1，b ＝0，求f (x )的最大值；(2)当b >0时，讨论f (x )极值点的个数．[例3] 设函数f (x )＝a x ＋e －x (a ＞1)． (1)求证：f (x )有极值；(2)若x ＝x 0时f (x )取得极值，且对任意正整数a 都有x 0∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n －m 的最小值．[例4] 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[例5] 已知函数f (x )＝(ax －1)ln x ＋x 22．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的方程；(2)设函数g (x )＝f ′(x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈(0，e]，求g (x 1)－g (x 2)的最小值．[例6] 已知函数g (x )＝x 22＋x ＋ln x ．(1)若函数g ′(x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)函数f (x )＝g (x )－mx ，若f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；(3)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)＝f(x)－2x在区间[1，e]上的最小值h(a)．4．已知常数a≠0，f(x)＝a ln x＋2x．(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上有极值点，求a 的取值范围； (2)若a ＝1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3时，f (x )≥bx cos x ，求b 的最大值．6．已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋a (a ∈R )．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 2≥e x 1(e 为自然对数的底数)，求f (x 2)－f (x 1)的最大值参考答案【例题选讲】[例1] 设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线与直线y ＝－x ＋1垂直，求切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解析 (1)由已知，得f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax (x ＞0)，又由题意可知y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1，所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，解得a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y ＝x －2．(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x(x ＞0)． ①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12． ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ．综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a ．[例2] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．x (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x )＋－f (x ) ln 2－1 故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，若x ∈⎝⎛0，1a ，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a ． [例3] 设f (x )＝x ln x －32ax 2＋(3a －1)x ．(1)若g (x )＝f ′(x )在[1，2]上单调，求a 的取值范围； (2)已知f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．解析 (1)由f ′(x )＝ln x －3ax ＋3a ，即g (x )＝ln x －3ax ＋3a ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1x －3a ，①g (x )在[1，2]上单调递增，∴1x －3a ≥0对x ∈[1，2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1，2]恒成立，得a ≤16； ②g (x )在[1，2]上单调递减，∴1x －3a ≤0对x ∈[1，2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1，2]恒成立，得a ≥13，由①②可得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，16∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞．(2)由(1)知，①当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意；②当0<a <13时，13a >1，又f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，13a 上单调递增，∴x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，13a 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，13a 上单调递增，f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意； ③当a ＝13时，13a ＝1，f ′(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意；④当a >13时，0<13a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫13a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )在x ＝1处取得极大值，不符合题意．综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，13． [例4] (2016ꞏ山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解析 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x ．当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞． (2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a ＞12时，0＜12a 1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞． [例5] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1－a6e x ＋1，其中e ＝2.718…为自然对数的底数，常数a >0． (1)求函数f (x )在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)函数F (x )的导数F ′(x )＝()e x－a f (x )，是否存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点？请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －a 6e x ，当0<x <a 6时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >a6时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 6，因为f ⎝⎛⎭⎫a 6<f (0)＝－a 6<0，f ⎝⎛⎭⎫1＋a 6＝1>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫a 6，1＋a 6，使f (x 0)＝0，且当0<x <x 0时，f (x )<0，当x >x 0时，f (x )>0．故函数f (x )在(0，＋∞)上有1个零点，即x 0．(2)方法一当a >1时，ln a >0．因为当x ∈()0，ln a 时，e x －a <0；当x ∈()ln a ，＋∞时，e x －a >0．由(1)知，当x ∈(0，x 0)时，f (x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>0．下面证：当a ∈()1，e 时，ln a <x 0，即证f ()ln a <0．f ()ln a ＝⎝⎛ln a －1－a 6a ＋1＝a ln a －a －a 26＋1，记g (x )＝x ln x －x －x26＋1，x ∈(1，e)， g ′(x )＝ln x －x3，x ∈(1，e)，令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝3－x 3x >0，所以g ′(x )在()1，e 上单调递增，由g ′(1)＝－13<0，g ′(e)＝1－e3>0，所以存在唯一零点t 0∈()1，e ，使得g ′()t 0＝0，且x ∈()1，t 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈()t 0，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ∈()1，e 时，g (x )<max {}g (1)，g (e)．由g (1)＝－16<0，g (e)＝6－e 26<0，得当x ∈()1，e 时，g (x )<0．故f ()ln a <0，0<ln a <x 0．当0<x <ln a 时，e x －a <0，f (x )<0， F ′(x )＝()e x －a f (x )>0，F (x )单调递增；当ln a <x <x 0时，e x －a >0，f (x )<0，F ′(x )＝()e x－a f (x )<0，F (x )单调递减．所以存在a ∈()1，e ⊆(1，4)，使得ln a 为F (x )的极大值点．方法二因为当x ∈()0，ln a 时，e x －a <0；当x ∈()ln a ，＋∞时，e x －a >0．由(1)知，当x ∈(0，x 0)时，f (x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>0．所以存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点，即存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a <x 0成立，①由(1)，问题①等价于存在无数个a ∈(1，4)，使得f ()ln a <0成立，因为f ()ln a ＝⎝⎛⎭⎫ln a －1－a 6a ＋1＝a ln a －a －a 26＋1，记g (x )＝x ln x －x －x26＋1，x ∈(1，4)， g ′(x )＝ln x －x3，x ∈(1，4)，设k (x )＝g ′(x )，因为k ′(x )＝3－x 3x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，k ′(x )>0，所以g ′(x )在⎝⎛⎭⎫32，2上单调递增，因为g ′⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0，g ′(2)＝ln 2－23>0，所以存在唯一零点t 0∈⎝⎛⎭⎫32，2，使得g ′()t 0＝0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫32，t 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈()t 0，2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；所以当x ∈⎣⎡⎦⎤32，2时，g (x )min＝g ()t 0＝t 0ln t 0－t 0－t206＋1，② 由g ′()t 0＝0，可得ln t 0＝t 03，代入②式可得g (x )min ＝g ()t 0＝t 206－t 0＋1，当t 0∈⎝⎛⎭⎫32，2时，g ()t 0＝t 206－t 0＋1＝()t 0－326－12<－18<0，所以必存在x ∈⎝⎛⎭⎫32，2，使得g (x )<0，即对任意a ∈⎝⎛⎭⎫32，2，f ()ln a <0有解，所以对任意a ∈⎝⎛⎭⎫32，2⊆(1，4)，函数F (x )存在极大值点为ln a ．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．1．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，∴切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x ＋1，∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ， ①当a ≤0时，∵x >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．②当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)x ，令g ′(x )＝0得x ＝1a . ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0. 因此g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． ∴x ＝1a 时，g (x )取极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )×1a ＋1＝12a －ln a . 由①②得，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a >0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值． 2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．2．解析 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ．f ′(1)＝(1－a )e ．由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1．此时f (1)＝3e≠0．所以a 的值为1． (2)f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ．若a >12x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0，所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞． 3．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋ax ．(1)若a ＝4，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有3个极值点，求实数a 的取值范围． 3．解析 (1)因为a ＝4时，f (x )＝x 2－3x ＋4x ，所以f ′(x )＝2x －3－4x 2＝2x 3－3x 2－4x 2＝2x 3－4x 2＋x 2－4x 2＝(x －2)(2x 2＋x ＋2)x 2(x ≠0)，令f ′(x )>0，得x >2；令f ′(x )<0，得x <0或0<x <2．所以f (x )在(－∞，0)，(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)由题意知，f ′(x )＝2x －3－a x 2＝2x 3－3x 2－a x2(x ≠0)，设函数g (x )＝2x 3－3x 2－a ，则原条件等价于g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有3个零点，且3个零点附近的左、右两侧的函数值异号，又g ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，由g ′(x )>0，得x >1或x <0；由g ′(x )<0，得0<x <1．故g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故原条件等价于g (x )在(－∞，0)，(0，1)，(1，＋∞)上各有一个零点，令g (0)＝－a >0，得a <0，当a <0时，－－a <0，g (－－a )＝2(－－a )3－3(－a )－a ＝2a (－a ＋1)<0，故a <0时，g (x )在(－∞，0)上有唯一零点；令g (1)＝－1－a <0，解得a >－1，故－1<a <0时，g (x )在(0，1)上有唯一零点；又－1<a <0时，g (2)＝4－a >0，所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点．综上可知，实数a 的取值范围是(－1，0)． 4．已知函数f (x )＝ax －x 2－ln x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a 的取值范围．4．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a －2x －1x ．∵2x ＋1x ≥22⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝2时等号成立，当a ≤22时，f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a ＞22时，f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x．由f ′(x )＝0得x 1＝a －a 2－84，x 2＝a ＋a 2－84且x 2＞x 1＞0．由f ′(x )＞0得x 1＜x ＜x 2，由f ′(x )＜0得0＜x ＜x 1，或x ＞x 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－84，a ＋a 2－84，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－84，＋∞．综上所述，当a ≤22时，函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a ＞22时，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋ a 2－8，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－84，a ＋a 2－84．(2)由(1)知，当f (x )存在极值时，a ＞22．即方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a2＞0，x 1x 2＝12＞0.∴f (x 1)＋f (x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－[](x 1＋x 2)2－2x 1x 2－ln(x 1x 2)＝a 22－a 241－ln 12＝a 24＋1－ln 12．依题意a 24＋1－ln 12＞5＋ln 2，即a 2＞16，∴a ＞4或a ＜－4．又a ＞22．∴a ＞4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． 5．(2018ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ꞏln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0． (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．5．解析 (1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝f ′(x )＝ln (1＋x )－x1＋x，则g ′(x )＝x (1＋x )2.当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0；当x ＞0时，g ′(x )＞0．故当x ＞－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.所以f (x )在(－1，＋∞)单调递增．又f (0)＝0，故当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0. (2)(ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x ＞0时，f (x )≥(2＋x )ꞏln (1＋x )－2x ＞0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．(ⅱ)若a ＜0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2. 由于当|x |＜min{1，1|a |}时，2＋x ＋ax 2＞0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.如果6a ＋1＞0，则当0＜x ＜－6a ＋14a ，且|x |＜min{1，1|a |}时，h ′(x )＞0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＜0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |＜min{1，1|a |}时，h ′(x )＜0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0.所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16．考点二含参函数的最值【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．解析 (1)f ′(x )＝1x a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞． (2)①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a ． ②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a ． ③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a ．综上可知，当0＜a ＜ln2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a ．[例2] 已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x . (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值．解析 (1)因为f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋1－2a －1x ＝(2ax ＋1)(x －1)x . 因为a >0，x >0，所以2ax ＋1>0，令f ′(x )>0，得x >1，所以f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)当a <0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a ，x 2＝1，当－12a >1，即－12<a <0时，f (x )在(0,1]上是减函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f (1)＝1－a . 当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎡⎦⎤－12a ，1上是增函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝1－14a ＋ln(－2a )．当－12a <12，即a <－1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上是增函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12－34a ＋ln 2. 综上，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧12－34a ＋ln 2，a <－1，1－14a ＋ln(－2a )，－1≤a ≤－12，1－a ，－12<a <0.[例3] 已知函数f (x )＝ln xx 1． (1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．解析 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0，得0<x <e ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得x >e ．所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，且f (x )极大值＝f (e)＝1e －1，无极小值．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e 2时，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m －1； ②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e －1；③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm －1．综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm －1． [例4] 已知函数f (x )＝m ln xx ＋n ，g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2(m ，n ，a ∈R )，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数m ，n 的值及函数f (x )的最大值；(2)当a ∈⎝⎛⎭⎫－e ，1e 时，记函数g (x )的最小值为b ，求b 的取值范围．解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝m (1－ln x )x 2，因为f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝m ＝1，f (1)＝m ln 11＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0. 所以f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以当x ＝e 时，f (x )取得最大值，最大值为f (e)＝1e .(2)因为g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2＝x ln x －ax22－x ，所以g ′(x )＝ln x －ax ＝x ⎝⎛⎭⎫ln x x －a . ①当a ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，x →＋∞时，g (x )→－∞，g (x )无最小值． ②当a ＝0时，g ′(x )＝ln x ，由g ′(x )>0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g (x )的最小值b ＝g (1)＝－1. ③当a ∈(－e ，0)时，由(1)知方程ln xx －a ＝0有唯一实根，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e ，f (1)＝0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递增，所以存在t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得g ′(t )＝0，即ln t ＝at . 当x ∈(0，t )时，g ′(x )<0；当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，g (x )的最小值b ＝g (t )＝t ln t －a 2t 2－t ＝t ln t 2－t ，令h (t )＝t ln t2－t ，t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，则h ′(t )＝ln t －12<0，所以h (t )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，从而b ＝h (t )∈⎝⎛⎭⎫－1，－32e . 综上所述，当a ∈(－e ，0]时，b ∈⎣⎡⎭⎫－1，－32e ；当a ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，b 不存在． [例5] (2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解析 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3．若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0．故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛0，a 3单调递减．若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )＜0．故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1．②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1．③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b ．若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1．【对点训练】1．已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．1．解析 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1．(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x． ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e ．从而p (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，p (x )min ＝p (e 2)＝－1e 2，当a ≤－1e 2时，a ≤1－ln x x ，即e ax －1－1x ≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，ax ＋1>0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，ax ＋1<0，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－1a ＝M ，设t ＝－1a ∈(0，e 2]，M ＝h (t )＝t e 2－ln t ＋1(0<t ≤e 2)，则h ′(t )＝1e 2－1t ≤0，h (t )在(0，e 2]上单调递减，∴h (t )≥h (e 2)＝0，即M ≥0，∴M 的最小值为0．4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．4．解析 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0．∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f (x )max ＝f (1)＝－1．∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1．(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞． ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意．②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e ．从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ．令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2． ∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2．5．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R ．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．5．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ，所以f (1)＝－2，f ′(1)＝0．所以切线方程为y ＋2＝0．(2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当12<b <32时，f (x )在[b ，32)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增．所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫32＝e e 4；当b ≥32时，f (x )在[b ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f (b )＝e b 1＋ab 2＝3e b3＋4b 2． [例2] 已知函数f (x )＝a ln (x ＋b )－x ．(1)若a ＝1，b ＝0，求f (x )的最大值；(2)当b >0时，讨论f (x )极值点的个数．解析 (1)当a ＝1，b ＝0时，f (x )＝ln x －x ，此时，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12x ＝2－x 2x ，由f ′(x )>0，解得0<x <4，由f ′(x )<0，解得x >4，故f (x )在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (4)＝2ln 2－2．(2)当b >0时，函数的定义域是[0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋b －12x ＝－x ＋2a x －b 2x x ＋b ， ①当a ≤0时，f ′(x )<0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，故此时f (x )的极值点的个数为0；②当a >0时，设h (x )＝－x ＋2a x －b ，(ⅰ)当4a 2－4b ≤0即0<a ≤ b 时，f ′(x )≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，即f ′(x )在(0，＋∞)上无变号零点，故此时f (x )的极值点个数是0；(ⅱ)当4a 2－4b >0即a >b 时，记方程h (x )＝0的两根分别为x 1，x 2，由于x 1＋x 2＝2a >0，x 1x 2＝b >0，故x 1，x 2都大于0，即f ′(x )在(0，＋∞)上有2个变号零点，故此时f (x )的极值点的个数是2．综上，a ≤b 时，f (x )极值点的个数是0；a >b 时，f (x )极值点的个数是2．[例3] 设函数f (x )＝a x ＋e －x (a ＞1)． (1)求证：f (x )有极值；(2)若x ＝x 0时f (x )取得极值，且对任意正整数a 都有x 0∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n －m 的最小值．解析 (1)由题意得f ′(x )＝a x ln a －e －x ，令h (x )＝f ′(x )＝a x ln a －e －x ，则h ′(x )＝a x (ln a )2＋e －x ＞0，所以函数h (x )，即f ′(x )在R 上单调递增．由f ′(x )＝0，得a x e x ln a ＝1，因为a ＞1，所以a x e x ＝1ln a ＞0，得x ＝log a e 1ln a ，当x ＞log a e 1ln a 时，f ′(x )＞0；当x ＜log a e 1ln a 时，f ′(x )＜0．所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，log a e 1ln a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫log a e 1ln a ，＋∞上单调递增，因此，当x ＝log a e 1ln a 时函数f (x )取极值．(2)由(1)知，函数f (x )的极值点x 0(即函数f ′(x )的零点)唯一．由f ′(－1)＝ln a a －e ，令g (a )＝ln a a ，则g ′(a )＝1－ln a a 2，由g ′(a )＝0，得a ＝e ，当a ＞e 时，g ′(a )＜0；当0＜a ＜e 时，g ′(a )＞0．所以g (a )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (a )≤g (e)＝1e ，所以f ′(－1)＝ln a a －e ＜0．当a 为大于1的正整数时，f ′(0)＝ln a －1的值有正有负．f ′(1)＝a ln a －1e ，因为a 为正整数且a ＞1，所以a ln a ≥2ln 2＞1e ，所以f ′(1)＞0．所以x 0∈(－1，1)恒成立，所以n －m 的最小值为2．[例4] 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x 2(a ＞0)．(1)由f ′(x )＞0解得x ＞1a ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；由f ′(x )＜0解得x ＜1a ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ．所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增． ①若0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e ≤a ＜1，故不满足条件．③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件．综上所述，这样的a 不存在．[例5] 已知函数f (x )＝(ax －1)ln x ＋x 22．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的方程；(2)设函数g (x )＝f ′(x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈(0，e]，求g (x 1)－g (x 2)的最小值．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝(2x －1)ln x ＋x 22，则f ′(x )＝2ln x ＋x －1x ＋2，f ′(1)＝2，f (1)＝12，∴切线l 的方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．(2)函数g (x )＝a ln x ＋x －1x ＋a ，定义域为(0，＋∞)，则g ′(x )＝1＋a x ＋1x 2＝x 2＋ax ＋1x 2，令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0，其两根为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1，故x 2＝1x 1，a ＝－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1． g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫1x 1＝a ln x 1＋x 1－1x 1＋a －⎝⎛⎭⎫a ln 1x 1＋1x 1－x 1＋a ＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1－2⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1，令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x －2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ．则[g (x 1)－g (x 2)]min ＝h (x )min ，又h ′(x )＝2(1＋x )(1－x )ln x x 2，当x ∈(0，1]时，h ′(x )≤0，当x ∈(1，e]时，h ′(x )<0，即当x ∈(0，e]时，h (x )单调递减，∴h (x )min ＝h (e)＝－4e ，故[g (x 1)－g (x 2)]min ＝－4e[例6] 已知函数g (x )＝x 22＋x ＋ln x ．(1)若函数g ′(x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)函数f (x )＝g (x )－mx ，若f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；(3)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．解析 (1)∵g ′(x )＝x ＋1x ＋1，g ′(x )＝x ＋1x ＋1≥2x ꞏ1x ＋1＝3，g ′(x )≥a ，∴a ≤3．(2)∴f ′(x )＝x ＋1－m ＋1x ＝x 2＋(1－m )x ＋1x，又∵f ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x 2＋(1－m )x ＋1，则h (0)＝1＞0，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＞0，(m －1)2－4＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m >0或m ＜－1，即m ＞3 (3)∵f ′(x )＝x 2＋(1－m )x ＋1x，令f ′(x )＝0，即x 2＋(1－m )x ＋1＝0，两根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －1，x 1x 2＝1，又∵f (x 1)－f (x 2)＝12(x 21－x 22)＋(1－m )(x 1－x 2)＋ln x 1x 2＝12(x 21－x 22)－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2，＝ln x 1x 2－12(x 21－x 22)＝ln x 1x 2－12⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1．令t ＝x 1x 2，由于x 1＜x 2，∴0＜t ＜1．又∵m ≥72，(x 1＋x 2)2＝(m －1)2≥254，即(x 1＋x 2)2x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1，即t ＋2＋1t ≥254 ∴4t 2－17t ＋4≥0，解得t ≥4或t ≤14，即0＜t ≤14．令h (t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (0＜t ≤14)，h ′(t )＝1t －12⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝－(t －1)22t 2＜0，∴h (t )在(0，14]上单调递减，h (t )min ＝h (14)＝－2ln2＋158．∴f (x 1)－f (x 2)的最小值为－2ln2＋158．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．1．解析 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0，由f ′(x )＝0，得x ＝1e ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．所以x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在．(2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1．所以在区间(0，e a －1)上，g (x )单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )单调递增．当e a －1≥e ，即a ≥2时，g (x )在(0，e]上单调递减，∴g (x )min ＝g (e)＝a ＋e －a e ，当e a －1<e 即a <2时，g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，e]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e a －1)＝a －e a －1，令g (x )的最小值为h (a )，综上有h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e a －1，a <2，a ＋e －a e ，a ≥2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．2．解析 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0当x ＝23时，函数f (x )取到极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝427．(2)①当－1≤x <1时，根据(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2．②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增．则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a ．故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2．3．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )．3．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x，所以当0<x <32或x >3时，f ′(x )>0，当32<x <3时，f ′(x )<0，即x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3.(2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x，令g ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝1. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，　1－e a ＋e 2－2e ，a ≥2e.4．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x ．(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．4．解析 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x ．当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x ．所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，2)上单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )在(2，＋∞)上单调递增．所以f (x )只有极小值，且当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2．所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2，无极大值．(2)因为f ′(x )＝a ＋2x x a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a 2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0，得x <－a 2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2．根据题意，知f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2≥－a ，即a [ln (－a )－ln 2]≥0．因为a <0，所以ln (－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．5．已知函数f (x )＝a sin x ＋sin2x ，a ∈R ．。

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第1讲集合(附参考答案)一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。

2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或BA⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；4）若集合A 是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，A⊆S，则，S C=}|{AxSxx∉∈且称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）SC(SC)=A；2）SC S=Φ，ΦSC=S。

4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。

交集}|{BxAxxBA∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集。

}|{BxAxxBA∈∈=⋃或并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：（1）;,,ABBAAAAA⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂（2）;,ABBAAA⋃=⋃=Φ⋃（3）);()(BABA⋃⊆⋂（4）BBABAABABA=⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）SC（A∩B）=（SC A）∪（SC B），SC（A∪B）=（SC A）∩（SC B）。

四．精讲试题1.设集合A={3123|≤-≤-xx}，集合B为函数)1lg(-=xy的定义域，则A⋂B=（A）（1，2）（B）[1，2] （C）[ 1，2）（D）（1，2 ]2.已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则（A）A⊂≠B （B）B⊂≠A （C）A=B （D）A∩B=∅【解析】集合}21{}02{2<<-=<--=x x x x x A ，又}11{<<-=x x B ，所以B 是A 的真子集，选B.5.设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N I 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1）（C ）（-1，1）（D ）(,1)-∞【答案】D【解析】由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x -<即34x <所以3log 4x <故.，选D.7.【2012高考四川文1】设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =U （）A 、{}bB 、{,,}b c dC 、{,,}a c dD 、{,,,}a b c d【答案】D. 【解析】},,,{d c b a B A =Y ，故选D.8. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =I （）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]【解析】}22|{}4|{},1|{}0lg |{2≤≤-=≤=>=>=x x x x N x x x x M Θ， ]2,1(=∴N M I ，故选C.10. 若全集U=｛x∈R|x 2≤4} A=｛x∈R||x+1|≤1}的补集CuA 为A |x∈R |0＜x ＜2|B |x∈R |0≤x＜2|C |x∈R |0＜x≤2|D |x∈R |0≤x≤2|【答案】C【解析】全集}22{4}{2≤≤-=≤=x x x x U ,}02{1}1{≤≤-=≤+=x x x x A ，所以}20{≤<=x x A C U ,选C.14.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}【答案】D.【解析】两个集合只有一个公共元素2，所以}2{=N M I ，故选D.15.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A ．（-∞，-1）B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 【答案】D【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A I ．故选D ．17.集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .【答案】3-【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。

【2011年高考试题】一、选择题:4．（2011年高考广东卷文科2)已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且122=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩ B 的元素个数为A ．0B ． 1C ．2D ．35．（2011年高考江西卷文科2)若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂7．（2011年高考湖南卷文科1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}【答案】B【解析】画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。

9. （2011年高考四川卷文科1)若全集M={}1,2,3,4,5，N={}2,4，M C N =（）（A ）∅ (B) {}1,3,5 (C) {}2,4 (D) {}1,2,3,4,5【答案】B【解析】由已知，全集M ＝{1,2,3,4,5},N ＝{2,4}，故M N ＝{1,3,5}10.（2011年高考四川卷文科1)设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =⋂ð（M N ）（A ）{}12，（B ）{}23，（C ）{}2，4 （D ）{}1，412. （2011年高考浙江卷文科1)若{1},{1}P x x Q x x =<>，则（A ）P Q ⊆ （B ）Q P ⊆（C ）R C P Q ⊆ （D ）R Q C P ⊆ 【答案】C【解析】：Q {}|1,R R P x x P Q =≥∴⊆痧，故选 C14.（2011年高考辽宁卷文科1)已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}}，则A I B=（）（A ） {x 2x 1-＜＜}} （B ）{x 1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜}} （D ）{x 2x 1＜＜} 答案： D解析：利用数轴可以得到A I B={x 1x 2＜＜}。

二、填空题:16. (2011年高考天津卷文科9)已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 .【答案】3【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.17.(2011年高考江苏卷1)已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A【答案】{}1－，2【解析】本题主要考查集合及其表示，集合的运算，容易题.【2010年高考试题】（2010广东文数）10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)cA.aB.bC.cD.d解：由上表可知：a (○+c c =),故d ○*a (○+=)c d ○*a c =，选A{}0（2010广东文数）1.若集合{}3,2,1,0=A ，{}4,2,1=B 则集合=⋃B A A. {}4,3,2,1,0 B. {}4,3,2,1 C. {}2,1 D. 解：并集，选A.（2010福建文数）1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（）（2010湖北文数）1.设集合M={1,2,4,8},N={x|x 是2的倍数}，则M ∩N=A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8}1．【答案】C【解析】因为N={x|x 是2的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故{}2,4,8M N =I所以C 正确.（2010全国卷2文数）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。